Как найти омегу в математике

η
(эта греч.)

Λ (лямбда

Проиллюстрируем
понятие порядкового типа на нескольких
примерах.

Тип ω.
Это тип множества N,
упорядоченного отношением ≤.

Теорема 1.
Линейно упорядоченное множество А имеет
тип ω тогда и только тогда, когда

()
А имеет первый элемент а₀,

()
каждый элемент x
множества А имеет последовательность
х^*,

()
если
и множество Х содержит последовательность
каждого своего элемента, то Х = А.

Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Условия
()-()
инвариантны относительно подобных
отношений. Т.к. они выполняются для
множества натуральных чисел, упорядоченных
отношением ≤, то они необходимы для
того, чтобы множество А
имело тип ω.

Обратно, пусть для
множества А,
линейно упорядоченного отношением R,
выполняются условия ()-().
Зададим функцию f,
устанавливающую подобие множества А
множеству натуральных чисел:

(1)

Из этого определения
следует, что множество значений функции
f
содержит а₀
и содержит последовательность каждого
своего элемента. В силу ()
оно совпадает с А.

Докажем, что

(2)

Из (1) следует, что
(2) верно для n=m+1.
Если (2) верно для некоторого n,
то оно верно также для n+1.
В самом деле, если
,
то,
т.к..

Из (2) непосредственно
следует, что

Первая из этих
импликаций доказывает, что функция f
взаимно однозначна, а вместе со второй
(теорема 2 § 1) – что f
устанавливает подобие множества А
множеству натуральных чисел.

Тип η.
Прежде чем определить этот тип, докажем
следующую важную теорему.

Теорема 2. Любые
два непустые линейно упорядоченные
счетные плотные множества, не имеющие
ни первых, ни последних элементов,
подобны.

Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Пусть А
и В
– множества, удовлетворяющие условию
теоремы. Для простоты будем обозначать
отношения порядка в общих множествах
одним и тем же символом.

По условию множества
А
и В
бесконечны. Значит существуют такие
взаимно однозначные последовательности
и,
чтои.

Определим по
индукции две перестановки φ
и ψ
множества N
так, чтобы отображение f:,
устанавливало подобие множеств А
и В.

Для этого прежде
всего положим φ(0)=
ψ(0)=0. Дальше
определяем отдельно для случая n
четного и n
нечетного.

Случай 1.
n
– четно. Положим
,.

Если нет числа n,
удовлетворяющих Ф(n),
то будем считать
равным нулю. Это же относится и к случаю
2.

Случай 2.
n
– нечетно. Определение аналогично,
только φ
и ψ
меняются ролями:

,

.

Докажем индукцией
по n,
что если
,
то

,
(3)

,
(4)

(5)

Эти формулы (3÷5)
верны для n=0.
Предположим, что n₀>0
и они верны для n<
n₀.
Пусть n₀=n‘+1.
Дальнейшее доказательство распадается
на два случая в зависимости от четности
или нечетности n‘.
Рассмотрим только первый случай.

Т.к. множество А
бесконечно, то существуют такие числа
k,
что
дляj
≤ n‘.
По определению φ(n‘+1)
является одним из таких чисел k,
что и доказывает (3) для n=n‘+1=
n₀.

Для доказательства
(4) и (5) обозначим

Тогда
,
и т.к. (5) по предположению верно дляn
≤ n‘,
то
.

Поскольку В
плотно, эта импликация означает, что
существуют такие числа k,
что
для каждогоидля каждого.

По определению
функции ψ
следует, что ψ(n₀)
– одно из таких чисел k.
Таким образом,
для.
Кроме того,и аналогично для отношения > и для.
Формулы (4) и (5) доказаны.

Формулы (3) и (5)
показывают, что функция f:
,
устанавливает подобие множеств.

Остается показать,
что эти множества совпадают с А
и В,
т.е. каждое натуральное число принадлежит
множеству значений последовательностей
φ
и ψ.
Ограничимся рассмотрением только
последовательности φ.

Предположим
противное, т.е. что N–
φ¹(N)
≠ 0 и k₀
– наименьшее число этого непустого
множества чисел. Очевидно, k₀
> 0. Обозначим
для h<k₀
через n_h
такое единственное число, что
,
и пустьn
– четное число, больше всех чисел n_h,
h<k₀.

Т.к.
для всехj
≤ n,
и для каждого h<k₀
существует такое j
≤ n,
что
,
а именно,
то,
откудаk₀=φ(n+1)
вопреки тому, что
.
Теорема доказана полностью.

Эта теорема
утверждает, что существует
только один тип непустых множеств,
плотных, счетных, не имеющих ни первого,
ни последнего элемента.
Этот тип обозначается символом η.

Пример упорядоченных
множеств типа η
дает множество рациональных чисел,
упорядоченное отношением ≤. Другой
пример – пример 3 из § 1.

Множества типа η
обладают следующим свойством
универсальности.

Теорема 3. Если
,
А – произвольное линейно упорядоченное
счетное множество, то существует такое
множество,
что.

Д о к а з а т е
л ь с т в о.
Можно считать, что А
бесконечно. Сохраняя обозначения,
введенные в доказательстве теоремы 2,
определим последовательности φ
и ψ,
как в случае 1, не ограничиваясь, однако,
четными значениями n,
а придавая n
все натуральные значения.

