Как найти определители при решении методом крамера

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

• Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

• С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
• При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \ end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \ a_3 & a_4 & b_1 \ end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \ a_3 & a_4 \ end{array} = a_1 cdot a_4 – a_3 cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \ b_2 & a_4 \ end{array} = b_1 cdot a_4 – b_2 cdot a_4$

$D_2 = begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \ a_3 & b_2 \ end{array} = a_1 cdot b_2 – a_3 cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = frac {D_1}{D}$

$x_2 = frac {D_2}{D}$

Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $Deltaneq 0$.
2. Для каждой переменной $x_i$($i=overline{1,n}$) необходимо составить определитель $Delta_{x_i}$, полученный из определителя $Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=frac{Delta_{x_{i}}}{Delta}$ ($i=overline{1,n}$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ $left{begin{aligned}
& 3x_1+2x_2=-11;\
& -x_1+5x_2=15.
end{aligned}right.$ методом Крамера.

Решение

Матрица системы такова: $ A=left( begin{array} {cc} 3 & 2\ -1 & 5 end{array} right)$. Определитель этой матрицы:

$$Delta=left| begin{array} {cc} 3 & 2\ -1 & 5 end{array}right|=3cdot 5-2cdot(-1)=17.$$

Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $Delta_{x_1}$ и $Delta_{x_2}$. Определитель $Delta_{x_1}$ получаем из определителя $Delta=left| begin{array} {cc} 3 & 2\ -1 & 5 end{array}right|$ заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $left(begin{array} {c} -11\ 15end{array}right)$:

$$
Delta_{x_1}=left|begin{array}{cc}-11&2\15&5end{array}right|=-55-30=-85.
$$

Аналогично, заменяя второй столбец в $Delta=left|begin{array}{cc}3&2\-1&5end{array}right|$ столбцом свободных членов, получим:

$$
Delta_{x_2}=left|begin{array} {cc} 3 & -11\ -1 & 15end{array}right|=45-11=34.
$$

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

$$x_1=frac{Delta_{x_1}}{Delta}=frac{-85}{17}=-5;;x_2=frac{Delta_{x_2}}{Delta}=frac{34}{17}=2.$$

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

$$left{begin{aligned}
& 3x_1+2x_2=3cdot(-5)+2cdot{2}=-11;\
& -x_1+5x_2=-(-5)+5cdot{2}=15.
end{aligned}right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

Ответ: $x_1=-5$, $x_2=2$.

Пример №2

Решить СЛАУ $
left{begin{aligned}
& 2x_1+x_2-x_3=3;\
& 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\
& x_1+x_3=-2.
end{aligned} right.$, используя метод Крамера.

Решение

Определитель системы:

$$Delta=left| begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\ 3 & 2 & 2 \ 1 & 0 & 1 end{array}right|=4+2+2-3=5.$$

Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_{x_1}$:

$$
Delta_{x_1}=left| begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1\ -7 & 2 & 2 \ -2 & 0 & 1 end{array}right|=6-4-4+7=5.
$$

Заменяя второй столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_{x_2}$:

$$
Delta_{x_2}=left| begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\ 3 & -7 & 2 \ 1 & -2 & 1 end{array}right|=-14+6+6-7-9+8=-10.
$$

Заменяя третий столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_{x_3}$:

$$
Delta_{x_3}=left| begin{array} {ccc} 2 & 1 & 3\ 3 & 2 & -7 \ 1 & 0 & -2 end{array}right|=-8-7-6+6=-15.
$$

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

$$
x_1=frac{Delta_{x_1}}{Delta}=frac{5}{5}=1;; x_2=frac{Delta_{x_2}}{Delta}=frac{-10}{5}=-2; ; x_3=frac{Delta_{x_3}}{Delta}=frac{-15}{5}=-3.
$$

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

$$left{begin{aligned}
& 2x_1+x_2-x_3=2cdot{1}+(-2)-(-3)=3;\
& 3x_1+2x_2+2x_3=3cdot{1}+2cdot(-2)+2cdot(-3)=-7;\
& x_1+x_3=1+(-3)=-2.
end{aligned} right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Ответ: $x_1=1$, $x_2=-2$, $x_3=-3$.

