Как найти ограниченность функции по графику - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Свойства функций. График функции

Содержание

Ограниченные и неограниченные функции

Обозначим буквой X некоторое множество чисел, входящих в область определения D ( f ) функции y = f (x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функцию y = f (x) называют ограниченной сверху на множестве X , если существует такое число a , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцию y = f (x) называют ограниченной снизу на множестве X , если существует такое число b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функцию y = f (x) называют ограниченной на множестве X , если существуют такие числа a и b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функцию y = f (x) называют неограниченной сверху на множестве X , если для любого числа a существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функцию y = f (x) называют неограниченной снизу на множестве X , если для любого числа b существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Функцию y = f (x) называют неограниченной на множестве X , если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.

Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.

ПРИМЕР 1. Функция y = x² (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве

Рис.1

ПРИМЕР 2. Функция y = – x² (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве

Рис.2

ПРИМЕР 3. Функция y = x (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве

Рис.3

ПРИМЕР 4. Функция y = arctg x (рис. 4) ограничена на множестве

Рис.4

Монотонные и строго монотонные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Функцию y = f (x) называют возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Функцию y = f (x) называют убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Функцию y = f (x) называют строго возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

f (x₁) < f (x₂)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функцию y = f (x) называют строго убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

f (x₁) > f (x₂)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными, строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

ПРИМЕР 5. Функция y = x² (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве

ПРИМЕР 6. Функция y = – x² (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве

ПРИМЕР 7. Функция y = x (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве

ПРИМЕР 8. Функция y = arctg x (рис. 4) является строго возрастающей на множестве

Четные и нечетные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют четной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

f (– x) = f (x)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют нечетной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

f (– x) = – f (x)

ПРИМЕР 9. Функции y = x² и y = – x² являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции y = x и y = arctg x являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).

ПРИМЕР 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Любую функцию y = f (x) , определенную на симметричном относительно точки x = 0 множестве X , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим две функции:

сумма которых равна f (x) , и заметим, что функция g₁ (x) является четной функцией, а функция g₂ (x) является нечетной функцией. Действительно,

что и завершает доказательство утверждения.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Раскладывая функцию y = e^x в сумму четной и нечетной функций, получаем:

Функцию g₁ (x) называют гиперболическим косинусом и обозначают ch x :

Функцию g₂ (x) называют гиперболическим синусом и обозначают sh x :

Таким образом, справедливо равенство

e^x= sh x + ch x

Периодические и непериодические функции. Период функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Число называют периодом функции y = f (x) , если для любого числа числа x + T и x – T также принадлежат области определения D ( f ) и справедливы равенства

f ( x + T ) = f (x) ,
f ( x – T ) = f (x)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если число T является периодом некоторой функции, то и число kT , где k – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.

ПРИМЕР 11. Функции y = sin x и y = cos x являются периодическими функциями с периодом 2π , функции y = tg x и y = ctg x являются периодическими функциями с периодом π .

Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Свойства тригонометрических функций» → «Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса» нашего справочника.

ПРИМЕР 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат Oxy .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Графиком функции y = f (x) называют множество всех точек, координаты которых имеют вид (x; f (x)) , где .

ЗАМЕЧАНИЕ 5. График четной функции симметричен относительно оси ординат Oy (см., например, рис. 1 и рис. 2), график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, рис. 3 и рис. 4).

ЗАМЕЧАНИЕ 6. График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом T, достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс Ox длины T, а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния nT , где n – любое натуральное число.

Источник

1. Ограниченность

Определение
1. Функция
,
заданная на множестве
,
называется ограниченной
сверху (снизу)
на этом множестве, если существует такое
число
,
что для всех

выполняется неравенство

():

Определение
2. Функция

называется ограниченной
на множестве
,
если существует такое
,
что

для всех
:

Пример
1. Докажем, что функция

ограничена.

Решение.
Так как
,
то для любого

выполняются неравенства
.
Значит функция

ограничена на
.

При
доказательстве ограниченности функций
оказываются полезными следующие
утверждения:

а) Если
функция

ограничена на множествах

и
,
то она ограничена и на объединении

этих множеств.

б) Если
функции

и

ограничены на множестве
,
то их сумма

и произведение

ограничены на
.

в) Если
функция

ограничена на множестве

сверху, то

ограничена на

снизу.

г) Если
функция

положительна на

и ограничена на

снизу положительным числом, то функция

ограничена на
.

Пример
2. Докажем, что функции

и

ограничены на отрезке
.

Решение.
Функция

ограничена на
,
так как на этом отрезке выполняется
неравенство
.
Постоянные функции

и

также ограничены на
.
Заданную функцию можно представить как
сумму произведений ограниченных функций:

,
а тогда по утверждению б) функция
ограничена на
.
Так как значения функции

на

не меньше, чем 3, и она ограничена, то по
утверждению г) функция

ограничена на
.

Сформулируем
теперь отрицания введенных понятий.

Определение
3. Функция

– неограниченна
сверху на
:

;

– неограниченна
снизу на
:

;

– неограниченна
на
:

Пример
3. Докажем, что функция

не является ограниченной на
.

Решение.
Возьмем произвольное

и докажем, что существует
,
такое, что
,
т.е.
.
Это и будет означать неограниченность
функции

на
.
Возьмем
.
Тогда
.
Неограниченность функции доказана.
Заметим, что на любом интервале
,
где
,
эта функция ограничена: если
,
то
.

Пример
4. Докажем,
что функция
,

,
не ограничена.

Решение.
При
,

,
имеем
,
и потому

принимает сколь угодно большие значения.

Если
функция

ограничена на множестве
,
то множество ее значений на

имеет точную верхнюю и точную нижнюю
грани. Их обозначают

и
.
Индекс

обычно опускают. Числа

и

могут как принадлежать, так и не
принадлежать множеству значений функции.

Пример
5. Для функции
,

,
имеем
,

.
Значения 1 и –1 принадлежат множеству
значений функции.

Пример
6. Для функции
,

,
имеем
,

.
Значение 0 функция принимает при
.
Значение 1 эта функция не принимает ни
при каком
.
Но среди значений функции есть сколь
угодно близкие к 1. Так, при

имеем
.
Это значение отличается от 1 меньше чем
на 0,000004.