Формулы (3)-(5) будут
верны, и можно тем же методом, что и в
теореме 2, доказать, что φ¹(N)=N
и множества
подобны. Первое из этих множеств равноА,
а второе содержится в В,
и теорема доказана.

Тип λ.
Прежде чем дать определение этого типа,
докажем следующую теорему.

Теорема 4. Если
А и В – линейно упорядоченные непрерывные
множества, конфинальный и коинициальный
со своими частями А₁
и А₂,
плотными в А и В и имеющими тип η, то А и
В подобны.

Дадим только
набросок доказательства этой теоремы.

Согласно теоремы
2, существует функция f₁,
подобно отображающая А₁
на В₁.
Легко показать, что множества:

,

где а
– любой элемент из А,
определяют собственное сечение в А₁.
Из свойства функции f₁
следует, что пара
образует собственное сечение вВ₁.

Далее полагаем
,

и доказываем, что
пара
образует собственное сечение множестваВ.

Т.к. В
непрерывно, то существует элемент f(a),
лежащий на этом сечении: это последний
элемент множества
и одновременно первый элемент множества.

Отображение f
удовлетворяет условию
.
Действительно, если,
тои, значит,.
Следовательно,и, таким образом,.

Остается показать,
что функция f
взаимно однозначна и отображает множество
А
на все множество В.
Для этого повторяем предыдущую
конструкцию, меняя ролями множества А
и В,
и получаем функцию g,
отображающую В
в А.

Можно показать,
что f(g(b))=b
для каждого
,
и теорема доказана.

Теорема 4 позволяет
применять следующее определение: линейно
упорядоченное множество А
имеет тип λ,
если оно непрерывно и содержит плотное
в нем подмножество А₁
типа η,
имеющее с ним общее начало и общий конец.

Примером множества
типа λ
может служить множество ξ
вещественных чисел, упорядоченных
отношением ≤.

Замечание 1. С
теоремой 4 связана проблема Сусминь:
будет ли непрерывное множество без
первого и последнего элементов, каждое
семейство попарно непересекающихся
интервалов которого счетно, иметь тип
λ (т.е. содержать плотное счетное
подмножество).

Замечание 2.
Множества типов ω, η и λ имеют мощность
≤ C.
Недавно доказано, что без аксиомы выбора
нельзя вывести из остальных аксиом
теории множеств теорему о существовании
отношения, упорядочивающего множество
мощности 2^C.

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я очень люблю математику за то, что она позволяет заглянуть в такие места, в которые никаким другим образом человеческий разум попасть не сможет. Как Вы уже догадались, речь в этой статье пойдет о бесконечности. Оказывается, среди бесконечно больших чисел тоже есть “классовое” деление, в котором одни больше других. Уверен, Вам понравится логика такого разделения. Поехали!

Итак, начнем с самого низа. Как мы считаем предметы? Математик, не задумываясь, ответит, что в случае устного счета мы осуществляем биективное отображение множества натуральных чисел 1,2,3 и т.д. на множество объектов.

Ключевое слово здесь – “множество”. Сами того не зная, пересчитывая яблоки в корзине мы оперируем понятием “мощность множества”, иначе называемым в математике “кардинальным числом”. Например, 31 – это кардинальное число множества дней в декабре, а 5 – кардинальное число пальцев на руке и т.д. Надеюсь, с кардинальными числами или кардиналами всё понятно.

А теперь перенесемся в бесконечность. Что можно сказать о двух бесконечно больших числах, пусть даже таких огромных, что их никогда не получится записать на материальный носитель? Правильно, мы можем определить их порядок. Мы можем сказать, что одно бесконечное число больше другого на 1, на 2 и т.д.

Важный момент – чтобы так говорить о множествах бесконечно больших чисел, мы должны их линейно упорядочить. Это выглядит так: если мы возьмем любое число бесконечно больших чисел, мы всегда должны иметь в нём наименьший элемент. То же верно и для небольших чисел, например, множество {3,4,5,6,7,8,9} – линейно упорядоченное, т.к. имеет наименьший элемент – 3.

Становится понятно, что у каждого линейно упорядоченного множества помимо мощности есть и другая характеристика – порядковый тип – некий “размер” множества, ограничивающий его сверху. Например, для множества {0,1,2,3…99} порядковым типом будет ординал 100. Еще пример:

• Кардинал 77 – это привычное нам число 77 (семьдесят семь);
• Ординал 77 – это упорядоченное множество {0,1,2…76} (семьдесят седьмой).

До того момента, как используются конечные ординалы, совпадающие с натуральными числами, проблем не возникает Однако, как только мы переносимся в бесконечность, становится очень важно различать размеры (кардиналы) и позиции (ординалы) чисел.

В математике первый бесконечный ординал обозначается буквой ω (омега), который отождествляется с множеством натуральных чисел. Это как бы число, большее любого натурального числа, ограничивающее их множество сверху, как в элементарных примерах с небольшими числами.

С этим разобрались. теперь проще. Что идет за ординалом ω? Естественно, ω + 1-ый, ω+2-ый и т.д. Развивая полёт мысли мы можем описать ординал ω+ω = ω*2. После него нас ожидает ω*2+1-ый и только после него ω*3 и и т.д.

Как получить еще большую бесконечность? Её нужно возвести в квадрат, куб и, наконец, в саму бесконечность – ω^2, ω^3, ω^ω.

Но и это не предел: мы можем возводить бесконечность в бесконечность в квадрате – ω^(ω^2), в кубе – ω^(ω^3), и даже бесконечность в степени бесконечность в степени бесконечность… и когда-нибудь придти к невероятно большому, но всего-лишь первому ординалу Кантора, о котором я обязательно расскажу!

Дорога эта идет в бесконечность, но почему не попробовать пройти по ней в чертогах разума?

Читайте также:

Чтобы лучше понять про множества и бесконечность, я рекомендую Вам изучить 4 мои статьи, написанные на простом, научно-популярном языке:

Постоянная омега — это математическая константа, определяемая как единственное действительное число, которое удовлетворяет уравнению

.

Это значение , где — W-функция Ламберта. Название происходит от альтернативного названия W-функции Ламберта — омега-функции. Числовое значение :

(последовательность A030178 в OEIS)

(последовательность A030797 в OEIS)

Свойства[править | править код]

Представление в виде неподвижной точки отображения[править | править код]

Определяющее соотношение можно выразить, например, как

или

или

Вычисление[править | править код]

Можно вычислить итеративно, начав с первоначального предположения и рассмотрев последовательность

Эта последовательность сходится к , когда n стремится к бесконечности. Это потому, что является притягивающей неподвижной точкой функции
.
Однако намного эффективнее использовать рекуррентное соотношение

,

потому что функция

,

помимо того, что имеет ту же неподвижную точку, также имеет производную, которая там обращается в нуль. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.

Используя метод Галлея, можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости:

.

Интегральные представления[править | править код]

Тождество Виктора Адамчика:

.

Еще одно соотношение, связанное с И. Мезо^[1][2]:

,

.

Трансцендентность[править | править код]

Константа трансцендентна. Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдемана — Вейерштрасса. Предположим, что алгебраическое. По теореме трансцендентно, но ; противоречие. Следовательно, должно быть трансцендентным числом.

См. также[править | править код]

• W-функция Ламберта

Примечания[править | править код]

Источники[править | править код]

• Weisstein, Eric W. Omega Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Omega constant (1,000,000 digits), <http://ankokudan.org/d/d.htm?mathlistindex-e.html>. Проверено 25 декабря 2017.

В теории чисел простые омега-функции ω (n) { displaystyle omega (n)}и Ω (n) { displaystyle Omega (n)}подсчитать количество простых множителей натурального числа п. { displaystyle n.}Таким образом, ω (n) { displaystyle omega (n)}(маленькая омега) подсчитывает каждый отдельный простой фактор, тогда как связанная функция Ω (n) { displaystyle Omega (n)}(большая омега) подсчитывает общее количество простых множителей n, { displaystyle n,}учитывая их множественность (см. арифметическая функция ). Например, если у нас есть разложение на простые множители из n { displaystyle n}в форме n = p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ pk α к { displaystyle n = p_ {1} ^ { alpha _ {1}} p_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots p_ {k} ^ { alpha _ {k}}}для различных простых чисел pi { displaystyle p_ {i}}(1 ≤ i ≤ k { displaystyle 1 leq i leq k}), затем соответствующее простое число омега-функции задаются формулами ω (n) = k { displaystyle omega (n) = k}и Ω (n) = α 1 + α 2 + ⋯ + α k { displaystyle Omega (n) = alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {k}}. Эти функции подсчета простых множителей имеют много важных теоретико-числовых соотношений.

Содержание

• 1 Свойства и отношения
• 2 Функции среднего порядка и сумматоры
  • 2.1 Пример I: Модифицированная сумматорная функция
  • 2.2 Пример II: Сумматорные функции для так называемых факториальных моментов ω (n) { displaystyle omega (n)}
• 3 Ряд Дирихле
• 4 Распределение разности простых омега-функций
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Свойства и отношения

Функция ω (n) { displaystyle omega (n)}является аддитивной и Ω (n) { displaystyle Omega (n)}является полностью аддитивным.

ω (n) = ∑ p ∣ n 1 { displaystyle omega (n) = sum _ {p mid n} 1}

Если p { displaystyle p}делит n { displaystyle n}хотя бы раз, когда мы считаем это только один раз, например ω (12) знак равно ω (2 2 3) = 2 { displaystyle omega (12) = omega (2 ^ {2} 3) = 2}

Ω (n) = ∑ p α ∣ ∣ N α { displaystyle Omega (n) = sum _ {p ^ { alpha} mid mid n} alpha}

Если p { displaystyle p}делит n { displaystyle n}α { displaystyle alpha}раз, затем мы подсчитываем показатели, например Ω (12) = Ω (2 2 3 1) = 3 { displaystyle Omega (12) = Omega (2 ^ {2} 3 ^ {1}) = 3}

Ω (n) ≥ ω (n) { displaystyle Omega (n) geq omega (n)}

Если Ω (n) = ω (n) { displaystyle Omega (n) = omega (n))}, тогда n { displaystyle n}является бесквадратным и связано с функцией Мёбиуса посредством

μ ( п) знак равно (- 1) ω (п) знак равно (- 1) Ω (п) { Displaystyle му (п) = (- 1) ^ { omega (n)} = (- 1) ^ { Omega (n)}}

Если Ω (n) = 1 { displaystyle Omega (n) = 1}, то n { displaystyle n}– простое число.

