Как найти определитель 4 ого порядка

Основные определения и формула для нахождения определителя матрицы четвертого порядка

Часто в математических и прикладных задачах возникает необходимость использовать матрицы. Дадим определение матрицы.

Выделяют разные матрицы. Нам пригодятся понятие следующих:

• если матрица имеет единственный элемент, то она является совпадающей со своим единственным скаляром;
• квадратной матрицей называют такую матрицу, у которой количество столбцов совпадает с количеством строк.

Алгебраические операции над матрицами имеют свой алгоритм и порядок, отличающийся от тех же операций над обычными числами. Помимо алгебраических операций, существуют и другие операции над матрицами. Например, операция транспонирования матрицы.

Часто учащиеся сталкиваются с задачами по нахождению определителя матриц разных порядков. Под матрицами первого, второго, третьего, четвёртого и т.д. порядка понимаются квадратные матрицы. Дадим определение определителю.

Определитель первого порядка равен скаляру данной матрицы. Определители второго и третьего порядка высчитываются в определённом порядке, то есть по известным формулам.

Для вычисления определителя больше третьего порядка, необходимо понимание минора матрицы.

«Найти определитель матрицы четвертого порядка» 👇

Формула для определителя четвёртого порядка:

$|A|=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}-a_{14}M_{14}$.

Пример решения

Решим пример.

В рамках учебной программы принято использовать однотипные примеры с действительными числами. Зная формулу, очевидно, что все примеры будут аналогичны друг другу.

Теорема Лапласа

Существует также метод нахождения определителя четвертого порядка по теореме Лапласа. Тогда понадобится следующее понятие:

Эта теорема распространяется на матрицы любого порядка.

При ручном решении подобных задач главное помнить о внимательности и сосредоточенности, а также уметь проявлять терпение, когда дело касается большой матрицы или матрицы с большими значениями элементов. На практике в современных условиях для решения подобных задач применяют вычислительные машины.

Если вы приступили к изучению данной темы, то вы уже знакомы с понятием определителя матрицы и умеете находить определители первого, второго и третьего порядка.

Прежде чем начать рассмотрение новой темы, рекомендуется повторить правило вычисления определителя по строке и столбцу, рассматривающееся в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка», свойства определителей, а также нахождение миноров и алгебраических дополнений.

Разложение определителей по строкам или столбцам

Для вычисления определителей высших порядков применяется способ разложения определителя по строке или столбцу. Это позволяет представить детерминант в виде суммы произведений элементов какой-либо его строки или столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения. В таком случае вычисление определителя nn-го порядка сводится к вычислению определителей n−1n-1-го порядка.

Пример 1

Найти определитель ∣32454−32−45−2−3−7−3429∣begin{vmatrix}3&2&4&5\4&-3&2&-4\5&-2&-3&-7\-3&4&2&9end{vmatrix} двумя способами:

1. по 2-й строке;
2. по 3-у столбцу.

1 способ. Разложим определитель 4-го порядка по строке №2 и вычислим его:

∣32454−32−45−2−3−7−3429∣=4(−1)2+1∣245−2−3−7429∣+(−3)(−1)2+2∣3455−3−7−329∣+2(−1)2+3∣3255−2−7−349∣+(−4)(−1)2+4∣3245−2−3−342∣=begin{vmatrix}3&2&4&5\4&-3&2&-4\5&-2&-3&-7\-3&4&2&9end{vmatrix}=4(-1)^{2+1}begin{vmatrix}2&4&5\-2&-3&-7\4&2&9end{vmatrix}+(-3)(-1)^{2+2}begin{vmatrix}3&4&5\5&-3&-7\-3&2&9end{vmatrix}+2(-1)^{2+3}begin{vmatrix}3&2&5\5&-2&-7\-3&4&9end{vmatrix}+(-4)(-1)^{2+4}begin{vmatrix}3&2&4\5&-2&-3\-3&4&2end{vmatrix}=

=−4∣245−2−3−7429∣−3∣3455−3−7−329∣−2∣3255−2−7−349∣−4∣3245−2−3−342∣=−4(−54−20−112+60+28+72)−3(−81+50+84−45+42−180)−2(−54+100+42−30+84−90)−4(−12+80+18−24+36−20)=−4(−26)−3(−130)−2⋅52−4⋅78=104+390−104−312=78=-4begin{vmatrix}2&4&5\-2&-3&-7\4&2&9end{vmatrix}-3begin{vmatrix}3&4&5\5&-3&-7\-3&2&9end{vmatrix}-2begin{vmatrix}3&2&5\5&-2&-7\-3&4&9end{vmatrix}-4begin{vmatrix}3&2&4\5&-2&-3\-3&4&2end{vmatrix}=-4(-54-20-112+60+28+72)-3(-81+50+84-45+42-180)-2(-54+100+42-30+84-90)-4(-12+80+18-24+36-20)=-4(-26)-3(-130)-2cdot52-4cdot78=104+390-104-312=78.

2 способ. Разложим определитель 4-го порядка по 3 столбцу и вычислим его:

∣32454−32−45−2−3−7−3429∣=4(−1)1+3∣4−3−45−2−7−349∣+2(−1)2+3∣3255−2−7−349∣+(−3)(−1)3+3∣3254−3−4−349∣+2(−1)4+3∣3254−3−45−2−7∣=begin{vmatrix}3&2&4&5\4&-3&2&-4\5&-2&-3&-7\-3&4&2&9end{vmatrix}=4(-1)^{1+3}begin{vmatrix}4&-3&-4\5&-2&-7\-3&4&9end{vmatrix}+2(-1)^{2+3}begin{vmatrix}3&2&5\5&-2&-7\-3&4&9end{vmatrix}+(-3)(-1)^{3+3}begin{vmatrix}3&2&5\4&-3&-4\-3&4&9end{vmatrix}+2(-1)^{4+3}begin{vmatrix}3&2&5\4&-3&-4\5&-2&-7end{vmatrix}=

=4∣4−3−45−2−7−349∣−2∣3255−2−7−349∣−3∣3254−3−4−349∣−2∣3254−3−45−2−7∣=4(−72−80−63+24+112+135)−2(−54+100+42−30+84−90)−3(−81+80+24−45+48−72)−2(63−40−40+75−24+56)=4⋅56−2⋅52−3⋅(−45)−2⋅90=224−104+138−180=78=4begin{vmatrix}4&-3&-4\5&-2&-7\-3&4&9end{vmatrix}-2begin{vmatrix}3&2&5\5&-2&-7\-3&4&9end{vmatrix}-3begin{vmatrix}3&2&5\4&-3&-4\-3&4&9end{vmatrix}-2begin{vmatrix}3&2&5\4&-3&-4\5&-2&-7end{vmatrix}=4(-72-80-63+24+112+135)-2(-54+100+42-30+84-90)-3(-81+80+24-45+48-72)-2(63-40-40+75-24+56)=4cdot56-2cdot52-3cdot(-45)-2cdot90=224-104+138-180=78.

Метод понижения порядка

Для упрощения расчетов при вычислении определителей рекомендуется применять их свойства. Рассмотрим примеры вычисления определителей с применением их свойств.

Пример 1

Вычислить определитель

∣638−45642034241−46∣begin{vmatrix}6&3&8&-4\5&6&4&2\0&3&4&2\4&1&-4&6end{vmatrix}.

Вынесем из столбца №3 множитель 4:

∣638−45642034241−46∣=4⋅∣632−45612031241−16∣begin{vmatrix}6&3&8&-4\5&6&4&2\0&3&4&2\4&1&-4&6end{vmatrix}=4cdotbegin{vmatrix}6&3&2&-4\5&6&1&2\0&3&1&2\4&1&-1&6end{vmatrix}.

Вынесем из столбца №4 множитель 2:

4⋅∣632−45612031241−16∣=4⋅2⋅∣632−25611031141−13∣=8⋅∣632−25611031141−13∣4cdotbegin{vmatrix}6&3&2&-4\5&6&1&2\0&3&1&2\4&1&-1&6end{vmatrix}=4cdot2cdotbegin{vmatrix}6&3&2&-2\5&6&1&1\0&3&1&1\4&1&-1&3end{vmatrix}=8cdotbegin{vmatrix}6&3&2&-2\5&6&1&1\0&3&1&1\4&1&-1&3end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -2:

8⋅∣632−25611031141−13∣=8⋅∣−4−90−45611031141−13∣8cdotbegin{vmatrix}6&3&2&-2\5&6&1&1\0&3&1&1\4&1&-1&3end{vmatrix}=8cdotbegin{vmatrix}-4&-9&0&-4\5&6&1&1\0&3&1&1\4&1&-1&3end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -1:

8⋅∣−4−90−45611031141−13∣=8⋅∣−4−90−45611−5−30041−13∣8cdotbegin{vmatrix}-4&-9&0&-4\5&6&1&1\0&3&1&1\4&1&-1&3end{vmatrix}=8cdotbegin{vmatrix}-4&-9&0&-4\5&6&1&1\-5&-3&0&0\4&1&-1&3end{vmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 1:

8⋅∣−4−90−45611−5−30041−13∣=8⋅∣−4−90−45611−5−3009704∣8cdotbegin{vmatrix}-4&-9&0&-4\5&6&1&1\-5&-3&0&0\4&1&-1&3end{vmatrix}=8cdotbegin{vmatrix}-4&-9&0&-4\5&6&1&1\-5&-3&0&0\9&7&0&4end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №3:

8⋅∣−4−90−45611−5−3009704∣=8⋅1⋅(−1)2+3∣−4−9−4−5−30974∣=8⋅(−1)5∣−4−9−4−5−30974∣=−8∣−4−9−4−5−30974∣8cdotbegin{vmatrix}-4&-9&0&-4\5&6&1&1\-5&-3&0&0\9&7&0&4end{vmatrix}=8cdot1cdot(-1)^{2+3}begin{vmatrix}-4&-9&-4\-5&-3&0\9&7&4end{vmatrix}=8cdot(-1)^{5}begin{vmatrix}-4&-9&-4\-5&-3&0\9&7&4end{vmatrix}=-8begin{vmatrix}-4&-9&-4\-5&-3&0\9&7&4end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на 1:

−8∣−4−9−4−5−30974∣=−8∣5−20−5−30974∣-8begin{vmatrix}-4&-9&-4\-5&-3&0\9&7&4end{vmatrix}=-8begin{vmatrix}5&-2&0\-5&-3&0\9&7&4end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №3 и вычислим его:

−8∣5−20−5−30974∣=−8⋅4⋅(−1)3+3∣5−2−5−3∣=−32⋅(−1)6∣5−2−5−3∣=−32∣5−2−5−3∣-8begin{vmatrix}5&-2&0\-5&-3&0\9&7&4end{vmatrix}=-8cdot4cdot(-1)^{3+3}begin{vmatrix}5&-2\-5&-3end{vmatrix}=-32cdot(-1)^{6}begin{vmatrix}5&-2\-5&-3end{vmatrix}=-32begin{vmatrix}5&-2\-5&-3end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 1:

−32∣5−2−5−3∣=−32∣5−20−5∣-32begin{vmatrix}5&-2\-5&-3end{vmatrix}=-32begin{vmatrix}5&-2\0&-5end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1 и заменим определитель 1-го порядка единственным его элементом:

−32∣5−20−5∣=−32⋅5⋅(−1)1+1⋅(−5)=−32⋅5⋅1⋅(−5)=800-32begin{vmatrix}5&-2\0&-5end{vmatrix}=-32cdot5cdot(-1)^{1+1}cdot(-5)=-32cdot5cdot1cdot(-5)=800.

Пример 2

Вычислить определитель

∣44−10−18237523325732122112176657211221∣begin{vmatrix}4&4&-1&0&-1&8\2&3&7&5&2&3\3&2&5&7&3&2\1&2&2&1&1&2\1&7&6&6&5&7\2&1&1&2&2&1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №4, умноженную на -4:

∣44−10−18237523325732122112176657211221∣=∣0−4−9−4−50237523325732122112176657211221∣begin{vmatrix}4&4&-1&0&-1&8\2&3&7&5&2&3\3&2&5&7&3&2\1&2&2&1&1&2\1&7&6&6&5&7\2&1&1&2&2&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\2&3&7&5&2&3\3&2&5&7&3&2\1&2&2&1&1&2\1&7&6&6&5&7\2&1&1&2&2&1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №4, умноженную на -2:

∣0−4−9−4−50237523325732122112176657211221∣=∣0−4−9−4−500−1330−1325732122112176657211221∣begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\2&3&7&5&2&3\3&2&5&7&3&2\1&2&2&1&1&2\1&7&6&6&5&7\2&1&1&2&2&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\0&-1&3&3&0&-1\3&2&5&7&3&2\1&2&2&1&1&2\1&7&6&6&5&7\2&1&1&2&2&1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №4, умноженную на -3:

∣0−4−9−4−500−1330−1325732122112176657211221∣=∣0−4−9−4−500−1330−10−4−140−4122112176657211221∣begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\0&-1&3&3&0&-1\3&2&5&7&3&2\1&2&2&1&1&2\1&7&6&6&5&7\2&1&1&2&2&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\0&-1&3&3&0&-1\0&-4&-1&4&0&-4\1&2&2&1&1&2\1&7&6&6&5&7\2&1&1&2&2&1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №4, умноженную на -1:

∣0−4−9−4−500−1330−10−4−140−4122112176657211221∣=∣0−4−9−4−500−1330−10−4−140−4122112054545211221∣begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\0&-1&3&3&0&-1\0&-4&-1&4&0&-4\1&2&2&1&1&2\1&7&6&6&5&7\2&1&1&2&2&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\0&-1&3&3&0&-1\0&-4&-1&4&0&-4\1&2&2&1&1&2\0&5&4&5&4&5\2&1&1&2&2&1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №6 строку №4, умноженную на -2:

∣0−4−9−4−500−1330−10−4−140−4122112054545211221∣=∣0−4−9−4−500−1330−10−4−140−41221120545450−3−300−3∣begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\0&-1&3&3&0&-1\0&-4&-1&4&0&-4\1&2&2&1&1&2\0&5&4&5&4&5\2&1&1&2&2&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\0&-1&3&3&0&-1\0&-4&-1&4&0&-4\1&2&2&1&1&2\0&5&4&5&4&5\0&-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}.

Разложим определитель по 1 столбцу:

∣0−4−9−4−500−1330−10−4−140−41221120545450−3−300−3∣=1⋅(−1)4+1∣−4−9−4−50−1330−1−4−140−454545−3−300−3∣=−∣−4−9−4−50−1330−1−4−140−454545−3−300−3∣begin{vmatrix}0&-4&-9&-4&-5&0\0&-1&3&3&0&-1\0&-4&-1&4&0&-4\1&2&2&1&1&2\0&5&4&5&4&5\0&-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}=1cdot(-1)^{4+1}begin{vmatrix}-4&-9&-4&-5&0\-1&3&3&0&-1\-4&-1&4&0&-4\5&4&5&4&5\-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-4&-9&-4&-5&0\-1&3&3&0&-1\-4&-1&4&0&-4\5&4&5&4&5\-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -1:

−∣−4−9−4−50−1330−1−4−140−454545−3−300−3∣=−∣0−8−8−54−1330−1−4−140−454545−3−300−3∣-begin{vmatrix}-4&-9&-4&-5&0\-1&3&3&0&-1\-4&-1&4&0&-4\5&4&5&4&5\-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\-1&3&3&0&-1\-4&-1&4&0&-4\5&4&5&4&5\-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -4:

−∣0−8−8−54−1330−1−4−140−454545−3−300−3∣=−∣0−8−8−54−1330−10−13−80054545−3−300−3∣-begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\-1&3&3&0&-1\-4&-1&4&0&-4\5&4&5&4&5\-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\-1&3&3&0&-1\0&-13&-8&0&0\5&4&5&4&5\-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 5:

−∣0−8−8−54−1330−10−13−80054545−3−300−3∣=−∣0−8−8−54−1330−10−13−8000192040−3−300−3∣-begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\-1&3&3&0&-1\0&-13&-8&0&0\5&4&5&4&5\-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\-1&3&3&0&-1\0&-13&-8&0&0\0&19&20&4&0\-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}.

Прибавим у строке №5 строку №2, умноженную на -3:

−∣0−8−8−54−1330−10−13−8000192040−3−300−3∣=−∣0−8−8−54−1330−10−13−80001920400−12−900∣-begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\-1&3&3&0&-1\0&-13&-8&0&0\0&19&20&4&0\-3&-3&0&0&-3end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\-1&3&3&0&-1\0&-13&-8&0&0\0&19&20&4&0\0&-12&-9&0&0end{vmatrix}.

Разложим определитель по 1 столбцу:

−∣0−8−8−54−1330−10−13−80001920400−12−900∣=−(−1)⋅(−1)2+1∣−8−8−54−13−800192040−12−900∣=(−1)3∣−8−8−54−13−800192040−12−900∣=−∣−8−8−54−13−800192040−12−900∣-begin{vmatrix}0&-8&-8&-5&4\-1&3&3&0&-1\0&-13&-8&0&0\0&19&20&4&0\0&-12&-9&0&0end{vmatrix}=-(-1)cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\-13&-8&0&0\19&20&4&0\-12&-9&0&0end{vmatrix}=(-1)^{3}begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\-13&-8&0&0\19&20&4&0\-12&-9&0&0end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\-13&-8&0&0\19&20&4&0\-12&-9&0&0end{vmatrix}.

Вынесем множитель -3 из строки №4:

−∣−8−8−54−13−800192040−12−900∣=−(−3)∣−8−8−54−13−8001920404300∣=3∣−8−8−54−13−8001920404300∣-begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\-13&-8&0&0\19&20&4&0\-12&-9&0&0end{vmatrix}=-(-3)begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\-13&-8&0&0\19&20&4&0\4&3&0&0end{vmatrix}=3begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\-13&-8&0&0\19&20&4&0\4&3&0&0end{vmatrix}.

Разложим определитель по 4 столбцу:

3∣−8−8−54−13−8001920404300∣=3⋅4⋅(−1)1+4∣−13−8019204430∣=12⋅(−1)5∣−13−8019204430∣=−12∣−13−8019204430∣3begin{vmatrix}-8&-8&-5&4\-13&-8&0&0\19&20&4&0\4&3&0&0end{vmatrix}=3cdot4cdot(-1)^{1+4}begin{vmatrix}-13&-8&0\19&20&4\4&3&0end{vmatrix}=12cdot(-1)^{5}begin{vmatrix}-13&-8&0\19&20&4\4&3&0end{vmatrix}=-12begin{vmatrix}-13&-8&0\19&20&4\4&3&0end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №3 и вычислим его:

−12∣−13−8019204430∣=−12⋅4⋅(−1)2+3∣−13−843∣=−48⋅(−1)5∣−13−843∣=48∣−13−843∣-12begin{vmatrix}-13&-8&0\19&20&4\4&3&0end{vmatrix}=-12cdot4cdot(-1)^{2+3}begin{vmatrix}-13&-8\4&3end{vmatrix}=-48cdot(-1)^{5}begin{vmatrix}-13&-8\4&3end{vmatrix}=48begin{vmatrix}-13&-8\4&3end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 3:

48∣−13−843∣=48∣−1143∣48begin{vmatrix}-13&-8\4&3end{vmatrix}=48begin{vmatrix}-1&1\4&3end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 4:

48∣−1143∣=48∣−1107∣48begin{vmatrix}-1&1\4&3end{vmatrix}=48begin{vmatrix}-1&1\0&7end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1 и заменим определитель 1-го порядка единственным его элементом:

48∣−1107∣=48⋅(−1)⋅(−1)1+1⋅7=48⋅(−1)⋅1⋅7=−33648begin{vmatrix}-1&1\0&7end{vmatrix}=48cdot(-1)cdot(-1)^{1+1}cdot7=48cdot(-1)cdot1cdot7=-336
.

Приведение к треугольному виду

Данный метод состоит в том, чтобы привести определитель к треугольному виду, а затем вычислить произведение элементов, стоящих на главной диагонали.

Пример 1

Вычислить определитель ∣4−20532−21−213−123−6−3∣begin{vmatrix}4&-2&0&5\3&2&-2&1\-2&1&3&-1\2&3&-6&-3end{vmatrix}.

Поменяем местами строки №1 и №3:

∣4−20532−21−213−123−6−3∣=−∣−213−132−214−20523−6−3∣begin{vmatrix}4&-2&0&5\3&2&-2&1\-2&1&3&-1\2&3&-6&-3end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-2&1&3&-1\3&2&-2&1\4&-2&0&5\2&3&-6&-3end{vmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №1, умноженную на 1:

−∣−213−132−214−20523−6−3∣=−∣−213−132−214−20504−3−4∣-begin{vmatrix}-2&1&3&-1\3&2&-2&1\4&-2&0&5\2&3&-6&-3end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-2&1&3&-1\3&2&-2&1\4&-2&0&5\0&4&-3&-4end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 2:

−∣−213−132−214−20504−3−4∣=−∣−213−132−21006304−3−4∣-begin{vmatrix}-2&1&3&-1\3&2&-2&1\4&-2&0&5\0&4&-3&-4end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-2&1&3&-1\3&2&-2&1\0&0&6&3\0&4&-3&-4end{vmatrix}.

Умножим строку №2 на 2:

∣−213−132−21006304−3−4∣=−12∣−213−164−42006304−3−4∣begin{vmatrix}-2&1&3&-1\3&2&-2&1\0&0&6&3\0&4&-3&-4end{vmatrix}=-frac{1}{2}begin{vmatrix}-2&1&3&-1\6&4&-4&2\0&0&6&3\0&4&-3&-4end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на 3:

−12∣−213−164−42006304−3−4∣=−12∣−213−1075−1006304−3−4∣-frac{1}{2}begin{vmatrix}-2&1&3&-1\6&4&-4&2\0&0&6&3\0&4&-3&-4end{vmatrix}=-frac{1}{2}begin{vmatrix}-2&1&3&-1\0&7&5&-1\0&0&6&3\0&4&-3&-4end{vmatrix}.

Умножим строку №4 на 7:

−12∣−213−1075−1006304−3−4∣=−12⋅17∣−213−1075−10063028−21−28∣-frac{1}{2}begin{vmatrix}-2&1&3&-1\0&7&5&-1\0&0&6&3\0&4&-3&-4end{vmatrix}=-frac{1}{2}cdotfrac{1}{7}begin{vmatrix}-2&1&3&-1\0&7&5&-1\0&0&6&3\0&28&-21&-28end{vmatrix}.
Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на -4:

−12⋅17∣−213−1075−10063028−21−28∣=−12⋅17∣−213−1075−1006300−41−24∣-frac{1}{2}cdotfrac{1}{7}begin{vmatrix}-2&1&3&-1\0&7&5&-1\0&0&6&3\0&28&-21&-28end{vmatrix}=-frac{1}{2}cdotfrac{1}{7}begin{vmatrix}-2&1&3&-1\0&7&5&-1\0&0&6&3\0&0&-41&-24end{vmatrix}.

Поменяем местами столбцы №3 и №4:

−12⋅17∣−213−1075−1006300−41−24∣=12⋅17∣−21−1307−15003600−24−41∣-frac{1}{2}cdotfrac{1}{7}begin{vmatrix}-2&1&3&-1\0&7&5&-1\0&0&6&3\0&0&-41&-24end{vmatrix}=frac{1}{2}cdotfrac{1}{7}begin{vmatrix}-2&1&-1&3\0&7&-1&5\0&0&3&6\0&0&-24&-41end{vmatrix}.
Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на 8 и вычислим определитель:

12⋅17∣−21−1307−15003600−24−41∣=12⋅17∣−21−1307−1500360007∣=12⋅17⋅(−2)⋅7⋅3⋅7=−21frac{1}{2}cdotfrac{1}{7}begin{vmatrix}-2&1&-1&3\0&7&-1&5\0&0&3&6\0&0&-24&-41end{vmatrix}=frac{1}{2}cdotfrac{1}{7}begin{vmatrix}-2&1&-1&3\0&7&-1&5\0&0&3&6\0&0&0&7end{vmatrix}=frac{1}{2}cdotfrac{1}{7}cdot(-2)cdot7cdot3cdot7=-21.

Пример 2

Вычислить определитель

∣7694−410−266789−1−61−1−245−70−92−2∣begin{vmatrix}7&6&9&4&-4\1&0&-2&6&6\7&8&9&-1&-6\1&-1&-2&4&5\-7&0&-9&2&-2end{vmatrix}.

Поменяем местами строки №1 и №4:

∣7694−410−266789−1−61−1−245−70−92−2∣=−∣1−1−24510−266789−1−67694−4−70−92−2∣begin{vmatrix}7&6&9&4&-4\1&0&-2&6&6\7&8&9&-1&-6\1&-1&-2&4&5\-7&0&-9&2&-2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}1&-1&-2&4&5\1&0&-2&6&6\7&8&9&-1&-6\7&6&9&4&-4\-7&0&-9&2&-2end{vmatrix}.

Поменяем местами строки №3 и №5:

−∣1−1−24510−266789−1−67694−4−70−92−2∣=∣1−1−24510−266−70−92−27694−4789−1−6∣-begin{vmatrix}1&-1&-2&4&5\1&0&-2&6&6\7&8&9&-1&-6\7&6&9&4&-4\-7&0&-9&2&-2end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&-1&-2&4&5\1&0&-2&6&6\-7&0&-9&2&-2\7&6&9&4&-4\7&8&9&-1&-6end{vmatrix}.

Поменяем местами столбцы №4 и №5:

∣1−1−24510−266−70−92−27694−4789−1−6∣=−∣1−1−25410−266−70−9−22769−44789−6−1∣begin{vmatrix}1&-1&-2&4&5\1&0&-2&6&6\-7&0&-9&2&-2\7&6&9&4&-4\7&8&9&-1&-6end{vmatrix}=-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\1&0&-2&6&6\-7&0&-9&-2&2\7&6&9&-4&4\7&8&9&-6&-1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -1:

−∣1−1−25410−266−70−9−22769−44789−6−1∣=−∣1−1−25401012−70−9−22769−44789−6−1∣-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\1&0&-2&6&6\-7&0&-9&-2&2\7&6&9&-4&4\7&8&9&-6&-1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\-7&0&-9&-2&2\7&6&9&-4&4\7&8&9&-6&-1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на 1:

−∣1−1−25401012−70−9−22769−44789−6−1∣=−∣1−1−25401012−70−9−22060−66789−6−1∣-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\-7&0&-9&-2&2\7&6&9&-4&4\7&8&9&-6&-1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\-7&0&-9&-2&2\0&6&0&-6&6\7&8&9&-6&-1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №3, умноженную на 1:

−∣1−1−25401012−70−9−22060−66789−6−1∣=−∣1−1−25401012−70−9−22060−66080−81∣-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\-7&0&-9&-2&2\0&6&0&-6&6\7&8&9&-6&-1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\-7&0&-9&-2&2\0&6&0&-6&6\0&8&0&-8&1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 7:

−∣1−1−25401012−70−9−22060−66080−81∣=−∣1−1−254010120−7−233330060−66080−81∣-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\-7&0&-9&-2&2\0&6&0&-6&6\0&8&0&-8&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\0&-7&-23&33&30\0&6&0&-6&6\0&8&0&-8&1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 7:

−∣1−1−254010120−7−233330060−66080−81∣=−∣1−1−2540101200−234044060−66080−81∣-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\0&-7&-23&33&30\0&6&0&-6&6\0&8&0&-8&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\0&0&-23&40&44\0&6&0&-6&6\0&8&0&-8&1end{vmatrix}.

Вынесем из строки №4 множитель 6:

−∣1−1−2540101200−234044060−66080−81∣=−6∣1−1−2540101200−234044010−11080−81∣-begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\0&0&-23&40&44\0&6&0&-6&6\0&8&0&-8&1end{vmatrix}=-6begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\0&0&-23&40&44\0&1&0&-1&1\0&8&0&-8&1end{vmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №4, умноженную на -8:

−6∣1−1−2540101200−234044010−11080−81∣=−6∣1−1−2540101200−234044010−110000−7∣-6begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\0&0&-23&40&44\0&1&0&-1&1\0&8&0&-8&1end{vmatrix}=-6begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\0&0&-23&40&44\0&1&0&-1&1\0&0&0&0&-7end{vmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на -1 и вычислим определитель:

−6∣1−1−2540101200−234044010−110000−7∣=−6∣1−1−2540101200−234044000−2−10000−7∣=−6⋅1⋅1⋅(−23)⋅(−2)⋅(−7)=1932-6begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\0&0&-23&40&44\0&1&0&-1&1\0&0&0&0&-7end{vmatrix}=-6begin{vmatrix}1&-1&-2&5&4\0&1&0&1&2\0&0&-23&40&44\0&0&0&-2&-1\0&0&0&0&-7end{vmatrix}=-6cdot1cdot1cdot(-23)cdot(-2)cdot(-7)=1932.

Мы рассмотрели наиболее распространенные методы вычисления определителей высших порядков. Каждый из них может применяться для их нахождения.

Онлайн-помощь с решением контрольных работ на бирже Студворк!

Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы высших порядков»

Введем теперь понятие определителя
4-ого порядка. Аналогично определениям
минора и алгебраического дополнения
элементов матрицы 3-го порядка, можно
ввести эти понятия для элементов
матрицы 4-го порядка :

,

понимая под минором
()
ее элементаопределитель
матрицы 3-го порядка, которая получается
вычеркиванием из матрицы–ой
строки и–ого
столбца, а под алгебраическим
дополнением– произведение

.

