Как найти окаймляющие миноры – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

В данной теме нам понадобятся такие понятия как минор матрицы и окаймляющий минор. В теме “Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений” есть подробное пояснение этих понятий.

В предыдущей теме было рассмотрено понятие ранга матрицы, а также на примерах показано, как находить ранг по определению. Конечно, находить ранг матрицы таким образом несколько затруднительно, – в первую очередь из-за объёма вычислений. Однако количество вычисляемых миноров можно существенно уменьшить, если использовать так называемый метод окаймляющих миноров.

Суть метода окаймляющих миноров выражается парой пунктов простого алгоритма:

Пусть некий минор $M$ k-го порядка не равен нулю.
Если окаймляющие миноры для минора $M$ (это уже будут миноры (k+1)-го порядка), составить невозможно (т.е. матрица содержит k строк или k столбцов), то ранг равен k. Если окаймляющие миноры существуют и все равны нулю, то ранг равен k. Если среди окаймляющих миноров есть хотя бы один, отличный от нуля, то повторяем для него пункт №1, приняв k+1 вместо k.

Наглядно всё вышеизложенное можно выразить следующей схемой:

Блок-схема

Поясню эту схему более подробно. Станем рассуждать с самого начала, т.е. с миноров первого порядка. Если все миноры первого порядка некоей матрицы $A$ (миноры первого порядка – это элементы матрицы) равны нулю, то $rang A=0$. Если в матрице есть минор первого порядка $M_1neq 0$, то $rang A≥ 1$.

Проверяем окаймляющие миноры для минора $M_1$. Это уже будут миноры второго порядка. Если все миноры, окаймляющие $M_1$, равны нулю, то $rang A=1$. Если среди миноров второго порядка, окаймляющих $M_1$, есть хоть один минор $M_2 neq 0$, то $rang A≥ 2$.

Проверяем окаймляющие миноры для минора $M_2$. Это будут миноры третьего порядка. Если все миноры третьего порядка, окаймляющие $M_2$, равны нулю, то $rang A=2$. Если среди миноров третьего порядка, окаймляющих $M_2$, есть хоть один минор $M_3neq 0$, то $rang A≥ 3$.

Проверяем окаймляющие миноры для минора $M_3$. Если все миноры четвёртого порядка, окаймляющие $M_3$, равны нулю, то $rang A=3$. Если среди миноров четвёртого порядка, окаймляющих $M_3$, есть хоть один минор $M_4neq 0$, то $rang A≥ 4$.

Проверяем все окаймляющие миноры для минора $M_4$, и так далее. В конце концов возможны два случая: либо на каком-то шаге окажется, что все окаймляющие миноры равны нулю, либо окаймляющий минор составить просто не получится, так как в матрице “закончатся” строки или столбцы. Порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы.

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{cccc}
-1 & 2 & 1 & 3 \
-3 & 0 & 5 & 4 \
-5 & 4 & 7 & 10
end{array} right)$ методом окаймляющих миноров.

Решение

Можно, конечно, начать с миноров первого порядка, которые представляют собой просто элементы данной матрицы. Но лучше сразу выбрать какой-либо не равный нулю минор второго порядка, тем паче что такой выбор большой сложности не представляет. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы минора $left|begin{array}{cc}
-1 & 2 \
-3 & 0
end{array} right|$, который несложно вычислить, используя формулу №1 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$
left|begin{array}{cc}
-1 & 2 \
-3 & 0
end{array} right|=-1cdot 0-2cdot (-3)=6.
$$

Итак, существует минор второго порядка, не равный нулю, из чего следует, что $rang A≥ 2$. Рассмотрим миноры третьего порядка, окаймляющие данный минор второго порядка. Как составить окаймляющий минор? Для этого к набору строк и столбцов, на пересечении которых лежат элементы минора второго порядка, нужно добавить ещё одну строку и ещё один столбец. Вспоминаем, что элементы записанного нами минора второго порядка расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2. Добавим к строкам ещё строку №3, а к столбцам – столбец №3. Мы получим минор третьего порядка, элементы которого (они для наглядности показаны в матрице синим цветом) лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3. Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$
left(begin{array}{cccc}
normblue{-1} & normblue{2} & normblue{1} & 3 \
normblue{-3} & normblue{0} & normblue{5} & 4 \
normblue{-5} & normblue{4} & normblue{7} & 10
end{array} right);;

left|begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 1 \
-3 & 0 & 5 \
-5 & 4 & 7
end{array} right|
=0.
$$

Окаймляющий минор равен нулю. О чём это говорит? Это говорит о том, что нам нужно продолжить нахождение окаймляющих миноров. Либо они все равны нулю (и тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хотя бы один, отличный от нуля.

Элементы второго окаймляющего минора лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №4. В матрице для наглядности элементы этого минора показаны зелёным цветом. Сразу вычислим данный минор, используя всё ту же формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$
left(begin{array}{cccc}
normgreen{-1} & normgreen{2} & 1 & normgreen{3} \
normgreen{-3} & normgreen{0} & 5 & normgreen{4} \
normgreen{-5} & normgreen{4} & 7 & normgreen{10}
end{array} right);;

left|begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \
-3 & 0 & 4 \
-5 & 4 & 10
end{array} right|=0.
$$

И этот окаймляющий минор равен нулю. Иных окаймляющих миноров нет. Следовательно, все окаймляющие миноры равны нулю. Порядок последнего составленного ненулевого минора равен 2. Вывод: ранг равен 2, т.е. $rang A=2$.

Ответ: $rang A=2$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 0 & 4 & 5\
3 & 6 & -2 & -1 & -3\
-2 & -4 & 2 & 5 & 7\
-1 & -2 & 2 & 9 & 11
end{array} right)$ методом окаймляющих миноров.

Решение

Вновь, как и в предыдущем примере, начнём решение с выбора минора второго порядка, не равного нулю. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы минора $left|begin{array}{cc}
1 & 2 \
3 & 6
end{array} right|$, который несложно вычислить, используя формулу №1 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$
left|begin{array}{cc}
1 & 2 \
3 & 6
end{array} right|=1cdot 6-2cdot 3=0.
$$

Данный минор второго порядка равен нулю, т.е. выбор неудачен. Возьмём иной минор второго порядка. Например, тот, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2, №3:

$$
left|begin{array}{cc}
2 & 0 \
6 & -2
end{array} right|=-4.
$$

Итак, ненулевой минор второго порядка существует, поэтому $rang A≥ 2$. Обозначим этот минор как $M_2$ и станем окаймлять его минорами третьего порядка. Например, добавим к строкам и столбцам, на которых расположены элементы $M_2$, ещё строку №3 и столбец №1. Т.е. найдём минор третьего порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3. Используем для этого формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков. Подробные вычисления я приводить не стану, запишем лишь ответ:

$$
left|begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \
3 & 6 & -2 \
-2 & -4 & 2
end{array} right|=0.
$$

Этот минор равен нулю, значит нужно переходить к иному окаймляющему минору. Либо все миноры третьего порядка, окаймляющие $M_2$, равны нулю, либо среди них всё-таки найдётся хоть один, отличный от нуля.

Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4. Этот минор тоже окаймляет $M_2$:

$$
left|begin{array}{ccc}
2 & 0 & 4 \
6 & -2 & -1 \
-4 & 2 & 5
end{array} right|=0.
$$

И вновь минор третьего порядка, окаймляющий $M_2$, равен нулю. Значит, переходим к иному минору третьего порядка. Возьмём минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №5. Этот минор тоже окаймляет $M_2$:

$$
left|begin{array}{ccc}
2 & 0 & 5 \
6 & -2 & -3 \
-4 & 2 & 7
end{array} right|=4.
$$

Итак, среди миноров третьего порядка, окаймляющих $M_2$, есть минор, не равный нулю, откуда следует $rang A≥ 3$. Обозначим этот ненулевой минор как $M_3$. Элементы минора $M_3$ лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №5. Станем окаймлять минор $M_3$ минорами четвёртого порядка. Для начала возьмём минор четвёртого порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3, №4 и столбцов №1, №2, №3, №5. Этот минор окаймляет $M_3$. Его значение найти несложно, если использовать, например, разложение по строке или по столбцу:

$$
left|begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 5\
3 & 6 & -2 & -3\
-2 & -4 & 2 & 7\
-1 & -2 & 2 & 11
end{array} right|=0.
$$

Аналогично, рассматривая минор четвёртого порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4, №5, получим:

$$
left|begin{array}{cccc}
2 & 0 & 4 & 5\
6 & -2 & -1 & -3\
-4 & 2 & 5 & 7\
-2 & 2 & 9 & 11
end{array} right|=0.$$

Иных окаймляющих миноров для минора $M_3$ нет. Все миноры четвёртого порядка, окаймляющие $M_3$, равны нулю. Последний ненулевой минор, т.е. $M_3$, был третьего порядка. Вывод: ранг равен 3, т.е. $rang A=3$.

Ответ: $rang A=3$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccccc}
-1 & 3 & 2 & 4 & 1\
0 & -2 & 5 & 0 & -3\
1 & -5 & 3 & 7 & 6
end{array} right)$ методом окаймляющих миноров.

Решение

Снова начинаем решение с выбора минора второго порядка, не равного нулю. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы минора $left|begin{array}{cc}
-1 & 3 \
0 & -2
end{array} right|$, который вычисляем, используя формулу №1 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$
left|begin{array}{cc}
-1 & 3 \
0 & -2
end{array} right|=2.
$$

Данный минор (обозначим его $M_2$) не равен нулю, посему именно его мы и станем окаймлять минорами третьего порядка. Например, добавим к строкам и столбцам, на которых расположены элементы $M_2$, ещё строку №3 и столбец №3. Т.е. найдём минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3. Используем для этого формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков:

$$
left|begin{array}{ccc}
-1 & 3 & 2 \
0 & -2 & 5 \
1 & -5 & 3
end{array} right|=0.
$$

Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №4. Этот минор тоже окаймляет $M_2$:

$$
left|begin{array}{ccc}
-1 & 3 & 4 \
0 & -2 & 0 \
1 & -5 & 7
end{array} right|=22.
$$

Итак, среди миноров третьего порядка, окаймляющих $M_2$, есть хоть один, не равный нулю. Миноры четвёртого порядка мы образовать уже не можем, так как для них потребуется 4 строки, а в матрице $A$ всего 3 строки. Посему, так как последний ненулевой минор был третьего порядка, то ранг равен 3, т.е. $rang A=3$.

Ответ: $rang A=3$.

Источник

Перед тем как начать знакомство с темой, необходимо повторить правила нахождения определителей второго, третьего и высших порядков. Также необходимо знать, что детерминант 1-го порядка — число. Рассмотрим 2 метода вычисления ранга матриц.

Онлайн-калькулятор

Метод окаймляющих миноров

Для нахождения ранга матрицы данным методом требуется уметь находить миноры матриц.

Ранг матрицы

Рангом матрицы QQ называется наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от 00.

При этом ранг матрицы не может превышать порядка матрицы: 0⩽rang Qm×n⩽min(m,n)0leqslant rang Q_{mtimes n}leqslant min (m, n).

Обозначить ранг матрицы QQ можно следующим образом: rang Qrang Q или r(Q)r(Q).

Если ранг матрицы QQ равен rr, то это означает, что в матрице QQ имеется отличный от нуля минор порядка rr. При этом всякий минор порядка больше, чем rr равен нулю.

Исходя из определения ранга матрицы, следует, что если все миноры первого порядка (т. е. элементы матрицы QQ) равны 00, то rang Q=0rang Q=0. Если один из миноров первого порядка отличен от 00, а все миноры второго порядка равны 00, то rang Q=1rang Q=1. Если все миноры kk-го порядка равны 00, или миноров kk-го порядка не существует, то rang Q=k−1rang Q=k-1.

Рассмотрим примеры нахождения ранга матриц данным методом.

Пример 1

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

F=(03−1210−2−10)F=begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}.

Данная матрица имеет размер 3×33times3, поэтому ее ранг не может быть больше 33, т.е. rang F⩽3rang Fleqslant3.

Перейдем к вычислению ранга матрицы.

Среди миноров 1-го порядка (т.е. элементов определителя) есть хотя бы один, не равный 00, поэтому rang F≥1rang Fgeq1.

Перейдем к проверке миноров 2-го порядка. Например, на пересечении строк №1 и №2 и столбцов №1 и №2 получим минор: ∣0321∣=0⋅1−2⋅3=0−6=−6begin{vmatrix}0&3\2&1end{vmatrix}=0cdot1-2cdot3=0-6=-6. Значит, среди миноров 2-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang F≥2rang Fgeq2.

Перейдем к проверке миноров 3-го порядка. Минор 3-го порядка — определитель матрицы FF, поскольку она состоит из 3 строк и 3 столбцов: ∣03−1210−2−10∣=0begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0. Значит, ранг матрицы FF равен 22, или rang F=2rang F=2.

Пример 2

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

K=(21−23−121213−15−2−21243−31)K=begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Данная матрица имеет размер 5×45times4. Из чисел 55 и 44 минимальным является 44, поэтому ее ранг не может быть больше 44, а значит rang K⩽4rang Kleqslant4.

Перейдем к вычислению ранга матрицы.

Среди миноров 1-го порядка (т.е. элементов определителя) есть хотя бы один, не равный 00, поэтому rang K≥1rang Kgeq1.

Перейдем к проверке миноров 2-го порядка. Например, на пересечении строк №1 и №2 и столбцов №1 и №2 получим минор: ∣21−12∣=2⋅2−(−1)⋅1=4+1=5begin{vmatrix}2&1\-1&2end{vmatrix}=2cdot2-(-1)cdot1=4+1=5. Значит, среди миноров 2-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang K≥2rang Kgeq2.

Перейдем к проверке миноров 3-го порядка. Например, на пересечении строк №1, №3 и №5 и столбцов №2, №3 и №4 получим минор:

∣1−233−153−31∣=1⋅(−1)⋅1+(−2)⋅5⋅3+3⋅(−3)⋅3−3⋅(−1)⋅3−(−2)⋅1⋅3−1⋅5⋅(−3)=−1−30−27+9+6+15=−28begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\3&-3&1end{vmatrix}=1cdot(-1)cdot1+(-2)cdot5cdot3+3cdot(-3)cdot3-3cdot(-1)cdot3-(-2)cdot1cdot3-1cdot5cdot(-3)=-1-30-27+9+6+15=-28.

Значит, среди миноров 3-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang K≥3rang Kgeq3.

Перейдем к проверке миноров 4-го порядка. Например, на пересечении строк №1, №2, №3 и №4 и столбцов №1, №2, №3 и №4 получим минор:

∣21−23−121213−15−2−212∣=2(−1)1+1∣2123−15−212∣−(−1)2+1∣1−233−15−212∣+(−1)3+1∣1−23212−212∣−2(−1)4+1∣1−232123−15∣=2(−1)2∣2123−15−212∣−(−1)3∣1−233−15−212∣+(−1)4∣1−23212−212∣−2(−1)5∣1−232123−15∣=2∣2123−15−212∣+∣1−233−15−212∣+∣1−23212−212∣+2∣1−232123−15∣=2(−4+6−10−4−10−6)−2+9+20−6−5+12+2+6+8+6−2+8+2(5−6−12−9+2+20)=−56+56+0=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2end{vmatrix}=2(-1)^{1+1}begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}-(-1)^{2+1}begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+(-1)^{3+1}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}-2(-1)^{4+1}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2(-1)^{2}begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}-(-1)^{3}begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+(-1)^{4}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}-2(-1)^{5}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}+2begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2(-4+6-10-4-10-6)-2+9+20-6-5+12+2+6+8+6-2+8+2(5-6-12-9+2+20)=-56+56+0=0.