Известно, что средний порядок функции делителей удовлетворяет 2 ω (n) ≤ d (n) ≤ 2 Ω (n) { displaystyle 2 ^ { omega (n)} leq d (n) leq 2 ^ { Omega (n)}}.

Как и для многих арифметических функций, нет явной формулы для Ω (n) { displaystyle Omega (n)}или ω (n) { displaystyle omega (n)}, но есть приблизительные значения.

Асимптотический ряд для среднего порядка ω (n) { displaystyle omega (n)}задается как

1 n ∑ k = 1 n ω (k) ∼ журнал ⁡ журнал ⁡ n + B 1 + ∑ k ≥ 1 (∑ j = 0 k – 1 γ jj! – 1) (k – 1)! (журнал ⁡ N) К, { Displaystyle { гидроразрыва {1} {n}} sum limits _ {k = 1} ^ {n} omega (k) sim log log n + B_ {1 } + sum _ {k geq 1} left ( sum _ {j = 0} ^ {k-1} { frac { gamma _ {j}} {j!}} – 1 right) { frac {(k-1)!} {( log n) ^ {k}}},}

где B 1 ≈ 0,26149721 { displaystyle B_ {1} приблизительно 0,26149721}– константа Мертенса, и γ j { displaystyle gamma _ {j}}– константы Стилтьеса.

Функция ω (n) { displaystyle omega (n)}относится к суммам делителей по функции Мёбиуса и функции делителей, включая следующие суммы.

∑ d ∣ n | μ (d) | Знак равно 2 ω (n) { displaystyle sum _ {d mid n} | mu (d) | = 2 ^ { omega (n)}}

∑ d ∣ n | μ (d) | к ω (d) знак равно (к + 1) ω (n) { displaystyle sum _ {d mid n} | mu (d) | k ^ { omega (d)} = (k + 1) ^ { omega (n)}}

∑ р ∣ N 2 ω (r) = d (n 2) { displaystyle sum _ {r mid n} 2 ^ { omega (r)} = d ( n ^ {2})}

∑ р ∣ N 2 ω (r) d (nr) = d 2 (n) { displaystyle sum _ {r mid n} 2 ^ { omega (r)} d left ({ frac {n} {r}} right) = d ^ {2} (n)}

∑ d ∣ n (- 1) ω (d) = ∏ p α | | n (1 – α) { displaystyle sum _ {d mid n} (- 1) ^ { omega (d)} = prod limits _ {p ^ { alpha} || n} (1- alpha)}

∑ (k, m) = 1 1 ≤ k ≤ m НОД (k 2 – 1, m 1) НОД (k 2 – 1, m 2) = φ (n) ∑ d 2 ∣ m 2 d 1 ∣ m 1 φ (gcd (d 1, d 2)) 2 ω (lcm ⁡ (d 1, d 2)), m 1, m 2 нечетное, m = lcm ⁡ (m 1, m 2) { displaystyle sum _ { stackrel {1 leq k leq m} {(k, m) = 1}} gcd (k ^ {2} -1, m_ {1}) gcd (k ^ {2 } -1, m_ {2}) = varphi (n) sum _ { stackrel {d_ {1} mid m_ {1}} {d_ {2} mid m_ {2}}} varphi ( gcd (d_ {1}, d_ {2})) 2 ^ { omega ( operatorname {lcm} (d_ {1}, d_ {2}))}, m_ {1}, m_ {2} { текст {odd}}, m = operatorname {lcm} (m_ {1}, m_ {2})}

∑ gcd ⁡ (k, m) = 1 1 ≤ k ≤ n 1 = n φ (m) м + О (2 ω (м)) { Displaystyle sum _ { stackrel {1 leq k leq n} { operatorname {gcd} (k, m) = 1}} ! ! ! ! 1 = n { frac { varphi (m)} {m}} + O left (2 ^ { omega (m)} right)}

характеристическая функция простые числа могут быть выражены с помощью свертки с функцией Мёбиуса :

χ P (n) = (μ ∗ ω) (n) = ∑ d | n ω (d) μ (n / d). { Displaystyle чи _ { mathbb {P}} (п) = ( му аст омега) (п) = сумма _ {д | п} омега (д) му (п / д). }

Связанная с разбиением точная идентичность для ω (n) { displaystyle omega (n)}задается как

ω (n) = log 2 ⁡ [∑ k = 1 n ∑ j = 1 k (∑ d ∣ k ∑ i = 1 dp (d – ji)) sn, k ⋅ | μ (j) | ], { displaystyle omega (n) = log _ {2} left [ sum _ {k = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {k} left ( sum _ {d mid k} sum _ {i = 1} ^ {d} p (d-ji) right) s_ {n, k} cdot | mu (j) | right],}

где p (n) { displaystyle p (n)}– это функция распределения, μ (n) { displaystyle mu (n)}– это функция Мёбиуса, а треугольная последовательность sn, k { displaystyle s_ {n, k}}расширяется на

sn, к знак равно [qn] (q; q) ∞ qk 1 – qk = так (n, k) – se (n, k), { displaystyle s_ {n, k} = [q ^ {n}] (q; q) _ { infty} { frac {q ^ {k}} {1-q ^ {k}}} = s_ {o} (n, k) -s_ {e} (n, k),}

в терминах бесконечного символа q-Поххаммера и ограниченных функций распределения so / e (n, k) { displaystyle s_ {o / e} (n, k)}которые соответственно обозначают количество k { displaystyle k}во всех разделах n { displaystyle n}на нечетное ( четное) количество отдельных частей.

средний порядок и сумматорные функции

среднее ge порядок обоих ω (n) { displaystyle omega (n)}и Ω (n) { displaystyle Omega (n)}– это журнал ⁡ журнал ⁡ n { displaystyle log log n}. Когда n { displaystyle n}равно prime, нижняя граница значения функции равна ω (n) = 1 { displaystyle omega (n) = 1}. Точно так же, если n { displaystyle n}равно primorial, тогда функция имеет размер ω (n) ∼ log ⁡ n log ⁡ log ⁡ n { displaystyle omega (n) sim { frac { log n} { log log n}}}в среднем порядке. Когда n { displaystyle n}представляет собой степень 2, тогда Ω (n) ∼ log ⁡ n log ⁡ 2 { displaystyle Omega (n) sim { frac { log n} { log 2}}}.

Асимптотика для суммирующих функций по ω (n) { displaystyle omega (n)}, Ω (n) { displaystyle Omega (n)}и ω (n) 2 { displaystyle omega (n) ^ {2}}соответственно вычисляются в Харди и Райт как

∑ n ≤ x ω (n) = x log ⁡ log ⁡ x + B 1 x + o (x) ∑ n ≤ x Ω (n) = x log ⁡ log ⁡ x + B 2 x + o (x) ∑ n ≤ x ω (n) 2 = x (log ⁡ log ⁡ x) 2 + O (x log ⁡ log ⁡ x) ∑ n ≤ x ω (n) k = x (log ⁡ log ⁡ x) К + О (Икс (журнал ⁡ журнал ⁡ Икс) К – 1), К ∈ Z +, { Displaystyle { begin {выровнен} сумма _ {п Leq х} omega (п) = х журнал log x + B_ {1} x + o (x) \ сумма _ {n leq x} Omega (n) = x log log x + B_ {2} x + o (x) \ сумма _ {n leq x} omega (n) ^ {2} = x ( log log x) ^ {2} + O (x log log x) \ сумма _ {n leq x} omega (n) ^ {k} = x ( log log x) ^ {k} + O (x ( log log x) ^ {k-1}), k in mathbb {Z} ^ {+}, end {align}}}

где B 1 { displaystyle B_ {1}}снова является константой Мертенса и константой B 2 { displaystyle B_ {2}}определяется как

B 2 = B 1 + ∑ p prime 1 p (p – 1). { displaystyle B_ {2} = B_ {1} + sum _ {p { text {prime}}} { frac {1} {p (p-1)}}.}

Другие суммы, относящиеся к два варианта простых омега-функций включают

∑ n ≤ x {Ω (n) – ω (n)} = O (x), { displaystyle sum _ {n leq x} left { Omega (n) – omega (n) right } = O (x),}

и

# {n ≤ x: Ω (n) – ω (n)>log ⁡ log ⁡ x} = O (х (журнал ⁡ журнал ⁡ x) 1/2). { displaystyle # left {n leq x: Omega (n) – omega (n)>{ sqrt { log log x}} right } = O left ({ frac { x} {( log log x) ^ {1/2}}} right).}

Пример I. Модифицированная сумматорная функция

В этом примере мы предлагаем вариант сумматорных функций S ω ( х): знак равно ∑ N ≤ Икс ω (n) { displaystyle S _ { omega} (x): = sum _ {n leq x} omega (n)}согласно оценке выше результаты для достаточно большого x { displaystyle x}. Затем мы доказываем асимптотическую формулу для роста этой модифицированной сумматорной функции, полученную из асимптотической оценки S ω (x) { displaystyle S _ { omega} (x)}, указанный в формулах в основном подразделе этой статьи выше.