2. Монотонность

Определение
4. Функция

называется:

– возрастающей
на
:

;

– убывающей
на
:

;

– неубывающей
на
:

;

– невозрастающей
на
:

При движении
вдоль оси абсцисс слева направо ордината
графика возрастающей функции увеличивается
(рис. 1), а ордината графика убывающей
функции уменьшается (рис. 2).

Графики
неубывающей функции (рис. 3) и невозрастающей
функции (рис. 4) могут иметь «площадки».

Рис. 1
Рис. 2

Рис. 3
Рис. 4

Если
функция возрастает (убывает, не возрастает,
не убывает) на
,
то говорят, что она монотонна
на
.

Пример
7. Докажем, что функция

возрастает на всей числовой прямой.

Решение.
Пусть
.
Тогда

Так как

и
то

Итак,
.
Значит функция

возрастает на всей числовой прямой.

Пример
8. Докажем, что функция

возрастает на отрезке
.

Решение.
Пусть
.
Тогда

Так как

,
то
,
а так как
,

,
то
.
Значит,
,
а потому
.
С другой стороны, из

получаем, что
,
и потому
.
Но тогда и
,
т.е.

возрастает на отрезке
.

При исследовании
функций на монотонность бывают полезны
следующие утверждения:

а) Если
функции

и

возрастают (убывают) на множестве
,
то их сумма

возрастает (убывает) на этом множестве.

б) Если
функция

возрастает (убывает) на множестве
,
то функция

возрастает (убывает) на этом множестве.

в) Если
функции

и

неотрицательны на множестве

и возрастают (убывают) на этом множестве,
то их произведение

возрастает (убывает) на множестве
.

г) Если
функция

положительна на множестве

и возрастает (убывает) на этом множестве,
то функция

возрастает (убывает) на множестве
.

д) Если
функция

возрастает (убывает) на множестве
,
а функция

возрастает (убывает) на множестве
,
то их композиция

возрастает (убывает) на множестве
.

Пользуясь
утверждениями а) – д), легко доказать,
что разность возрастающей и убывающей
функций возрастает, а также, что функция

,
где

и

положительны,

возрастает, а

убывает на
,
является возрастающей функцией на
.
Отметим еще, что прибавление к функции

любого числа, а также умножение функции

на любое положительное число не изменяют
характера монотонности этой функции.

Сформулируйте
самостоятельно утверждения аналогичные
а) – д) для неубывающих и невозрастающих
функций.

Пример
9. Докажем, что функция

()
возрастает на
.

Решение.
Функция

является произведением

функций, каждая из которых равна
.
Так как множители неотрицательны и
возрастают на
,
то и функция

()
возрастает на
.

Пример
10. Докажем, что на

функция

()
при четном

убывает, а при нечетном

возрастает.

Решение.
Если
,
то
,
и потому
.
Если

четно, то отсюда получаем, что
,
чем доказано убывание функции

на
.
Если же

нечетно, то получаем, что
,
т.е. что
,
и потому при нечетном

функция

возрастает на
.

Пример
11. Докажем, что функция

возрастает на
.

Решение.
Данная функция является
суммой числа 4 и функций
,

,
возрастающих на
,
а потому она возрастает на
.

Пример
12. Докажем, что функция

()
возрастает на
.

Решение.
Пусть
.
Из

следовало бы, что
,
т.е.

вопреки предположению. Значит
,
а потому функция

()
возрастает на
.

Пример
13. Докажем, что функция

возрастает на
.

Решение.
Данная функция является
композицией функций

и
,
причем

возрастает на

и принимает значения от 4 до
,
а функция

возрастает на
.
Поэтому функция

возрастает на

от

до
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Свойства функций

Свойства функций

В 7-м и 8-м классах вы изучали некоторые свойства функций. Сейчас мы их соберем вместе, в один параграф, напомним их суть и геометрический смысл и договоримся о том, в каком порядке будем перечислять эти свойства при чтении графика функции. Обратите внимание: во всех определениях фигурирует числовое множество X, являющееся частью области определения функции: X с D(f). На практике чаще всего встречаются случаи, когда X — числовой промежуток (отрезок, интервал, луч и т.д.).

Определение 1.

Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве X с D(f), если для любых двух точек х₁ и х₂ множества X, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f(х₁ < f(х₂).

Определение 2.

Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве X с D(f), если для любых монотонность двух точек х₁ и х₂ множества X, таких, что х₁ < х₂, функции выполняется неравенство f(x₁) > f(x₂).

На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

В 7-м и 8-м классах мы использовали следующее геометрическое истолкование понятий возрастания или убывания функции: двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в горку (рис. 55); двигаясь по графику убывающей функции слева направо, как бы спускаемся с горки (рис. 56).
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.

Отметим еще одно обстоятельство: если функция возрастает (или убывает) в своей естественной области определения, то обычно говорят, что функция возрастающая (или убывающая) — без указания числового множества X.

Пример 1.

Исследовать на монотонность функцию:

а) у = х³ + 2; б) у = 5 – 2х.

Решение:

а) Возьмем произвольные значения аргумента х₁ и х₂ и пусть х₁<х₂. Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Последнее неравенство означает, что f(х₁) < f(х₂). Итак, из х₁ < х₂ следует f{х₁) < f(х₂), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

б) Если х₁ < х₂, то -2х₁ > -2х₂; далее имеем 5 – 2.x₁ > 5 – 2х₂, т.е. f(х₁) > f(х₂).

Итак, из х₁ < х₂ следует f(х₁) > f(х₂), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой прямой).

Определение 3.

Функцию у — f(х) называют ограниченной снизу на множестве X с D (f), если все значения функции на множестве X больше некоторого числа (иными словами, если существует число m такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) >m).

Определение 4.

Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве X с D (f), если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число М такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) < М).

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции снизу или сверху во всей области определения.

Если функция ограничена и снизу, и сверху, то ее называют ограниченной.

Ограниченность функции легко прочитывается по ее графику: если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = т (рис. 57); если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = М (рис. 58).

Пример 2. Исследовать на ограниченность функцию
Решение.С одной стороны, вполне очевидно неравенство (по определению квадратного корня Это означает, что функция ограничена снизу. С другой стороны, имеем а потому
Это означает, что функция ограничена сверху. А теперь посмотрите на график заданной функции (рис. 52 из предыдущего параграфа). Ограниченность функции и сверху, и снизу прочитывается по графику достаточно легко.

Определение 5.