Пример №3

Решить СЛАУ $left{begin{aligned}
& 2x_1+3x_2-x_3=15;\
& -9x_1-2x_2+5x_3=-7.
end{aligned}right.$ используя метод Крамера.

Решение

Матрица системы $ left( begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\ -9 & -2 & 5 end{array} right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

$$

left { begin{aligned}
& 2x_1+3x_2=x_3+15;\
& -9x_1-2x_2=-5x_3-7.

end{aligned} right.

$$

Теперь матрица системы $ left( begin{array} {cc} 2 & 3 \ -9 & -2 end{array} right) $ стала квадратной, и определитель её $Delta=left| begin{array} {cc} 2 & 3\ -9 & -2 end{array}right|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

$$
begin{aligned}
& Delta_{x_1}
=left| begin{array} {cc} x_3+15 & 3\ -5x_3-7 & -2 end{array}right|
=-2x_3-30-left(-15x_3-21right)
=13x_3-9;\
\
& Delta_{x_2}
=left| begin{array} {cc} 2 & x_3+15\ -9 & -5x_3-7 end{array}right|
=-10x_3-14-left(-9x_3-135right)
=-x_3+121.
end{aligned}
$$

$$
x_1=frac{Delta_{x_1}}{Delta}=frac{13x_3-9}{23};;
x_2=frac{Delta_{x_2}}{Delta}=frac{-x_3+121}{23}.
$$

Ответ можно записать в таком виде: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{13x_3-9}{23};\
& x_2=frac{-x_3+121}{23};\
& x_3in R.
end{aligned}right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

Примечание

В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ
$left{begin{aligned}
& 2x_1-5x_2+10x_3=14;\
& -4x_1+10x_2-7x_3=5.
end{aligned}right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $
left{begin{aligned}
&2x_1-5x_2=-10x_3+14;\
&-4x_1+10x_2=7x_3+5.
end{aligned}right.$. Определитель данной системы $Delta=left| begin{array} {cc} 2 & -5\ -4 & 10 end{array}right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $
left{begin{aligned}
&2x_1+10x_3=5x_2+14;\
&-4x_1-7x_3=-10x_2+5.
end{aligned}right.$, определитель которой $Delta=left| begin{array} {cc} 2 & 10\ -4 & -7 end{array}right|=-14+40=26$ не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3.

Пример №4

Решить СЛАУ

$$left{begin{aligned}
&x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\
&2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \
&-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0.
end{aligned}right.$$

методом Крамера.

Решение

Матрица системы $left(begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \
2 & -6 & 1 & -4 & -2 \
-1 & 4 & 5 & -3 & 0
end{array}right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

$$
left{begin{aligned}
& x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;\
& 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5; \
& -x_1+4x_2+5x_3=3x_4.
end{aligned}right.$$

$$
begin{aligned}
& Delta
=left| begin{array} {ccc} 1 & -5 & -1\ 2 & -6 & 1\-1 & 4 & 5 end{array}right|
=19;\
\
& Delta_{x_1}
=left| begin{array} {ccc} 2x_4-3x_5 & -5 & -1\ 4x_4+2x_5 & -6 & 1\3x_4 & 4 & 5 end{array}right|
=-17x_4+144x_5;\
\
& Delta_{x_2}
=left| begin{array} {ccc} 1 & 2x_4-3x_5 & -1\ 2 & 4x_4+2x_5 & 1\-1 & 3x_4 & 5 end{array}right|
=-15x_4+41x_5;\
\
& Delta_{x_3}
=left| begin{array} {ccc} 1 & -5 & 2x_4-3x_5\ 2 & -6 & 4x_4+2x_5\-1 & 4 & 3x_4 end{array}right|
=20x_4-4x_5.
end{aligned}
$$

Ответ таков: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{-17x_4+144x_5}{19};\
& x_2=frac{-15x_4+41x_5}{19};\
& x_3=frac{20x_4-4x_5}{19}; \
& x_4in R; ; x_5in R.
end{aligned}right.$ Переменные $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные, переменные $x_4$, $x_5$ – свободные.

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Метод Крамера часто применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этот способ решения один из самых простых. Как правило, данный метод применяется только для тех систем, где по количеству неизвестных столько же, сколько и уравнений. Чтобы получилось решить уравнение, главный определитель матрицы не должен равняться нулю.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 23 ноября 2022 года; проверки требуют 6 правок.

Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)^[1].

Описание метода[править | править код]

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В такой форме метод Крамера справедлив без предположения, что отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример[править | править код]

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

Определители:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

Пример:

Определители:

Вычислительная сложность[править | править код]

Метод Крамера требует вычисления определителей порядка . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка , что сложнее, чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью , сравнимой со сложностью метода Гаусса^[2].

Литература[править | править код]

• Мальцев И. А. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.

Примечания[править | править код]

См. также[править | править код]

• Метод Гаусса

Метод Крамера

Пусть
дана система трех линейных уравнений:

(1)

Для
решения системы линейных уравнений
методом Крамера из коэффициентов при
неизвестных составляется главный
определитель
системы .
Для системы (1) главный определитель
имеет вид
.

Далее
составляются определители по переменным
,,.
Для этого в главном определителе вместо
столбца коэффициентов при соответствующей
переменной записывается столбец
свободных членов, то есть

,
,.

Тогда решение
системы находится по формулам Крамера

,

,

Следует
отметить, что система имеет единственное
решение
,
если главный определитель.Если же

и
=
0,=
0,=
0, то система имеет бесчисленное множество
решений, найти которые по формулам
Крамера нельзя. Если же

и
0,
или0,или0,
то система уравнений несовместна, то
есть решений не имеет.

Пример

Решить
систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1)
Составим и вычислим главный определитель
системы, состоящий из коэффициентов
при неизвестных.

.

Следовательно,
система имеет единственное решение.

2)
Составим и вычислим вспомогательные
определители, заменяя соответствующий
столбец в 
столбцом из свободных членов.

По формулам Крамера
находим неизвестные:

,
,.

Сделаем проверку,
чтобы убедиться в правильности решения

,
т.е.
.

,
т.е.

,
т.е.

Ответ:
.

Пример

Решить
систему уравнений методом Крамера:

Решение:

1)
Составим и вычислим главный определитель
системы из коэффициентов при неизвестных:

.

Следовательно,
система не имеет единственного решения.

2)
Составим и вычислим вспомогательные
определители, заменяя соответствующий
столбец в 
столбцом из свободных членов:

.

,
,
следовательно, система несовместна.

Ответ:
система
несовместна.

Метод Гаусса

Метод
Гаусса состоит из двух этапов. Первый
этап заключается в последовательном
исключении переменных из уравнений
системы при помощи действий, не нарушающих
равносильности системы. Например,
рассмотрим два первых уравнения системы
(1).

(1)

Необходимо
путем сложения этих двух уравнений
получить уравнение, в котором отсутствует
переменная
.
Умножим первое уравнение на,
а второе на ()
и сложим полученные уравнения

+

Заменим
коэффициент перед y,
z
и свободный член на
,исоответственно,
получим новую пару уравнений

Заметим,
что во втором уравнении отсутствует
переменная x.

Проведя
аналогичные действия над первым и
третьим уравнениями системы (1), а затем
над полученными в результате сложения
вторым и третьим уравнениями, преобразуем
систему (1) к виду

(2)

Такой
результат возможен, если система имеет
единственное решение. В этом случае
решение находится при помощи обратного
хода метода Гаусса (второй этап). Из
последнего уравнения системы (2) находим
неизвестную переменную z,
затем из второго уравнения находим y,
а x
соответственно из первого, подставляя
в них уже найденные неизвестные.

Иногда в результате
сложения двух уравнений суммарное
уравнение может принять один из видов:

А)
,
где.
Это означает, что решаемая система
несовместна.

Б)
,
то есть.
Такое уравнение исключается из системы,
в результате число уравнений в системе
становится меньше, чем число переменных,
и система имеет бесчисленное множество
решений, нахождение которых будет
показано на примере.

Пример

Решить
систему методом Гаусса:

Решение:

Рассмотрим
следующий способ осуществления первого
этапа решения методом Гаусса. Запишем
три строки коэффициентов при неизвестных
и свободных членов, соответствующих
трем уравнениям системы. Свободные
члены отделим от коэффициентов
вертикальной линией, а под третьей
строкой проведем горизонтальную прямую.

Первую
строку, которая соответствует первому
уравнению системы, обведем – коэффициенты
в этом уравнении останутся неизменными.
Вместо второй строки (уравнения) надо
получить строку (уравнение), где
коэффициент при
равен нулю. Для этого все числа первой
строки умножим на (–2) и сложим с
соответствующими числами второй строки.
Полученные суммы запишем под горизонтальной
чертой (четвертая строка). Для того чтобы
вместо третьей строки (уравнения) также
получить строку (уравнение), в которой
коэффициент приравен нулю, умножим все числа первой
строки на (–5) и сложим с соответствующими
числами третьей строки. Полученные
суммы запишем пятой строкой и проведем
под ней новую горизонтальную черту.
Четвертую строку (или пятую – по выбору)
обведем. Выбирается строка с меньшими
коэффициентами. В этой строке коэффициенты
останутся неизменными. Вместо пятой
строки надо получить строку, где уже
два коэффициента равны нулю. Умножим
четвертую строку на 3 и сложим с пятой.
Сумму запишем под горизонтальной чертой
(шестая строка) и обведем ее.

Все
описанные действия изображены в таблице
1 при помощи арифметических знаков и
стрелок. Обведенные в таблице строки
запишем снова в виде уравнений (3) и,
применив обратный ход метода Гаусса,
найдем значения переменных x,
y
и z.

Таблица 1

Восстанавливаем
систему уравнений, полученную в результате
наших преобразований:

(3)

Обратный ход
метода Гаусса

Из
третьего уравнения
находим.

Во
второе уравнение системы
подставим найденное значение,
получимили.

Из
первого уравнения
,
подставляя уже найденные значения
переменных, получаем,
то есть.

Чтобы убедиться
в правильности решения, проверку
необходимо сделать во всех трех уравнениях
системы.

Проверка:

,
получим

,
получим

,
получим

значит, система
решена верно.

Ответ:
,,.

Пример

Решить
систему методом Гаусса:

Решение:

Порядок
действий в этом примере аналогичен
порядку в предыдущем примере, а конкретные
действия указаны в таблице 2.

Таблица2

В
результате преобразований получим
уравнение вида
,
следовательно, заданная система
несовместна.

Ответ:
система
несовместна.

Пример

Решить
систему методом Гаусса:

Решение:

Таблица
3

В
результате преобразований получим
уравнение вида
,
которое исключается из рассмотрения.
Таким образом, имеем систему уравнений,
в которой число неизвестных 3, а число
уравнений 2.

Система
имеет бесчисленное множество решений.
Чтобы отыскать эти решения, введем одну
свободную переменную. (Число свободных
переменных всегда равно разности между
числом неизвестных и числом уравнений,
оставшихся после преобразования системы.
В нашем случае 3 – 2 = 1).

Пусть
– свободная переменная.

Тогда
из второго уравнения найдем
,
откуда,
а затем найдемx
из первого уравнения
или.

Таким
образом,
;;.

Сделаем
проверку в уравнениях, которые не
участвовали в нахождении
и,
то есть во втором и в третьем уравнениях
первоначальной системы.

Проверка:

или
,
получаем.

или
,
получаем.

Система
решена верно. Давая произвольной
постоянной
различные значения, будем получать
различные значенияx,
y
и z.

Ответ:

;;.

21

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #