Как найти определитель матрицы с буквами

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Перед тем как находить и считать определитель, дадим определение определителю матрицы. 

Определение 1

Что такое определитель матрицы или детерминант матрицы? Определитель матрицы — это некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А=(aij)n×n. 

|А|, ∆, det A – символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Как найти определитель матрицы? Вычислить определитель или найти определитель можно с помощью разных способов (в том числе онлайн и при помощи калькулятора). Конкретный способ поиска и того, как решать, выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Пример 1​​​​​

Определитель матрицы второго порядка можно вычислять по формуле:

А=1-231.

Решение матрицы:

det A=1-231=1×1-3×(-2)=1+6=7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника 

Нахождение определителя матрицы 3-го порядка осуществляется по одному из правил:

  • он может считаться по правилу треугольника;
  • расчет также проводится по правилу Саррюса.

Как найти определитель матрицы третьего порядка по методу треугольника (определитель матрицы 3×3)?

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Пример 2

А=13402115-1

Решение:

det A=13402115-1=1×2×(-2)+1×3×1+4×0×5-1×2×4-0×3×(-1)-5×1×1=(-2)+3+0-8-0-5=-12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

  • дописать слева от определителя два первых столбца;
  • перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
  • перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Пример 3

А=134021-25-11302-25=1×2×(-1)+3×1×(-2)+4×0×5-4×2×(-2)-1×1×5-3×0×(-1)=-2-6+0+16-5-0=3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицы четвертого порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

  • разложением по элементам строки;
  • разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 4

Разложение матрицы по элементам строки:

det A=ai1×Ai1+ai2×Ai2+…+аin×Аin

Разложение матрицы по элементам столбца:

det A=а1i×А1i+а2i×А2i+…+аni×Аni

Замечание

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

Пример 5

А=01-132100-24513210

Решение:

  • раскладываем по 2-ой строке:

А=01-132100-24513210=2×(-1)3×1-13-251310=-2×1-13451210+1×0-13-251310

  • раскладываем по 4-му столбцу:

А=01-132100-24513210=3×(-1)5×210-245321+1×(-1)7×01-1210321=-3×210-245321-1×01-1210321

Свойства определителя

Свойства определителя:

  • если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
  • если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
  • определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
Замечание 

В рамках темы советуем обратиться к модулю определителя.

Пример 6

А=134021005

Решение:

det А=134021005=1×5×2=10

Замечание

Матричныый определитель, который содержит нулевой столбец, равный нулю (представляет собой минор).

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Найти определитель (детерминант) матрицы онлайн

На данной странице калькулятор поможет найти определитель матрицы онлайн с подробным решением. При решении можно выбрать правило треугольника, правило Саррюса. Разложение определителя по строке или столбцу. Приведение определителя к треугольному виду. Для расчета задайте целые или десятичные числа.

Определитель матрицы


Размерность матрицы:

Павило:


A


Другой материал по теме

Содержание:

  • Вычисления определителей второго порядка
  • Методы вычисления определителей третьего порядка
  • Приведение определителя к треугольному виду
  • Правило треугольника
  • Правило Саррюса
  • Разложение определителя по строке или столбцу
  • Разложение определителя по элементам строки или столбца
  • Теорема Лапласа

В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:

$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$

Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Определитель матрицы по правилу треугольника

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком “плюс”; аналогично, для второго определителя – соответствующие произведения берутся со знаком “минус”, т.е.

$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.

Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$

Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком “минус”:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$

Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$

Решение. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right| leftarrow=a_{11} cdot A_{11}+a_{12} cdot A_{12}+a_{13} cdot A_{13}=$

$1 cdot(-1)^{1+1} cdot left| begin{array}{cc}{5} & {6} \ {8} & {9}end{array}right|+2 cdot(-1)^{1+2} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {6} \ {7} & {9}end{array}right|+3 cdot(-1)^{1+3} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {5} \ {7} & {8}end{array}right|=-3+12-9=0$

Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$

Решение. Выполним следующие
преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.

$$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$$

$$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Задание. Вычислить определитель
$left| begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним
элементарные преобразования над строками определителя, сделав
как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих,
от второй – пять третьих и от четвертой – три третьих строки, получаем:

$$left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|$$

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

$$left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=0+0+1 cdot(-1)^{3+1} cdot left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|+0$$

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули,
например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей – вторую:

$$left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \ {4} & {-2} & {-8} \ {0} & {4} & {8}end{array}right|=4 cdot(-1)^{2+2} cdot left| begin{array}{ll}{2} & {4} \ {4} & {8}end{array}right|=$$

$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$

Ответ. $left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=0$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять,
а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$$

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

$$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):

$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой – две вторых строки, получаем:

$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$$

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

$$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$$

$$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$$

Ответ. $Delta=-80$

Теорема Лапласа

Теорема

Пусть $Delta$ – определитель
$n$-го порядка. Выберем в нем произвольные
$k$ строк (или столбцов), причем
$k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех
миноров
$k$-го порядка, которые содержатся в выбранных
$k$ строках (столбцах), на их
алгебраические дополнения равна определителю.

Пример

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель
$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки –
вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

$$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=left| begin{array}{cc}{1} & {-1} \ {4} & {-5}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+4} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \ {3} & {1} & {1} \ {1} & {2} & {1}end{array}right|+$$

$$+left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {4} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+5} cdot left| begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \ {3} & {1} & {0} \ {1} & {2} & {-2}end{array}right|+left| begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {-5} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+5} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \ {3} & {2} & {1} \ {1} & {1} & {2}end{array}right|=$$

$$=-23+128+90=195$$

Ответ. $left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=195$

Читать дальше: обратная матрица.

Найти определитель матрицы

Этот калькулятор поможет Вам вычислить определитель, разложив его по строке или столбцу, либо предварительно получив нули в строке или столбце. Детерминант будет вычислен с выводом промежуточных результатов.

  • Оставляйте лишние ячейки пустыми для ввода неквадратных матриц.
  • Элементы матриц – десятичные (конечные и периодические) дроби: 1/3, 3,14, -1,3(56) или 1,2e-4; либо арифметические выражения: 2/3+3*(10-4), (1+x)/y^2, 2^0,5 (=2), 2^(1/3), 2^n, sin(phi), cos(3,142rad), a_1 или (root of x^5-x-1 near 1,2).

    • decimal (finite and periodic) fractions:

      1/3, 3,14, -1,3(56) или 1,2e-4

    • 2/3+3*(10-4), (1+x)/y^2, 2^0,5 (=2), 2^(1/3), 2^n, sin(phi), cos(3,142rad), a_1 или (root of x^5-x-1 near 1,2)

    • matrix literals:

      {{1,3},{4,5}}

    • operators:

      +, -, *, /, , !, ^, ^{*}, ,, ;, , =, , , > и <

    • functions:

      sqrt, cbrt, exp, log, abs, conjugate, min, max, gcd, rank, adjugate, inverse, determinant, transpose, pseudoinverse, cos, sin, tan, cot, cosh, sinh, tanh, coth, arccos, arcsin, arctan, arccot, arcosh, arsinh, artanh и arcoth

    • units:

      rad, deg

    • special symbols:

      • pi, e, i — mathematical constants
      • k, n — integers
      • I or E — identity matrix
      • X, Y — matrix symbols
  • Используйте ↵ Ввод, Пробел, , и Delete для перемещения по ячейкам, Ctrl⌘ Cmd+C/Ctrl⌘ Cmd+V – для копирования матриц.
  • Перетаскивайте матрицы из результата (drag-and-drop), или даже из текстового редактора.
  • За теорией о матрицах и операциях над ними обращайтесь к страничке на Википедии.

Содержание:

Определители II и III порядка

Определение: Определителем порядка n называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы, имеющей n строк и n столбцов, которая раскрывается по определенному правилу.

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Числа Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Определителем II порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 2×2, т.е. имеющая 2 строки и 2 столбца.

Определение: Определитель II порядка вычисляется по правилу: из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, надо вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Определителем III порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 3×3, то есть имеющей 3 строки и 3 столбца.

Определитель III порядка вычисляется по правилу Саррюса: за определителем выписывают первый и второй столбцы, затем из суммы произведений элементов, стоящих на главной диагонали ей параллельных диагоналях, надо вычесть сумму произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и ей параллельных: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Минором Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения элемента Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения называется определитель порядка (n-1), который получается из исходного определителя порядка n путем вычеркивания строки i и столбца j, на пересечении которых стоит элемент Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти миноры элементов Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решенияи Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решенияопределителя из Примера 2. Вычеркивая в определителе строку 1 и столбец 2:Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения получим минорОпределитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Поступая аналогично со строкой 3 и столбцом 3, получим минор Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти миноры элементов Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения и Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения определителя Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Исходя из определения минора Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения получаем Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения аналогично найдем минор Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Алгебраическим дополнением Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решенияэлемента Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения называется произведение минора этого элемента на Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения т.е. Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: Из определения алгебраического дополнения следует, что алгебраическое дополнение совпадает со своим минором, если сумма Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения является четным числом, и противоположно ему по знаку, если сумма Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения – нечетное число.

Определение: Транспонированным определителем n-го порядка называется определитель порядка n, полученный из исходного определителя путем замены строк на соответствующие столбцы, а столбцов на соответствующие строки.

Если Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти определитель, транспонированный к определителюОпределитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Из определения транспонированного определителя Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Свойства определителей

1. Величина транспонированного определителя равна величине исходного определителя. Пусть Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Отсюда видно, что Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

2. Перестановка местами двух строк (столбцов) изменяет знак определителя на противоположный. Пусть Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Если поменять местами строки (столбцы) четное число раз, то величина и знак определителя не меняется. Нечетная перестановка местами строк (столбцов) не меняет величину определителя, но изменяет его знак на противоположный.

3. Определитель, содержащий две (или более) одинаковых строки (столбца), равен нулю. Если определитель содержит два одинаковых столбца, то Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

4. Для того чтобы умножить определитель на число k, достаточно умножить на это число все элементы какой-либо одной строки (столбца). Обратно: если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель k, то его можно вынести за знак определителя.

Докажем это свойство: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

5. Если две каких-либо строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Пусть в определителе II порядка первая и вторая строки пропорциональны, тогда Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Пусть в определителе II порядка все элементы первой строки равны нулю, тогда Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

7. Если элементы какой-либо строки (или столбца) можно представить в виде двух слагаемых, то сам определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Если Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Доказать самостоятельно.

8. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на вещественное число к и прибавить k соответствующим элементам другой строки (соответственно, столбца), то величина определителя не изменится.

Умножим элементы второго столбца на вещественное число k и прибавим результат умножения к соответствующим элементам первого столбца, получимОпределитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Второй определитель равен нулю по свойству 5.

Замечание: Данное свойство применяется для обнуления всех элементов какой-либо строки (столбца) за исключением одного (метод обнуления), что существенно снижает трудоемкость вычисления определителей порядка выше 3 (см. также свойство 9.).

9. [Метод раскрытия определителя по элементам какой-либо строки (или столбца); универсальный способ вычисления определителя любого порядка]. Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Вычислить определитель Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения по элементам 3 строки и по элементам 2 столбца.

Решение:

Воспользуемся свойством 9.: раскроем определитель по элементам 3 строки Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Вычислим определитель по элементам 2 столбцаОпределитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Из полученных результатов видно, что свойство 9. является универсальным методом вычисления любых определителей по элементам любой строки или столбца.

Используя свойство 8. можно обнулить все элементы какой-либо строки (столбца) за исключением одного (метод обнуления), а затем раскрыть определитель по элементам этой строки, воспользовавшись свойством 9.

Пример:

Вычислить определитель Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обнулим элементы в третьей строке, для чего выполним следующие действия: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения (по свойству 4. из третьей строки вынесем множитель 2) Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решенияиспользуя свойство 8., умножим все элементы второго столбца на 1.5 и прибавим к соответствующим элементам третьего столбца, получим) Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

(по свойству 4. из третьего столбца вынесем множитель 0,5, тогда множитель перед определителем станет равным 1) Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

(раскроем определитель по элементам третьей строки: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решениявыше из определителя третьего порядка вычеркнута третья строка с нулями и второй столбец, т.е. показан необходимый для дальнейших вычислений минор Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, метод обнуления позволяет значительно ускорить процесс вычисления любого определителя.

Пример:

Решить уравнение Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Вычислим определители второго и третьего порядков согласно вышеописанным правилам:

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Найденные величины подставим в исходное уравнение

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Решить неравенство Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Вычислим определители второго и третьего порядков согласно вышеописанным правилам:Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Найденные величины подставим в исходное неравенство Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Вычислить определитель четвертого порядка (аналогично выполнить такие же действия с определителем третьего порядка), преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и вычислить полученный определитель по элементам этого ряда: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Во второй строке исходного определителя присутствуют 1 и 0, поэтому обнуление элементов будем производить в этой строке (при обнулении элементов в строке действия производят со столбцами и наоборот): Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения – строка обнуления; Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения– столбцы, с которыми производят действия)=Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

(по методу обнуления раскроем определитель по элементам 2-ой строки (Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения – цифры, с которыми производятся действия))Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения (по универсальному методу раскроем определитель по элементам третьей строки)Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определители

Перестановкой чисел 1, 2,…, n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12…n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения обозначает подстановку в которой 3 переходит в Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

где индексы Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,…,n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (-1)q где q – число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения (детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей:

  1. Определитель не меняется при транспонировании.
  2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
  3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
  4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
  5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения то сам определитель умножится на Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения
  6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
  7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, – такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения в другом – из элементов Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения
  8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения элемента Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения определителя d называется его минор Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения взятый со знаком Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Алгебраическое дополнение элемента Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения будем обозначать Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения или j- го столбца Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Пример:

Не вычисляя определителя Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения показать, что он равен нулю.

Решение:

Вычтем из второй строки первую, получим определитель Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения в котором две строки пропорциональны.

Такой определитель равен нулю.

Пример:

Вычислить определитель Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения разложив его по элементам второго столбца.

Решение:

Разложим определитель по элементам второго столбца: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Вычислить определитель Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Решение:

Разложим определитель А по первой строке:

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

И так далее. После n шагов придем к равенству Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Вычислить определитель Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.

——- в вышмате

Определители. Алгебраические дополнения

Внимание! Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.

Матрица называется квадратной порядка n, если количество ее строк совпадает с количеством столбцов и равно n.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ. Элементы квадратной матрицы порядка n, сумма индексов каждого из которых равна n+1, составляют побочную диагональ.

Определитель матрицы Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения обозначается одним из следующих символов: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Внимание! Определитель – это число, характеризующее квадратную мат- рицу.

Определитель матрицы второго порядка равен разности элементов главной и побочной диагоналей соответственно:

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель матрицы третьего порядка равен сумме элементов главной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, а также разности элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали. Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Схематично это правило изображается так (правило треугольника): Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Например,

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если все элементы, стоящие под (над) главной диагональю равны нулю.

Отметим некоторые свойства определителя.

  1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
  2. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
  3. От перестановки двух рядов (строк или столбцов) определитель меняет знак.
  4. Общий множитель всех элементов некоторого ряда определителя можно выносить за знак определителя.
  5. Если все элементы какого-нибудь ряда матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.
  6. Определитель, содержащий два пропорциональных ряда, равен нулю.
  7. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, умноженные на одно и то же число.
  8. Определитель произведения двух матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц.

Минором элемента Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения определителя n-го порядка называется определитель (n-l)-ro порядка, получаемый вычеркиванием i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Алгебраическим дополнением элемента Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения называется его минор, умноженный на Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения Обозначение: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Теорема разложения.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

Пример №2

Вычислить определитель, разлагая его по элементам первой строки: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По теореме разложения Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А: Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно,

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления определителя порядка выше третьего удобно пользоваться теоремой разложения (метод понижения порядка) или методом приведения определителя к треугольному виду.

Пример №3

Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Применяя свойство 6 определителей, преобразуем последовательно второй, третий, четвертый столбцы матрицы. Определитель матрицы - определение и вычисление с примерами решения

  1. прибавили ко второму столбцу первый, умноженный на -2;
  2. прибавили к третьему столбцу первый, умноженный на -3;
  3. прибавили к четвертому столбцу первый, умноженный на -4;
  4. применили свойство 1 определителей.
  • Критерий совместности Кронекера-Капелли
  • Формулы Крамера
  • Матричный метод
  • Экстремум функции
  • Пределы в математике
  • Функции многих переменных
  • Уравнения прямых и кривых на плоскости
  • Плоскость и прямая в пространстве

Добавить комментарий