Как найти окружность через гипотенузу прямоугольного треугольника

Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника

Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:

( small R=frac<large c> <large 2 sin C>)

где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:

( small R=frac<large c><large 2 sin 90°>=frac<large c><large 2>, )

( small R=frac<large c><large 2>. )

(1)

Пример 1. Известна гипотенуза ( small с=frac<9> <2>) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).

Подставим значение ( small c=frac<9> <2>) в (1):

Ответ:

2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).

Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:

( small c=sqrt. )

(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

( small R=frac<large sqrt><large 2>. )

(3)

Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):

Ответ:

3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника

Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):

(4)

4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника

Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:

( small angle A+angle B=90°. )

( small angle A=90°-angle B. )

(5)

Подставляя (5) в (4), получим:

( small R=frac<large a><large 2 sin A>=frac<large a><large 2 sin(90°-B)>) ( small =frac<large a> <large 2 cos B>)

( small R=frac<large a><large 2 cos B>. )

(6)

Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):

Ответ:

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

AK=AM=6 см,

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

3) По теореме Пифагора:

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Дано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

1) Проведем отрезки OK и OF.

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

a , b – катеты прямоугольного треугольника

c – гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-09-22-04-52-48

[/spoiler]

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

с – гипотенуза треугольника.

Радиус вписанной в
прямоугольный треугольник окружности

равен произведению катетов, делённому на сумму
катетов и гипотенузы,

где  r –
искомый радиус, а  и  b – катеты,

с – гипотенуза треугольника.

Радиус вписанной в
прямоугольный треугольник окружности равен площади этого треугольника, делённой
на полупериметр:

где  р – полупериметр

ЗАДАЧА:

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
делит один из катетов на отрезки  2 см  и  8 см,
отсчитывая от вершины прямого угла. Найдите периметр треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

ВМ
= ВN = х.

(2 + х)² + (2 + 8)² = (8
+ х)²,

х² + 4х + 4
+ 100 =

= х² + 16х + 64,

12х = 40,

х =
¹⁰/₃ (см).

Р = (2 + 8) + (8 + ¹⁰/₃) + (¹⁰/₃ + 2) = 26²/₃ (см).

ЗАДАЧА:

Вписанная окружность прямоугольного треугольника  АВС  касается гипотенузы  АВ  в точке 
К. Найдите радиус
вписанной окружности, если  АК = 4 см, ВК
= 6 см.

РЕШЕНИЕ:

За свойством касательных имеем:

АК = АМ = 4 см, 
ВК = ВN = 6 см.


Обозначим радиус вписанной окружности
через  х:

СN = СM = NО = МО = х.

Тогда 

АС =
(4 + х) см. 
ВС = (6 + х) см,

АВ =
4 см +
6 см =
10 см.

По теореме Пифагора для треугольника  АВС
можно записать соотношение:

(4 + х)² + (6 + х)² = 10².

Решим это квадратное уравнение:

16 + 8x + x²
+ 36 + 12x + x² = 100,

2x² + 20x + 52 – 100 = 0,

2x² + 20x – 48 = 0,

x² + 10x – 24 = 0,

x₁ = 2,  x₂ = –10.

x₂  не
удовлетворяет условию задачи.

ОТВЕТ:  2 см.

ЗАДАЧА:

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
делить гипотенузу на отрезки  8 см  и  12
см. Найдите периметр треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

(8 + 12)²
= (8 + х)² + (12 + х)²,

400 = 64 + 16x + x²
+ x² + 24x + 144,

2x² + 40x – 192 = 0,

x² + 20x – 96 = 0,

x₁ = 4,  x₂ = –24.

x₂  не
подходит.

Р
= 8 + 12 + 12 + 4 + 4 + 8 = 48 (см).

ОТВЕТ:  48 см.

Описанная окружность
прямоугольного треугольника.

Центром окружности, описанной
вокруг прямоугольного треугольника, будет середина его гипотенузы.

Диаметр окружности,
описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе.

