Как найти определитель матрицы 2х2

Определитель матрицы

Пусть задана матрица второго порядка $ A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22} end{pmatrix} $. Тогда её определитель находится по формуле:

$$ Delta = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22} end{vmatrix} = a_{11}cdot a_{22} – a_{12}cdot a_{21} $$

Из произведения элементов, стоящих на главной диагонали $ a_{11}cdot a_{22} $, вычитается произведение элементов, расположенных на побочной диагонали $ a_{12}cdot a_{21} $. Это правило верно только (!) для определителя 2-го порядка.

Если дана матрица третьего порядка $ A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{pmatrix} $, то вычислить её определитель следует по формуле:

$$ Delta = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{vmatrix} = $$

$$ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} – a_{13}a_{22}a_{31}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{12}a_{21}a_{33} $$

Пример 1

Найти определитель матрицы $ A = begin{pmatrix} 1&2\3&4 end{pmatrix} $

Решение

Обратим внимание на то что матрица квадратная второго порядка, то есть количество столбцов равно количеству строк и они содержат по 2 элемента. Поэтому применим первую формулу. Перемножим элементы, стоящие на главной диагонали и вычтем из них произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: $$ Delta = begin{vmatrix} 1&2\3&4 end{vmatrix} = 1 cdot 4 – 2 cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ Delta = -2 $$

Пример 2

Вычислить определитель $ A = begin{pmatrix} 2&2&1\1&-3&-1\3&4&-2 end{pmatrix} $

Решение

Так как в задаче квадратная матрица 3-го порядка, то найти определитель матрицы следует по второй формуле. Для простоты решения задачи достаточно подставить вместо $ a_{ij} $ переменных, стоящих в формуле значения из матрицы нашей задачи: $$ Delta = begin{vmatrix} 2&2&1\1&-3&-1\3&4&-2 end{vmatrix} = $$ $$ = 2cdot (-3) cdot (-2) + 2cdot (-1) cdot 3 + 1cdot 4cdot 1 – $$ $$ – 1cdot (-3)cdot 3 – (-1)cdot 4cdot 2 – 2cdot 1cdot (-2) = $$ $$ = 12 – 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ Стоит отметить когда мы находим произведения элементов на побочной диагонали и подобных её, то перед произведениями ставится знак минус.

Ответ

$$ Delta = 31 $$

Пример 3

Найти определитель матрицы $ A = begin{pmatrix} 1&3&-2\-2&4&1 end{pmatrix} $

Решение

Замечаем сразу, что количество строк не равно количеству столбцов, поэтому матрица не является квадратной. Так как определить существует только у квадратных матриц, то задача не имеет решения.

Ответ

Невозможно посчитать определитель

Рассмотрим
теперь систему двух линейных уравнений
с двумя неизвестными:

(*)

Коэффициенты

при неизвестных

и

для удобства обозначений имеют два
индекса, первый из которых указывает,
какому уравнению принадлежит коэффициент,
а второй – при каком неизвестном он
стоит. Таблица

,

составленная
из коэффициентов при неизвестных,
называется матрицей системы.

Исключим
из этой системы неизвестное
.
Для этого умножим первое уравнение
системы на
,
а второе – на
,
затем вычтем из первого уравнения
второе. Получим

.
(**)

Аналогично
исключаем
:
.
(***)

Если
,
то, разделив обе части уравнений (**) и
(***) на
,
получим единственное решение системы
(*):

,

(****).

Числитель
и знаменатель полученных выражений
называют определителями или детерминантами
второго порядка. Таким образом,

Определение.
Назовем определителем или детерминантом
2-го порядка матрицы

число,
равное
.
Обозначения:
==.

Об
этом определителе

говорят, что он соответствует матрице
,
и называют определителем системы (*).
Числа

называют элементами определителя (как
и матрицы). Элементы

образуют так называемую главную
диагональ, а элементы

– побочную.

Согласно
этому определению формулы (****) принимают
следующий вид:

,

(*****).