Число m называют наименьшим значением функции у = f(х) на множестве X С D(f), если:

1) в Х существует такая точка х₀, что f(х₀) = m;

2) для всех x из X выполняется неравенство m>f(х₀).

Определение 6.

Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X С D(f), если:
1) в Х существует такая точка х₀, что f(x₀) = М;
2) для всех x из X выполняется неравенство
Наименьшее значение функции мы обозначали и в 7-м, и в 8-м классах символом у, а наибольшее — символом у.

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об отыскании наименьшего или наибольшего значения функции во всей области определения.

Достаточно очевидны следующие полезные утверждения:

1)    Если у функции существует Y, то она ограничена снизу.
2)    Если у функции существует Y, то она ограничена сверху.
3)    Если функция не ограничена снизу, то Y не существует.
4)    Если функция не ограничена сверху, то Y не существует.

Пример 3.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции
Решение.

Достаточно очевидно, особенно если прибегнуть к помощи графика функции (рис. 52), что = 0 (этого значения функция достигает в точках х = -3 и х = 3), а = 3 (этого значения функция достигает в точке х = 0.
В 7-м и 8-м классах мы упоминали еще два свойства функций. Первое назвали свойством выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 59). непрерывность Функция выпукла вверх на промежутке X, если, функции соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 60).

Второе свойство — непрерывность функции на промежутке X — означает, что график функции на промежутке X — сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

Замечание.

На самом деле в математике все обстоит, как говорится, «с точностью до наоборот»: график функции изображается в виде сплошной линии (без проколов и скачков) только тогда, когда доказана непрерывность функции. Но формальное определение непрерывности функции, достаточно сложное и тонкое, нам пока не по силам. То же самое можно сказать и о выпуклости функции. Обсуждая указанные два свойства функций, будем по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.

А теперь проведем смотр наших знаний. Вспомнив о тех функциях, которые мы с вами изучали в 7-м и 8-м классах, уточним, как выглядят их графики, и перечислим свойства функции, придерживаясь определенного порядка, например такого: область определения; монотонность; ограниченность; , ; непрерывность; область значений; выпуклость.

Впоследствии появятся новые свойства функций, соответственно будет меняться и перечень свойств.

1. Постоянная функция у = С

График функции у = С изображен на рис. 61 — прямая, параллельная оси х. Это настолько неинтересная функция, что нет смысла перечислять ее свойства.

Графиком функции у = кх + m является прямая (рис. 62, 63).

Свойства функции у = кх + m:

1)
2)    возрастает, если к > 0 (рис. 62), убывает, если к < 0 (рис. 63);
3)    не ограничена ни снизу, ни сверху;
4)    нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5)    функция непрерывна;
6)
7)    о выпуклости говорить не имеет смысла.

Графиком функции у = кх² является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если к > О (рис. 64), и вниз, если к < 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Свойства функции у – кх²:

Для случая к> 0 (рис. 64):

1)    D(f) = (-оо,+оо);
2)    убывает на луче (-оо, 0], возрастает на луче [0, +оо);
3)    ограничена снизу, не ограничена сверху;
4)    = не существует;
5)    непрерывна;
6) Е(f)    = [0,+оо);
7)    выпукла вниз.

Обратите внимание: на промежутке (-оо, 0] функция убывает, а на промежутке [0, +оо) функция возрастает. Эти промежутки называют промежутками монотонности функции у = кх². Понятие промежутка монотонности будем использовать и для других функций.

Для случая к < 0 (рис. 65):
1)    D(f) = (-оо,+00);
2)    возрастает на луче (-оо, 0], убывает на луче [0, +оо);
3)    не ограничена снизу, ограничена сверху;
4)    не существует, = 0;
5)    непрерывна;
6) Е(f) >    = (-оо, 0];
7)    выпукла вверх.

График функции у = f(х) строится по точкам; чем больше точек вида (х; f(х)) мы возьмем, тем более точное представление о графике получим. Если этих точек взять достаточно много, то и представление о графике сложится более полное. Именно в этом случае интуиция и подсказывает нам, что график надо изобразить в виде сплошной линии (в данном случае в виде параболы). А уж затем, читая график, мы делаем выводы о непрерывности функции, о ее выпуклости вниз или вверх, об области значений функции. Вы должны понимать, что из перечисленных семи свойств «законными» являются лишь свойства 1), 2), 3), 4) — «законными» в том смысле, что мы в состоянии обосновать их, ссылаясь на точные определения. Об остальных свойствах у нас имеются только наглядно-интуитивные представления. Кстати, в этом нет ничего плохого. Из истории развития математики известно, что человечество часто и долго пользовалось различными свойствами тех или иных объектов, не зная точных определений. Потом, когда такие определения удавалось сформулировать, все становилось на свои места.

Графиком функции является гипербола, оси координат служат асимптотами гиперболы (рис. 66, 67).

1)    D(f) = (-00,0)1U (0,+оо);
2)    если к > 0, то функция убывает на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо) (рис. 66); если к < 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3)    не ограничена ни снизу, ни сверху;
4)    нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
5)    функция непрерывна на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо);
6)    Е(f)    = (-оо,0) U (0,+оо);
7)    если к > 0, то функция выпукла вверх при х < 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х > 0, т.е. на открытом луче (0, +оо) (рис. 66). Если к < 0, то функция выпукла вверх при х > О и выпукла вниз при х < О (рис. 67).
5.    Функция
Графиком функции является ветвь параболы (рис. 68). Свойства функции :
1)    D(f) = [0, +оо);
2)    возрастает;
3)    ограничена снизу, не ограничена сверху;
4)    = не существует;
5)    непрерывна;
6) Е(f)    = [0,+оо);
7)    выпукла вверх.

6. Функция у = | х |

Графиком функции является объединение двух лучей:

Свойства функции у= | х |:

1)    D(f) = (-оо,+оо);
2)    убывает на луче (-оо, 0], возрастает на луче [0, +оо);
3)    ограничена снизу, не ограничена сверху;
4)    = не существует;
5)    непрерывна;
6)   Е(f)    = [0,+оо);
7)    функцию можно считать выпуклой вниз.

7. Функция у = ах² + Ьх + с
Графиком функции является парабола с вершиной в точке
и с ветвями, направленными вверх, если а > 0 (рис. 70), и вниз,
если а < 0 (рис. 71). Прямая является осью параболы.

