Как найти определенный интеграл с модулем

Как найти определенный интеграл с модулем

Результаты, представленные ниже, получены мной, когда я ещё учился в школе, в 11-м классе (1998-1999 гг.). Мне тогда показалось странным, что в учебниках математики (по крайней мере, в тех, которые мне доводилось видеть) такая функция как модуль у(x)=|x| не совсем заслужено обделена вниманием в том смысле, что для неё не указаны её производная и первообразная, а потому мной и была предпринята попытка исправить ситуацию.

Производная модуля

Пусть у(x)=|x|. Покажем двумя способами, что при x≠0 (в точке x=0 функция модуля недифференцируема)

Модуль. Производная и интеграл

Первый способ:

Рассмотрим функцию у=|x| (x≠0). Дадим аргументу x приращение Δx и согласно определению производной найдём предел отношения приращения функции |x+Δx| – |x| к приращению аргумента Δx при Δx→0, воспользовавшись известным тождеством

Модуль. Производная и интеграл

Итак:

Модуль. Производная и интеграл

Второй способ:

Для вычисления производной модуля воспользуемся тождеством

Модуль. Производная и интеграл

Функцию модуля в этом случае можно рассматривать как сложную функцию f(g(x)). Исходя из правила вычисления производной сложной функции можно записать:

Модуль. Производная и интеграл

Интеграл модуля

Для вычисления первообразной функции у=|x| докажем сначала справедливость следующего равенства при x≠0:

Модуль. Производная и интеграл

Доказательство:

Модуль. Производная и интеграл

q.е.d.

Далее, согласно формуле для интегрирования по частям (u=u(x), v=v(x)):

Модуль. Производная и интеграл

Пусть u=|x|, v=x, тогда:

Модуль. Производная и интеграл

Первообразная функции (модуля) оказалась выраженной через свою же первообразную. Так как две первообразные функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную C, то последнее полученное равенство следует записать в таком виде:

Модуль. Производная и интеграл

откуда (C – произвольная постоянная):

Модуль. Производная и интеграл

В качестве варианта практического применения формулы вычислим через интеграл площадь S заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке:

Модуль. Производная и интеграл

Нетрудно видеть, что из геометрических соображений она должна составлять S = 2,5. Согласно же полученной формуле для интеграла модуля:

Модуль. Производная и интеграл

p.s.: Примечательно, что результат получился верным, при этом внутри интервала интегрирования есть точка x=0, в которой функция модуля не имеет производной. Хотелось бы в комментариях увидеть мнение математиков по поводу изложенного в данной заметке.

Источник (URL): http://shurichimik.narod.ru/consideration/04module/module.htm

Перечень публикаций на канале

Источник

Нет. И не так тоже. |f(x)|=f(x)*sign f(x). Нужно разбить отрезок [a;b] на участки знакопостоянства (там, где sign f(x) = const). На каждом таком участке, если f(x)<0, то берем интеграл от -f(x) и, соответственно, получим первообразную -F(x), если f(x) > 0, то F(x). Ну и нуль нам не интересен. Итого получим, F(x) * sign f(x). Что, заметьте, отличается от |F(x)| = F(x) * sign F(x). В качестве примера можно взять x3 на участке от -1 до 1. Получим |x4/4| на [-1;1] (и ответ 0) и мой результат: -x4/4, если x на [-1;0) и x4/4 на [0;4). И ответ 1/2. В правильности моего ответа можно легко убедиться, нарисовав соответствующий рисунок.

Добавлено через 3 минуты

Цитата
Сообщение от Qazan
Посмотреть сообщение

Ответом будет F(|a|)+F(|b|) верно

Если не ошибаюсь (не проверял), то контр примером к этому должна служить синусоида на достаточно большом интервале, скажем, от 0 до 4 пи.

Добавлено через 1 минуту

Цитата
Сообщение от cmath
Посмотреть сообщение

Если не ошибаюсь

Не ошибаюсь. Так и есть.

Добавлено через 6 минут
Конечный ответ получим в виде суммы:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> int_{a}^{b}|f(x)|dx=sum_{k=1}^{n}(F(x_k)-F(x_{k-1}))operatorname{sign}f(alpha _k), ;alpha _kin (x_{k-1};;x_k)
(xk-1;xk) – интервалы знакопостоянства f(x), x0=a, xn=b

Источник

 

Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 10:00 

Аватара пользователя


15/12/16
30

Доброго всем дня, раскладываю функцию в ряд Фурье и при вычислении $a_{0}$ столкнулся с интегралом от модуля, с которыми раньше не работал. После вдумчивого раскуривания учебника от Ильина и Садовничего родил такое решение, но не знаю, верное ли оно:
$a_{0} = frac{1}{pi }int_{-pi}^{pi}2+left | x right |dx=frac{1}{pi }left (-int_{-pi}^{0}(2+x)dx + int_{0}^{pi}(2+x)dx right ) = frac{1}{pi }left ( 2int_{0}^{pi}(2+x)dx right ) = frac{2}{pi }left ( int_{0}^{pi}2dx + int_{0}^{pi}xdx right ) = frac{2}{pi }left ( 2pi + frac{pi^{2}}{2}right )=4+pi$
Что скажете?

Профиль  

Mikhail_K 

 Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 10:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4236

Объясните, как именно совершён переход от интеграла по $[-pi,pi]$ к сумме (или разности) интегралов по $[-pi,0]$ и $[0,pi]$.

Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по $[-pi,pi]$ в виде суммы двух интегралов от того же самого выражения. А что дальше?

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок $[-pi,pi]$ именно на эти два отрезочка, именно точкой $0$, а не какой-нибудь другой точкой? Что в этой точке такого особенного?

— 09.02.2017, 10:10 —

родил такое решение, но не знаю, верное ли оно

Решение, про которое Вы не знаете, верное ли оно, просто по определению не может быть верным.
Верное решение – это такое, которое не оставляет поводов для сомнений.

Профиль  

Doctor 

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 10:13 

Аватара пользователя


15/12/16
30

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок $[-pi,pi]$ именно на эти два отрезочка, именно точкой $0$

Потому что эта точка делит его на две равные части?

Объясните, как именно совершён переход от интеграла по $[-pi,pi]$ к сумме (или разности) интегралов по $[-pi,0]$ и $[0,pi]$.

Исключительно по аналогии, да и тут на форуме видел такой способ.

Не совсем понял – решение ошибочное?

Профиль  

Mikhail_K 

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 10:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4236

Потому что эта точка делит его на две равные части?

Исключительно по аналогии
, да и тут на форуме видел такой способ.

Ну, мне понятно, что “вдумчивого

раскуривания” учебника в Вашем случае не было.
Я даже не буду говорить, верное ли решение. Даже если оно верное (?), Вы его не понимаете. Задача решена не тогда, когда написаны какие-то рассуждения и получен правильный ответ, а когда этот ответ строго доказан

и поэтому не может вызывать сомнений.
Рассуждение по аналогии не является корректным способом рассуждения в математике (во всяком случае, до тех пор, пока аналогия не подкреплена логикой).

Давайте решать с начала. Последуйте вот этому совету:

Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по $[-pi,pi]$ в виде суммы двух интегралов от того же самого выражения (с модулем). А что дальше?

Профиль  

Doctor 

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 10:37 

Аватара пользователя


15/12/16
30

Mikhail_K

, пожалуй, впредь воздержусь от чтения Ваших комментариев. Не нужно рассказывать мне, что я понимаю или не понимаю, я сразу написал, что с такими интегралами не сталкивался, так что оправдываться не буду. Единственный вопрос, который я задал – верное ли решение

? Да

или нет

, если нет – иду разбираться сам

дальше. Меня интересует мнение о правильности решения, а не о моих способностях или о том, что считать правильным.

Профиль  

ewert 

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 10:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32162

Профиль  

Xaositect 

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 10:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422

Неверно, первая ошибка в раскрытии модуля в отрицательной области.

Профиль  

Doctor 

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 10:58 

Аватара пользователя


15/12/16
30

ewert

, Xaositect

, что можно сказать о таком варианте? Сильно не пинайте :-)
$int_{-pi}^{pi}2+left | x right |dx = int_{-pi}^{pi}2dx+int_{-pi}^{pi}left | x right |dx = left.begin{matrix} pi\ -pi end{matrix}right|2x+left.begin{matrix} pi\ -pi end{matrix}right|frac{xleft | x right |}{2}$

Профиль  

Mikhail_K 

 Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4236

что можно сказать о таком варианте?

Ну бессмысленны такие гадания.
Вы были правы в том, что нужно разбивать $[-pi,pi]$ на два отрезка.
Чему равен $|x|$ на первом из этих отрезков и чему на втором?

— 09.02.2017, 11:13 —

Если же рассматривать Ваш второй вариант, то можете ли Вы объяснить, почему неопределённый интеграл от $|x|$ равен $frac{x|x|}{2}+C$?

— 09.02.2017, 11:16 —

Но даже во втором варианте решения я бы лучше заметил, что второй из интегралов – это интеграл от чётной функции по симметричному относительно нуля промежутку. Вместо того чтобы явно выписывать первообразную. Это какой-то корявый подход.

Профиль  

SomePupil 

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 11:18 


07/01/15
1119
Якутск

Доброго всем дня, раскладываю функцию в ряд Фурье

Эх, до каких вершин Вы дошли $-$ до сАмого Жана Батиста. Жозефа! А маленький, коварный минус все так и норовит Вам мешать заниматься высшими материями. Поглядите сюда внимательнее:

$ frac{1}{pi }int_{-pi}^{pi}2+left | x right |dx=frac{1}{pi }left (-int_{-pi}^{0}(2+x)dx + int_{0}^{pi}(2+x)dx right ) $

И подумайте над вопросом

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок $[-pi,pi]$ именно на эти два отрезочка, именно точкой $0$, а не какой-нибудь другой точкой? Что в этой точке такого особенного?

Профиль  

Doctor 

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 11:40 

Аватара пользователя


15/12/16
30

Поглядите сюда внимательнее:

Мысли есть, да боюсь высказывать – опять будете тыкать пальцами: “Опять угадайка, ай, дурачок!”.

И подумайте над вопросом

Думал. Предположения высказал, больше их нет. Обычно в таких случаях те, кто хотят помочь, дают название раздела ВМ, в которой этот вопрос рассматривается или, в крайнем случае, формулируют вопрос, по которому можно потрясти Гугл.

Профиль  

Mikhail_K 

 Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4236

Обычно в таких случаях те, кто хотят помочь, дают название раздела ВМ, в которой этот вопрос рассматривается или, в крайнем случае, формулируют вопрос, по которому можно потрясти Гугл.

Здесь не нужно знать раздел высшей математики.
Здесь нужно знать только две вещи:
1) Если отрезок разбит на несколько, то интеграл по большому отрезку равен сумме интегралов по маленьким (от того же самого выражения);
2) Как раскрывается модуль для положительных и для отрицательных значений под модулем.
В Гугле ничего искать не нужно, нужно помедитировать над этими двумя пунктами и всё получится. Это если первым способом идти (он самый естественный).

И да, Вы конечно можете игнорировать сообщения всех, кто хочет Вам помочь, но на данном форуме принят именно такой вид помощи. В данной теме Вам даны необходимые подсказки даже в большем количестве, чем требуется.
Перечитайте тему с начала.

— 09.02.2017, 12:01 —

Мысли есть, да боюсь высказывать – опять будете тыкать пальцами: “Опять угадайка, ай, дурачок!”.

Есть разница между угадайкой и обоснованными мыслями.
Очень жаль, что многие студенты эту разницу не улавливают.
И, кстати, дурачком Вас никто не называл. А если у Вас есть обоснованные мысли, не бойтесь их высказывать.

Профиль  

bot 

 Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5844
Новосибирск

Mikhail_K, пожалуй, впредь воздержусь от чтения Ваших комментариев. Не нужно рассказывать мне, что я понимаю или не понимаю

Обычно в таких случаях те, кто хотят помочь, дают название раздела ВМ, в которой этот вопрос рассматривается или, в крайнем случае, формулируют вопрос, по которому можно потрясти Гугл

Хм, с названием раздела ВМ затрудняюсь, боюсь что это проходят задолго до ВМ, … некоторые мимо. А Гугл можно трясти вопросом: что такое модуль? Там и содержится ответ на вопрос, который задал Mikhail_K

и который так задел Ваше достоинство.

ewert в сообщении #1191014

писал(а):
$ frac{1}{pi }int_{-pi}^{pi}2+left | x right |dx=frac{1}{pi }left (-int_{-pi}^{0}(2+x)dx + int_{0}^{pi}(2+x)dx right ) $

Ошибка цитирования. Это писал ТС, а ewert

писал, что это неверно.

Профиль  

Doctor 

 Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 13:29 

Аватара пользователя


15/12/16
30

А если у Вас есть обоснованные мысли, не бойтесь их высказывать.

Скажем, такие:
Мысль 1: в интеграле есть модуль, а в пределах интегрирования есть отрицательные значения;
Мысль 2: если сумма интегралов на частях отрезка равна интегралу всего отрезка, то, возможно, стоит разбить диапазон интегрирования на несколько частей. На две, например, отделив отрицательные от положительных;
Озарение: так как $left | x right | = x$ и диапазон интегрирования симметричен относительно нуля, то можно считать, что мы ищем удвоенный определённый интеграл от $(2+x)$. Или, всё же, их сумму с первоначальными диапазонами.

Профиль  

Mikhail_K 

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Сообщение09.02.2017, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4236

Профиль  

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Добавить комментарий