Привет! В этой статье предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции опор, чему учат еще в рамках дисциплины — «теоретическая механика». Но для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.
Так как этот урок для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику.
В рамках статьи рассмотрим 4 примера: двухопорная балка, загруженная посередине пролёта сосредоточенной силой, такая же балка, но загруженная распределённой нагрузкой, консольная балка и плоская рама.
Что такое реакция опоры?
Чтобы лучше понять, что такое реакция опоры (опорная реакция), давай рассмотрим следующий пример — балку (стержень) лежащую на опорах:
На балку давит нагрузка – сила, в свою очередь, балка давит на опоры. И чтобы балка лежала на опорах (никуда не проваливалась), опоры выполняют свою основную функцию — удерживают балку. А чтобы удерживать балку, опоры должны компенсировать тот вес, с которым балка давит на них. Соответственно, действие опор можно представить в виде некоторых сил, так называемых — реакций опор.
Для балки, и нагрузка, и реакции опор, будут являться внешними силами, которые нужно обязательно учитывать при расчёте балки. А чтобы учесть опорные реакции, сначала нужно научиться определять их, чем, собственно, и займёмся на этом уроке.
Виды связей и их реакции
Связи – это способы закрепления элементов конструкций. Опоры, которые я уже показывал ранее – это тоже связи.
В этой статье будем рассматривать три вида связей: жёсткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора.
Жёсткая заделка
Жёсткая заделка — это один из вариантов закрепления элементов конструкций. Этот тип связи препятствует любым перемещениям, тем самым для плоской задачи, может возникать три реакции: вертикальная (RA), горизонтальная (HA) и момент (MA).
Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора
В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.
В шарнирно-неподвижной опоре возникает две реакции: вертикальная и горизонтальная. Так как опора препятствует перемещению в этих двух направлениях. В шарнирно-подвижной опоре возникает только вертикальная реакция.
Однако, видов связей и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их все рассматривать не будем. Так как, изученные ранее виды связей, являются основными и практически всегда, при решении задач по сопромату, ты будешь сталкиваться именно с ними.
Что такое момент силы?
Также необходимо разобраться с понятием момент силы.
Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.
Проиллюстрирую написанное:
Правило знаков для моментов
Также для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:
- если сила относительно точки стремится повернуть ПРОТИВ часовой стрелки, то момент положительный;
- если она стремится повернуть ПО часовой стрелке, то момент отрицательный.
Всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнём с простейшей расчётной схемы балки.
Определение реакций для двухопорной балки
Возьмём балку, загруженную посередине сосредоточенной силой и опирающейся на шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опору:
Введём систему координат: направим ось x вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как HA, RA и RB:
Для тех, кто пришёл сюда, ещё будучи на этапе изучения теоретической механики, а я знаю, таких будет много, важно отметить, что в сопромате не принято указывать знаки векторов над силами.
В термехе же, в обязательном порядке, преподаватель от тебя настойчиво будет требовать указывать знак вектора над всеми силами, вот так:
Условия равновесия системы
Чтобы найти все реакции, нужно составить и решить три уравнения — уравнения равновесия:
Данные уравнения являются условиями равновесия системы. А так как мы предполагаем, что опоры обеспечивают это состояние равновесия (удерживают балку). То составив и решив уравнения равновесия — найдём значения опорных реакций.
Первое уравнение называется уравнением проекций — суммой проекций всех сил на координатную ось, которая должна быть равна нулю. Два других уравнения называются уравнениями моментов — суммами моментов всех сил относительно точек, которые должны быть равны нулю.
Уравнения равновесия
Как видишь, чтобы научиться находить реакции опор, главное — научиться правильно составлять уравнения равновесия.
Уравнение проекций
Запишем первое уравнение — уравнение проекций для оси x.
В уравнении будут участвовать только те силы, которые параллельны оси x. Такая сила у нас только одна — HA. Так как HA направлена против положительного направления оси x, в уравнение её нужно записать с минусом:
Тогда HA будет равна:
Поздравляю, первая реакция найдена!