Остальные миноры 4-го порядка также равны нулю:
∣21−23−121213−1543−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣21−23−1212−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣21−2313−15−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣−121213−15−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0.

Значит, ранг матрицы KK равен 33, или rang K=3rang K=3.

Данный метод не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого количества определителей. Рассмотрим метод нахождения ранга матриц, который наиболее часто применяется на практике.

Метод Гаусса (метод элементарных преобразований)

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется количество ненулевых строк матрицы после ее приведения к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований над строками и столбцами.

Рассмотрим суть данного метода на примерах.

Пример 1

Найти ранг матрицы методом Гаусса F=(03−1210−2−10)F=begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}.

Приведем матрицу FF с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(03−1210−2−10)∼(21003−1−2−10)begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\-2&-1&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 1:

(21003−1−2−10)∼(21003−1000)begin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\-2&-1&0end{pmatrix}simbegin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\0&0&0end{pmatrix}.

С помощью элементарных преобразований мы привели матрицу FF к ступенчатому виду. В ней остались 2 ненулевые строки, следовательно, rang F=2rang F=2.

Пример 2

Найти ранг матрицы методом Гаусса

K=(21−23−121213−15−2−21243−31)K=begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Приведем матрицу KK с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(21−23−121213−15−2−21243−31)∼(−121221−2313−15−2−21243−31)begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №2 и №4:

(−121221−2313−15−2−21243−31)∼(−1212−2−21213−1521−2343−31)begin{pmatrix}-1&2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\1&3&-1&5\2&1&-2&3\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №3 и №4:

(−1212−2−21213−1521−2343−31)∼(−1212−2−21221−2313−1543−31)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\1&3&-1&5\2&1&-2&3\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №4 и №5:

(−1212−2−21221−2313−1543−31)∼(−1212−2−21221−2343−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(−1212−2−21221−2343−3113−15)∼(−12120−6−1−221−2343−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 2:

(−12120−6−1−221−2343−3113−15)∼(−12120−6−1−2050743−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №1, умноженную на 4:

(−12120−6−1−2050743−3113−15)∼(−12120−6−1−205070111913−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №1, умноженную на 1:

(−12120−6−1−205070111913−15)∼(−12120−6−1−20507011190507)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №3, умноженную на 1:

(−12120−6−1−20507011190507)∼(−12120−1−150507011190507)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №3, умноженную на -1:

(−12120−1−150507011190507)∼(−12120−1−150507011190000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 5:

(−12120−1−150507011190000)∼(−12120−1−1500−532011190000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 11:

(−12120−1−1500−532011190000)∼(−12120−1−1500−53200−10640000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&-10&64\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на -2:

(−12120−1−1500−53200−10640000)∼(−12120−1−1500−53200000000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&-10&64\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&0&0\0&0&0&0end{pmatrix}.

С помощью элементарных преобразований мы привели матрицу KK к ступенчатому виду. В ней остались 3 ненулевые строки, следовательно, rang K=3rang K=3.

Любым из рассмотренных методов можно найти ранг матрицы.

Наши эксперты готовы оказать вам помощь с решением задачи онлайн по самым низким ценам!

Тест по теме «Ранг матрицы»

Источник

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Определение 1

Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет -1302=(-1)×2-3×0=-2

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0011=0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

003112-1-40=0×1×0+0×2×(-1)+3×1×(-4)-3×1×(-1)-0×1×0-0×2×(-4)=-9

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

k≤min(p, n)=min (3, 4)=3

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

Cpk×Cnk, где Сpk=p!k!(p-k)! и Cnk=n!k!(n-k)! — число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Определение 2

Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Обозначение 1

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Определение 3

Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров:

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Пример 2

Найти ранг матрицы:

А=-11-1-202260-443111-7

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Минор 2-го порядка -1122=(-1)×2-1×2=4 отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.

Перебираем миноры 3-го порядка: С33×С53=15!3!(5-3)!= 10 штук.

-11-12264311=(-1)×2×11+1×6×4+(-1)×2×3-(-1)×2×4-1×2×11-(-1)×6×3=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1-22604111=(-1)×6×1+(-1)×0×4+(-2)×2×11-(-2)×6×4-(-1)×2×1-(-1)×0×11=0

-11-2220431=(-1)×2×1+1×0×4+(-2)×2×3-(-2)×2×4-1×2×1-(-1)×0×3=0

-1-1026-4411-7=(-1)×6×(-7)+(-1)×(-4)×4+0×2×11-0×6×4-(-1)×2×(-7)-(-1)×(-4)×11=0

1-1026-4311-7=1×6×(-7)+(-1)×(-4)×3+0×2×11-0×6×3-(-1)×2×(-7)-1×(-4)×11=0

1-2020-431-7=1×0×(-7)+(-2)×(-4)×3+0×2×1-0×0×3-(-2)×2×(-7)-1×(-4)×1=0

-1-2060-4111-7=(-1)×0×(-7)+(-2)×(-4)×11+0×6×1-0×0×11-(-2)×6×(-7)-(-1)×(-4)×1=0

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Ответ: Rank (A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Определение 3

Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Окаймляющий минор — минор Mok(k+1) -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору Mok , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.

Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору Mok , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Пример 3

Найти ранг матрицы:

А=120-13-2037134-21100365

Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка М=2-141

Записываем все окаймляющие миноры:

12-1-207341,20-10374-21,2-13071411,12-1341006,20-14-21036,2-13411065.

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Теорема 1

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Алгоритм действий:

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Пример 4

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

А=210-134210-12111-40024-14

Как решить?

Поскольку элемент а11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

2142=2×2-1×4=02041=2×1-0×4=2

Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю 2041.

Осуществим перебор окаймляющих миноров — (их(4-2)×(5-2)=6 штук).

210421211=0; 20-1410211=0; 20341-121-4=0;210421002=0; 20-1410024=0; 20341-102-14=0

Ответ: Rank(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

Элементарные преобразования:

путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Определение 5

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований: привести матрицу ,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.

Для чего?

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-2b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01000⋯00⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00, Rank(A)=n

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k

для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1pb1p+1⋯b1n01b23⋯b2pb2p+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bpp+1⋯bpn, Rank(A)=p

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0

для квадратных матриц А порядка n на n:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-1b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01, Rank(A)=n

или

A~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k, k<n

Пример 5

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411

Как решить?

Поскольку элемент а11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1а11=12:

А=21-26300-11-12-75-24-1572-411~

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

~А(1)=112-13300-11-12-75-24-1572-411~А(2)==112-133+1(-3)0+12(-3)0+(-1)(-3)-1+3(-3)1+1(-3)-1+12(-3)2+(-1)(-1)-7+3(-1)5+1(-5)-2+12(-5)4+(-1)(-5)-15+3(-5)7+1(-7)2+12(-7)-4+(-1)(-7)11+3(-7)=

=112-130-323-100-323-100-929-300-323-10

Элемент а22(2) отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А(2) на 1а22(2)=-23:

А(3)=112-1301-22030-323-100-929-300-323-10~А(4)=112-1301-22030-32+1323+(-2)32-10+203×320-92+1929+(-2)92-30+203×920-32+1323+(-2)32-10+203×32==112-1301-2203000000000000

К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки ,которые умножены на 32;
к элементам 4-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 92;
к элементам 5-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 32.

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований ,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank (A(4))=2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Замечание

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Источник

Методы вычисления ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Находить ранг матрицы по определению — вычисляя миноры всех порядков — очень трудоемкая операция. Следующий алгоритм позволяет уменьшить число рассматриваемых миноров.

Пусть дана матрица размеров mtimes n . Будем говорить, что минор $M_{i_1i_2ldots i_ki_{k+1}}^{j_1j_2ldots j_kj_{k+1}}$ (k+l)-ro порядка окаймляет (содержит в себе) минор $M_{i_1i_2ldots i_k}^{j_1j_2ldots j_k}$ k-го порядка. При описании метода индексы выбранных строк и столбцов, в которых располагается минор, будем указывать, не упорядочивая их по возрастанию. При этом рассматриваемый минор и минор с упорядоченными индексами равны по абсолютной величине и, быть может, отличаются по знаку, но это для метода окаймляющих миноров не имеет никакого значения, поскольку нас интересует только ответ на вопрос: равен минор нулю или нет.

1. Выбираем строку i_1 и столбец j_1 так, чтобы минор 1-го порядка $M_{j_1}^{i_1}=a_{i_1j_1}$ был не равен нулю. Если это возможно, то operatorname{rg}Ageqslant1 , иначе процесс завершается и operatorname{rg}A=1 .

2. Окаймляем минор $M_{j_1}^{i_1}ne0$ , добавляя к выбранным i_1 -ой строке и j_1 -му столбцу еще строку i_2ne i_1 и столбец j_2ne j_1 так, чтобы минор

$M_{j_1j_2}^{i_1i_2}=begin{vmatrix}a_{i_1j_1}&a_{i_1j_2}\ a_{i_2j_1}& a_{i_2j_2} end{vmatrix}ne0.$

Если это возможно, то operatorname{rg}Ageqslant2 , иначе процесс завершается и operatorname{rg}A=2 .

3. Окаймляем минор $M_{j_1j_2}^{i_1i_2}ne0$ , добавляя к выбранным ранее строкам и столбцам новую строку i_3 и новый столбец j_3 так, чтобы получить минор $M_{j_1j_2j_3}^{i_1i_2i_3}ne0$ . Если это удалось, то operatorname{rg}Ageqslant3 , иначе процесс завершается и operatorname{rg}A=3 .