Смотр наших знаний о функциях можно считать законченным. Разумеется, приведенным перечнем в реальной жизни не обойтись. Некоторые новые функции и их свойства встретятся нам уже в этой главе.

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь – Образовательный форум.

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов –
гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других “взрослых” тем.

Разработка – Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email:

Источник

Аналитические способы решения задач с параметрами. Ограниченность. Метод оценок.

Ещё один распространённый метод аналитического решения задач с параметрами — это метод оценок. Или по-другому — метод мажорант. Основывается он на таком важном свойстве многих функций, как ограниченность. Для начала пробежимся по самому понятию ограниченности.

Что такое ограниченность? Ограниченные функции.

То что это слово происходит от слова «граница», вопросов, думаю, ни у кого не вызывает.) Многое в нашем окружении обладает ограниченностью: сутки ограничены 24 часами, проезжая часть дороги ограничена тротуаром или обочиной, секретная территория ограничена забором с колючей проволокой. 🙂 А в математике бывают ограниченные функции.

Что же такое ограниченная функция? Это функция, область значений которой ограничена каким-то числом (или двумя числами). Что такое область значений функции? Это те значения, которые может принимать функция в принципе. Обозначается она, как мы помним, E(y).

Например, для линейной функции y = kx+b областью значений будет вся числовая прямая:

E(y) = (-∞; +∞).

Для параболы y = x² областью значений будет множество всех неотрицательных чисел:

E(y) = [0; +∞).

Для синуса или косинуса областью значений служит отрезок [-1; 1]. То есть, E(y) = [-1; 1].

Для константы y = C область значений вообще состоит всего лишь из одной точки: E(y) = {C}.

Одних только этих примеров уже достаточно, чтобы понять, что бывают функции, графики которых неограниченно простираются сверху вниз (или снизу вверх), либо которые ограничены только сверху (снизу), либо которые «зажаты» между какими-то двумя числами. А также константы.

Так вот, функция f(x), определённая на множестве X, называется ограниченной сверху числом А, если f(x)≤A для любого .

Например, сверху ограничена любая квадратичная функция y = ax²+bx+c с отрицательным коэффициентом «a» (то есть, с параболой ветвями вниз). Каким же именно числом? Значением в вершинке:

Функция f(x), определённая на множестве X, называется ограниченной снизу числом А, если f(x)≥A для любого .

Например, наши любимые парабола y = x² и модуль y = |x| ограничены снизу числом 0.

А вот функция, ограниченная как сверху, так и снизу, называется просто ограниченная функция. Например, любой синус и любой косинус ограничены числами Арктангенс ограничен числами ±π/2. Константа, ясен перец, ограничена сама собой же.)

И так далее. Что такое ограниченность и какие у неё бывают разновидности, в общих чертах теперь, думаю, понятно. ) Мы не будем здесь углубляться в густые дебри теории множеств, заикаться про точную верхнюю и нижнюю грани (называемые красивыми словами «супремум» и «инфимум»), ибо для решения нестандартных задач (с параметрами и без) приведённой выше информации про ограниченность вполне достаточно.)

А теперь составим небольшой список наиболее часто встречающихся ограниченных конструкций.

Квадратный трёхчлен

Любой квадратный трёхчлен ограничен сверху (снизу) значением в вершине соответствующей параболы:

В частности, и .

Модуль

Любой модуль всегда неотрицателен: |x| ≥ 0.

Синус и косинус

Любой синус и любой косинус всегда лежит в отрезке от -1 до 1:

Полезные следствия:

Обратные тригонометрические функции

π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2 0 ≤ arccos x ≤ π

π/2 < arctg x < π/2 0 < arcctg x < π

Полезные неравенства

Что ещё очень часто применяется при решении задач с использованием метода оценок, так это некоторые весьма и весьма нетривиальные, но очень полезные неравенства. Сейчас мы их выпишем и разберём (в том числе и докажем).

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)

Первое полезное неравенство, которое мы рассмотрим, — это неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел. Называется оно неравенством Коши и выглядит так:

А по-русски это неравенство звучит так: «Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.»

Здесь есть ограничение: оба числа должны быть неотрицательными. Иначе либо корень справа вообще потеряет смысл, либо неравенство будет неверно.

Доказывается оно довольно просто. Для этого перенесём влево и умножим обе части на 2:

Из свойств корней мы знаем, что:

Если теперь вставить эти выражения в наше неравенство, то слева получится полный квадрат разности:

Последнее неравенство возражений, думаю, не вызывает: квадрат любого выражения всегда неотрицателен. 🙂 Тем самым, неравенство Коши доказано.

Обратим внимание, что неравенство здесь нестрогое — больше, либо равно. А вот когда достигается это самое «равно»? Только в единственном случае — когда .

Кстати говоря, неравенство Коши справедливо не только для двух, а для любого количества чисел. В более общей форме оно записывается вот так:

Важное следствие из неравенства Коши:

Сумма двух взаимно обратных величин

Следующее неравенство, на которое мы обратим внимание, — это сумма двух положительных взаимно обратных величин. При a > 0 справедливо вот такое неравенство:

Доказывается оно довольно легко с использованием предыдущего неравенства Коши.)

Положив в нём b=1/a, получим:

Что и требовалось доказать.)

Здесь неравенство снова нестрогое и превращается в равенство только при a = 1/a, то есть при a = 1.

Связь квадрата и модуля

Третья группа полезных неравенств — связь квадрата какой-то величины с модулем этой самой величины:

при

Тут доказательство довольно просто провести графически. Вспомните график параболы y = x² и график модуля y = |x|. И всё станет ясно.)

Оценка некоторых тригонометрических выражений

А теперь рассмотрим одно полезное неравенство из тригонометрии. Очень полезное для метода мажорант! Основано оно на так называемом методе вспомогательного аргумента. Про этот метод будет отдельный урок в разделе по тригонометрии, а здесь – просто краткие сведения.)