Уравнения моментов
А теперь самое интересное…запишем уравнение моментов, относительно точки A, с учётом ранее рассмотренного правила знаков для моментов.
Так как сила F поворачивает ПО часовой стрелке, записываем её со знаком «МИНУС» и умножаем на плечо.
Так как сила RB поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем её со знаком «ПЛЮС» и умножаем на плечо. И, наконец, всё это приравниваем к нулю:
Из полученного уравнения выражаем реакцию RB:
Вторая реакция найдена! Третья реакция находится аналогично, но только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:
Проверка правильности найденных опорных реакций
Чем хороши задачи на определение реакций, так это тем, что правильность расчёта реакций легко проверить. Для этого достаточно составить дополнительное уравнение равновесия, подставить все численные значения и если сумма проекций сил или сумма моментов будет равна нулю, то и реакции, значит, найдены — верно, а если нет, то ищем ошибку.
Составим дополнительное уравнение проекций для оси y и подставим все численные значения:
Как видишь, реакции опор найдены правильно.
Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой
Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:
Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно «свернуть» до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:
Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:
Расчёт реакций для консольной балки
Давай рассмотрим теперь пример с жёсткой заделкой – консольную балку. Заодно посмотрим, как учесть силу, приложенную под углом (α = 30°).
Силу, направленную под определённым углом, нужно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. А их значения найти из силового треугольника:
Покажем реакции в заделке и выполним расчёт:
Для этой задачи выгоднее использовать другую форму условий равновесия:
А выгодна она тем, что из каждого записанного уравнения будем сразу находить реакцию:
Не пугайся отрицательного значения реакции! Это значит, что при указании реакции, мы не угадали с её направлением. Расчёт же показал, что MA, направлена не по часовой стрелке, а против.
В теоретической механике, когда реакции получают с «минусом» обычно не заморачиваются и не меняют их направление на схеме, так и оставляют в ответе отрицательное значение, оговаривая, что да реакция найдена, но с учётом знака, на самом деле направлена в другую сторону. Потому что найденные реакции в задачах на статику, являются конечной точкой расчёта.
У нас же, в сопромате после нахождения опорных реакций, всё только начинается. Найдя реакции, мы всего лишь находим ВСЕ силы действующие на элемент конструкции, а дальше по сценарию стоит задача определить внутренние усилия, возникающие в этом элементе, расчёты на прочность и т. д. Поэтому на схеме, обязательно следует указывать истинное направление реакций. Чтобы потом, когда будут рассчитываться внутренние усилия ничего не напутать со знаками.
Если получили отрицательное значение, нужно отразить это на схеме:
С учётом изменений на схеме реакция будет равна:
Сделаем проверку, составив уравнение равновесие, ещё не использованное – сумму моментов относительно, скажем, точки B, которая, при правильном расчёте, конечно, должна быть равна нулю:
Если не менять направление реакции, то в проверочном уравнении нужно учесть этот «минус»:
Можешь посмотреть еще один пример, с похожей схемой, для закрепления материала, так сказать.
Реакции опор для плоской рамы
Теперь предлагаю выполнить расчёт плоской рамы. Для примера возьмём расчётную схему, загруженную всевозможными видами нагрузок:
Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:
- заменяем опоры на реакции;
- сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
- вводим систему координат x и y.
Выполняем расчёт реакций опор:
Меняем направление реакции RA:
В итоге получили следующие реакции в опорах рамы:
Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумма будет равна нулю, то расчет выполнен верно:
Как видим, расчет реакций выполнен правильно!
Определением реакций опор называют расчет величины и направления реактивных (т.е. ответных) сил и моментов, возникающих в опорах конструкций под действием системы заданных внешних нагрузок.
В рассмотренных ниже примерах, для наглядности, заданные внешние нагрузки показаны синим или зеленым цветом, а реакции опор — красным или оранжевым.
При решении задач, определяемые реакции опор могут обозначаться по разному:
- буквой R (от англ. Reaction). В этом случае, для уточнения точки приложения и направления силы могут добавляться соответствующие индексы (например, RAy — это реакция в точке A направленная вдоль оси Y);
- буквами V (Vertical) и H (Horizontal) обозначаются соответственно вертикальная и горизонтальная составляющие полной реакции (например, HB — это реакция в точке B направленная вдоль оси балки);
- Также возможно обозначение реакций по осям координат — YA, XB и т.д.