Чтобы быть полностью точным, пусть сумматор с нечетным индексом nction можно определить как

S нечетное (x): = ∑ n ≤ x ω (n) [n нечетное] δ, { displaystyle S _ { operatorname {odd}} (x): = sum _ {n leq x} omega (n) [n { text {odd}}] _ { delta},}

где [⋅] δ { displaystyle [ cdot] _ { delta}}обозначает соглашение Айверсона. Тогда мы имеем, что

S odd (x) = x 2 log ⁡ log ⁡ x + (2 B 1 – 1) x 4 + {x 4} – [x ≡ 2, 3 mod 4] δ + O (x журнал ⁡ x). { displaystyle S _ { operatorname {odd}} (x) = { frac {x} {2}} log log x + { frac {(2B_ {1} -1) x} {4}} + left {{ frac {x} {4}} right } – left [x эквив 2,3 { bmod {4}} right] _ { delta} + O left ({ frac {x} { log x}} right).}

Доказательство этого результата следует, сначала заметив, что

ω (2 n) = {ω (n) + 1, если n нечетно; ω (n), если n четное, { displaystyle omega (2n) = { begin {cases} omega (n) +1, { text {if}} n { text {нечетное; }} \ omega (n), { text {if}} n { text {четное,}} end {cases}}}

и затем применение асимптотического результата Харди и Райта для суммирующая функция над ω (n) { displaystyle omega (n)}, обозначается S ω (x): = ∑ n ≤ x ω (n) { displaystyle S_ { omega} (x): = sum _ {n leq x} omega (n)}в следующей форме:

S ω (x) = S odd (x) + ∑ n ≤ ⌊ x 2 ⌋ ω (2 n) = S нечетное (x) + ∑ n ≤ ⌊ x 4 ⌋ (ω (4 n) + ω (4 n + 2)) = S нечетное (x) + ∑ n ≤ x 4 ⌋ (ω (2 n) + ω (2 n + 1) + 1) = S нечетное (x) + S ω (⌊ x 2 ⌋) + ⌊ x 4 ⌋. { displaystyle { begin {align} S _ { omega} (x) = S _ { operatorname {odd}} (x) + sum _ {n leq left lfloor { frac {x} {2 }} right rfloor} omega (2n) \ = S _ { operatorname {odd}} (x) + sum _ {n leq left lfloor { frac {x} {4}} right rfloor} left ( omega (4n) + omega (4n + 2) right) \ = S _ { operatorname {odd}} (x) + sum _ {n leq left lfloor { frac {x} {4}} right rfloor} left ( omega (2n) + omega (2n + 1) +1 right) \ = S _ { operatorname {odd}} (x) + S _ { omega} left ( left lfloor { frac {x} {2}} right rfloor right) + left lfloor { frac {x} {4}} right rfloor. end {align}}}

Пример II: Сумматорные функции для так называемых факториальных моментов ω (n) { displaystyle omega (n)}

Вычисления расширены в главе 22.11 Харди и Райт предоставляют асимптотические оценки сумматорной функции

ω (n) {ω (n) – 1}, { displaystyle omega (n) left { omega (n) -1 right },}

путем оценки произведения этих двух компонентных омега-функций как

ω (n) {ω (n) – 1} = ∑ p, q simple p ≠ qpq ∣ N 1 знак равно ∑ п, q простое число pq ∣ N 1 – ∑ p простое p 2 ∣ N 1. { displaystyle omega (n) left { omega (n) -1 right } = sum _ { stackrel {pq mid n} { stackrel {p neq q} {p, q { text {prime}}}}} 1 = sum _ { stackrel {pq mid n} {p, q { text {prime}}}} 1- sum _ { stackrel {p ^ {2} mid n} {p { text {prime}}}} 1.}

Аналогичным образом мы можем вычислить асимптотические формулы подробнее как правило, для связанных сумматорных функций над так называемыми факториальными моментами функции ω (n) { displaystyle omega (n)}.

Ряд Дирихле

Известный Ряд Дирихле с участием ω (n) { displaystyle omega (n)}и дзета-функция Римана задается как

∑ n ≥ 1 2 ω (n) ns = ζ 2 (s) ζ (2 s), ℜ (s)>1. { displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {2 ^ { omega (n)}} {n ^ {s}}} = { frac { zeta ^ {2} (s)} { zeta (2s)}}, Re (s)>1.}

Функция Ω (n) { displaystyle Omega (n)}полностью соответствует аддитивный, где ω (n) { displaystyle omega (n)}равно сильно аддитивный (аддитивный). Теперь мы можем доказать короткую лемму в следующая форма, которая подразумевает точные формулы для разложений ряда Дирихле как по ω (n) { displaystyle omega (n)}, так и по Ω (n) { displaystyle Omega (n)}:

Лемма. Предположим, что f { displaystyle f}– сильно аддитивная арифметическая функция определен таким образом, что его значения при простых степенях задаются как f (p α): = f 0 (p, α) { displaystyle f (p ^ { alpha}): = f_ {0} ( p, alpha)}, т.е. f (p 1 α 1 ⋯ пк α К) знак равно е 0 (п 1, α 1) + ⋯ + f 0 (пк, α К) { Displaystyle f (p_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots p_ {k} ^ { alpha _ {k}}) = f_ {0} (p_ {1}, alpha _ {1}) + cdots + f_ {0} (p_ {k}, alpha _ {k })}для различных простых чисел pi { displaystyle p_ {i}}и показателей α i ≥ 1 { displaystyle alpha _ {i} geq 1}. Ряд Дирихле из f { displaystyle f}расширяется на