Итак, пусть у нас есть вот такое выражение с синусом и косинусом:

Здесь a и b – просто какие-то числа, одновременно не равные нулю. Нам теперь надо оценить это выражение. Для этого проделываем вот такую манипуляцию: умножаем и тут же делим всю конструкцию на вот такой корень :

Казалось бы, что это ещё за выкрутасы такие? Ничего, сейчас интересно будет. 🙂 Теперь делим числитель почленно на этот самый корень:

А теперь — самое интересное! Вводим вот такие обозначения:

Правомерна ли такая замена? Проверим по основному тригонометрическому тождеству:

Итак, основное тригонометрическое тождество выполнено, а это значит, что наши загадочные числа

и впрямь есть косинус и синус некоторого угла . Этот новый угол «фи» и называется тем самым вспомогательным углом. 🙂 Кстати, можно точно определить, чему равен этот самый угол «фи». Для этого поделим друг на друга его синус и косинус. Как мы знаем, это будет тангенс:

Итого:

Что ж, перепишем наше выражение с учётом доказанных фактов:

А теперь — сворачиваем наше выражение по формуле синуса суммы двух углов. Вот так:

Любой синус, как нам известно, заключён в пределах [-1; 1], а это значит, что всё наше выражение заключено вот в таких пределах:

Это неравенство довольно часто применяется при оценке тригонометрических выражений. Полезно запомнить.)

Принцип оценки левой и правой части (или принцип разделяющего числа)

И, наконец, последнее что мы рассмотрим — это вот такую типичную ситуацию. Пусть у нас имеется уравнение f(x) = g(x). Допустим, мы каким-то образом установили, что левая часть не больше какого-то числа А:

Также мы установили, что правая часть не меньше этого же числа:

Или всё наоборот — не суть важно. Важно другое — одна из функций ограничена сверху числом А, а вторая функция ограничена снизу этим же самым числом.) Когда возможно равенство левой и правой части? Да! Когда одновременно и левая, и правая части равны этому граничному числу А!

То есть, наше исходное уравнение f(x) = g(x) будет равносильно вот такой системе:

Решается такая системка, как правило, уже без особого труда.

Этот метод часто применяется в той ситуации, когда слева и справа стоят функции разной природы. Скажем, синус и многочлен. Или косинус и логарифм… Это намёк.) Попробуйте оценить левую и правую части! В 99% случаев помогает!

Теперь кратко о задачах, которые будут рассматриваться в настоящем материале. Большинство из этих задач НЕ решаются стандартными способами — сведением к простейшим уравнениям или неравенствам, разложением на множители, возведением в квадрат и подобными преобразованиями. Однако, если попытаться оценить конструкции, входящие в задачу, как дорога к ответу становится простой, понятной и красивой, а задача из монстра становится белой и пушистой.) «Внешний вид» задач, где явно напрашивается метод оценок, примерно следующий:

– наличие слева и справа «разнородных» функций (синуса и логарифма, косинуса и квадратного трёхчлена и т.п.);

– присутствие ограниченных конструкций (синусов/косинусов, квадратных трёхчленов, модулей, суммы взаимно обратных величин и т.д.).

Распознавать такие задачи после некоторой тренировки труда не составит. Если тренироваться, конечно. 🙂

Уравнения (неравенства) без параметра, решаемые методом оценок

Что ж, хватит грузной теории, перейдём теперь к конкретным задачам и посмотрим на метод оценок в действии. Для начала рассмотрим задачи без параметра, но с одной или несколькими неизвестными, а уже потом будем рассматривать конкретные параметрические задачи из вариантов ЕГЭ.

Начнём пока что с такого задания.

Пример 1

Решить уравнение:

Если мы сейчас начнём решать это уравнение по стандартным шаблонам и напишем какую-нибудь ересь типа

или

то погрязнем в вычислениях и выкладках, что называется, всерьёз и надолго. 🙂

Как же подступиться к этому уравнению? Путём недолгих размышлений, можно, конечно, догадаться, что число x = 0 является его корнем. А вдруг, кроме нуля, у него есть ещё корни? Так и будем гадать на кофейной гуще? Так как мы не гадалки, то попробуем применить обещанный метод мажорант или оценок.

Внешний вид уравнения (слева косинус, справа — многочлен) намекает на оценку левой и правой частей. Вот и попробуем оценить левую и правую части нашего злого уравнения.

Во-первых, про косинус мы знаем, что он всегда лежит в диапазоне от -1 до 1:

А про квадрат мы также знаем, что он всегда неотрицателен:

А, стало быть, если к квадрату прибавить 1, то вся правая часть будет не меньше единички:

А теперь осмысливаем результат: левая часть не больше единицы, а правая часть — не меньше единицы. А это значит, что равенство обеих частей возможно только в единственном случае — когда обе части равны единице! И наше зверское уравнение превращается в эквивалентную систему:

Нетрудно убедиться, что единственным решением этой системки является x = 0. И, следовательно, других корней, кроме нуля, это уравнение не имеет. Вот это строгое обоснование того факта, что других корней нет.

Ответ: 0.

Другой пример.)

Пример 2

Решить уравнение:

Снова совершенно немыслимый набор функций: слева логарифм от какой-то белиберды с синусом, а справа — корень из квадратного трёхчлена.) Значит, стандартные приёмы (типа возведения в квадрат, ликвидации логарифмов) бесполезны. Значит, пример заточен под какой-то нестандартный ход. Какой? Слева и справа стоят функции совершенно разного рода — корень и логарифм. Такой внешний вид примера — своего рода сигнал к применению метода мажорант. Попробуем оценить обе части? 🙂

Итак, берём сначала логарифм

Что можно сказать про выражение |sin0,5πx|, которое сидит внутри логарифма? Смотрим нашу сводку неравенств и находим похожее:

Но у нас аргумент синуса не просто икс, а ! Ну и что? Запоминаем: каким бы сложным аргумент синуса (косинуса) ни был, любой синус (косинус) всё равно будет от -1 до 1 (или по модулю от 0 до 1).

Значит, для синуса можно записать:

Если теперь это неравенство помножить на (-1), то получим:

Следующим шагом прибавляем 17 ко всем трём частям:

И, наконец, последнее усилие — берём логарифм по основанию 2. Так как в основании логарифма стоит двойка (т.е. число, большее 1), то знаки нашего двойного неравенства от логарифмирования не поменяются:

Вот так. Значит, вся конструкция слева заключена в отрезке [4; log₂17]. Иначе быть не может.

Теперь берёмся за правую часть, с корнем .

Квадратный трёхчлен следует оценивать, предварительно выделив полный квадрат. Вот так:

Зачем мы привели трёхчлен именно к такому виду? А затем, что теперь стало всё видно: если от 16 отнять что-то в квадрате (неотрицательное!), то это выражение будет в любом случае не больше 16:

Значит, если из этого выражения извлечь корень, то он точно будет не больше , т.е. 4. Итак,

А нулём мы дополнительно ограничиваем просто в силу неотрицательности арифметического корня.)

А теперь — состыковываем результаты наших оценок левой и правой частей:

Теперь уже видно, что нашим разделяющим числом (т.е. мажорантой) является четвёрка: левая часть не меньше 4, а правая — не больше 4. А значит, для того чтобы наше уравнение имело корни, левая и правая части одновременно должны быть равны 4. Таким образом, наше злое уравнение равносильно вот такой системе:

А решение этой системы уже не представляет никаких трудностей. Из второго уравнения легко можно получить единственный корень x = 1:

(возводим обе части в квадрат)

Проверим первое уравнение при x = 1:

Гуд.) Всё совпало!

Итак, единственным корнем уравнения является x = 1.

Ответ: 1.

Идея ясна? Отлично! Тогда разбираем похожую задачку. Для тренировки.)

Пример 3

Решить уравнение:

Ну, с корнем справа всё ясно. Его оцениваем с помощью выделения полного квадрата у подкоренного трёхчлена. 🙂 Полная аналогия с предыдущим примером:

Тогда и, следовательно, .

Итак, правая часть не больше четвёрки. 🙂

А вот левую часть на этот раз будем оценивать с помощью неравенства Коши. Зря, что ли, мы его выводили? 🙂 Перепишем его ещё разочек, умножив обе части на 2:

Если теперь положить в нём и , то получим следующее:

Итого , т.е. левая часть не меньше четвёрки.

И снова нашим разделяющим числом оказалась четвёрка. 🙂 То есть, всё наше уравнение равносильно системе:

Единственным решением этой системы (а значит, и исходного уравнения) является x=1.

Ответ: 1.

Разберём теперь уравнение с двумя переменными. Казалось бы, всё гораздо сложнее, однако внешность обманчива. Если уметь грамотно проводить оценку. 🙂

Пример 4

Найти все пары чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению:

Уравнение одно, а переменных две — икс и игрек. Как тут не испугаться… Однако, глаза боятся, а руки делают. 🙂 Оцениваем квадратный трёхчлен справа. Это нам уже знакомо:

Значит, 2(y-1)²+13 ≥ 13 , причём равенство достигается только при y = 1, т.е. когда обнуляется скобка (y-1)². Запомним этот важный факт. 🙂

А что можно сказать про левую часть ? Пока — ничего определённого. Но! Если присмотреться, то можно увидеть, что данное выражение — это конструкция вида . Метод вспомогательного угла нам в помощь! 🙂

Первым делом считаем выражение

Число 13 здесь всплыло неспроста. 🙂 Ниже сами увидите. Итак, умножаем и делим наше выражение на 13:

А теперь — вводим новый угол вот с такими характеристиками: cos φ = 12/13; sin φ = 5/13.

Определим теперь сам угол. Через тангенс. 🙂

Значит, вся наша левая часть запишется вот так:

Стало быть, .

Без введения вспомогательного угла так красиво оценить левую часть вряд ли получилось бы. 🙂 Именно поэтому метод введения вспомогательного угла надо знать. В подобных задачах только он и спасает положение. Намёк понятен?)

Вот мы и вышли на разделяющее число. Тринадцать. Левая часть не больше тринадцати, а правая — не меньше тринадцати. Заменяем уравнение на равносильную систему:

Вспоминаем все наши преобразования:

Второе уравнение системы выполняется только при y = 1. А вот в первом уравнении, как и в обычном тригонометрическом, получается серия решений:

Решаем это простенькое тригонометрическое уравнение с синусом и получаем:

Вспомнив, что же такое это самое , окончательно получим:

Получили бесконечную серию пар (x; y).

Ответ: (π/2+arctg5/12+2πn; 1), n∊ Z

Итак, с уравнениями потренировались, рассмотрим теперь и что-нибудь из неравенств. Для неравенств применение метода мажорант полностью совпадает с таковым для уравнений. 🙂 Например, такое задание.

Пример 5

Решить неравенство:

Внешний вид неравенства (слева логарифмы, справа — синусы) явно намекает на метод мажорант. Начнём с оценки левой части.

По одному очень хорошему свойству логарифмов, можно перевернуть второй из них:

Получили сумму двух взаимно обратных величин. Которая, как мы помним из нашей сводки, не меньше двойки. Вот и это неравенство нам тоже пригодилось! 🙂 Вперёд! Оцениваем:

Причём равенство достигается только при

Оба этих числа входят в ОДЗ нашего выражения слева.

Что же касается правой части, то в знаменателе нашей дроби сидит самый обычный квадратный трёхчлен. Только относительно синуса. 🙂 Всё как обычно, выделяем полный квадрат и оцениваем:

Раз знаменатель дроби не меньше единицы, то вся дробь не больше двойки:

Причём равенство этой дроби двойке достигается только когда её знаменатель равен единице, т.е. (sin(x+y)-1)²+1 = 1 или sin(x+y) = 1.

А теперь состыковываем результаты наших оценок. Для простоты как-нибудь обозначим наши функции:

Мы получили, что:

, .

При этом у нас есть вот такое нестрогое неравенство:

Левая функция должна быть не больше правой. Но при этом левая функция находится выше двойки (либо равна), а правая — ниже двойки (либо равна). Как вы думаете, когда такое неравенство может выполняться? Ну, конечно! Только в одном единственном случае — когда обе части будут равны двойке! Иными словами, наше нестрогое неравенство может выполняется только в случае равенства. Бывает.)

Итак, заменяем всё наше страшное неравенство уже привычной нам системой:

Рассматриваем теперь два отдельных случая — х = π/3 и х = –π/3.

Случай 1 (х = π/3)

Получили первую пачку решений:

Разбираем второй случай:

Случай 2 (х = –π/3)

Вторая пачка решений:

Вот и вся задача. 🙂

Ответ:

Как видите, когда разделяющее число (мажоранта) найдено, то дальнейшее решение труда в таких задачах, как правило, уже не составляет. Вопрос — а как искать такое число? К сожалению, универсального секретного заклинания на все случаи жизни здесь дать нельзя, но я надеюсь, что знание тех неравенств, что я привёл в самом начале урока, резко повысит ваши шансы на успех. Ну и плюс практика и опыт. Без них в сложных нестандартных задачах делать нечего. Увы.

Что ж, перейдём теперь к задачам с параметрами. В том числе и из ЕГЭ.

Задачи с параметрами на ограниченность.

Начнём пока с относительно несложной задачки с тригонометрией.

Пример 6

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

В принципе, решение этой задачи вполне возможно провести «в лоб». Сначала составить условие неотрицательности правой части (арифметический корень!), затем уже при этом ограничении возвести обе части в квадрат и получить тригонометрическое уравнение с косинусом, правая часть которого зависит от параметра. После чего ещё составить дополнительное требование, чтобы косинус был от -1 до 1 (иначе корней у уравнения не будет!). Короче, надо будет решать целую кучу неравенств — квадратных, двойных, с некрасивыми дискриминантами и корнями, потом пересекать множества их решений, сравнивать иррациональные числа… В общем, извиняюсь, геморрой конкретный. 🙂 Сейчас я проведу её решение гораздо короче — методом мажорант. Кому интересен «лобовой» способ решения и кто большой трудоголик — попробуйте осилить. Без ошибок. 🙂 И сравните результат. 🙂 Итак, поехали!

Прежде всего, оцениваем квадратный трёхчлен справа. Это мы уже давно умеем:

Правая часть не превосходит тройки. Отлично! Берёмся теперь за корень. С ним тоже никаких проблем. Распутывать начинаем, разумеется, с косинуса:

Итак, наш корень не меньше тройки. А трёхчлен — не больше. Прекрасно! Это значит, что всё наше уравнение может иметь корни только при условии равенства обеих частей этой самой тройке:

Очевидно, первое уравнение нашей системы корни имеет. 🙂 Находить нам их не надо. )

Итак, единственное допустимое значение параметра — это a = 4. При прочих значениях «a» корней у уравнения не будет.

Ответ: 4

Теперь рассмотрим систему.

Пример 7

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждого из найденных значений a.

Не пугаемся огромных степеней! На самом деле, это сделано как раз для того, чтобы запугать решающего. Не более.) Но мы же не будем поддаваться на такие глупые уловки, правда? 🙂

Запоминаем такую простую вещь. Если в задаче тусуются синусы и косинусы в очень больших степенях, то в 99% случаев срабатывает самая обыкновенная оценка синуса и косинуса по модулю, и огромные степени в таких задачах сводятся к обычным квадратам и (очень часто!) основному тригонометрическому тождеству, после чего дальнейшее решение становится очень простым и понятным. Посмотрим, как это работает на примере нашей страшной, на первый взгляд, системы.

Берём, например, левую часть первого уравнения:

Мы знаем, что синус и косинус всегда заключены в отрезке [-1; 1]. Иными словами, это какие-то дробные числа, по модулю меньшие (либо равные) единице. А теперь подумаем: чем больше степень такого числа, тем меньше по модулю будет результат. Возьмём для конкретики, например, число 0,5. Тогда будет справедлива такая цепочка неравенств:

То же самое будет и с любым синусом или косинусом. Это значит, что

Знак нестрогого неравенства здесь поставлен из-за того, что, например, при обнулении аргумента , т.е. при x = 1 у нас достигается равенство:

Теперь сложим почленно эти два неравенства:

Это значит, что левая часть не больше единички.

Та же самая оценка левой части будет справедлива и для остальных уравнений:

;

Таким образом, все левые части наших уравнений не больше единички.

Разбираемся теперь с правыми частями. Во-первых, квадратный трёхчлен. Тот, что с параметром. Он в каждом уравнении один и тот же. Выделим полный квадрат и оценим:

А теперь анализируем всю конструкцию справа (например, у первого уравнения)

Радикалы — в любом случае неотрицательные величины. А это значит, что вся правая часть — не меньше единички:

Причём равенство достигается только при a = 2 и y = 2, z = 3.

Ну вот. А теперь берём каждое уравнение и состыковываем все наши оценки:

Из этих оценок теперь отлично видно, что вся наша страшная система будет иметь решение лишь при a = 2, и это решение (1; 2; 3). При прочих значениях параметра правая часть любого из уравнений будет строго больше левой, и решений система иметь не будет.

Ответ: (1; 2; 3) при a = 2. При прочих a решений нет.

И последняя задачка, которую мы рассмотрим в данном уроке, — это уже типичная задачка из ЕГЭ. Поэтому собираем волю в кулак, устраиваемся поудобнее, запасаемся ~~попкорном~~ терпением и читаем/смотрим. 🙂

Пример 9

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Задачка эта требует достаточно кропотливого решения. Тем не менее его вполне можно провести, если чётко видеть цель. Я не просто подробно оформлю решение этой задачи, но и объясню, как именно надо «видеть цель». 🙂 Итак, начнём.)

Во-первых, неплохо было бы растащить по разным частям логарифм и линейные конструкции с модулями. Пока они у нас намешаны в одну кучу. Действуем:

Так, что дальше? Дальше можно упростить аргумент логарифма: там явно напрашивается выделение полного квадрата. Упрощаем:

Прекрасно! Значит, всё наше злое уравнение перепишется вот в таком виде:

Всё. Дальнейшим упрощениям это уравнение уже не поддаётся. Теперь будем анализировать каждую функцию — слева и справа.

Пусть левая функция с логарифмом у нас будет f(x), а правая – g(x):

Функции разнородны. Причём обе непрерывны на всей числовой прямой. Разнородность подаёт нам знак, что нужно пробовать применять метод оценок. Начнём с логарифма — он проще. 🙂

Что можно сказать про аргумент логарифма? Квадратичная функция 2(x-5a)²+15, которая сидит внутри логарифма, как и любая парабола ветвями вверх, убывает от до точки (вершины), а потом возрастает. Поэтому в этой точке аргумент логарифма достигает своего наименьшего значения. Стало быть, и сам логарифм по основанию 15 от этой функции в точке также будет достигать своего наименьшего значения, так как функция y = log₁₅x монотонно возрастает. Итак, вся наша функция f(x) ограничена снизу числом f(5a):

Итого, наш логарифм ограничен снизу числом 25.

А вот со второй функцией

ситуация будет поинтереснее. 🙂 Давайте для начала мысленно представим, как будет выглядеть график этой функции. Переменная икс везде стоит в первой степени, только внутри модулей. Стало быть, в результате раскрытия каждого модуля будет получаться какая-то линейная функция y = kx+b. На каждом промежутке — своя. И поэтому график функции g(x) будет представлять собой ломаную линию, состоящую из кусочков прямых.