Сохранить или поделиться с друзьями
Рассмотрим решение всех типов задач по расчету величины и направления опорных реакций в заделках, шарнирных опорах и стержнях:
Примеры нахождения реакций опор
Примеры нахождения реакций опор для различных способов закрепления и нагружения бруса, балок, рам и других элементов конструкций.
Реакции опоры и стержня системы
Невесомая балка удерживается в горизонтальном положении шарнирно-неподвижной опорой в т. A и вертикальным стержнем BC.
В точке D к балке приложена сосредоточенная сила F=30кН под углом 50°.
Требуется найти реакции, возникающие в опоре A и стержне BC.
Решение
Для решения задачи, покажем систему координат x-y и зададим произвольное направление реакций.
В точке A реакция в опоре раскладывается на две составляющие — вертикальную VA и горизонтальную HA.
Реакция в стержне (RB) всегда направлена вдоль самого стержня.
Для определения трех реакций требуется три уравнения равновесия.
Это будут два уравнения суммы моментов относительно точек в опорах и сумма проекций всех сил на ось x равные нулю.
Составим их:
Из полученных уравнений выражаем и находим искомые реакции опор
Вертикальная реакция в опоре A получилась отрицательной, это значит что она направлена в противоположную сторону.
Направляем ее вниз, изменив знак на «плюс».
Выполним проверку найденных реакций, проецируя все силы на ось y.
Равенство нулю суммы проекций всех сил и реакций показывает то, что реакции опор найдены верно.
Таким образом, заданная балка удерживается в равновесии под действием одной активной и трех реактивных сил.
Расчет реакций опор балки
Простая балка на двух шарнирных опорах нагружена системой усилий, включающей силу F=60кН, приложенную под углом 40°, момент M=45кНм и равномерно распределенную нагрузку q=18кН/м.
Требуется определить реакции в опорах A и C.
Решение
Вычерчиваем заданную схему в масштабе, показываем численные значения нагрузок, систему координат x-y и задаем произвольное направление реакций.
Здесь, в шарнирно-подвижной опоре будет только одна составляющая реакции.
Для упрощения решения, распределенную нагрузку можно заменить её равнодействующей, которая при равномерном распределении q будет приложена по её центру
а силу F можно разложить на составляющие, спроецировав её на оси x и y.
В следющих примерах эти действия выполнять не будем, проводя вычисления напрямую со значениями q и F.
Аналогично тому, как это делалось при решении предыдущей задачи, записываем уравнения равновесия балки: нулевые суммы моментов всех нагрузок и искомых реакций относительно опор
и проекций сил на ось балки
Откуда находим все три опорные реакции
Все результаты положительны, следовательно, направление реакций было выбрано верно.
Проверяем найденные значения.
Величина реакций рассчитана правильно.
Подробное решение данного типа задач
Остальные задачи по определению опорных реакций с детальным разбором выполняемых действий:
При растяжении-сжатии стержней
Определение реакций в опорах стержней и стержневых систем при действии продольных сил.
- Расчет опорной реакции при растяжении-сжатии
- Расчет опорной реакции ступенчатого бруса
- Опорная реакция в заделке стержня с продольно распределенной нагрузкой
При кручении
Примеры расчета опорных моментов и реакций в подшипниках вала при кручении.
- Определение неизвестного крутящего момента вала
- Определение реакций подшипников пространственно нагруженного вала
- Расчет уравновешивающего момента вала
При изгибе балок и рам
Определение реакций в шарнирных опорах и заделках консольных балок и рам при действии систем внешних сил, моментов и распределенных нагрузок.
- Определение реакций в опорах двухопорной балки
- Расчет опорных реакций консольной балки
- Определение опорных реакций в жесткой заделке при изгибе
- Определение реакций опор балки, когда сила приложена под углом
- Проверка опорных реакций балки
- Расчет реакций в опорах рамы
- Определение опорных реакций балки (Видео)
Наш короткий видеоурок по расчету реакций опор балки:
Другие видео
Другие примеры определения реакций опор
Расчет реакций в опорах нестандартных систем.