Определение 1. Определителем 4-ого
порядканазывается число

.(1)

Аналогичным образом можно ввести понятие
определителя 5-ого порядка, опираясь на
определение определителя 4-ого порядка.

В общем случае, предположим, что мы
определили, что такое определитель

( n- 1)-ого порядка, тогда
можно ввести понятие определителяn–ого порядка.

Определение 2. Определитель n-ого
порядкаквадратной матрицы-ого
порядка

есть число

,(2)

где
– алгебраическое дополнение элементаматрицы

,

– минор элементаматрицы,
т.е. определитель матрицы-ого
порядка, которая получается вычеркиванием
из матрицы1–ой строки и–ого
столбца.

Формула (2)называетсяразложением
определителя
по элементам 1-ой строки.

В качестве примеравычислим определитель 4-ого порядка,
опираясь на его определение.

§4. Свойства определителей.

1. При транспонировании квадратной матрицы
   величина ее определителя не меняется:

.

1. Если поменять местами две строки (или
   два столбца), то определитель изменит
   знак на противоположный.

1. Определитель с двумя одинаковыми
   строками (столбцами) равен 0.

1. Определитель, содержащий нулевую строку
   (столбец), т.е. строку (столбец) состоящую
   только из нулей, равен нулю.

1. Общий множитель всех элементов строки
   (столбца) можно выносить за знак
   определителя, например,

(за знак определителя мы вынесли «2» –
общий множитель элементов 1-ой строки).

1. Определитель с двумя пропорциональными
   строками (столбцами) равен нулю.

1. Если каждый элемент
   –ой
   строки (–ого
   столбца) определителяпредставлен в виде суммы двух слагаемых,
   то

,
где

в определителях
ивсе строки (столбцы), кроме–ой
строки (–ого
столбца) такие же, как и в определителе;–ая
строка (–ый
столбец) в определителесостоит из первых слагаемых–ой
строки (–ого
столбца) определителя,
а в определителе– из вторых слагаемых этой строки
(столбца).

Поясним сказанное на примере.

.

В силу свойства 7

.

1. Величина определителя не изменится,
   если ко всем элементам некоторой строки
   (столбца) прибавить соответствующие
   элементы другой строки (столбца),
   умноженные на одно и тоже число.

Например,

.

Каждый элемент 2-го столбца мы умножили
на «2» и прибавили к соответствующему
элементу 3- его столбца. Предлагаем
читателю вычислить каждый из определителей
и убедиться в их равенстве.

1. Определитель равен сумме произведений
   элементов любой строки (столбца) на
   соответствующие алгебраические
   дополнения.

,(1)

,(2)

Равенство (1)называетсяразложением
определителя
по элементам –ой
строки, а равенство(2) –разложением
по элементам -ого
столбца.

1. Сумма произведений элементов строки
   (столбца) на алгебраические дополнения
   (см. определение 3 §2) элементов
   другой строки (столбца) равна нулю.

Опираясь на свойства 8 и 9 можно
преобразовать заданный определитель
так, чтобы все элементы какой-либо строки
(столбца), кроме, быть может, одного,
равнялись нулю, а затем разложить
определитель по элементам этой строки
(столбца), что значительно облегчит
вычисления.

Пример.Преобразуем
определитель

так, чтобы в первой строке все элементы,
кроме, быть может, одного, стали нулями.
Мысленно умножим элементы первого
столбца определителя на «–3» ()
и прибавим результат к соответствующим
элементам третьего столбца, получим
определитель

.

Теперь умножим все элементы 1-го столбца
определителя
на «–2» ()
и прибавим результат к соответствующим
элементам второго столбца:

.

В силу свойства 8

.

Содержание:

• Вычисления определителей второго порядка
• Методы вычисления определителей третьего порядка
• Приведение определителя к треугольному виду
• Правило треугольника
• Правило Саррюса
• Разложение определителя по строке или столбцу
• Разложение определителя по элементам строки или столбца
• Теорема Лапласа

В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:

$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком “плюс”; аналогично, для второго определителя – соответствующие произведения берутся со знаком “минус”, т.е.

$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком “минус”:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.

Теорема Лапласа

Читать дальше: обратная матрица.