Продолжаем процесс окаймления, пока он не завершится. Пусть найден минор r-го порядка $M_{j_1ldots j_r}^{i_1ldots i_r}ne0$ , т.е. operatorname{rg}Ageqslant r . Однако, все миноры (r+l)-ro порядка, окаймляющие его, равны нулю $M_{j_1j_2ldots j_rj_{r+1}}^{i_1i_2ldots i_ri_{r+1}}=0$ или не существуют (при r=m или r=n ). Тогда процесс завершается и operatorname{rg}A=r .

Пример 3.6. Методом окаймляющих миноров найти ранги матриц

$O=begin{pmatrix}0&0\0&0end{pmatrix}!,quad A=begin{pmatrix}3&9\ 2&4 end{pmatrix}!,quad B=begin{pmatrix}0&2&3\ 2&4&6end{pmatrix}!,quad C=begin{pmatrix} 1&0&2&1&3\ 2&0&1&1&3\ 3&0&3&2&5end{pmatrix}!.$

Решение. Матрица . 1. В этой матрице нет отличных от нуля миноров первого порядка, так как все ее элементы равны нулю. Поэтому operatorname{rg}O=o .

Матрица . 1. Выбираем первую строку (i_1=1) и первый столбец (j_1=1) матрицы , на пересечении которых стоит ненулевой элемент $a_{11}=3ne0$ . Получили минор M_1^1=3ne0 . Следовательно, operatorname{rg}Ageqslant1 .

2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку i_2=2 и еще один столбец j_2=2 . Получаем отличный от нуля минор второго порядка

$M_{12}^{12}= det{A}= begin{vmatrix}3&9\2&4end{vmatrix}=-6ne0$ Следовательно, operatorname{rg}Ageqslant2 .

3. Поскольку исчерпаны все строки и все столбцы матрицы , миноров, окаймляющих $M_{12}^{12}ne0$ , нет. Следовательно, operatorname{rg}A=2 .

Матрица . 1. Выбираем первую строку и второй столбец матрицы , на пересечении которых стоит ненулевой элемент $b_{12}=2ne0$ . Получили минор M_2^1=2ne0 . Следовательно, operatorname{rg}Bgeqslant1 .

2. Добавляем к уже выбранным вторую строку и третий столбец. Получаем минор второго порядка $M_{23}^{12}=begin{vmatrix}2&3\4&6end{vmatrix}=0$ . Выбор оказался неудачным, так как получили нулевой минор. Вместо третьего столбца возьмем первый. Тогда получим отличный от нуля минор второго порядка $M_{21}^{12}= begin{vmatrix}2&0\4&2end{vmatrix}=4ne0$ . Следовательно, operatorname{rg}Bgeqslant2 .

3. Все строки матрицы исчерпаны. Миноров третьего порядка нет. Поэтому operatorname{rg}B=2 .

Матрица . 1. Выбираем первую строку (i_1=1) и первый столбец (j_1=1) матрицы , на пересечении которых стоит ненулевой элемент $a_{11}=1ne0$ . Получили минор $M_{1}^{1}=1ne0$ . Следовательно, operatorname{rg}Cgeqslant1 .

2. Добавляем к выбранным строке и столбцу еще одну строку i_2=2 и еще один столбец j_2=2 . Получили минор второго порядка $M_{12}^{12}= begin{vmatrix}1&0\2&0end{vmatrix}$ . Выбор второго столбца оказался неудачным, так как получили минор, равный нулю. Возьмем вместо второго третий столбец (j_2=3) . Получим минор $M_{13}^{12}= begin{vmatrix}1&2\2&1end{vmatrix}=-3ne0$ . Следовательно, operatorname{rg}Cgeqslant2 .

3. Окаймляем минор $M_{13}^{12}ne0$ . Имеется три окаймляющих минора

$M_{134}^{123}= begin{pmatrix}1&2&1\ 2&1&1\ 3&3&2end{pmatrix}=0,quad M_{135}^{123}= begin{pmatrix}1&2&3\ 2&1&2\ 3&3&5end{pmatrix}=0,quad M_{132}^{123}= begin{pmatrix}1&2&0\ 2&1&0\ 3&3&0end{pmatrix}=0.$

Три определителя равны нулю, так как третья строка равна сумме первых двух строк. Следовательно, нельзя найти отличный от нуля окаймляющий минор 3-го порядка, т.е. ранг матрицы равен 2.

Замечание 3.4. Метод окаймляющих миноров позволяет уменьшить по сравнению с определением количество рассматриваемых миноров. Если в матрице размеров mtimes n выбран минор r-го порядка (r<min{m,n}) , то количество окаймляющих его миноров (r+l)-ro порядка равно (m-r)(n-r) , а общее количество миноров (r+1)-го порядка гораздо больше.

Метод Гаусса нахождения ранга матрицы

Пусть дана матрица размеров mtimes n . Для нахождения ее ранга нужно выполнить следующие действия.

1. Привести матрицу к ступенчатому виду (см. метод Гаусса).

2. В полученной матрице вычислить количество ненулевых строк. Это число равно рангу матрицы .

Замечания 3.5.