Медиана прямоугольного
треугольника, проведённая к его гипотенузе, равна половине гипотенузы и
является радиусом окружности, описанной около этого треугольника.

ОА = ОВ = ОС = R

Радиус описанной окружности равен половине
гипотенузы:

ЗАДАЧА:

Отрезок  ВС – диаметр окружности, изображённой на рисунку.

Угол  АВС = 55°.

Найдите
величину
угла  АСВ
?

РЕШЕНИЕ:

ВС – диаметр,
поэтому  ∠ ВАС = 90°,

∠ АСВ = 180° – (90° + 55°) = 35°.

ЗАДАЧА:

Перпендикуляр,
опущенный из точки окружности на его диаметр, делит диаметр на отрезки, разность
между которыми равна  5 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна  6 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВ – диаметр окружности с
центром в точке  О, СD ⊥ АВ,

где  С – точка окружности,

СD = 6 см, АD = х см,

ВD – АD = 5 см.

Тогда 

DВ = (х + 5) см.

Треугольник  АСВ – прямоугольный (угол  С  прямой, так как
он вписанный и опирается на диаметр).

СD – перпендикуляр, проведений из вершины прямого угла на
гипотенузу. Тогда:

АD ∙ DВ = СD²,

х(х + 5) = 6²,

х²
+ 5х – 36 = 0,

x₁ = –9,  x₂ = 4.

x₁  не подходит.

Поэтому, АD = 4 см,

DВ = 4 + 5 = 9 (см).

АВ
= АD
+ DВ
=

=
4
+ 9 = 13 (см).

Тогда

r = АВ :
2 = 13 : 2 = 6,5 (см).

ОТВЕТ:  6,5 см

ЗАДАЧА:

Из точки на окружности проведены две перпендикулярные
хорды, разность между которыми равна  4 см. Найдите эти хорды, если радиус окружности равен  10
см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задана окружность радиуса  R,

в
которой
проведены
хорды  АВ  и 
АС (АВ ⊥ АС),

R = АО = ВО = СО =
10 см,

АС – АВ =
4
см.

Пусть  АВ = х см, тогда 

АС = (4
+ х) см.

Так как  ∠ А = 90°, то треугольник 
ВАС – 
прямоугольный,
в
котором 

ВС = 2ОВ= 2 ∙ 10 = 20 см.

Из
прямоугольного треугольника  ВАС  имеем:

АВ² + АС²
= ВС²,

х² + (4 + х)²
= 20²,

х² + 16 + 8х
+ х² = 400,

х² + 4х –
192 = 0,

х₁ = 12, 

х₂
= –16 – не подходит.

Поэтому,
АВ = 12 см,

АС
= 4 + 12 = 16 (см).

ОТВЕТ:  12
см, 16 см

ЗАДАЧА:

Угол между биссектрисой и
медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла,
равен  14°.
Найдите меньший угол этого треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Так как треугольник
прямоугольный и медиана  ВМ  иcходит
из прямого угла  В, то точка  М  является центром
описанной окружности вокруг треугольника 
АВС.
Следовательно,

АМ
= МС = МВ = R,

где  R –
радиус описанной окружности.

Найдём сначала угол  МВС.
Учитывая, что  BD – биссектриса, то

∠ DВС = ⁹⁰/₂ = 45°. Тогда

∠ МВС = ∠ МВD + ∠ DВС,

∠ МВС = 14° + 45° = 59°.

Рассмотрим
равнобедренный треугольник  МВС  со сторонами 

МВ = МС,

в
котором углы при основании  ВС  равны, то есть

∠ С = ∠ МВС
 = 59°.

Так
как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна  90°, то

∠ А + ∠ С  = 90°,

∠ А = 90° – ∠ С =

= 90° – 59° = 31°.

ЗАДАЧА:

Периметр
прямоугольного треугольника равен  72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

РЕШЕНИЕ:

DO = OF = OE = r = 6 м.    

Поэтому  AD =
AF =
6 м.

FC = EC, BD = BE (отрезки касательных, проведённых из
одной точки)

Пусть  


BD = BE = x, 

FC = EC = y,

Тогда  


AB
= x + 6, AC = y + 6, 

BC = x + y.

AB + AC + BC = 

= x + 6 + y + 6
+ x + y = 72.

2x + 2y + 12 = 72,

2x + 2y = 60,

x + y = 30.

(x + y) – гипотенуза, или диаметр описанной окружности.

ОТВЕТ:  30 м.

ЗАДАЧА:

В окружности на расстоянии  6
см  от его центра проведена хорда длинной  16
см. Найдите радиус окружности.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

Пользуясь теоремой
Пифагора, находим радиус.

ЗАДАЧА:

Две окружности, радиусы которых равны  4 см  и  9 см, имеют внешнее касание. Найдите расстояние между
точками касания данных окружностей с их общей внешней касательной.

РЕШЕНИЕ:

ВК ⊥ АD, АК = 9 – 4 = 5 см.

Из  ∆ ВКА:

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и угол α, то можно сразу вычислить катеты и угол β из свойства суммы углов треугольника и отношений синуса и косинуса. (рис. 79.1)
β=90°-α
a=c sin⁡α
b=c cos⁡α

Периметр, заданный суммой катетов и гипотенузы, можно представить в виде суммы известной гипотенузы и выраженных через нее катетов.
P=a+b+c=c sin⁡α+c cos⁡α+c=c(sin⁡α+cos⁡α+1)

Площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, следовательно, чтобы рассчитать площадь через гипотенузу и угол α, необходимо также заменить неизвестные на соответствующие выражения.
S=ab/2=(sin⁡α cos⁡α)/2

Треугольник, в котором один угол прямой, будет иметь всего одну высоту, опущенную на гипотенузу. Из любого внутреннего прямоугольного треугольника, полученного с помощью дополнительного построения высоты, можно выразить ее, как произведение катета и синуса угла. (рис. 79.2)
h=b sin⁡α=c cos⁡α sin⁡α

Найти медиану прямоугольного треугольника проще всего, если она опущена на гипотенузу, в таком случае она будет равна ее половине. Медианы катетов вычисляются по стандартным формулам с заменой переменных через гипотенузу. (рис.79.3)
m_с=c/2
m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4 〖c^2 sin^2〗⁡α+〖c^2 cos^2〗⁡α )/2=(с√(3 sin^2⁡α+1))/2
m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4 〖c^2 cos〗^2⁡α+sin^2⁡α )/2=(с√(3 cos^2⁡α+1))/2

Рассчитать биссектрисы прямоугольного треугольника тоже достаточно просто, если использовать специальные формулы, зная гипотенузу и угол α. Преобразуя выражения, можно упростить их до следующих тождеств. (рис. 79.4)
l_с=(ab√2)/(a+b)=(c sin⁡α cos⁡α √2)/(sin⁡α+cos⁡α )
l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(c cos⁡α √(2c(c cos⁡α+c) ))/(c cos⁡α+c)=(c cos⁡α √(2(cos⁡α+1) ))/(cos⁡α+1)
l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)=(c sin⁡α √(2c(c sin⁡α+c) ))/(c sin⁡α+c)=(c sin⁡α √(2(sin⁡α+1) ))/(sin⁡α+1)

Проведенная средняя линия прямоугольного треугольника создает внутри него еще один подобный треугольник в два раза меньше первоначального, поэтому сама она равна половине параллельной ей стороны. (рис. 79.7)
M_a=a/2=(c sin⁡α)/2
M_b=b/2=(c cos⁡α)/2
M_c=c/2

Прямоугольный треугольник может быть вписан в окружность и описан вокруг нее. Радиус вписанной окружности внутри треугольника можно вычислить, сложив катеты за вычетом гипотенузы, и разделив полученное число на два. Рассчитать радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника через гипотенузу еще проще, так как он равен ее половине. (рис. 79.5, 79.6)
r=(a+b-c)/2=(c sin⁡α+c cos⁡α-c)/2=c/2 (sin⁡α+cos⁡α-1)
R=c/2