Как найти определенный интеграл онлайн с решением

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).
Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о определенном интеграле.

Примеры подробного решения >>

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a < b)
и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции y = f(x); назовем эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется
вычислить площадь криволинейной трапеции.

Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента). Используя
геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x₁,
x₂, … x_k, … x_n-1. Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная
криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [x_k; x_k+1].
Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(x_k) (см. рисунок). Площадь прямоугольника равна
( f(x_k) cdot Delta x_k ), где ( Delta x_k ) — длина отрезка [x_k; x_k+1]; естественно
считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.

Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной
трапеции приближенно равна площади S_n ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок):

( S_n = f(x_0)Delta x_0 + dots + f(x_k)Delta x_k + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} )

Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х₀, b = x_n;
( Delta x_0 ) — длина отрезка [x₀; x₁],
( Delta x_1 ) — длина отрезка [x₁; x₂], и т.д;
при этом, как мы условились выше, ( Delta x_0 = dots = Delta x_{n-1} )

Итак, ( S approx S_n ), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.

По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S_n):
$$ S = lim_{n to infty} S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки
за промежуток времени [а; b].

Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения
приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [t_k; t_k+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была
постоянной, такой, как в момент времени t_k. Итак, мы считаем, что v = v(t_k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [t_k; t_k+1], это приближенное
значение обозначим s_k

( s_k = v(t_k) Delta t_k )

4) Найдем приближенное значение перемещения s:
( s approx S_n ) где

( S_n = s_0 + dots + s_{n-1} = v(t_0)Delta t_0 + dots + v(t_{n-1}) Delta t_{n-1} )

5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S_n):
$$ s = lim_{n to infty} S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей
науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x),
непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} $$
3) вычисляем $$ lim_{n to infty} S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует.
Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
( intlimits_a^b f(x) dx )
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
( S = intlimits_a^b f(x) dx )
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное
в задаче 2, можно переписать так:
( S = intlimits_a^b v(t) dt )

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток
времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b v(t) dt )

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s
выражается формулой s = s(b) – s(a). В итоге получаем:
( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
где s(t) — первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )
где F(x) — первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727)
и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) – F(a) используют запись ( left. F(x)right|_a^b )
(ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:
( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)right|_a^b )

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских
фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками
непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ). Чтобы вычислить
площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:

( S = S_{ABCD} = S_{aDCb} – S_{aABb} = intlimits_a^b f(x) dx – intlimits_a^b g(x) dx = )
( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b]
и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leqslant f(x) ), вычисляется по формуле
( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

$$ int 0 cdot dx = C $$

$$ int 1 cdot dx = x+C $$

$$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} +C ;; (n neq -1) $$

$$ int frac{1}{x} dx = ln |x| +C $$

$$ int e^x dx = e^x +C $$

$$ int a^x dx = frac{a^x}{ln a} +C ;; (a>0, ;; a neq 1) $$

$$ int cos x dx = sin x +C $$

$$ int sin x dx = -cos x +C $$

$$ int frac{dx}{cos^2 x} = text{tg} x +C $$

$$ int frac{dx}{sin^2 x} = -text{ctg} x +C $$

$$ int frac{dx}{sqrt{1-x^2}} = text{arcsin} x +C $$

$$ int frac{dx}{1+x^2} = text{arctg} x +C $$

$$ int text{ch} x dx = text{sh} x +C $$

$$ int text{sh} x dx = text{ch} x +C $$