1. Обоснованием этого метода служит следствие 2 теоремы 3.4. Базисным минором в матрице ступенчатого вида (см. рис. 1.4) является минор

$M=begin{vmatrix}1&ast&cdots&ast\ 0&1&cdots&ast\ vdots&vdots&ddots&vdots\ 0&0&cdots&1 end{vmatrix},$

составленный из столбцов, содержащих единичные элементы (в начале каждой “ступеньки”). Этот определитель треугольного вида отличен от нуля (равен 1), а любой его окаймляющий минор (если такой найдется) равен нулю, так как содержит нулевую строку.

2. Метод Гаусса для нахождения ранга произвольной матрицы наиболее экономичен, так как требует меньше вычислений, чем другие методы. Конечно, для матриц какого-либо специального вида (блочных, разреженных и т.п.) можно предложить более эффективные методы.

Пример 3.7. Методом Гаусса найти ранги матриц

$O=begin{pmatrix}0&0\0&0end{pmatrix}!,quad A=begin{pmatrix}3&9\2&4 end{pmatrix}!,quad B=begin{pmatrix}0&2&3\2&4&6end{pmatrix}!,quad C=begin{pmatrix} 1&0&2&1&3\ 2&0&1&1&2\ 3&0&3&2&5end{pmatrix}!,quad D=begin{pmatrix}1&2&3\ 0&0&0\ 2&1&3\ 1&1&2\ 3&2&5 end{pmatrix}!.$

Решение. Матрица . 1. Нулевая матрица уже имеет ступенчатый вид (см. п.2 замечаний 1.8).

2. Количество ненулевых строк равно нулю. Следовательно, operatorname{rg}O=0 .

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду (см. пример 1.29):

$Asim begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}!.$

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, operatorname{rg}A=2 .

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду (см. пример 1.29):

$Bsim begin{pmatrix}1&2&3\0&1&1,!5end{pmatrix}!.$

В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, operatorname{rg}B=2 .

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду. Взяв в качестве ведущего элемента $a_{11}=1$ , делаем равными нулю остальные элементы первого столбца: ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (-2), к третьей строке — первую, умноженную на (-3). Получаем матрицу

$C=begin{pmatrix}1&0&2&1&3\ 2&0&1&1&2\ 3&0&3&2&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0&2&1&3\ 0&0&-3&-1&-4\ 0&0&-3&-1&-4end{pmatrix}!,$

У которой имеются две равные строки. По следствию 1 теоремы 3.3 одну из равных строк вычеркиваем:

$Csim begin{pmatrix}1&0&2&1&3\ 0&0&-3&-1&-4end{pmatrix}!.$

Получили матрицу ступенчатого вида (см. п. 1 замечаний 1.8).

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, operatorname{rg}C=2 .

Матрица . 1. Приводим матрицу к ступенчатому виду. Вычеркнув предварительно нулевую строку, берем в качестве ведущего элемента $a_{11}=1$ , и делаем равными нулю остальные элементы первого столбца:

$Dsim begin{pmatrix}1&2&3\ 2&1&3\ 1&1&2\ 3&2&5 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&2&3\ 0&-3&-3\ 0&-1&-1\ 0&-4&-4end{pmatrix}!.$

Последние три строки матрицы пропорциональны. По следствию 1 теоремы 3.3 две из них можно вычеркнуть:

$Dsim begin{pmatrix}1&2&3\ 0&-1&-1end{pmatrix}!.$

Получили матрицу ступенчатого вида (см. п. 1 замечаний 1.8).

2. В этой матрице две ненулевые строки. Следовательно, operatorname{rg}D=2 .

Заметим, что operatorname{rg}C=operatorname{rg}D , так как D=C^T (см. следствие 1 теоремы 3.4).

Пример 3.8. Даны матрицы

$A=begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}!,quad B=begin{pmatrix}0&0\0&1 end{pmatrix}!,quad C=begin{pmatrix}0&1\1&1end{pmatrix}!.$

Найти ранги матриц: A+B;~A+C;~AB;~AC .

Решение. По определению имеем operatorname{rg}A=1,~ operatorname{rg}B=1,~ operatorname{rg}C=2 . Находим суммы и произведения данных матриц, а также их ранги:

$A+B= begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}+ begin{pmatrix}0&0\0&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}= operatorname{rg}(A+B)=2$ , то есть operatorname{rg}(A+B)= operatorname{rg}A+ operatorname{rg}B ;

$A+C= begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}+ begin{pmatrix}0&1\1&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}1&1\1&1end{pmatrix}= operatorname{rg}(A+C)=1$ , то есть operatorname{rg}(A+C)< operatorname{rg}A+ operatorname{rg}C ;

$Acdot B= begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}!cdot !begin{pmatrix}0&0\0&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}0&0\0&0end{pmatrix}= operatorname{rg}(Acdot B)=0$ , то есть operatorname{rg}(Acdot B)< min{operatorname{rg}A, operatorname{rg}B} ;

$Acdot C= begin{pmatrix}1&0\0&0end{pmatrix}!cdot !begin{pmatrix}0&1\1&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}0&1\0&0end{pmatrix}= operatorname{rg}(Acdot C)=1$ , то есть operatorname{rg}(Acdot C)= min{operatorname{rg}A, operatorname{rg}C} ;

Полученные результаты иллюстрируют справедливость теорем 3.5, 3.6.