- Определение реакции шарнира и опоры
- Реакции в шарнирах
- Реакции опор и шарнира
- Расчет веса противовеса и реакций в шарнирах
- Величина груза обеспечивающая равновесие и реакции в подшипниках
- Определение усилий в стержнях
- Натяжение троса и реакция опоры
- Реакции опор в точках системы
- Опорные реакции невесомой конструкции
- Опорные реакции в скользящей заделке
- Давление в шарнире и реакции в бискользящей заделке
- Реакции в скользящей заделке
- Расчет усилия в стержне
Типы опор и их реакции
В механике различают тела свободные: возможность перемещения, которых в любом направлении ничем не ограничена, и несвободные, когда перемещение данного тела ограничивают другие тела.
Сами тела ограничивающие свободу перемещения данного тела называют опорами (связями), а силы, с которыми опоры удерживают данное тело в равновесии, называют реакциями опор.
Направление реакций зависит от вида опор и схемы нагружения.
При решении задач очень важно правильно заменить опоры их реакциями, иначе записанные уравнения равновесия окажутся неверными.
И здесь важно помнить о том, что реакции могут появляться только по тем направлениям, в которых перемещение невозможно.
Рассмотрим определение реакций в основных типах опор:
Другие видео
Реакция гладкой поверхности
Пусть некоторое тело опирается на гладкую поверхность.
Здесь перемещение тела возможно только вдоль поверхности.
Движение перпендикулярно ей исключено.
Потому что перемещению в сторону поверхности препятствует сама поверхность, а при движении от нее нарушится сама связь.
Таким образом, гладкая поверхность препятствует перемещению тела только в направлении нормали, поэтому реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой поверхности.
При взаимодействии криволинейных поверхностей аналогично, реакция направлена нормально к касательной в точке контакта тел.
То же самое будет при контакте в двух точках.
Реакция ребра
В случае, когда прямая балка опирается на ребро, реакции будут направлены перпендикулярно опираемой или опирающейся плоскости в точке их касания.
При повороте балки реакция всегда будет оставаться нормальной к соответствующей поверхности.
Гибкая связь
Для тела, подвешенного на нерастяжимой нити или тросе, связь не позволяет телу удаляться от точки подвеса в направлении самой нити.
Поэтому реакция гибкий связи будет направлена всегда только вдоль самой нити.
Реакции в стержнях
Как и в предыдущем пункте, в стержнях, которые с помощью шарниров соединяют какие-либо элементы с опорами, реакции направлены вдоль самих стержней.
Но в отличие от нитей, здесь может быть одно из двух направлений: растягивающее стержень или сжимающее его.
Реакции в шарнирных опорах
На плоскости возможны только три направления перемещения:
Линейные — вдоль осей x и y, и вращение относительно оси Z.
Поэтому в двумерных системах каждая опора может давать не более трех реакций.
Если свободное тело закрепить шарнирно-неподвижной опорой, которая допускает вращение, но исключает любые линейные перемещения, то в такой опоре могут возникать две реакции.
Они являются осевыми проекциями полной реакции опоры, которая может быть найдена как корень из суммы квадратов её составляющих.
Направление вектора полной реакции зависит от схемы нагружения элемента.
Встречаются разные способы изображения шарнирно-неподвижных опор в расчетных схемах.
В шарнирно-подвижных опорах, помимо вращения возможно линейное перемещение вдоль поверхности, поэтому здесь будет только одна, нормальная к поверхности, составляющая реакции, которая по направлению и величине будет совпадать с полной.
У таких опор так же существуют дополнительные варианты схематичного изображения.
Пример направления реакций опор для балки на двух шарнирных опорах.
Реакции в заделках
Вид связи, при котором брус жестко закреплен в опоре называется глухой заделкой.
В этом случае исключены любые перемещения элемента.
Поэтому в плоских заделках может возникать до трех реакций: горизонтальная и вертикальная составляющие полной реакции, а также момент.
Скользящая заделка допускает линейное перемещение вдоль одной из осей.
Следовательно, по этой оси реакции не будет.
В бискользящей заделке исключается только угловое перемещение элемента.
Здесь из реакций будет один момент.
Реакции опор в трехмерных системах
В пространстве возможно уже шесть направлений движения:
Поступательные вдоль каждой из осей и вращение относительно них.
Поэтому в трехмерных системах опоры могут давать до шести реакций.
Шкив на валу, закрепленном подшипниками, может вращаться относительно продольной оси вала.
Любые другие перемещения невозможны.
В силу конструктивных особенностей подшипников моментов в них не возникает.
Здесь имеют место только реактивные силы.
В радиальном подшипнике (который справа) все реакции поперечны оси вала.
В радиально-упорном (который слева) добавляется еще и продольная.
В трехмерном шарнире исключены любые линейные перемещения и возможны только повороты относительно трех осей, что дает до трех составляющих полной реакции R.
В жесткой заделке при общем случае нагружения может возникать до шести реакций: трёх сил и трех моментов.
Пример замены опор их реакциями для трехмерной системы:
Порядок расчета опорных реакций
В рассмотренных выше примерах при определении реакций в опорах выполняется следующая последовательность действий:
- Вычерчивается (в масштабе) расчетная схема элемента с указанием всех размеров и приложенных внешних нагрузок;
Расчетная схема балки - Выбирается система координат и обозначаются характерные сечения бруса;
Система координат для балки - Определяется количество и возможное направление связей;
Направление опорных реакций балки - Записываются уравнения статики (по количеству неизвестных реакций);
- Из уравнений равновесия находим величину и направление (по знаку) опорных реакций.
Опорные реакции балки
После расчетов выполняется проверка найденных значений.
Более подробно порядок расчета опорных реакций рассматривается в разделе «Статика» теоретической механики.
Другие примеры решения задач >
Определение опорных реакций
Способы определения опорных реакций изучаются в курсе теоретической механики. Остановимся только практических вопросах методики вычисления опорных реакций, в частности для шарнирно опертой балки с консолью (рис. 7.4).
Нужно найти реакции: 
, 
и 
. Направления реакций выбираем произвольно. Направим обе вертикальные реакции вверх, а горизонтальную реакцию – влево.
Нахождение и проверка опорных реакций в шарнирной опоре
Для вычисления значений реакций опор составим уравнения статики:
Сумма проекций всех сил (активных и реактивных) на ось z равна нулю: 
.
Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки (перпендикулярные к оси балки), то из этого уравнения находим: горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры 
.
Сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю:
.
Правило знаков для момента силы: считаем момент силы положительным, если он вращает балку относительно точки против хода часовой стрелки.
Необходимо найти равнодействующую распределенной погонной нагрузки. Распределенная погонная нагрузка равна площади эпюры распределенной нагрузки 
и приложена в центре тяжести этой эпюры (посредине участка длиной 
).
Тогда
кН.
Сумма моментов всех сил относительно опоры B равна нулю:
.
кН.
Знак «минус» в результате говорит: предварительное направление опорной реакции 
было выбрано неверно. Меняем направление этой опорной реакции на противоположное (см. рис. 7.4) и про знак «минус» забываем.
Проверка опорных реакций
Сумма проекций всех сил на ось y должна быть равна нулю: 
.
Силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются на нее со знаком «плюс»:
(верно).
Нахождение опорных реакций в жесткой заделке
Найдем реакции опор в жесткой заделке. Для определения опорных реакций составляются уравнения статики:
Из первого уравнения определяется реакция 
(обычно равна нулю), из второго – 
и из третьего – момент в жесткой заделке 
.
Проверка, как правило, не производится.
В случае действия
на балку плоской системы сил можно
записать три уравнения равновесия:
откуда следует:
для равновесия балки необходимо, чтобы
суммы проекций всех сил, приложенных к
балке, включая реакции опор на оси
x
и y,
и сумма моментов всех сил относительно
любого полюса в плоскости действия сил
были равны нулю.
Если опорные
реакции балок могут быть найдены из
уравнений статики, то балки называют
статистически определимыми. Они могут
быть только двух видов:
1) балка с
одним жестко защемлённым и одним
свободным концом (консоль) (рис. 7.5, а);
2) балка с
одной шарнирно-неподвижной и другой
шарнирно-подвижной опорой (рис. 7.5, б,
в).
Балка, изображённая на рис. 7.5, б
называется простой, а балка на рис. 7.5,
в
– консольной, так как имеет свешивающиеся
с опор концы, которые называются
консолями.
Рис. 7.5
Пример 1
Определить опорные
реакции консольной балки (рис. 7.6).
Решение.
Реакцию заделки представляем в виде
двух составляющих – вертикальной
и горизонтальной
–
и реактивного момента
;
при этом направления сил вдоль осей и
направление момента принимаем произвольно.
Условимся здесь и в дальнейшем осьx
направлять вправо, а ось у
– вверх.
Рис. 7.6
Составляем
уравнение равновесия:
1) Сумма проекций
всех сил на горизонтальную ось x
равна нулю:
Из этого уравнения получаем, что
,
т.е. при отсутствии горизонтальной
нагрузки горизонтальная составляющая
реакции равна нулю;
2) Сумма проекций
всех сил на вертикальную ось у
равна нулю:
Равномерно распределённую нагрузку
интенсивностью
заменяем
её равнодействующей
приложенной в середине участка
:
откуда
3) Сумма
моментов всех сил относительного любого
центра равна нулю. За центр примем точку
.
откуда
.
Реактивный момент
получился со знаком минус, следовательно,
его направление необходимо заменить
на противоположное (против направления
вращения часовой стрелки).
Пример 2
Определить опорные
реакции двухопорной одноконсольной
балки
(рис. 7.7).
Решение.
Поскольку горизонтальная нагрузка
отсутствует, то
Рис. 7.7
В качестве
проверочного воспользуемся уравнением
проекций всех сил на вертикальную ось
7.4. Поперечная сила и изгибающий момент в сечении
При плоском
поперечном изгибе в любых поперечных
сечениях балки возникают два внутренних
силовых фактора – поперечная сила
и изгибающий момент
.
Для их определения, как и при других
видах деформаций, применим универсальный
метод, который называется методом
сечений.
Мысленно
рассечём балку по сечению
,
находящемся на расстоянии
от левой опоры
(рис. 7.8,а).
Правую часть балки отбросим и рассмотрим
равновесие оставшейся левой части (рис.
7.8, б
). Для того чтобы она находилась в
равновесии, в сечении должны участвовать
поперечная сила и изгибающий момент,
представляющие собой действие отброшенной
части на оставшуюся. Для определения
и
запишем два уравнения равновесия:стоящего
на расстоянии !!!! !!!!! х видах деформаций
применим универсальный метод, который
называется методом сечений.
ила !!!!
1)
;
,
откуда
;
(7.1)
2)
;
,
откуда
.
(7.2)
Рис. 7.8
Из (7.1) и (7.2)
сформулируем правила определения Q
и
MИ
.
Результирующая
внутренних сил, приложенная в сечении
оставшейся части балки, численно равна
алгебраической сумме внешних сил,
действующих по одну сторону от сечения,
называется поперечной силой и обозначается
Q.
Момент пары
внутренних сил, приложенный к оставшейся
части балки, численно равный алгебраической
сумме моментов внешних сил, действующих
по одну сторону от сечения, называется
изгибающим моментом и обозначается MИ.
Если вместо левой
части балки рассмотреть правую, то
изгибающий момент и поперечная сила в
сечении будут иметь те же значения, но
иметь противоположные знаки.
Для того чтобы
изгибающий момент и поперечная сила в
одном и том же сечении имели один знак
независимо от того, к какой части они
приложены, введём следующие правила
знаков.
Поперечная сила
в сечении балки
(рис. 7.9,а)
считается положительной, если
равнодействующая внешних сил слева от
сечения направлена снизу вверх, а справа
от сечения – сверху вниз.
В противоположном
случае поперечная сила Q
в сечении n–n
будет считаться отрицательной (рис.