Но здесь есть одна существенная проблема: нули подмодульных выражений и зависят от параметра. Который может быть каким угодно — положительным или отрицательным. И, в зависимости от знака параметра a, расположение точек и на числовой прямой будет различным. Поэтому исследование нашей функции g(x) надо разветвлять на два случая: и a < 0.

Случай 1 (a ≥ 0)

Начнём со случая . В этом случае точка на числовой прямой находится левее точки . И теперь раскрытие модулей по промежуткам не составляет никаких затруднений.

1.1) . Оба модуля раскрываются с минусом:

Значит, на этом интервале наша функция g(x) – часть возрастающей прямой с угловым коэффициентом . Переходим к следующему промежутку.

1.2) . Модули раскрываются с разными знаками:

На этом интервале получили убывающую прямую с угловым коэффициентом . Идём дальше.

1.3) . Оба модуля раскрываются с плюсом:

Здесь наша функция ещё сильнее убывает. 🙂 Угловой коэффициент .

Итак, все три подслучая рассмотрены. A теперь — собираем воедино результаты наших исследований и рисуем схематичный график. 🙂

Зачем мы нарисовали этот график? А затем, что из графика теперь хорошо видно, что наша функция g(x) в точке достигает своего наибольшего значения. То есть, ограничена сверху числом g(5a).

Сосчитаем это число:

Теперь вспоминаем — чего от нас хотят-то? А то так и про основной вопрос задачи невольно забываешь.) Нас просят решить уравнение f(x) = g(x).

При этом про функции f и g мы знаем, что в одной и той же точке они достигают своих экстремальных значений: f – наименьшего, а g – наибольшего. Стало быть, чтобы уравнение f(x) = g(x) имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы

Да! В данной ситуации это требование является как необходимым, так и достаточным, потому что экстремальные значения принимаются функциями в одной точке, а не в разных. Смотрим на картинку, почему это так:

Остаётся решить неравенство:

А теперь главное — вспомнить, что здесь мы рассматриваем только .

А значит, нам нужно одновременное выполнение этих двух требований:

Нетрудно доказать, что число положительно, а значит весь наш полученный отрезок целиком и полностью удовлетворяет условию .

Итого, первый кусок окончательного ответа — это отрезок

Случай 2 (a ≤ 0)

Рассматриваем теперь отрицательные значения параметра: a < 0.

В этом случае будет всё наоборот — точка будет правее точки . Раскрываем модули, никуда не денешься (а я предупреждал, что решение достаточно трудоёмкое, хоть и не такое сложное :)).

2.1)

Функция g(x) – часть возрастающей прямой с угловым коэффициентом .

2.2)

Функция g(x) – часть возрастающей прямой с угловым коэффициентом .

2.3)

Функция g(x) – часть убывающей прямой с угловым коэффициентом .

Снова рисуем картинку:

И снова замечаем, что наша функция g(x) достигает своего наибольшего значения в той же самой точке . То есть, снова ограничена сверху числом g(5a). Считаем это число:

Думаю, уже особо комментировать не нужно, что нам снова надо решить неравенство:

Решаем:

Получили одно единственное решение неравенства — минус пять. Бывает.) Естественно, требованию минус пятёрка вполне себе удовлетворяет. 🙂 Значит, ещё одним куском ответа является изолированная точка {-5}.

Фуух! Ну что, поздравляю всех, кто дочитал и особенно — тех, кто разобрался! Осталось лишь обе части ответа сложить в кучу.

Ответ:

Всё, задача полностью решена. 🙂

Заключение:

Если слева и справа стоят функции разной природы, то пробуем оценивать левую и правую части. Помогает в 99% случаев.

Не боимся «страшного» вида задачи. 🙂 В большинстве случаев, как ни парадоксально, чем страшнее и безнадёжнее выглядит задача, тем проще её свести к нескольким простейшим, которые уже решаются по стандартной технологии. Как? Оцениваем сначала внешний вид конструкции, выявляем её тип — сумма взаимно обратных величин, квадратный трёхчлен, синусы, модули и т.п. А потом — оцениваем саму конструкцию. Уже теми приёмами и методами, что приведены в этом материале. 🙂

Также не боимся ситуации, когда число уравнений меньше числа неизвестных. Как правило, недостающее звено легко получить, используя те же самые разобранные нами оценки.

Тренируемся и набиваем руку! Без серьёзного опыта здесь — никак. В продаже появилось несметное количество сборников задач ЕГЭ, методичек именно по задачам с параметрами с огромным количеством задач для тренировки. На моём сайте тоже обязательно будут разбираться различные задачи с параметрами из ЕГЭ и даже с мехмата. И обязательно будут задачи для самостоятельного решения. 🙂 В особом разделе, который на пятёрку. 🙂

А у меня на сегодня всё. Всем спасибо за внимание и до новых встреч! 🙂

Источник

Ограниченность функции

Функция у = f(x) называется ограниченной, если ее область значений ограничена, т. е. если все ее значения лежат на каком-нибудь конечном промежутке. В противном случае функцию называют неограниченной.
Примеры функций, ограниченных на всей области определения:

Замечание 1. Можно дать следующее определение ограниченности функции: функция у = f(x) называется ограниченной на всей области определения D(f), если существует такое число С>0, что |f(x)|≤C для каждой точки x∈D(f).
Замечание 2. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве X⊂D(f), если существует такое число С>0, что |f(x)|≤C для каждого х є X.
Функция, ограниченная на некотором множестве X⊂D(f), может быть неограниченной на всей области определения. Например, функция у = 1/х ограничена при х є [1/10;10], но на всей области определения она является неограниченной.

Монотонность функции

Функция у = f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента хєX соответствует большее значение функции f(x), т. е. для любых x1,х2ЄX из x2>x1 => f(x2)>f(x1).
Функция у = f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента хєX соответствует меньшее значение функции f(x), т. е. для любых x1,х2ЄX из x2>x1 => f(x2)<f(x1).
Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.
Примеры монотонных функций на всей области определения:

Функция у =x² не является монотонной на всей области определения, однако при хє(—∞;0) она является убывающей, а при хє(0;+∞) у = х² является возрастающей. Функция y=sinx не является монотонной на всей области определения, однако внутри каждого из интервалов

она является возрастающей, а внутри каждого из интервалов

— убывающей.