См. также Ранг системы столбцов (строк)

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение ранга матрицы, а также методы, с помощью которых его можно найти. Также разберем примеры для демонстрации применения теории на практике.

Определение ранга матрицы
Нахождение ранга матрицы
- Метод окаймляющих миноров
- Приведение матрицы к ступенчатому виду

Определение ранга матрицы

Ранг матрицы – ранг ее системы строк или столбцов. В любой матрице есть ее строчный и столбцовый ранги, которые равны между собой.

Ранг системы строк – это максимальное количество линейно-независимых строк. Аналогичным образом определяется ранг системы столбцов.

Примечания:

Ранг нулевой матрицы (обозначается символом “θ“) любого размера равняется нулю.
Ранг любого ненулевого вектора-строки или вектора-столбца равняется единице.
Если в матрице любых размеров присутствует хотя бы один элемент, не равный нулю, значит ее ранг не меньше единицы.
Ранг матрицы не больше её минимальной размерности.
Элементарные преобразования, выполненные над матрицей, не меняют её ранга.

Нахождение ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Ранг матрицы равняется максимальному порядку ненулевого минора.

Алгоритм следующий: находим миноры от низших порядков к высоким. Если минор n-го порядка не равняется нулю, а все последующие (n+1) равны 0, значит ранг матрицы равен n.

Пример
Чтобы было понятнее, давайте разберем практический пример и найдем ранг матрицы A ниже, пользуясь методом окаймляющих миноров.

Пример матрицы 4 на 4

Решение
Мы имеем дело с матрицей 4×4, следовательно, ее ранг не может быть выше 4. Также в матрице присутствуют ненулевые элементы, значит, ее ранг не меньше единицы. Итак, приступим:

1. Начинаем проверять миноры второго порядка. Для начала берем две строки первого и второго столбцов.

Минор второго порядка матрицы 4 на 4

Минор равняется нулю.

Следовательно переходим к следующему минору (первый столбец остается, а вместо второго берем третий).

Минор второго порядка матрицы 4 на 4

Минор равен 54≠0, следовательно ранг матрицы не меньше двух.

Примечание: Если бы и этот минор оказался равным нулю, мы бы дальше проверили следующие комбинации:

Минор второго порядка матрицы 4 на 4

Если требуется, перебор можно аналогичным образом продолжить со строками:

1 и 3;
1 и 4;
2 и 3;
2 и 4;
3 и 4.

Если бы все миноры второго порядка оказались равными нулю, то ранг матрицы равнялся бы одному.

2. Нам удалось почти сразу найти минор, который нам подходит. Поэтому переходим к минорам третьего порядка.

К найденному минору второго порядка, который дал отличный от нуля результат, добавляем одну строку и один из столбцов, выделенных зеленым цветом (начнем со второго).

Минор третьего порядка матрицы 4 на 4

Минор оказался равным нулю.

Пример расчета минора третьего порядка

Следовательно меняем второй столбец на четвертый. И со второй попытки нам удается найти минор, не равный нулю, значит ранг матрицы не может быть меньше 3.

Пример расчета минора третьего порядка

Примечание: если бы результат снова оказался равным нулю, вместо второй строки мы бы дальше взяли четвертую и продолжили бы поиски “хорошего” минора.

Минор третьего порядка матрицы 4 на 4

3. Теперь остается определить миноры четвертого порядка с учетом найденного ранее. В данном случае он один, который совпадает с определителем матрицы.

Минор четвертого порядка матрицы 4 на 4

Минор равняется 144≠0. А это значит, что ранг матрицы A равняется 4.

Пример расчета минора 4 порядка

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Ранг ступенчатой матрицы равняется количеству её ненулевых строк. То есть все, что нам нужно сделать – это привести матрицу к соответствующему виду, например, с помощью элементарных преобразований, которые, как мы уже упомянули выше, не меняют ее ранг.

Пример
Найдем ранг матрицы B ниже. Мы не берем слишком сложный пример, т.к. наша основная цель – это просто продемонстрировать применение метода на практике.

Пример матрицы три на три

Решение
1. Сначала вычтем из второй строки удвоенную первую.

Пример элементарного преобразования матрицы

2. Теперь отнимем из третьей строки первую, умноженную на четыре.

Пример элементарного преобразования матрицы

Таким образом, мы получили ступенчатую матрицу, в которой количество ненулевых строк равняется двум, следовательно ее ранг, также, равен 2.

Источник

Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Онлайн-калькулятор

Метод окаймляющих миноров

Пример 1

Пример 2

Метод Гаусса (метод элементарных преобразований)

Пример 1

Пример 2

Тест по теме «Ранг матрицы»

Минор матрицы

Ранг матрицы: методы нахождения

Нахождение ранга матрицы по определению

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Методы вычисления ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Метод Гаусса нахождения ранга матрицы

Определение ранга матрицы

Нахождение ранга матрицы

Метод окаймляющих миноров

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Вам также может понравиться

Как найти запчасть по номеру коробки

Как найти подходящий мультик

Как найти структуру смертности

Добавить комментарий Отменить ответ