∑ n ≥ 1 f (n) ns = ζ (s) × ∑ pprime (1 – p – s) ⋅ ∑ n ≥ 1 f 0 (p, n) p – ns, ℜ (s)>min (1, σ f). { displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {f (n)} {n ^ {s}}} = zeta (s) times sum _ {p mathrm { prime}} ( 1-p ^ {- s}) cdot sum _ {n geq 1} f_ {0} (p, n) p ^ {- ns}, Re (s)> min (1, sigma _ {f}).}

Доказательство. Мы видим, что

∑ n ≥ 1 мкФ (n) ns = ∏ pprime (1 + ∑ n ≥ 1 мкФ (п, п) п – нс). { displaystyle sum _ {n geq 1} { frac {u ^ {f (n)}} {n ^ {s}}} = prod _ {p mathrm { prime}} left (1+ sum _ {n geq 1} u ^ {f_ {0} (p, n)} p ^ {- ns} right).}

Это означает, что

n ≥ 1 f (n) ns = ddu [∏ pprime (1 + ∑ n ≥ 1 uf 0 (p, n) p – ns)] | u = 1 = ∏ p (1 + ∑ n ≥ 1 p – ns) × ∑ p ∑ n ≥ 1 f 0 (p, n) p – ns 1 + ∑ n ≥ 1 p – ns = ζ (s) × ∑ pprime (1 – p – s) ⋅ ∑ n ≥ 1 е 0 (п, п) п – нс, { displaystyle { begin {align} sum _ {n geq 1} { frac {f (n)} {n ^ {s}}} = { гидроразрыв {d} {du}} left [ prod _ {p mathrm { prime} } left (1+ sum _ {n geq 1} u ^ {f_ {0} (p, n)} p ^ {- ns} right) right] { Biggr |} _ {u = 1 } = prod _ {p} left (1+ sum _ {n geq 1} p ^ {- ns} right) times sum _ {p} { frac { sum _ {n geq 1} f_ {0} (p, n) p ^ {- ns}} {1+ sum _ {n geq 1} p ^ {- ns}}} \ = zeta (s) times сумма _ {p mathrm { prime}} (1-p ^ {- s}) cdot sum _ {n geq 1} f_ {0} (p, n) p ^ {- ns}, end {выравнивается}}}

везде, где совпадают соответствующие серии и продукты. В последнем уравнении мы использовали произведение Эйлера представление дзета-функции Римана. ⊡ { displaystyle boxdot}

Из леммы следует, что для ℜ (s)>1 { displaystyle Re (s)>1},

D ω (s): = ∑ n ≥ 1 ω (n) ns = ζ (s) P (s) = ζ (s) × ∑ n ≥ 1 μ (n) n log ⁡ ζ (ns) D Ω (s): = ∑ n ≥ 1 Ω (n) ns = ζ (s) × ∑ n ≥ 1 P (ns) = ζ (s) × ∑ n ≥ 1 ϕ (n) n log ⁡ ζ (ns) D Ω λ (s): = ∑ n ≥ 1 λ (N) Ω (N) ns знак равно ζ (s) журнал ⁡ ζ (s), { displaystyle { begin {align} D _ { omega} (s) : = sum _ {n geq 1} { frac { omega (n)} {n ^ {s}}} = zeta (s) P (s) \ = zeta (s) times sum _ {n geq 1} { frac { mu (n)} {n}} log zeta (ns) \ D _ { Omega} (s) : = sum _ {n geq 1} { frac { Omega (n) } {n ^ {s}}} = zeta (s) times sum _ {n geq 1} P (ns) \ = zeta (s) times sum _ {n geq 1 } { frac { phi (n)} {n}} log zeta (ns) \ D _ { Omega lambda} (s) : = sum _ {n geq 1} { frac { lambda (n) Omega (n)} {n ^ {s}}} = zeta (s) log zeta (s), end {выровнено}}}

где P (s) { displaystyle P (s)}– это простая дзета-функция и λ (n) = (- 1) Ω (n) { displaystyle lambda (n) = (- 1) ^ { Omega (n)}}– это лямбда-функция Лиувилля.

Распределение разность простых омега-функций

Распределение различных целочисленных значений разностей Ω (n) – ω (n) { displaystyle Omega (n) – omega (n)}является регулярным по сравнению с полуслучайными свойствами составляющих функций. Для k ≥ 0 { displaystyle k geq 0}, пусть наборы

N k (x): = # {n ≤ x: Ω (n) – ω (n) = k}. { displaystyle N_ {k} (x): = # {n leq x: Omega (n) – omega (n) = k }.}

Эти наборы имеют соответствующую последовательность предельных плотностей dk { displaystyle d_ {k}}так, что для x ≥ 2 { displaystyle x geq 2}

N k (x) = dk ⋅ x + O ( (3 4) kx (журнал ⁡ x) 4 3). { displaystyle N_ {k} (x) = d_ {k} cdot x + O left ( left ({ frac {3} {4}} right) ^ {k} { sqrt {x}} ( log x) ^ { frac {4} {3}} right).}

Эти плотности генерируются простыми произведениями

∑ k ≥ 0 dk ⋅ zk = ∏ p (1 – 1 п) (1 + 1 п – з). { displaystyle sum _ {k geq 0} d_ {k} cdot z ^ {k} = prod _ {p} left (1 – { frac {1} {p}} right) left (1 + { frac {1} {pz}} right).}

С абсолютной константой c ^: = 1 4 × ∏ p>2 (1 – 1 (p – 1) 2) – 1 { displaystyle { hat {c}}: = { frac {1} {4}} times prod _ {p>2} left (1 – { frac {1} {(p-1) ^ {2}}} right) ^ {- 1}}, плотности dk { displaystyle d_ {k}}удовлетворяет

dk = c ^ ⋅ 2 – k + O (5 – k). { Displaystyle d_ {k} = { hat { c}} cdot 2 ^ {- k} + O (5 ^ {- k}).}

Сравните с определением простых продуктов, определенным в последнем разделе в отношении Эрдеша – Каца теорема.

См. также

Примечания

Ссылки

• Г. Х. Харди а nd Э. М. Райт (2006). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Oxford University Press.
• Х. Л. Монтгомери и Р. К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
• Шмидт, Макси. “Теоремы факторизации для произведений Адамара и производные высшего порядка производящих функций рядов Ламберта”. arXiv : 1712.00608.
• Вайсштейн, Эрик. «Разные основные факторы». MathWorld. Проверено 22 апреля 2018 г.

Внешние ссылки

Омега (греч. ὦ μέγα — большое «о») — последняя буква греческого алфавита. А также:

• Омега (кириллица) — буква кириллицы, а также обозначение числа 800 в кириллической системе счисления.
• Альфа и Омега (значения) — первая и последняя буквы греческого алфавита. Словосочетание, буквально означающее «начало и конец», «от и до», «от первой и до последней буквы». Часто применяется в названиях художественных произведений.

«Омега» в музыке

• Omega (группа) — венгерская рок-группа.
• Omega — альбом британской рок-группы Asia.
• Deathspell Omega — французская блэк-метал-группа.

«Омега» в художественных произведениях, кинематографии и компьютерных играх

• Omega (Вавилон-5) — вымышленный класс космических кораблей в телесериале «Вавилон-5».
• Омега (Mass Effect) — название космической станции в виде медузы в вымышленной вселенной Mass Effect.
• Вариант «Омега» — советский пятисерийный художественный фильм, снятый в 1975 году режиссёром Антонисом-Янисом Воязосом.
• Омега Суприм (Омегатор) — персонаж-робот из мультсериала «Трансформеры».
• «Человек Омега» — американский фантастический фильм 1971 года режиссёра Бориса Сагала. Одна из экранизаций романа Ричарда Мэтисона «Я — легенда».
• I Am Ωmega, букв. «Я — Омега» (Я воин) — американский художественный фильм 2007 года режиссёра Гриффa Фёрстa, экранизация романа Ричарда Мэтисона «Я — легенда».
• Омега-молекулы — один из видов оружия в вымышленной вселенной «Звёздного пути».
• Миры Омега — один из классов звёздных систем в вымышленной вселенной компьютерной игры Freelancer.
• God of War — используется символ Омега

«Омега» как марка технических устройств

• Opel Omega — марка автомобиля «Опель».
• Омега (самолёт) — советский легкомоторный самолёт конструкции А. Н. Грацианского.
• «Омега» — прототип радиостанции «Север».
• «Омега» — радиоприёмник Р-311.
• Omega (компания) — швейцарская часовая компания, выпускающая часы под одноимённой маркой.
• Омега (компания) — российская компания по разработке и внедрению программного обеспечения для управления предприятиями, комплексной автоматизации бухгалтерского и налогового учета средних и крупных российских предприятий.
• Omega (навигационная система) — система радионавигации.
• Омега — советская программа разработки лазерного оружия высокой мощности для ПВО.
• «Омега» — название советских космических аппаратов типа Космос-14 и Космос-23.

Омега в математике и информатике

• Омега-язык (ω-язык) — это множество бесконечно длинных последовательностей символов.
• Омега-код Элиаса — универсальный код для кодирования положительных целых чисел, разработанный Питером Элиасом.
• Cω (произносится: си́ оме́га, обычно записывается: Cw или Comega) — язык программирования, расширение языка программирования C#, разработанный Microsoft Research.
• Омега-мэппинг — один из способов изображения процесса общего системного мышления с помощью схем, вид диаграммы связей.

Омега в химии и физике

• Знаком Ω обозначают Ом — единицу измерения электрического сопротивления в СИ.
• Омега-3, омега-6, омега-9  — классы полиненасыщенных жирных кислот.
• Омега-гиперон (Ω⁻-гиперон) — элементарная частица из семейства барионов (Ω-барионы).

Омега в астрономии

• Омега (ω) — обозначение звёзд в некоторых созвездиях в системе обозначений Байера буквами греческого алфавита.
• Омега — туманность в созвездии Стрельца.
• NGC 5139 — ω Центавра, шаровое скопление в созвездии Центавр.

Топонимы

• Бухта Омега — название одной из севастопольских бухт. В бухте находится одноименный пляж «Омега».

Другие значения

• Омега-шахматы — один из вариантов шахмат, изобретённый Дэниелом МакДоналдом в 1992 году.
• Омега (спецподразделение) — спецподразделение внутренних войск МВД Украины.
• Omega (спецподразделение) — спецподразделение Латвии