Заметим,
что определители

и

получаются из из определителя

системы при помощи замены соответственно
его первого и второго столбца столбцом
свободных членов системы (*). Формулы
(*****) называтся формулами Крамера.

Таким
образом, если определитель (*) системы
не равен нулю, то формулы Крамера дают
единственное решение этой системы.

Рассмотрим
другие случаи. Если определитель
,
но покрайней мере один из определителей

или

отличен от нуля, то система (*) не имеет
решений (несовместна), так как покрайней
мере одно из уравнений (**) или (***) является
не возможным. Если
,
то система (*) имеет бесконечно много
решений, так как

или
,
следовательно, уравнения пропорциональны,
т.е.

.

Поэтому
системы следующего вида решаются
аналогично, с разницей только количества
свободных переменных:

,

,

– произвольное.

Пример:

.

Свойства определителей 2-го порядка

Свойство
1. Определитель не изменится, если его
строки поменять местами с соответствующими
столбцами (транспонирование).

Доказательство:

.

Свойство
2. При перестановке двух строк (столбцов)
определитель изменит знак на
противоположный, сохраняя абсолютную
величину.

Доказательство:
Например, пусть

.

Свойство
3. Определитель с двумя одинаковыми
строками (или столбцами) равен нулю.

Доказательство:
Например, пусть

и
,
тогда

.

Свойство
4. Общий множитель всех элементов строки
(или столбца) можно выносить за знак
определителя.

Доказательство:
Например, пусть

.

Свойство
5. Если к элементам какой-либо строки
(столбца) определителя прибавит
соответствующие элементы другой строки
(столбца), умноженное на одно и то же
число, то определитель не изменит своей
величины.

Доказательство:
Например, пусть

Свойство
6. Если все элементы какой-либо строки
(столбца) определителя умножеть на одно
и то же число
,
то и значение определителя умножится
на это число
.

Свойство
7. Определитель, у которого элементы
двух строк (столбцов) соответственно
пропорциональны, равен нулю.

Доказательство:
Например, пусть

и
,
тогда

.

Свойство
8. Пусть каждый элемент некоторой строки
(столбца) определителя есть сумма двух
слагаемых. Тогда этот определитель
равен сумме двух определителей, причем
в одном определителе одноименная строка
(столбец) состоит из первых слагаемых,
а в другом – из вторых слагаемых.
Остальные элементы у определителей
одинаковы.

Доказательство:
Например, пусть

.

Свойство
9. Если все элементы, кроме главной
диагонали, равны нулю, то определитель
равен произведению элементов, стоящих
на главной диагонали.

1. Определитель
   матрицы 3х3. Для квадратной матрицы
   3-го порядка определитель или детерминант
   задается следующим образом:

,

называемое
разложением определителя по первой
строке.

Раскрывая
входящие в это выражение определители
второго порядка, получаем:

.

Определение.
Минором

называется определитель матрицы,
получившейся из исходной вычеркиванием

-й
строки и
-го
столбца.

Следовательно,

Определение.
Число

называется алгебраическим дополнением
элемента
.
Тогда формула (**) примет более изящный
вид:
.

Все
свойства определителей второго порядка
справедливы и для определителей третьего
порядка.

Свойство
10. Теорема. Справедливы разложения
определителя третьего порядка как по
произвольной строке, так и по произвольному
столбцу, т.е. определитель третьего
порядка равен сумме парных произведений
элементов какой-либо его строки (или
столбца) на их алгебраические дополнения.

Это
следует из перестоновочности строк и
столбцов и транспонирования.

Свойство
11. Сумма парных произведений элементов
какой-либо его строки (или столбца) на
алгебраические дополнения соответствующих
элементов какой-либо другой строки (или
столбца) равна нулю.

Определение.
Определителем
-го
порядка

называется
число, равное алгебраической сумме
,
где

– соответствующие алгебраические
дополнения, т.е. являются определителями
-го
порядка, получаемым из исходного
вычеркиванием первого столбца и
-й
строки и умножением полученного
определителя на
.
Все рассмотренные свойства определителей
второго и третьего порядков имеют место
и для определителей
-го
порядка.

2.11.
Системы линейных уравнений. Основные
понятия. Пусть дана система линейных
уравнений:

Решением
системы линейных уравнений
называется набор чисел
,
при подстановке которых в уравнения
вместо соответствующих переменных
получаются верные числовые равенства.

Если
система имеет хотя бы одно решение, она
называется совместной. Если это
решение единственное, она называется
определенной. Если это решение
не единственное, она называется
неопределенной.

Если
система не имеет решений, она называется
несовместной.

Система
называется однородной, если все
правые части равны нулю:
Если
хотя бы одно из чисел

не равно нулю, система называется
неоднородной.

Заметим,
что однородная система всегда совместна,
т.к. она всегда имеет нулевое решение
.
Это решение обычно называют тривиальным.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В прошлый раз мы рассмотрели понятие определителя матрицы. Для вычисления определителей существуют различные правила. Например, определитель матрицы FF первого порядка — элемент f11:∣F∣=f11f_{11}: |F|= f_{11}. Рассмотрим вычисление определителя второго порядка.

Правило нахождения определителя второго порядка

Для того чтобы вычислить определитель второго порядка необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов второй (побочной) диагонали.

В общем случае нахождение определителя выглядит следующим образом:

∣B∣=∣b11b12b21b22∣=b11⋅b22−b12⋅b21|B|=begin{vmatrix}color{green}{b_{11}}&color{purple}{b_{12}}\color{purple}{b_{21}}&color{green}{b_{22}}end{vmatrix}=color{green}{b_{11}}cdotcolor{green}{b_{22}}-color{purple}{b_{12}}cdotcolor{purple}{b_{21}}.

Схема вычисления определителя второго порядка выглядит следующим образом:

Алгоритм нахождения определителя второго порядка:

1. Определяем порядок определителя (подробнее о порядке определителя можно узнать в теме «Что такое определитель матрицы»).
2. Если порядок определителя = 2, то находим произведение элементов главной диагонали, и произведение элементов второй (побочной) диагонали (с понятием главной и побочной диагонали можно ознакомиться в теме «Основные типы матриц»).
3. Находим разность произведения элементов главной диагонали и произведения элементов второй (побочной диагонали).

Пример 1

Вычислить определитель второго порядка Δ=∣−1543−2∣Delta=begin{vmatrix}-15&4\3&-2end{vmatrix}.

Определитель второго порядка равен

Δ=∣−1543−2∣=−15⋅(−2)−4⋅3=30−12=18Delta=begin{vmatrix}-15&4\3&-2end{vmatrix}=-15cdot(-2)-4cdot3=30-12=18.

Пример 2

Вычислить определитель второго порядка Δ=∣−cos⁡α−sin⁡α−sin⁡α−cos⁡α∣Delta=begin{vmatrix}-cosalpha&-sinalpha\-sinalpha&-cosalphaend{vmatrix}.

Определитель второго порядка равен Δ=∣−cos⁡α−sin⁡α−sin⁡α−cos⁡α∣=−cosα⋅(−cosα)−(−sinα⋅(−sinα))=cos2α−sin2α=cos(2α)Delta=begin{vmatrix}-cosalpha&-sinalpha\-sinalpha&-cosalphaend{vmatrix}=-cosalphacdot(-cosalpha)-(-sinalphacdot(-sinalpha))=cos^{2}alpha-sin^{2}alpha=cos(2alpha).

Обратитесь к нашим экспертам, если вам потребовалась онлайн-помощь с решением задач!

Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы второго порядка»

Содержание:

• Вычисления определителей второго порядка
• Методы вычисления определителей третьего порядка
• Приведение определителя к треугольному виду
• Правило треугольника
• Правило Саррюса
• Разложение определителя по строке или столбцу
• Разложение определителя по элементам строки или столбца
• Теорема Лапласа

В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:

$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком “плюс”; аналогично, для второго определителя – соответствующие произведения берутся со знаком “минус”, т.е.

$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком “минус”:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.

Теорема Лапласа

Читать дальше: обратная матрица.