Как найти окрестность числа

Абсолю́тная
величина́ или мо́дуль, обозначается .
В случае вещественного аргумента —
непрерывная кусочно-линейная функция,
определённая следующим образом:

Обобщением
этого понятия является модуль комплексного
числа , также иногда называемый абсолютной
величиной[1]. Он определяется по формуле:

С
геометрической точки зрения, модуль
вещественного или комплексного числа
есть расстояние между числом и началом
координат. В математике широко
используется тот факт, что геометрически
величина x1-x2
означает расстояние между точками x1
и x2
и, таким образом, может быть использована
как мера близости одной (вещественной
или комплексной) величины к другой.

Окре́стность
точки — множество, содержащее данную
точку, и близкие (в каком-либо смысле)
к ней. Математический анализ

Пусть
ε > 0 произвольное фиксированное число.

Окрестностью
точки x0 на числовой прямой (иногда
говорят ε-окрестностью) называется
множество точек, удаленных от x0 не более
чем на ε, т.е. Oε(x0) = {x: | x − x0 | < ε}.

3. Понятие функции, основные свойства

правило(закон)
соответствия между множествами X и Y,
по которому для каждого элемента из
множества X можно найти один и только
один элемент из множества Y, называется
функцией.

Множество
X всех допустимых действительных
значений аргументаx, при которых функция
y = f (x) определена, называется областью
определения функции.

Множество
Y всех действительных значений y, которые
принимает функция,называется областью
значений функции.

Если
для любых двух значений аргумента x1и
x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f (
x1 ), то функция f (x ) называется возрастающей;

если
для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует
f (x2)< f (x1),то функция f (x ) называется
убывающей.

Функция,
которая только возрастает или только
убывает, называется монотонной.

Функция
называется ограниченной, если существует
такое положительное число M, что |f ( x )|
M для всех значений x .

Если
такого числа не существует, то функция
– неограниченная.

Функция
y = f (x) называется непрерывной в точке
x = a, если :

функция
определена при x = a, т.e. f (a) существует;

существует
конечный предел limxaf(x);

f
(a) = limxaf(x) .

Если
не выполняется хотя бы одно из этих
условий, то функция называется разрывной
в точке x = a.

Если
функция непрерывна во всех точках своей
области определения, то она называется
непрерывной функцией.

Если
для любого x из области определения
функции имеет место: f ( – x ) = f ( x ), то
функция называется чётной;

если
же имеет место: f (-x) = – f (x), то функция
называется нечётной.

4. Основные элементарные функции

Функции,
построенные из основных элементарных
функций с помощью конечного числа
алгебраических действий и конечного
числа операций образования сложной
функции, называются элементарными.

К
ним относят:

Степенные

с целым показателем.

Показательные

Логарифмические

Тригонометрические

Обратные
тригонометрические

Соседние файлы в предмете Высшая математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Определение. Множество вещественных чисел , удовлетворяющих неравенству , называется сегментом или отрезком (обозначается ), а удовлетворяющих строгому неравенству – интервалом (обозначается ). Числа и называются концами, а число – длиной как сегмента , так и интервала .

Определение. Множество вещественных чисел , удовлетворяющих неравенству или , называется полусегментом или полуинтервалом и обозначается соответственно или .

Интервалы и полуинтервалы могут быть и бесконечными. Для обозначения множества вещественных чисел пользуются символом . Знаки и не являются числами, (а являются только символами) и для них нельзя указать соответствующих точек прямой. Поэтому в обозначениях интервалов со стороны таких знаков квадратные скобки не ставят. Сегменты, интервалы и полуинтервалы (конечные и бесконечные) объединяют под общим названием – промежутки.

Определение. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку.

Часто рассматривают симметричную окрестность точки , то есть интервал , при этом называют радиусом окрестности.

Изобразим на прямой окрестность точки 5 радиуса 3:

Для того, чтобы показать, что точка находится в этой окрестности, воспользуемся неравенством . В общем случае – окрестность точки может быть задана неравенством .

Определение. Окрестностью бесконечно удаленной точки называется внешность некоторого отрезка. Симметричной окрестностью точки называется внешность любого отрезка, симметричного относительно нуля.

С помощью неравенств – окрестность бесконечно удаленной точки записывается в виде , или, объединяя в одно неравенство, .

Определение. Точка называется предельной точкой множества, если в любой ее окрестности содержится, по крайней мере, одна точка данного множества, отличная от .

Из определения следует, что в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число точек данного множества. Предельная точка множества может как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

Определение. Точка называется внутренней точкой множества, если она принадлежит этому множеству вместе со своей окрестностью.

Определение. Точка называется граничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему. Сама граничная точка может как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Совокупность граничных точек множества называется его границей.

Определение. Множество, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым, в противном случае – открытым.

Примеры: 1) для множества рациональных чисел граничными являются все точки отрезка как рациональные, так и иррациональные;

2) для множества точек граничными являются сами точки этого множества и нуль.

5.03 Числовая последовательность и ее предел

Если каждому натуральному числу сопоставить вещественное число , тем самым зададим некоторые вещественные числа, определенным образом перенумерованные: имеет номер 1, – номер 2 и т. д. Тогда говорят, что задана последовательность чисел, или числовая последовательность:

, (1)

Которая кратко обозначается .

Числа, составляющие последовательность, называются ее членами, а – общим или -м членом последовательности. В отличие от числового множества, у которого все элементы различны, последовательность может иметь среди своих членов одинаковые, например: или Числовое значение зависит от , то есть является функцией от , поэтому числовая последовательность может рассматриваться как функция натурального аргумента.

Пример 1. Последовательность задана общим членом . Написать члены последовательности.

Решение. , , , .

Для сокращения записей в дальнейшем будем использовать логические символы: квантор общности и квантор существования . Запись означает: любой (всякий) , а – существует (найдется) .

Определение. Последовательность (1) называется ограниченной, если , такое, что выполняется неравенство .

Пример 2. Доказать, что последовательности и – ограниченные, а последовательность – не ограничена.

Решение. Очевидно, что для любого справедливо неравенство . Умножая на 3, получим .

Оценим по модулю общий член последовательности : .

Предположим, что последовательность ограничена сверху, то есть существует число такое, что , тогда или , т. е. неравенство выполняется не для всех , а только для , удовлетворяющих условию , следовательно, не ограничена.

Определение. Число называется пределом числовой последовательности при , если для всякого можно указать номер , такой, что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство .

Обозначают или и говорят, что последовательность сходится к . Если последовательность не имеет конечного предела, то ее называют расходящейся. Заметим, что величина зависит от , которое выбирается произвольно. Чем меньше , тем , вообще говоря, будет больше (за исключением случая, когда последовательность состоит из одинаковых членов). Очевидно, что если и неравенство выполняется при , то оно подавно будет выполняться при .

Пример 3. Показать, что последовательность имеет своим пределом число 1.

Решение. По определению предела числовой последовательности , .

Будем решать последнее неравенство относительно : . Таким образом, получили, что неравенство выполняется не для всех номеров , а только для тех, которые больше , следовательно, за можно взять целую часть числа , то есть . Если окажется, что , то можно взять равным 1. В определении говорится, что может быть любым положительным числом, в частности, если , то , если , то и т. д.

Пример 4. Показать, что последовательность, заданная общим числом , имеет своим пределом число .

Решение. Возьмем любое . Так как , то из неравенства получим , то есть достаточно взять и тогда при .

Пример 5. Показать, что числовая последовательность с общим членом не имеет предела.

Решение. В подробной записи эта последовательность имеет вид:

Будем рассуждать от противного. Пусть последовательность имеет своим пределом некоторое число . Тогда по определению предела для любого , в том числе и для , найдется , что для . Так как принимает попеременно значения 1 и –1, то должно быть и . Тогда получим , то есть , чего быть не может.

Для доказательства того, что некоторое число не является пределом последовательности, достаточно убедиться, что не все требования, сформулированные в определении предела, выполнены. Допустим, что не является пределом данной последовательности. Это значит, что Нельзя для Любого найти соответствующий , о котором говорится в определении, то есть существует хотя бы одно , для которого невозможно найти такого , чтобы неравенство выполнялось бы для всех . Иначе говоря, найдется хотя бы одно значение , для которого .

Пример 6. Доказать, пользуясь определением предела, что число не является пределом последовательности с общим членом .

Решение. Оценим снизу абсолютную величину разности : , так как при любом . Следовательно, если взять в качестве , то и искать в соответствии с определением бессмысленно.

Дадим геометрическое истолкование предела числовой последовательности.

Числовую последовательность можно рассматривать как последовательность точек прямой и о пределе можно говорить как о точке на прямой. Так как неравенство равносильно неравенству , то определение предела можно сформулировать так: точка будет пределом последовательности точек если, какую бы окрестность точки мы ни задали, найдется такое, что все точки последовательности с номерами попадут в заданную окрестность.

Вне этой окрестности может оказаться лишь Конечное число точек .

Общий член последовательности можно рассматривать как переменную, принимающую эту последовательность значений, поэтому предел последовательности (1) называют также и пределом переменной .

Вопросы для самопроверки и упражнения.

1. Дана последовательность точек Все точки этой последовательности, начиная с пятой, находятся в окрестности нуля . Почему из этого, однако, не следует, что точка нуль является пределом данной последовательности?

2. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что . Начиная с какого , будет ?

3. Доказать, что число 1 не является пределом переменной .

4. Привести пример ограниченной последовательности, не имеющей предела.

< Предыдущая		Следующая >

Содержание:

1. Множества действительных чисел
2. Абсолютная величина действительного числа
3. Свойства абсолютной величины
4. Свойства абсолютной величины, связанной с неравенствами величин. Окрестность точки
5. Верхняя и нижняя грани действительных чисел
6. Понятие множеств
7. Понятие абсолютной величины
8. Комплексные числа
9. Действия с комплексными числами
10. Модуль и аргумент комплексного числа 
11. Тригонометрическая формула комплексного числа 
12. Возвышение комплексного числа к степени
13. Показательная форма комплексного числа
14. Множества. Абсолютная величина действительного числа

Множества действительных чисел

Постоянные и переменные величины:

Когда мы изучаем некоторые вопросы из области математики, физики, механики, экономики и т. д., то встречаемся с величинами, которые сохраняют постоянное числовое значение и называются постоянными, а другие могут принимать различные числовые значения, и называются переменными.

Например, к постоянным величинам можно отнести число , которое равное отношению длины окружности к диаметру.

К переменным можно отнести температуру наружной среды, которая в течение дня меняется; общую сумму денег, которую получает магазин от продажи продукции в течение дня и т. д.

Множества действительных чисел:

В курсе высшей математики наибольший интерес представляют числовые множества, то есть множества, элементами (величинами) которых являются числа. Среди числовых множеств будем рассматривать следующие
1) Множество всех натуральных чисел N = {1, 2, 3, …, n, …};
2) Множество всех целых чисел
3) Множество всех рациональных чисел,  p — целое, g — натуральное число.
4) Множество всех действительных чисел R.

Множество всех действительных чисел состоит из всех рациональных и иррациональных чисел. Иррациональными числами называются бесконечные непериодические десятичные дроби. Например,     и т. д.
Заметим, что прямая линия, на которой указаны начало отсчета, масштаб и направление, называется числовой осью.

Между множеством точек числовой оси и множеством всех действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждая точка числовой оси отображает одно действительное число, и наоборот, каждое число является координатой конкретной одной точки числовой оси.

Определение 1. Интервалом называется множество всех чисел (точек),  находящихся между двумя какими-либо числами (точками), которые называются концами интервала.

Интервал с концами x = a и x = b, где a < b, можно задать неравенствами a < x < b  или записать (a, b).

Если вместе с множеством точек интервала рассматривать и его концы, то получим замкнутый интервал или отрезок. Замкнутый интервал с концами x = a и x = b задается неравенствами a  ≤  x  ≤  b;  его обозначают так [a, b]. Интервал (a, b) называется открытым,
а интервалы [a, b), (a, b] — полуоткрытыми.

Множество действительных чисел, удовлетворяющее неравенство x > a, обозначают  , а множество чисел, удовлетворяющих неравенство x ≥ a, обозначают символом .

Мы будем рассматривать также числовые интервалы , то есть множество чисел таких, что x < a и , если x ≤ a.

Множество всех действительных чисел R будем называть числовым интервалом , если   .

Заметим, что большинство понятий в математике вводится с помощью определений. Например, квадрат можно обозначить как прямоугольник, у которого все стороны равны между собой. Здесь более узкое понятие — квадрат обозначается через другое, более
широкое понятие — прямоугольник. Понятно, что дать строгое определение всех понятий, которые есть в математике, невозможно. Некоторые наиболее общие понятия (первоначальные) следует усвоить не с помощью определений, а другим путем. К таким понятиям принадлежит понятие множества. Это понятие усваиваем, рассматривая примеры. Так можно говорить о множестве всех городов определенной конкретной страны, о множестве всех студентов некоторого факультета, о множестве чисел, которые приведены выше в данном пункте. Множества обозначают большими буквами А, В, С и
др. Каждое множество состоит из элементов, которые обозначают малыми буквами a, b, c, x, y и др. Например, число 21 является элементом множества всех натуральных чисел. То, что элемент x принадлежит множеству X записывается так x ∈ X. Если элементы x не принадлежат множеству X, то записывают x∉ X.

Пусть даны два множества А и В. Если каждый элемент множества А является одновременно и элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством В, и записывают А ⊂ B или B A.

Если А ⊂ B и B ⊂ A, то говорят, что множества А и В равны и записывают А = B.

В математике рассматривают и так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Ее обозначают знаком Ø. Например, множеством всех действительных корней уравнения x² + 1 = 0 является пустое множество (уравнение x² + 1 = 0 не имеет действительных корней).

Абсолютная величина действительного числа

Определение 2. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется само число а, если а положительное, и число  -а, если а — отрицательное. Абсолютная величина а = о принимается равной 0 и обозначают  
Например, .

Свойства абсолютной величины

1. Абсолютная величина алгебраической суммы не больше суммы абсолютных величин, то есть

2. Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин множителей

3. Абсолютная величина частного равна частному от деления абсолютных величин делимого и делителя
,   если  b ≠ 0.

4. Для любого a  верны соотношения

Свойства абсолютной величины, связанной с неравенствами величин. Окрестность точки

1. Пусть   > 0. Неравенство равносильно неравенствам  .
2. Пусть > 0. Неравенство равносильно неравенствам   .

Определение 3. Окрестностью точки a называется каждый интервал вида , где  > 0.

Таким образом, запись ,  > 0, означает множество чисел x, находящихся в окрестности точки a.

Верхняя и нижняя грани действительных чисел

Пусть дано непустое множество X действительных чисел (X ⊂ R). Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число , такое, что для всех x ∈  X верно неравенство .

Число при этом называется верхней (нижней) границей множества X. Понятно, что когда — верхняя (нижняя) граница множества X, то любое число также будет верхней (нижней) ​​границей.

Определение 4. Наименьшая верхняя граница непустого ограниченного сверху множества X действительных чисел называется точной верхней границей или верхней гранью этого множества и обозначается  sup {X}.

Определение 5. Наибольшая нижняя граница непустого ограниченного снизу множества действительных чисел X называется точной нижней границей или нижней гранью этого множества и обозначается inf {X}.

Например, если   ,  то     

Здесь верхняя грань, равная 1, принадлежит множеству X₁, а нижняя грань, равная 0, — множеству X₁ не принадлежит. Когда в множестве X есть наибольшее (наименьшее) число x0, то есть такое число x₀ ∈ X, что любое число x ∈ X удовлетворяет неравенство x ≤ x₀
(x  ≥ x₀ ), то это число x₀ и будет верхней (нижней) гранью множества X. Однако не во всяком непустом ограниченном сверху (снизу) множестве действительных чисел есть наибольшее (наименьшее) число. Например, в рассмотренной выше множестве    есть наибольшее число, но нет наименьшего, а в множестве   нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Сформулируем без доказательства следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 1. У любого непустого ограниченного сверху (снизу) множества X действительных чисел существует верхняя (нижняя) грань.

В дальнейшем нам придется часто пользоваться следующими двумя свойствами sup {X} и inf {X}.

Свойство 1⁰. Если X — непустое ограниченное сверху множество действительных чисел, и  ,  то для любого x ∈ X верно неравенство и для любого числа  существует число  такое, что .

Свойство 2⁰. Если X — непустое ограниченное снизу множество действительных чисел, и β = inf {X}, то
1) для любого x ∈ X верно неравенство x ≥ β;
2) для любого числа существует число ∈  X такое, что .

Отметим, что когда множество действительных чисел ограничено сверху (снизу), то по определению  .

Понятие множеств

Множество рассматриваем как совокупность некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называют элементами, или точками этого множества. 

Множество обозначается большими латинскими буквами  а элементами множеств – маленькими латинскими буквами 

Утверждение про то, что элемент  принадлежит множеству  записываются в виде  Когда наоборот – элемент  не принадлежит множеству  то используется запись  Если множество  получена из четырех элементов  то записывают 

Пустым множеством  называют множество, которое не содержит ни одного элемента. 

Множество  и  называют равными, если они сложены из одних и тех же элементов. В этом случае, пишут  В школьном курсе математики часто приходится иметь дело с плоскостями, элементы которых являются числами. Такие множества называют числовыми. Для некоторых из них приняты стандартные обозначения:  – множество натуральных чисел:   – множество целых чисел;  – множество рациональных чисел;  – множество действительных чисел. 

Пусть имеем ограниченное число множеств    Объединением (или суммой) этих множеств называется множество  всех элементов, которые принадлежат хотя бы одной из множеств  Это обозначают так: 

 или 

Так, например, множество действительных чисел является объединением множества рациональных и иррациональных чисел. 

Пересечением множеств  называют множество  которое сложено из тех и только тех элементов которые принадлежат каждой из множеств . Это обозначают так: 

 или 

Пусть  – множество действительных чисел меньших 5, а  – множество действительных чисел больших 4. Пересечением этих множеств  является множеством действительных чисел  которые удовлетворяют неравенству 

Если  – множество действительных чисел больших 5, а  – множество действительных чисел меньших 4, то очевидно  В таком случае говорят, что множества  и  не пересекаются. 

Разницей множеств   и  называется множество  которое сложено их всех элементов , которые принадлежат множеству , то есть 

Дополнением множеством  и  называется такое множество   все элементы которой принадлежат   но не принадлежат .

Множество действительных чисел

Множество рациональных чисел вместе с множеством иррациональных чисел образуют множество действительных чисел. Множество действительных чисел является упорядоченным.  Это означает, что для некоторых неравенств между собой действительных чисел  и  имеет место одна и только одна из двух  неравенств:    или 

Действительные числа, как и рациональные можно изображать на числовой оси. Пусть дана числовая ось с начальной точкой  и единичным отрезком (рис. 3.1). Изобразим на этой оси точку, что соответствует иррациональному числу  

 

Для этого на отрезке  построим квадрат и его диагональ  Начертим круг радиусом  Тогда точка  пересечения дуги круга с осью  соответствует числу  Каждому действительному числу соответствует одна точка на числовой оси и наоборот. Множество  элементы которой удовлетворяют неравенству  называется отрезком (или сегментом)  неравенства  – интервалом  неравенства  или  называется полуинтервалами  соответственно  и  Вместе с этим рассматриваются неограниченные интервалы и полуинтервалы  и  Далее все указанные множества мы объединим термином промежуток 

Понятие абсолютной величины

Абсолютной величиной (модулем) действительного числа  называется именно то число, если  или число   если  Абсолютная величина действительного числа обозначается символом  Таким образом, 

Модуль некоторого действительного числа является положительное число или он равен нулю. Отсюда следует, что любое действительное число не больше своего модуля, то есть  

Абсолютные величины действительных чисел имеют свойства: 

1. Абсолютная сумма двух действительных чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел: 

2. Абсолютная величина разницы двух действительных чисел не меньше разницы абсолютных величин этих чисел: 

3. Абсолютная величина произведения действительных чисел равна произведению абсолютных величин этих чисел: 

4. Абсолютная величина долей двух действительных чисел равны долям абсолютных величин этих чисел: 

Решение примеров:

Пример 3.1.

Заданы множества: 

Найти объединение, пересечение и разницу множеств  и 

Решение. Объединением двух заданных множеств является их пересечением является  а разница 

Пример 3.2. 

Найти 

Решение. Если  то   и 

Если  то    и 

Комплексные числа

Комплексным числом называют число вида  где   

Действительное число  называется действительной частью комплексного числа  а действительное число  – его мнимой частью. Число  называется мнимой единицей, 

Два комплексные числа вида   и  называются спряженными.

Комплексные числа изображают на числовой плоскости. Для этого выбирают на плоскости прямоугольную систему координат (рис. 3.2). комплексное число  изображается точкой  абсцисса  которой равен действительной части комплексного числа  а ордината  равна мнимой части комплексного числа 

Пример 3.6

Изобразим на плоскости комплексные числа:  

Действия с комплексными числами

Суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число  

Пример 3.7

Разницей двух комплексных чисел  и  называется комплексное число 

Пример 3.8

Произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число 

На практике не всегда используют формулой. Можно комплексные числа умножить как двучлены. 

Пример 3.9 

Частным двух комплексных чисел  и  называется комплексное число 

Пример 3.10  

Модуль и аргумент комплексного числа 

Модулем комплексного числа  называется выражение  который обозначается   или 

Пример 3.11

Угол  между осью  и отрезком  где точка  изображает комплексное число  называется аргументом комплексного числа  (рис. 3.4).

Каждое отличное от нуля комплексное число имеет неограниченное количество аргументов, которые отличаются от одного на  Для числа 0 аргумент неопределенный. 

Аргумент  комплексного числа   обозначается формулами: 

чтобы пользоваться этими формулами, нужно учитывать знаки абсциссы и ординаты комплексного числа. 

Пример 3.12 

Найти аргумент комплексного числа 

Решение. По формуле получим  или 

Но угол  не является аргументом числа  (рис. 3.5). 

Правильной является такой ответ:  . Этот результат получим, учитывая, что абсцисса и ордината комплексного числа являются отрицательными, то есть точка   принадлежит    четверти.

Значение аргумента, которое принадлежит отрезку  называется главным. 

Тригонометрическая формула комплексного числа 

Рассмотрим треугольник  (рис. 3.4) и запишем такие соотношения между его сторонами: 

Отсюда, 

то есть получим: 

Изображение комплексного числа в виде  называется тригонометрической формой комплексного числа. 

Пример 3.14 

Записать в виде комплексного числа  в тригонометрической форме (рис. 3.6). Согласно с формулой получим:   Следует, 

Например, произведение двух чисел и 

подается так: 

Возвышение комплексного числа к степени

Степенью  комплексного числа  является число   где  – любое целое число. Эта формула легко приводится к определению произведения комплексных чисел. 

Пример 3.15

Найти  если 

Решение 

1. Если  ( – целое число) и  получим формулу Муавра, 

2. Если  – иррациональное, то – нная степень любого числа имеет неограниченное множество значений. 

Пример 3.16 

Подать   и  через   и 

Решение. 

Сравнивая соответственные абсциссы и ординаты, получим: 

3. Если  получим: 

Пример 3.17 

Найти 

Решение. Поскольку   то  

полученные значения  и  показаны на рис. 3.7

Показательная форма комплексного числа

Формула Ейлера: 

Согласно с этой формулой комплексное число можно подать в виде показательной формы: 

При формуле Ейлера получим:  , 

Пример 3.18 

Вычислить действительное значение 

Решение 

Множества. Абсолютная величина действительного числа

Теория множеств как математическая дисциплина создана немецким математиком Георгом Кантором (1845-1918). Понятие «множество» является одним из первичных (к тому же фундаментальных) понятий математики, которым невозможно дать определение, используя другие математические понятия. Поэтому прибегают к описательному объяснению понятия множества.

Под множеством понимают совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты, составляющие множество, называют ее элементами. Относительно понятия множества Г. Кантор высказался так: «Множество есть многое, которое мы воспринимаем как единое». Например, можно говорить о множестве студентов в группе, клиентов банка, множество стран, которые связаны определенными соглашениями, и тому подобное.

Множества обозначают, как правило, большими буквами латинского или греческого алфавитов, а их элементы – строчными буквами, желательно теми же самыми. Так, если – это определенная множество, является ее элементом, то пишут: a то есть « принадлежит ». В противном случае, когда не является элементом множества , пишут: a , то есть « не принадлежит ».

Существует два способа задания множеств:
1) перечень, согласно которому указывают все элементы, составляющие множество, рассматривается;
2) описание, основанное на задании так называемой характеристического свойства элементов , где , по которой элементы и объединены в множество.

Для символьной записи множества используют фигурные скобки. между которыми через запятую или точку с запятой записывают элементы этого множества ,или записывают характеристическое свойство ее элементов, где символ «|» означает «по свойству», «обладающих свойством». Так, множество задано как перечень своих элементов. Множество задана с помощью описания характеристической свойства. Также можно задать перечень элементов этого множества:

Отметим, что способ перечня удобно применять, если надо задать множество, имеет относительно небольшое количество элементов. В случае, когда множество имеет большое количество элементов или вообще перечислить их все невозможно, применяют описание как способ задания элементов множества.

Рассмотрим основные понятия теории множеств.

Одним из исходных понятий теории множеств является понятие «пустое множество».

Пустым множеством называется множество, не содержит ни одного элемента. Она обозначается символом . Существует только единственная пустое множество.

Так, множество действительных корней уравнения является пустой, поскольку не существует такого числа из множества действительных чисел, чтобы его квадрат в сумме с числом 10 равнялся бы нулю, то есть

Множества и называются равными, если они состоят из тех же элементов, и пишут:
Рассмотрим две непустые множества и . Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент из принадлежит множеству , и обозначается это так:

,или 

В том случае, когда не является подмножеством , то пишут: и говорят: « не включается в ».

Соотношение между множествами, а также операции над множествами удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Венна-Эйлера. Для построения такой диаграммы в пределах прямоугольника наносят заперты фигуры, которые соответствуют множествам. Чаще всего для изображения множества применяется круг. Точки, принадлежащие кругу (или любой другой замкнутой фигуре, отображающий множество), считаются элементами этого множества.

Рассмотрим основные действия над множествами.
1. Объединением множеств и называется множество , которая содержит все элементы и множества , и множества . Соответственно, элементы множества принадлежат или множеству , или множеству , или являются общими элементами обоих множеств (если такие элементы существуют ). Объединение множеств обозначается так:

 или 

На рис. 11.1 приведен пример объединения множеств и  для случая, когда они имеют общие элементы. Объединением множеств является вся заштрихованная фигура. Те элементы, которые являются общими для и , отмечены двойной штриховкой. Следует отметить, что они включаются в множества лишь раз.

Рис. 11.1

Добавление множеств приводит к понятию универсума. Любой элемент, какой бы ни была его природа, является элементом универсума. Поскольку любое множество является подмножеством универсума, то объединение универсума с любым множеством равно универсуму. Универсум обозначается символом .

Для объединения множеств правильными являются утверждения:

2. Сечением множеств и называется множество , которое содержит все общие элементы множеств и . Пересечение множеств обозначают так:

 и 

На рис. 11.2 приведен пример пересечения множеств и для случая, когда они имеют общие элементы. Пересечение множеств обозначено штриховкой. Если множества и не имеют общих элементов (на диаграмме Венна-Эйлера соответствующие этим множествам фигуры изображаются отдельно, без пересечения), то их пересечение является пустым множеством.

Рис. 11.2

Для пересечения множеств верны утверждения:

3. Разницей множеств и называется множество , которое содержит все элементы множества , которые не принадлежат множеству . Эту разницу обозначают так:

  и 

Запись читается как «A без B».

На рис. 11.3 множество обозначено штриховкой. В том случае, когда множество является подмножеством множества , то разницу называют дополнением множества до множества :

Разница между универсумом и множеством обозначается, то есть

В математике преимущественно рассматривают числовые множества, то есть множества, элементами которых являются числа. Примерами известных из школьного курса математики числовых множеств есть такие множественного числа:

 множество натуральных чисел, то есть 

 множество целых чисел, то есть 

множество рациональных чисел  есть множество обыкновенных дробей;

 множество иррациональных чисел (бесконечных непериодических десятичных дробей)

 множество действительных чисел, которое является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел. Если считать множество рациональных чисел универсумом, то множество иррациональных чисел является дополнением множества множеству действительных чисел, то есть , или

 множество комплексных чисел, которая является объединением множеств дойных мнимых чисел, то есть 

Между указанными множествами имеет место соотношение:

Для наглядности множество действительных чисел можно представлять числовой прямой, или числовой осью, устанавливает взаимно однозначное соответствие между действительным числом и точкой на этой оси. Числовая ось содержит начало координат, отвечающий нулю, а числовое значение произвольной точки соответствует ее расстояния до начала координат. Справа от нуля откладываются положительные числа, слева – отрицательные.

С числовых множеств в математическом анализе часто используется понятие «промежуток». Промежуток, или промежуток числовой прямой, есть множество действительных чисел, имеет такое свойство: если два любых числа принадлежат промежутку, то и число, которое расположено между ними, тоже принадлежит этому промежутку. С использованием символов математической логики это определение можно записать следующим образом. Множество  является промежутком, если

 и  и 

Конечный промежуток состоит из множества чисел, расположенных между двумя числами и , где – начало, – конец промежутка. Если концы промежутка также относятся к нему, то такой промежуток называется отрезком и обозначается . По определению:

В случае, когда , отрезок состоит из одной точки.

Если концы промежутка и не относятся этом промежутке, то такой промежуток называется интервалом и обозначается  . Соответственно

Промежутки и называются полу интервалами, или полу открытыми интервалами. Им соответствуют соотношения: и .

Длиной промежутка называется разница между его концом и началом: . Следовательно, на числовой оси длина промежутка определяется как расстояние между его концами.

Если множество действительных чисел дополнить элементами и (так называемые несобственные числа), то получим расширенную числовую прямую, которая позволяет рассматривать бесконечные промежутки:  Это значит соответственно: . Следовательно, множество всех действительных чисел является бесконечным промежутком.

Рассмотрим еще одно важное понятие, что является характеристикой элементов числовых множеств, это понятие абсолютной величины числа.

Модулем, или абсолютной величиной числа , называется именно число , если оно является неотъемлемым, и , если является отрицательным, то есть:

По геометрической интерпретацией модуль числа определяется как расстояние на числовой оси от точки, соответствующей данному числу, к началу координат.

Из определения модуля следует:

Укажем на важные свойства абсолютных величин числа.
1. Неравенство

эквивалентна двойного неравенства:

Доказательство. Действительно, исходя из (11.5), имеем такие неравенства: и . Отсюда и , или . Таким образом, получили двойное неравенство (11.7). Имеет место и обратное утверждение, то есть из неравенства (11.7) следует неравенство (11.6).

2. Абсолютная величина суммы не превышает сумму абсолютных величин слагаемых, то есть

Доказательство. Пусть и – любые действительные числа.

Для них имеем

Добавим почленно эти неравенства:

Отсюда за первым свойством получаем:

3. Абсолютная величина разницы не меньше чем разница абсолютных величин:

Доказательство. Действительно, из тождества за вторым свойством будем иметь неравенство:

4. Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин множителей, то есть

Указанное свойство вытекает из таких понятий, как произведение и абсолютная величина.

5. Абсолютная величина доли равна доле абсолютных величин:

 если 

Последнее свойство также очевидно.

Множество называется конечным (бесконечным), если существует (не существует) неотъемлемое целое число , которому равно количество элементов множества.

Рассмотрим два непустые множества и . Если каждому элементу множества можно поставить в соответствие только один элемент множества так, что каждый элемент является подходящим только одному элементу , то говорят, что между множествами и установлено взаимно однозначное соответствие.

Любое бесконечное множество, между элементами которого и множеством натуральных чисел существует (не существует) взаимно однозначное соответствие, то есть элементы которого можно (нельзя) занумеровать с помощью натуральных чисел, называется счетно (неисчислимым).

Пусть  – произвольное действительное число, – какое-нибудь положительное число из множества действительных чисел. Тогда –окрестностью точки называется интервал и обозначается , где – центр окрестности, – радиус окрестности (рис. 11.4):

Рис. 11.4

 или 

Числовые множества по структуре делятся на дискретные и непрерывные. Точка некоторого множества называется изолированной точкой этого множества, если у нее есть окрестность, которая не содержит других точек множества A.

Множество , элементами которого являются только изолированные точки, называется дискретным множеством.

Непустое множество, которое не содержит изолированных точек, называется непрерывным множеством.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 23 февраля 2022 года; проверки требуют 2 правки.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения[править | править код]

Математический анализ[править | править код]

Пусть произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от менее чем на , то есть
.

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .

В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .

В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .

Общая топология[править | править код]

Пусть задано топологическое пространство , где  — произвольное множество, а  — определённая на топология.

Замечания[править | править код]

Пример[править | править код]

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а  — замкнутой окрестностью точки .

Вариации и обобщения[править | править код]

Проколотая окрестность[править | править код]

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение:
Множество называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки , если

где  — окрестность .

См. также[править | править код]

• Глоссарий общей топологии

Примечания[править | править код]

1. ↑ Рудин, 1975, с. 13.

Литература[править | править код]

• Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.