7.9, б).
Рис. 7.9
Изгибающий момент
в сечении m–m
(рис. 7.10, а)
считается положительным, если
равнодействующий момент внешних сил
слева от сечения направлен по часовой
стрелке, а справа от сечения – против.
При направлении равнодействующих
внешних моментов справа и слева от
рассматриваемого сечения в другом
направлении момент в сечении считается
отрицательным (рис. 7.10, б).
Рис. 7.10
Из рис. 7.10
следует, что изгибающий момент считается
положительным, если в рассматриваемом
сечении балка изгибается выпуклостью
вниз, отрицательным – если выпуклостью
вверх. Волокна балок, расположенные в
вогнутой части, испытывают сжатие, а в
выпуклой – растяжение. При построении
эпюр изгибающих моментов положительные
ординаты откладывают вверх от базовой
оси, таким образом, эпюра будет построена
со стороны сжатых волокон балки.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Определение опорных реакций
Построение эпюр поперечных сил и моментов
Просмотр хода решения
Расчет выполняется по следующей методике:
1. Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей, которая является сосредоточенной силой. Для равномерно распределенной нагрузки равнодействующая равна произведению интенсивности нагрузки q на длину участка L, на котором она действует: Fq = q*L.
2. Обозначаем опоры. Общепринято их обозначать буквами А и В. Простая балка имеет одну шарнирно-неподвижную и одну шарнирно-подвижную опоры.
3. Освобождаемся от опор и заменяем их действие на балку реакциями.
Реакции опор при такой нагрузке будут только вертикальными.
4. Составляем уравнения равновесия вида:
MA = 0; MB = 0,
Моментом силы относительно точки называется произведение этой силы на плечо — кратчайшее расстояние от этой точки приложения силы (в общем случае — до линии действия силы).
5. Выполним проверку решения. Для этого составим уравнение равновесия:
Y = 0,
Если оно удовлетворено, то реакции найдены правильно, а если нет, но в решении допущена ошибка.
6. Строим эпюру поперечных сил Qx. Для этого определяем значения поперечных сил в характерных точках. Напомним, что поперечная сила в сечении равна сумме проекций всех сил, расположенных только слева или только справа от рассматриваемого сечения, на ось, перпендикулярную оси элемента. Силу, расположенную слева от рассматриваемого сечения и направленную вверх, считают положительной (со знаком «плюс»), а направленную вниз — отрицательной (со знаком «минус»). Для правой части балки — наоборот.
В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных сил, в том числе в точках приложения опорных реакций, необходимо определить два значения поперечной силы: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Поперечные силы в этих сечениях обозначаются соответственно Qлев и Qправ.
Найденные значения поперечных сил в характерных точках откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются прямыми линиями по следующим правилам:
а) если к участку балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой линией, параллельной нулевой линии;
б) если на участке балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой, наклонной к нулевой линии. Она может пересекать или не пересекать нулевую линию.
Соединив все значения поперечных сил по указанным правилам, получим график изменения поперечных сил по длине балки. Такой график называется эпюрой Qx.
7. Строим эпюру изгибающих моментов Мx. Для этого определяем изгибающие моменты в характерных сечениях. Напомним, что изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен сумме моментов всех сил (распределенных, сосредоточенных, в том числе и опорных реакций, а также внешних сосредоточенных моментов), расположенных только слева или только справа от этого сечения. Если любое из перечисленных силовых воздействий стремится повернуть левую часть балки по часовой стрелке, то оно считается положительным (со знаком «плюс»), если против — отрицательным (со знаком «минус»), а для правой части наоборот.
В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных моментов, необходимо определить два значения изгибающего момента: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Изгибающие моменты в этих точках обозначаются соответственно Млев и Мправ. В точках приложения сил определяется одно значение изгибающего момента.
Полученные значения откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются в соответствии со следующими правилами:
а) если на участке балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком балки два соседних значения изгибающих моментов соединяются прямой линией;
б) если к участку балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения изгибающих моментов для двух соседних точек соединяются по параболе.
Пример решения балки:
