Как найти описанную окружность квадрата по диагонали

Как найти описанную окружность квадрата по диагонали

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около квадрата. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

  • Формулы вычисления радиуса описанной окружности

    • Через сторону квадрата

    • Через диагональ квадрата

  • Примеры задач

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Квадрат ABCD с описанной вокруг окружностью

Через сторону квадрата

Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

Формула расчета радиуса описанной около квадрата окружности через длину его стороны

Через диагональ квадрата

Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали d.

Формула расчета радиуса описанной около квадрата окружности через длину его диагонали

Примеры задач

Задание 1

Длина стороны квадрата равняется 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение

Применим первую формулу, рассмотренную выше:

Пример нахождения радиуса описанной вокруг квадрата окружности через длину его стороны

Задание 2

Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной вокруг него окружности составляет 6 см.

Решение

Как мы знаем, радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равняется 12 см (6 см ⋅ 2).

Источник

Радиус описанной окружности квадрата

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

радиус описанной окружности около квадрата

a – сторона квадрата

d – диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Формула радиуса описанной окружности квадрата

Калькулятор – вычислить, найти радиус описанной окружности квадрата

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 09 сентября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Здравствуйте, уважаемые читатели. Продолжаем разбор заданий с окружностью. В этой статье рассмотрим задачи на вписанную окружность в квадрат и описанную около квадрата.

1. Центральные и вписанные углы.

2.Касательная, хорда, секущая.

3.Вписанная и описанная окружность (треугольник)

4. Вписанная и описанная окружность (квадрат)

Все задачи такого типа достаточно простые. Приступим сразу же к решению задач.

Задача №1

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Решение:

Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.

Решение к этой задачи представлю в виде картинки.

Решение к задаче №1
Решение к задаче №1

О – центр окружности, r – радиус окружности. В этой задаче радиус окружности равен половине стороны квадрата. Ответ 8.

Задача №2

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 9

Решение:

Задача обратная той, что мы решили выше. Так как радиус окружности равен 9, то сторона квадрата равна 18. Площадь квадрата равна:

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Задача №3

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Решение:

В предыдущих задачах мы определили, что если известен радиус вписанной окружности в квадрат, то сторона квадрата будет равна удвоенному значению радиуса.

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Зная сторону квадрата, диагональ квадрата найдем, используя теорему Пифагора.

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Задача №4

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Решение:

Эта задача, включает в себя все этапы, которые были разобраны выше. Задачу можно разбить на действия:

1) Найдем сторону квадрата.

2) Найдем диагональ квадрата.

3) Найдем радиус описанной окружности, разделив диагональ квадрата пополам.

d - диагональ квадрата, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности
d – диагональ квадрата, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности

1) Найдем сторону квадрата:

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

2) Найдем диагональ квадрата используя теорему Пифагора:

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

3) Найдем радиус описанной окружности, разделив диагональ квадрата пополам.

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Вписанная и описанная окружность (квадрат) Задание №16 ОГЭ
Источник
Квадрат
Квадрат со стороной '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' и диагональю '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'
Квадрат со стороной a и диагональю d
Рёбра 4
Символ Шлефли {4}
Вид симметрии Диэдрическая группа (D4)
Площадь a2
Внутренний угол 90°
Свойства
Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой {displaystyle (90^{circ })}[2].

Варианты определения[править | править код]

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами[3][4].

  • Четырёхугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
  • Четырёхугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом.
  • Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
  • Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Ромб, у которого диагонали равны.
  • Ромб, у которого два соседних угла равны.
  • Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
  • Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
  • Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
  • Дельтоид, все углы которого прямые.

Свойства[править | править код]

Основной источник: [4]

Далее в этом разделе a обозначает длину стороны квадрата, d — длину диагонали, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Стороны и диагонали[править | править код]

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали {displaystyle d=a{sqrt {2}}.}

Периметр квадрата P равен:

{displaystyle P=4a=4{sqrt {2}}R=8r}.

Вписанная и описанная окружности[править | править код]

Вписанная и описанная окружности для квадрата

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

{displaystyle r={frac {a}{2}}.}

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

{displaystyle R={frac {sqrt {2}}{2}}a.}

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь[править | править код]

  • Площадь квадрата

  • Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

    Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

Площадь S квадрата равна

{displaystyle S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 over 2}d^{2}}.

Из формулы {displaystyle S=a^{2},} связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства[5].

  1. Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
  2. Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

К уравнению квадрата; здесь {displaystyle R=2,x_{0}=y_{0}=0}

Уравнение квадрата[править | править код]

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке {displaystyle {x_{0},y_{0}}} и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде[6]:

{displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=R,}

где R — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна {displaystyle R{sqrt {2}},} его диагональ равна {displaystyle 2R,} а площадь квадрата равна {displaystyle 2R^{2}.}

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

  1. {displaystyle |x-y|+|x+y|=a} (легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
  2. {displaystyle max(x^{2},y^{2})=r^{2}}
  3. (в полярных координатах[7]) {displaystyle quad r(varphi )=min left({frac {r}{|cos varphi |}},{frac {r}{|sin varphi |}}right)}

Математические проблемы[править | править код]

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

  • Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.

Пример квадрирования квадрата {displaystyle 112times 112}

  • Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
  • Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
  • Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
  • Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.

Симметрия[править | править код]

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

  • одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
  • четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Применение[править | править код]

В математике[править | править код]

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

{displaystyle square u:={frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial z^{2}}}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}}

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)[8].

Графы:
K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

Орнаменты и паркеты[править | править код]

  • Мозаики, включающие квадраты

  • «Пифагорова мозаика»

  • Bond brick hexagonal tiling.png

  • Square rhombic tiling.png

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Другие применения[править | править код]

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

Графика[править | править код]

Символы со сходным начертанием: ロ · ⼝ · ⼞

Ряд символов имеют форму квадрата.

  • Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
  • U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
  • ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана))
  • 口 (Китайский иероглиф «рот»)
  • 囗 (Китайский иероглиф «ограда»)

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции Box или square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

  • <span style=”border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;”>text</span>; результат: text.

Вариации и обобщения[править | править код]

Многомерное пространство[править | править код]

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрия[править | править код]

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

Построение квадрата с использованием циркуля и линейки

Складывание квадрата из произвольного куска бумаги

См. также[править | править код]

  • Алгоритм «движущиеся квадраты»
  • Квадрат Полибия
  • Квадратная матрица
  • Квадратриса
  • Первая теорема Тебо
  • Площадь произвольного четырёхугольника

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Квадрат // Советский энциклопедический словарь. — 2-е изд.. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — С. 561. — 1600 с.
  2. ↑ Квадрат // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 776. — 1184 с.
  3. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
  4. ↑ 1 2 Каплун, 2014, с. 171—173.
  5. ↑ Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 117, 119. — 312 с. — ISBN 5-94057-171-9.
  6. ↑ Уравнение квадрата в декартовой системе координат. Дата обращения: 9 ноября 2021. Архивировано 9 ноября 2021 года.
  7. ↑ What is the polar equation for a square, if any?
  8. ↑ Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977. — 208 с. Архивировано 28 июня 2021 года.

Литература[править | править код]

  • Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д.: ООО “Феникс”, 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.

Ссылки[править | править код]

  • Квадрат, геометрическая фигура // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Источник

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

Cторона квадрата, диаметр вписанной окружности (L)

Диагональ квадрата, диаметр описанной окружности (M)

Радиус вписанной окружности (R1)

Радиус описанной окружности (R2)

Округление:

* – обязательно заполнить

Диагональ, диаметр описанной окружности (M) = 10

Cторона, диаметр вписанной окружности (L) = (sqrt{frac{M^{2}}{2}}) = (sqrt{frac{10^{2}}{2}}) = 7.07

Радиус вписанной окружности (R1) = (frac{L}{2}) = (frac{7.07}{2}) = 3.54

Радиус описанной окружности (R2) = (frac{M}{2}) = (frac{10}{2}) = 5

Периметр (P) = (L*4) = (7.07*4) = 28.28

Площадь (S) = (L^{2}) = (7.07^{2}) = 49.98

Источник

Добавить комментарий