Подробный разбор симплекс-метода
Время на прочтение
6 мин
Количество просмотров 192K
Пролог
Недавно появилась необходимость создать с нуля программу, реализующую алгоритм симплекс-метода. Но в ходе решения я столкнулся с проблемой: в интернете не так уж много ресурсов, на которых можно посмотреть подробный теоретический разбор алгоритма (его обоснование: почему мы делаем те или иные шаги) и советы по практической реализации — непосредственно, алгоритм. Тогда я дал себе обещание — как только завершу задачу, напишу свой пост на эту тему. Об этом, собственно, и поговорим.
Замечание. Пост будет написан достаточно формальным языком, но будет снабжен комментариями, которые должны внести некоторую ясность. Такой формат позволит сохранить научный подход и при этом, возможно, поможет некоторым в изучении данного вопроса.
§1. Постановка задачи линейного программирования
Определение:
Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач на множествах n- мерного пространства, задаваемых системами линейными уравнений и неравенств.
Общая задача линейного программирования (далее – ЛП) имеет вид:
§2. Каноническая форма задачи ЛП
Каноническая форма задачи ЛП:
Замечание:
Любая задача ЛП сводится к канонической.
Алгоритм перехода от произвольной задачи ЛП к канонической форме:
- Неравенства с отрицательными
умножаем на (-1). - Если неравенство вида (≤), то к левой части добавляем – добавочную переменную, и получаем равенство.
- Если неравенство вида (≥), то из левой части вычитаем , и получаем равенство.
- Делаем замену переменных:
умножаем на (-1). Замечание:
Будем нумеровать
по номеру неравенства, в которое мы его добавили.
Замечание:
≥0.
§3. Угловые точки. Базисные/свободные переменные. Базисные решения
Определение:
Точка
называется угловой точкой, если представление
возможно только при
.
Иными словами, невозможно найти две точки в области, интервал проходящий через которые содержит
(т.е.
– не внутренняя точка).
Графический способ решения задачи ЛП показывает, что нахождение оптимального решения ассоциируется с угловой точкой. Это является основной концепцией при разработке симплекс-метода.
Определение:
Пусть есть система m уравнений и n неизвестных (m < n). Разделим переменные на два множества: (n-m) переменные положим равными нулю, а остальные m переменных определяются решением системы исходных уравнений. Если это решение единственно, то тогда ненулевые m переменных называют базисными; нулевые (n-m) переменных – свободными (небазисными), а соответствующие результирующие значения переменных называют базисным решением.
§4. Симплекс-метод
Симплекс-метод позволяет эффективно найти оптимальное решение, избегая простой перебор всех возможных угловых точек. Основной принцип метода: вычисления начинаются с какого-то «стартового» базисного решения, а затем ведется поиск решений, «улучшающих» значение целевой функции. Это возможно только в том случае, если возрастание какой-то переменной приведет к увеличению значения функционала.
Необходимые условия для применения симплекс-метода:
- Задача должна иметь каноническую форму.
- У задачи должен быть явно выделенный базис.
Определение:
Явно выделенным базисом будем называть вектора вида:
, т.е. только одна координата вектора ненулевая и равна 1.
Замечание:
Базисный вектор имеет размерность (m*1), где m – количество уравнений в системе ограничений.
Для удобства вычислений и наглядности обычно пользуются симплекс-таблицами:
- В первой строке указывают «наименование» всех переменных.
- В первом столбце указывают номера базисных переменных, а в последней ячейке – букву Z (это строка функционала).
- В «середине таблицы» указывают коэффициенты матрицы ограничений — aij.
- Последний столбец – вектор правых частей соответствующих уравнений системы ограничений.
- Крайняя правая ячейка – значение целевой функции. На первой итерации ее полагают равной 0.
Замечание:
Базис – переменные, коэффициенты в матрице ограничений при которых образуют базисные вектора.
Замечание:
Если ограничения в исходной задаче представлены неравенствами вида ≤, то при приведении задачи к канонической форме, введенные дополнительные переменные образуют начальное базисное решение.
Замечание:
Коэффициенты в строке функционала берутся со знаком “-”.
Алгоритм симплекс-метода:
1. Выбираем переменную, которую будем вводить в базис. Это делается в соответствии с указанным ранее принципом: мы должны выбрать переменную, возрастание которой приведет к росту функционала. Выбор происходит по следующему правилу:
- Если задача на минимум – выбираем максимальный положительный элемент в последней строке.
- Если задача на максимум – выбираем минимальный отрицательный.
Такой выбор, действительно, соответствует упомянутому выше принципу: если задача на минимум, то чем большее число вычитаем – тем быстрее убывает функционал; для максимума наоборот – чем большее число добавляем, тем быстрее функционал растет.
Замечание:
Хотя мы и берем минимальное отрицательное число в задаче на максимум, этот коэффициент показывает направление роста функционала, т.к. строка функционала в симплекс-таблице взята со знаком “-”. Аналогичная ситуация с минимизацией.
Определение:
Столбец симплекс-таблицы, отвечающий выбранному коэффициенту, называется ведущим столбцом.
2. Выбираем переменную, которую будем вводить в базис. Для этого нужно определить, какая из базисных переменных быстрее всего обратится в нуль при росте новой базисной переменной. Алгебраически это делается так:
- Вектор правых частей почленно делится на ведущий столбец
- Среди полученных значений выбирают минимальное положительное (отрицательные и нулевые ответы не рассматривают)
Определение:
Такая строка называется ведущей строкой и отвечает переменной, которую нужно вывести из базиса.
Замечание:
Фактически, мы выражаем старые базисные переменные из каждого уравнения системы ограничений через остальные переменные и смотрим, в каком уравнении возрастание новой базисной переменной быстрее всего даст 0. Попадание в такую ситуацию означает, что мы «наткнулись» на новую вершину. Именно поэтому нулевые и отрицательные элементы не рассматриваются, т.к. получение такого результата означает, что выбор такой новой базисной переменной будет уводить нас из области, вне которой решений не существует.
3. Ищем элемент, стоящий на пересечении ведущих строки и столбца.
Определение:
Такой элемент называется ведущим элементом.
4. Вместо исключаемой переменной в первом столбце (с названиями базисных переменных) записываем название переменной, которую мы вводим в базис.
5. Далее начинается процесс вычисления нового базисного решения. Он происходит с помощью метода Жордана-Гаусса.
- Новая Ведущая строка = Старая ведущая строка / Ведущий элемент
- Новая строка = Новая строка – Коэффициент строки в ведущем столбце * Новая Ведущая строка
Замечание:
Преобразование такого вида направлено на введение выбранной переменной в базис, т.е. представление ведущего столбца в виде базисного вектора.
6. После этого проверяем условие оптимальности. Если полученное решение неоптимально – повторяем весь процесс снова.
§5. Интерпретация результата работы симплекс-метода
1. Оптимальность
Условие оптимальности полученного решения:
- Если задача на максимум – в строке функционала нет отрицательных коэффициентов (т.е. при любом изменении переменных значение итогового функционала расти не будет).
- Если задача на минимум – в строке функционала нет положительных коэффициентов (т.е. при любом изменении переменных значение итогового функционала уменьшаться не будет).
2. Неограниченность функционала
Однако, стоит отметить, что заданный функционал может не и достигать максимума/минимума в заданной области. Алгебраический признак этого можно сформулировать следующим образом:
При выборе ведущей строки (исключаемой переменной) результат почленного деления вектора правых частей на ведущий столбец содержит только нулевые и отрицательные значения.
Фактически, это значит, что какой бы рост мы не задавали новой базисной переменной, мы никогда не найдем новую вершину. А значит, наша функция не ограничена на множестве допустимых решений.
3. Альтернативные решения
При нахождении оптимального решения возможен еще один вариант – есть альтернативные решения (другая угловая точка, дающая то же самое значение функционала).
Алгебраический признак существования альтернативы:
После достижения оптимального решения имеются нулевые коэффициенты при свободных переменных в строке функционала.
Это значит, что при росте соответствующей переменной с нулевым коэффициентом значение функционала не изменится и новое базисное решение будет также давать оптимум функционала.
Эпилог
Данная статья направлена на более глубокое понимание теоретической части. В замечаниях и пояснениях здесь можно получить ответы на вопросы, которые обычно опускают при изучении этого метода и принимают априори. Однако, надо понимать, что многие методы численной оптимизации основаны на симплекс-методе (например, метод Гомори, М-Метод) и без фундаментального понимания вряд ли получится сильно продвинуться в дальнейшем изучении и применении всех алгоритмов этого класса.
Чуть позже напишу статью о практической реализации симплекс-метода, а также несколько статей о Методе искусственных переменных (М-Метод), Методе Гомори и Методе ветвей и границ.
Спасибо за внимание!
P.S.
Если уже сейчас Вы мучаетесь с реализацией симплекс-метода, советую почитать книгу А. Таха Введение в исследование операций — там все неплохо разобрано и в теории, и на примерах; а также посмотрите примеры решения задач matburo.ru — это поможет с реализацией в коде.
Калькулятор симплекс-метода
Количество переменных:
Количество ограничений:
Очистить
Решить
В двойственную
Выполнено действий:
Как пользоваться калькулятором
- Задайте количество переменных и ограничений
- Введите коэффициенты целевой функции
- Введите коэффициенты ограничений и выберите условия (≤, = или ≥)
- Выберите тип решения
- Нажмите кнопку “Решить”
Что умеет калькулятор симплекс-метода
- Решает основную задачу линейного программирования
- Позволяет получить решение с помощью основного симплекс-метода и метода искусственного базиса
- Работает с произвольным количеством переменных и ограничений
Что такое симплекс-метод
Задача линейного программирования — это задача поиска неотрицательных значений параметров, на которых заданная линейная функция достигает своего максимума или минимума при заданных линейных ограничениях.
Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Алгоритм является универсальным методом, которым можно решить любую задачу линейного программирования.
Если вам тоже ничего не понятно из этого определения, то вы на верном пути. Чаще всего статьи про симплекс-метод очень сильно углубляются в дебри теории задачи линейного программирования, из-за чего очень легко потерять суть и так ничего и не понять. Мы постараемся описать алгоритм симплекс-метода так, чтобы показать, что в нём нет ничего страшного и на самом деле он весьма простой. Но сначала нам всё-таки потребуется ввести несколько определений.
Целевая функция — функция, максимум (или минимум) которой нужно найти. Представляет собой сумму произведений коэффициентов на значения переменных: F = c1·x1 + c2·x2 + … + cn·xn
Ограничение — условие вида a1·x1 + a2·x2 + … + an·xn v b, где вместо v ставится один из знаков: ≤, = или ≥
План — произвольный набор значений переменных x1 … xn.
Алгоритм решения основной задачи ЛП симплекс-методом
Пусть в задаче есть m ограничений, а целевая функция заивисит от n основных переменных. Первым делом необходимо привести все ограничения к каноническому виду — виду, в котором все условия задаются равенствами. Для этого предварительно все неравенства с ≥ умножаются на -1, для получения неравенств с ≤.
Чтобы привести ограничения с неравенствами к каноническому виду, для каждого ограничения вводят переменную, называемую дополнительной с коэффициентом 1. В ответе эти переменные учитываться не будут, однако сильно упростят начальные вычисления. При этом дополнительные переменные являются базисными, а потому могут быть использованы для формирования начального опорного решения.
Пример 1
Привести к каноническому виду ограничения:
2·x1 + 3·x2 + 6·x3 ≤ 240
4·x1 + 2·x2 + 4·x3 = 200
4·x1 + 6·x2 + 8·x3 ≥ 160
Меняем знаки у ограничений с ≥, путём умножения на -1 и добавляем дополнительные переменные к ограничениям с неравенством:
2·x1 + 3·x2 + 6·x3 + x4 = 240
4·x1 + 2·x2 + 4·x3 = 200
-4·x1 – 6·x2 – 8·x3 + x5 = -160
Формирование начального базиса
После того как задача приведена к каноническому виду, необходимо найти начальный базис для формирования первого опорного решения. Если в процессе приведения были добавлены дополнительные переменные, то они становятся базисными.
Иначе необходимо выделить среди коэффициентов ограничений столбец, который участвует в формировании единичной матрицы в заданной строке (например, если требуется определить вторую базисную переменную, то необходимо искать столбец, в котором второе число равно 1, а остальные равны нулю). Если такой столбец найден, то переменная, соответствующая этому столбцу, становится базисной.
В противном случае можно поискать столбец, в котором все значения кроме числа в заданной строке равны нулю, и, если он будет найден, то разделить все значения строки на число, стоящее на пересечении этих строки и столбца, тем самым образовав столбец, участвующий в формировании единичной матрицы.
Пример 2
9·x1 + 5·x2 + 4·x3 + 3·x4 + 2·x5 → max
x1 – 2·x2 + 2·x3 ≤ 6
x1 + 2·x2 + x3 + x4 = 24
2·x1 + x2 – 4·x3 + 2·x5 = 30
Для ограничения с неравенством добавляем дополнительную переменную x6.
Перепишем ограничения в каноническом виде:
x1 – 2·x2 + 2·x3 + x6 = 6
x1 + 2·x2 + x3 + x4 = 24
2·x1 + x2 – 4·x3 + 2·x5 = 30
Ищем начальное базисное решение:
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x6
Столбец 4 является частью единичной матрицы. Переменная x4 входит в начальный базис
В пятом столбце все значения кроме третьего равны нулю. Поэтому в качестве третьей базисной переменной берём x5, предварительно разделив третью строку на 2.
Симплекс-таблица
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x6 | 1 | -2 | 2 | 0 | 0 | 1 | 6 |
| x4 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 24 |
| ? | 2 | 1 | -4 | 0 | 2 | 0 | 30 |
После преобразования получаем следующую таблицу:
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x6 | 1 | -2 | 2 | 0 | 0 | 1 | 6 |
| x4 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 24 |
| x5 | 1 |
1 2 |
-2 | 0 | 1 | 0 | 15 |
Если такой столбец отсутствует, то для формирования базиса необходимо применить исключение Гаусса для первого ненулевого столбца, который ещё не является базисным. Для этого вся строка делится на элемент в найденном столбце, а из остальных строк вычитается полученная строка, разделённая на значение, стоящее в этом же столбце. После этой операции все значения вне данной строки будут обнулены, и столбец можно будет считать базисным.
Пример 3
4·x1 + 5·x2 + 4·x3 → max
2·x1 + 3·x2 + 6·x3 ≤ 240
4·x1 + 2·x2 + 4·x3 = 160
4·x1 + 6·x2 + 8·x3 ≤ 200
Для каждого ограничения с неравенством добавляем дополнительные переменные x4 и x5.
Перепишем ограничения в каноническом виде:
2·x1 + 3·x2 + 6·x3 + x4 = 240
4·x1 + 2·x2 + 4·x3 = 160
4·x1 + 6·x2 + 8·x3 + x5 = 200
Ищем начальное базисное решение:
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x4
Ограничение 3 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x5
Начальная симплекс-таблица
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x4 | 2 | 3 | 6 | 1 | 0 | 240 |
| ? | 4 | 2 | 4 | 0 | 0 | 160 |
| x5 | 4 | 6 | 8 | 0 | 1 | 200 |
Для определения второй базисной переменной ищем первый ненулевой столбец, который ещё не является базисным. Первый столбец не нулевой и не является базисным. Выполняем исключение Гаусса: делим строку 2 на 4, а из первой и третьей строк вычитаем вторую, умноженную на соответствующий элемент в первом столбце.
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x4 | 2 | 3 | 6 | 1 | 0 | 240 |
| x1 | 4 | 2 | 4 | 0 | 0 | 160 |
| x5 | 4 | 6 | 8 | 0 | 1 | 200 |
После исключения получаем следующую таблицу:
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x4 | 0 | 2 | 4 | 1 | 0 | 160 |
| x1 | 1 |
1 2 |
1 | 0 | 0 | 40 |
| x5 | 0 | 4 | 4 | 0 | 1 | 40 |
После того как базис сформирован, нужно построить начальную симплекс-таблицу. Она строится следующим образом:
- Для удобства в первой строке можно записать коэффициенты Ci целевой функции (для дополнительных переменных эти коэффициенты равны нулю)
- Вторая строка формирует шапку таблицы. В ней первый столбец называется базис, а остальные перечисляют основные переменные x1..xn и дополнительные xn+1..xn+k
- Затем построчно перечисляются базисные переменные и коэффициенты ограничений
Схематично начальная таблица будет выглядеть примерно так:
| C | с1 | c2 | … | cn | 0 | 0 | … | 0 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| базис | x1 | x2 | … | xn | xn+1 | xn+2 | … | xn+k | b |
| xe1 | a11 | a12 | … | a1n | a1n+1 | a1n+2 | … | a1n+k | b1 |
| xe2 | a21 | a22 | … | a2n | a2n+1 | a2n+2 | … | a2n+k | b2 |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| xem | am1 | am2 | … | amn | amn+1 | amn+2 | … | amn+k | bm |
Избавляемся от отрицательных свободных коэффициентов
После приведения к каноническому виду или после алгебраических преобразований при формировании базиса некоторые из свободных коэффициентов (bi) могли стать отрицательными, что не позволяет перейти к дальнейшим вычислениям. Чтобы избавиться от отрицательных значений b необходимо:
- Найти строку, в которой находится максимальное по модулю значение b. Пусть это будет строка i;
- Найти максимальный по модулю элемент в этой строке. Пусть он находится в столбце j;
- Строку i разделить на элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца;
- Из каждой оставшейся строки k вычесть строку i, умноженную на элемент строки k и столбца j;
- Переменную, соответствующую найденному столбцу j, сделать базисной (добавить в базис вместо переменной, находящейся в строке i).
Этот шаг необходимо повторять до тех пор, пока все отрицательные b не станут положительными или в строке не останется отрицательных элементов. Если строка с максимальным по модулю bi не содержит отрицательных элементов, то такая задача не имеет решений и на этом алгоритм заканчивает свою работу. В противном случае все bi положительны и алгоритм переходит к следующему этапу — расчёту дельт.
Пример 4
20·x1 + 20·x2 + 10·x3 → min
4·x1 + 3·x2 + 2·x3 ≥ 33
3·x1 + 2·x2 + x3 ≥ 23
x1 + x2 + 2·x3 ≥ 12
Меняем знаки у ограничений с ≥, путём умножения на -1:
-4·x1 – 3·x2 – 2·x3 ≤ -33
– 3·x1 – 2·x2 – x3 ≤ -23
– x1 – x2 – 2·x3 ≤ -12
Для каждого ограничения с неравенством добавляем дополнительные переменные x4..x6.
Перепишем ограничения в каноническом виде:
– 4·x1 – 3·x2 – 2·x3 + x4 = -33
– 3·x1 – 2·x2 – x3 + x5 = -23
– x1 – x2 – 2·x3 + x6 = -12
Ищем начальное базисное решение:
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x4
Ограничение 2 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x5
Ограничение 3 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x6
Начальная симплекс-таблица
| C | 20 | 20 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x4 | -4 | -3 | -2 | 1 | 0 | 0 | -33 |
| x5 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 0 | -23 |
| x6 | -1 | -1 | -2 | 0 | 0 | 1 | -12 |
В столбце b присутствуют отрицательные значения.
Максимальное по модулю |b|max = |-33| находится в первой строке.
Максимальный по модулю элемент в первой строке = -4 находится в первом столбце.
В качестве базисной переменной x4 берём x1.
Делим первую строку на -4. Из второй и третьей строк вычитаем первую, умноженную на соответствующий элемент в первом столбце.
Обновлённая таблица:
| C | 20 | 20 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x1 | 1 |
3 4 |
1 2 |
–
1 4 |
0 | 0 |
33 4 |
| x5 | 0 |
1 4 |
1 2 |
–
3 4 |
1 | 0 |
7 4 |
| x6 | 0 | –
1 4 |
–
3 2 |
–
1 4 |
0 | 1 | –
15 4 |
В столбце b присутствуют отрицательные значения.
Максимальное по модулю |b|max = |-
| находится в третьей строке.
Максимальный по модулю элемент в третьей строке = –
находится в третьем столбце.
В качестве базисной переменной x6 берём x3.
Делим третью строку на –
. Из первой и второй строк вычитаем третью, умноженную на соответствующий элемент в третьем столбце.
Обновлённая таблица:
| C | 20 | 20 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x1 | 1 |
2 3 |
0 | –
1 3 |
0 |
1 3 |
7 |
| x5 | 0 |
1 6 |
0 | –
5 6 |
1 |
1 3 |
1 2 |
| x3 | 0 |
1 6 |
1 |
1 6 |
0 | –
2 3 |
5 2 |
Расчёт дельт
Дельты — это параметры, на основании которых проверяется оптимальность текущего решения и улучшается функция. Они рассчитываются для каждой из переменных ограничений и записываются последней строкой таблицы.
Для расчёта дельт используется следующая формула: Δi = ce1·a1i + ce2·a2i + … + cem·ami – ci. Проще говоря, чтобы вычислить дельту по заданной i-ой переменной, нужно перемножить коэффициенты условий в i-ом столбце на коэффициенты целевой функции при соответствующих базисных переменных, сложить эти произведения и вычесть из полученной суммы коэффициент целевой функции столбца i.
Пример 5
Таблица:
| C | 3 | 0 | 2 | 0 | 0 | -6 | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x2 | 2 | 1 | -3 | 0 | 0 | 6 | 18 |
| x4 | -3 | 0 | 2 | 1 | 0 | -2 | 24 |
| x5 |
1 5 |
0 |
3 5 |
0 | 1 | –
4 5 |
36 5 |
Вычисляем дельты: Δi = C2·a1i + C4·a2i + C5·a3i – Ci
Симплекс-таблица с дельтами
| C | 3 | 0 | 2 | 0 | 0 | -6 | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x2 | 2 | 1 | -3 | 0 | 0 | 6 | 18 |
| x4 | -3 | 0 | 2 | 1 | 0 | -2 | 24 |
| x5 |
1 5 |
0 |
3 5 |
0 | 1 | –
4 5 |
36 5 |
| Δ | -3 | 0 | -2 | 0 | 0 | 6 | 0 |
Проверка плана на оптимальность
После того как дельты рассчитаны, необходимо проверить оптимальность текущего плана. Критерий оптимальности формулируется следующим образом:
При максимизации функции: текущее решение считается оптимальным, если в таблице отсутствуют отрицательные дельты.
При минимизации функции: текущее решение считается оптимальным, если в таблице отсутствуют положительные дельты.
Пример 6
9·x1 + 5·x2 + 4·x3 + 3·x4 + 2·x5 → max
x1 – 2·x2 + 2·x3 ≤ 6
x1 + 2·x2 + x3 + x4 = 24
2·x1 + x2 – 4·x3 + x5 = 30
Симплекс-таблица с дельтами
| C | 9 | 5 | 4 | 3 | 2 | 0 | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x6 | 1 | -2 | 2 | 0 | 0 | 1 | 6 |
| x4 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 24 |
| x5 | 2 | 1 | -4 | 0 | 1 | 0 | 30 |
| Δ | -2 | 3 | -9 | 0 | 0 | 0 | 132 |
Критерий оптимальности: план оптимален, если в таблице отсутствуют отрицательные дельты.
План не оптимален, так как ищется максимум функции, а Δ1 = -2 отрицательна.
Если текущий план оптимален, то алгоритм завершает свою работу. Значениям переменных соответствуют значения столбца свободных коэффициентов b. Если свободной переменной нет в базисе, то её значение считается нулевым. Значение целевой функции, принимаемой на данном наборе, находится в строке с дельтами в том же столбце. Если какое-либо из значений столбца b отрицательно, то решения задачи не существует.
Переход к более оптимальному решению
Если текущий план оказался не оптимальным, то алгоритм ищет столбец с наименьшей (с наибольшей, если ищется минимум) дельтой. После чего вычисляются симплекс-отношения Q. Для этого значения свободных коэффициентов делятся на ненулевые коэффициенты из найденного столбца. Если результат деления получается отрицательным, то такие отношение игнорируются.
Среди найденных симплекс-отношений ищется строка, в которой находится симплекс-отношение с наименьшим значением. Если таких отношений нет, то алгоритм останавливает свою работу, так как целевая функция не ограничена и решения не существует.
Пример 7
Симплекс-таблица с дельтами
| C | 2 | 1 | -2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x1 | 1 | -5 | 0 | -3 | 0 | -1 | 25 |
| x5 | 0 | -16 | 0 | -7 | 1 | -3 | 57 |
| x3 | 0 | -6 | 1 | -2 | 0 | -1 | 17 |
| Δ | 0 | 1 | 0 | -2 | 0 | 0 | 16 |
Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как ищется минимум функции, а Δ2 = 1 положительна.
Определяем разрешающий столбец – столбец, в котором находится максимальная дельта: 2, Δ2: 1
Находим симплекс-отношения Q, путём деления коэффициентов b на соответствующие значения второго столбца
| C | 2 | 1 | -2 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b | Q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x1 | 1 | -5 | 0 | -3 | 0 | -1 | 25 | – |
| x5 | 0 | -16 | 0 | -7 | 1 | -3 | 57 | – |
| x3 | 0 | -6 | 1 | -2 | 0 | -1 | 17 | – |
| Δ | 0 | 1 | 0 | -2 | 0 | 0 | 16 |
Все значения второго столбца отрицательны. Функция не ограничена. Оптимальное решение отсутствует.
В противном случае строка с наименьшим отношением считается разрешающей и, аналогично избавлению от отрицательных свободных коэффициентов, делится на разрешающий элемент, расположенный в найденных столбце и строке, и из остальных строк вычитается найденная строка, разделённая на значения, стоящие в этом же столбце соответствующей строки. Переменная, стоящая в разрешающем столбце заменяет базисную переменную, находящуюся в найденной строке.
После этого вычисляются новые дельты и проверяется новый план. Так продолжается до тех пор пока не будет выполнен критерий оптимальности плана или не будет установлено, что решение не существует.
Пример 8
Симплекс-таблица с дельтами
| C | 9 | 5 | 4 | 3 | 2 | 0 | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x6 | 1 | -2 | 2 | 0 | 0 | 1 | 6 |
| x4 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 24 |
| x5 | 2 | 1 | -4 | 0 | 1 | 0 | 30 |
| Δ | -2 | 3 | -9 | 0 | 0 | 0 | 132 |
Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как Δ1 = -2 отрицательна.
Итерация 1
Определяем разрешающий столбец – столбец, в котором находится минимальная дельта: 3, Δ3: -9
Находим симплекс-отношения Q, путём деления коэффициентов b на соответствующие значения третьего столбца
В найденном столбце ищем строку с наименьшим значением Q: Qmin = 3, строка 1.
На пересечении найденных строки и столбца находится разрешающий элемент: 2
В качестве базисной переменной x6 берём x3.
| C | 9 | 5 | 4 | 3 | 2 | 0 | 0 | |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b | Q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x3 | 1 | -2 | 2 | 0 | 0 | 1 | 6 | 6 / 2 = 3 |
| x4 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 24 | 24 / 1 = 24 |
| x5 | 2 | 1 | -4 | 0 | 1 | 0 | 30 | – |
| Δ | -2 | 3 | -9 | 0 | 0 | 0 | 132 |
Делим первую строку на 2. Из второй и третьей строк вычитаем первую, умноженную на соответствующий элемент в третьем столбце.
Вычисляем новые дельты: Δi = C3·a1i + C4·a2i + C5·a3i – Ci
| C | 9 | 5 | 4 | 3 | 2 | 0 | 0 | |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b | Q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x3 |
1 2 |
-1 | 1 | 0 | 0 |
1 2 |
3 | 3 |
| x4 |
1 2 |
3 | 0 | 1 | 0 | –
1 2 |
21 | 24 |
| x5 | 4 | -3 | 0 | 0 | 1 | 2 | 42 | – |
| Δ |
5 2 |
-6 | 0 | 0 | 0 |
9 2 |
159 |
Текущий план X: [ 0, 0, 3, 21, 42, 0 ]
Целевая функция F: 9·0 + 5·0 + 4·3 + 3·21 + 2·42 + 0·0 = 159
Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как Δ2 = -6 отрицательна.
Итерация 2
Определяем разрешающий столбец – столбец, в котором находится минимальная дельта: 2, Δ2: -6
Находим симплекс-отношения Q, путём деления коэффициентов b на соответствующие значения второго столбца
В найденном столбце ищем строку с наименьшим значением Q: Qmin = 7, строка 2.
На пересечении найденных строки и столбца находится разрешающий элемент: 3
В качестве базисной переменной x4 берём x2.
| C | 9 | 5 | 4 | 3 | 2 | 0 | 0 | |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b | Q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x3 |
1 2 |
-1 | 1 | 0 | 0 |
1 2 |
3 | – |
| x2 |
1 2 |
3 | 0 | 1 | 0 | –
1 2 |
21 | 21 / 3 = 7 |
| x5 | 4 | -3 | 0 | 0 | 1 | 2 | 42 | – |
| Δ |
5 2 |
-6 | 0 | 0 | 0 |
9 2 |
159 |
Делим вторую строку на 3. Из первой и третьей строк вычитаем вторую, умноженную на соответствующий элемент во втором столбце.
Вычисляем новые дельты: Δi = C3·a1i + C2·a2i + C5·a3i – Ci
| C | 9 | 5 | 4 | 3 | 2 | 0 | 0 | |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | b | Q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x3 |
2 3 |
0 | 1 |
1 3 |
0 |
1 3 |
10 | – |
| x2 |
1 6 |
1 | 0 |
1 3 |
0 | –
1 6 |
7 | 7 |
| x5 |
9 2 |
0 | 0 | 1 | 1 |
3 2 |
63 | – |
| Δ |
7 2 |
0 | 0 | 2 | 0 |
7 2 |
201 |
Текущий план X: [ 0, 7, 10, 0, 63, 0 ]
Целевая функция F: 9·0 + 5·7 + 4·10 + 3·0 + 2·63 + 0·0 = 201
Проверяем план на оптимальность: отрицательные дельты отсутствуют, следовательно план оптимален.
Ответ: x1 = 0, x2 = 7, x3 = 10, x4 = 0, x5 = 63, F = 201
Метод искусственного базиса
Очень часто при решении задачи линейной оптимизации бывает довольно сложно выполнять алгебраические преобразования над коэффициентами ограничений для поиска начального базиса. Для упрощения вычислений существует альтернативный метод решения, называемый методом искусственного базиса. Его суть заключается в том, что вместо того, чтобы искать базис среди имеющихся основных и дополнительных переменных, ввести так называемые искусственные переменные, которые сформируют начальный базис. Возможно, звучит сложно и непонятно, но сейчас мы всё объясним.
Подготовительный этап
Аналогично базовому симплекс-методу для всех ограничений с неравентством вводятся дополнительные переменные, причём для ограничений с ≥ они берутся с коэффициентом -1, а для ограничений с ≤ с коэффициентом 1. Ограничения с равенством остаются без изменений. Если свободный коэффициент какого-либо из ограничений меньше нуля, то такое ограничение умножается на -1 (знак неравенства при этом меняется на противоположный). После этого приступают к поиску базиса.
Пример 9
3·x1 + 2·x2 + 3·x3 → min
-2·x1 – x2 – x3 ≥ -2
3·x1 + 8·x2 + 2·x3 ≥ 8
2·x1 + x3 = 1
Меняем знаки у ограничений с отрицательными свободными коэффициентами, путём умножения на -1:
2·x1 + x2 + x3 ≤ 2
3·x1 + 8·x2 + 2·x3 ≥ 8
2·x1 + x3 = 1
Для каждого ограничения с неравенством добавляем дополнительные переменные x4 и x5.
Ограничение 1 содержит неравенство, базисной будет добавленная дополнительная переменная x4
Ограничение 2 содержит неравенство с ≥. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.
Ограничение 3 содержит равенство. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.
Начальная симплекс-таблица
| C | 3 | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x4 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 2 |
| ?1 | 3 | 8 | 2 | 0 | -1 | 8 |
| ?2 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Формирование начального базиса
Для того, чтобы сформировать начальный базис в первую очередь можно поискать столбец, у которого одно значение равно единице, а все значения остальные значения равны нулю, и сделать соответствующую переменную базисной для этой строки. Однако такое случается довольно редко, поэтому проще сразу перейти к следующему пункту. Для всех ограничений, не имеющих базисной переменной, добавляем искусственную переменную с коэффициентом 1. В целевую функцию добавляем эту же переменную с коэффициентов -M, если ищется максимум или с коэффициентом M, если ищется минимум. M всего лишь является очень большим числом.
Пример 10
x1 – x2 → min
2·x1 + x2 = 1
x1 – 3·x2 + x3 = 3
x1 + 11·x2 = 11
Ограничение 1 содержит равенство. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.
Столбец 3 является частью единичной матрицы. Переменная x3 входит в начальный базис
Ограничение 3 содержит равенство. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее.
Начальная симплекс-таблица
| C | 1 | -1 | 0 | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | b |
|---|---|---|---|---|
| ?1 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| x3 | 1 | -3 | 1 | 3 |
| ?3 | 1 | 11 | 0 | 11 |
Для ограничения 1 добавляем искусственную переменную u1 и делаем её базисной.
Для ограничения 3 добавляем искусственную переменную u2 и делаем её базисной.
В целевую функцию добавляем искусственные пременные с коэффициентом M, где M — очень большое число.
Таблица с искусственными переменными
| C | 1 | -1 | 0 | M | M | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | u1 | u2 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|
| u1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| x3 | 1 | -3 | 1 | 0 | 0 | 3 |
| u2 | 1 | 11 | 0 | 0 | 1 | 11 |
Перепишем условие задачи с учётом добавленных искусственных переменных:
F = 1x1 -1x2 + Mu1 + Mu2 → min
2·x1 + x2 + u1 = 1
x1 – 3·x2 + x3 = 3
x1 + 11·x2 + u2 = 11
Расчёт дельт и проверка плана на оптимальность
После того, как начальный базис сформирован необходимо вычислить дельты. Дельты вычисляются полностью аналогично базовому методу: Δi = ce1·a1i + ce2·a2i + … + cem·ami – ci. Единственным отличием будет тот факт, что результат может содержать значения с M. Когда дельты будут получены необходимо проверить текущий опорный план на оптимальность (см. проверку плана на оптимальность в базовом симплекс-методе). Если план оптимален, то алгоритм завершает свою работу, иначе формирует более оптимальное решение и повторяет процесс.
Пример 11
Таблица с искусственными переменными
| C | 3 | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | M | M | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | u1 | u2 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x4 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| u1 | 3 | 0 | 2 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 | 3 |
| u2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 1 | 1 |
Вычисляем дельты: Δi = C4·a1i + C7·a2i + C8·a3i – Ci
Δ1 = C4·a11 + C7·a21 + C8·a31 – C1 = 0·2 + M·3 + M·0 – 3 = -3 + 3M
Δ2 = C4·a12 + C7·a22 + C8·a32 – C2 = 0·1 + M·0 + M·0 – 2 = -2
Δ3 = C4·a13 + C7·a23 + C8·a33 – C3 = 0·1 + M·2 + M·1 – 3 = -3 + 3M
Δ4 = C4·a14 + C7·a24 + C8·a34 – C4 = 0·1 + M·0 + M·0 – 0 = 0
Δ5 = C4·a15 + C7·a25 + C8·a35 – C5 = 0·0 + M·(-1) + M·0 – 0 = -M
Δ6 = C4·a16 + C7·a26 + C8·a36 – C6 = 0·0 + M·0 + M·(-1) – 0 = -M
Δ7 = C4·a17 + C7·a27 + C8·a37 – C7 = 0·0 + M·1 + M·0 – M = 0
Δ8 = C4·a18 + C7·a28 + C8·a38 – C8 = 0·0 + M·0 + M·1 – M = 0
Δb = C4·b1 + C7·b2 + C8·b3 – C9 = 0·2 + M·3 + M·1 – 0 = 4M
Симплекс-таблица с дельтами
| C | 3 | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | M | M | 0 |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | u1 | u2 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x4 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| u1 | 3 | 0 | 2 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 | 3 |
| u2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 1 | 1 |
| Δ | -3 + 3M | -2 | -3 + 3M | 0 | -M | -M | 0 | 0 | 4M |
Текущий план X: [ 0, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 1 ]
Целевая функция F: 3·0 + 2·0 + 3·0 + 0·2 + 0·0 + 0·0 + M·3 + M·1 = 4M
Проверяем план на оптимальность: план не оптимален, так как Δ1 = -3 + 3M положительна.
Понятие и алгоритм
Под симплексным методом понимается последовательный переход от одного базисного нахождения системы решений к другому. Эта перестановка повторяется до тех пор, пока переменная величина цели не достигнет своего наибольшего или наименьшего значения. Такой подход является универсальным, его можно использовать для решения любой задачи последовательного программирования.
Метод был разработан в 1947 году математиком из США Бернардом Данцигом. Предложенный способ оказался весьма эффективным для решения задач, связанных с оптимизацией использования ограниченных ресурсов. То есть он позволяет оценить и откорректировать параметры системы, а также получить качественные аналитические результаты.
Существует два подхода решения задачи:
- графический;
- симплексный.
Первый можно использовать для оптимизационного решения двухмерных задач. Например, существует два производственных цикла по сборке ящиков. Выпуск товара характеризуется ограничением в поставках древесины и временем формовки изделия. Для одного необходимо 30 досок, а для другого — 40. Поставщики доставляют в неделю 2 тыс. единиц материала. Первый ящик собирается за 15 минут, а второй — за 30. Нужно определить, какое количество ящиков необходимо производить за неделю на первом конвейере и на втором. При этом первое изделие приносит 10 рублей прибыли, а второе — пять. Время изготовление ограничено 160 часами.
Решение заключается в принятии за Х1 и Х2 количество выпущенных ящиков. Затем — в нахождении максимальной еженедельной прибыли и описании процесса ограничения в виде уравнения.
Это типовая двухмерная задача, условия неотрицательности которой определяются границами прямых: 30*Х1 + 4 0*Х 2 ≤ 2000 (для досок) и 20*Х 1 ≤ 50*Х 2 = 1600 (для сборки). Отложив по оси ординат Х1, а Х2 по абсцисс, и указав на них точки соответствующие уравнениям, можно будет подобрать оптимальное решение для использования сырья и времени.
Графический метод удобно применять для двухмерных задач, но его невозможно использовать при решениях, связанных с размерностью, превышающей три. При этом во всех алгоритмах оптимальный результат принимается допустимым базисному. Симплекс-метод же является вычислительной процедурой, использующей принятое положение, описываемое в алгебраической форме.
Симплекс-метод при базисном решении
Впервые способ был изложен Данцигом в книге «Линейное программирование, его обобщения и применения», изданной на русском языке в 1966 году. Эта теория основывалась на вычислительной процедуре и представлялась в виде стандартных алгебраических форм. Основное направление метода заключается в указании способа нахождения опорного решения, переходе к другому, более оптимальному расчёту и определении критериев, позволяющих остановить перебор опорных вариантов.
Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс методом следующий:
- Свести поставленную задачу к канонической форме путём переноса свободных членов в правую часть и ввода дополнительных переменных. В случае отрицательных переменных неравенство умножается на -1. Если в записи используется знак «меньше или равно», переменная используется положительная, в противном случае — отрицательная.
- В зависимости от количества вводимых значений все переменные принимаются за основные. Их необходимо выразить через неосновные и перейти к базовому решению.
- Через неосновные переменные выражается функция цели.
- Если при решении отыскивается ответ с максимумом или минимумом линейной формы и все неосновные переменные получаются только положительными, то задача считается выполненной.
- Если найденный максимум (минимум) линейной формы в функции имеет одну или несколько неосновных переменных с отрицательными коэффициентами, необходимо перейти к новому базисному решению.
- Из переменных, входящих в форму с отрицательными или положительными коэффициентами, выбирается наибольшая (по модулю) и переводится в основные.
Другими словами, указывается оптимальное опорное решение, способ перехода от одного нахождения ответа к другому, варианты улучшения расчётов. После нахождения первоначального решения с «единичным базисом» вычисляется оценка разложения векторов по базису и заполняется симплексная таблица.
В тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи, используют метод с искусственным базисом. Это симплекс-метод с так называемой М-задачей (ММЭ), решаемый способом добавления к левой части системы уравнений искусственных единичных векторов. При этом новая матрица должна содержать группу единичных линейно-независимых векторов.
Двухфазный способ
Двойственный метод используется при анализе задач линейного программирования, записанного в форме основной задачи. При этом среди векторов, m уравнений, составленных из коэффициентов, должны быть единичные. Такой метод можно использовать, когда свободные члены уравнений являются любыми числами.
Например, существует ограниченность, описываемая функцией:
F = C 1 X 1+ C 2 X 2+…+ CnXn. Используется условие, что Х1Р1+Х2Р2+…+Х(m +1) P (m +1)+ +… XnPn = Р0, где Х j больше либо равно 0 (j =1, n). Принимается, что среди чисел bi (i =1, m) имеются отрицательные.
Решением будет выражение: х= (b1; b2;…; bm ;0;…;0), однако этот ответ не будет разрешать задание, так как к нему могут относиться и отрицательные числа. Так как векторы Р1, Р2… Рм единичные, то каждый из них можно описать линейной областью, состоящей из них же. При этом коэффициентами разложения векторов Рj по области будут числа: Xij = aij (i =1, m; j =1, n) по модулю.
Выражение х= ( b1; b2;…; bm ;0;…;0) определяется базисом. Называют его псевдоплан. Считается, что если дельта j больше либо равна нулю, то для любого: j ( j =1, n ) по модулю. В то же время если в псевдоплане с находимым базисом существует хотя бы одно отрицательное число, то тогда задача вообще не будет иметь планов. Но когда для этих отрицательных чисел верно, что аij меньше нуля, то можно будет перейти к новому псевдоплану.
Объяснение псевдоплана помогает построить алгоритм двойственного метода. Если взять за основу х = (b1; b2;…; bm ;0;…;0) и представить это выражение псевдопланом, то, учитывая исходные данные, можно составить симплекс-таблицу. В ней часть элементов будет отрицательная. Так как дельта j должна быть больше либо равна нулю, то при отсутствии таких чисел в таблице уже будет записан оптимальный план. В обратном случае выбирается по модулю наибольшее из чисел с минусом.
Принцип решения задачи включает следующее:
- нахождение псевдоплана;
- проверка его на оптимальность;
- выбор разрешающей строки путём нахождения абсолютной величины отрицательного числа, отношения элементов (m+1) и соответствующей им строке;
- нахождение нового псевдоплана.
Если анализ оптимален, считается, что найдено верное решение. В другом случае устанавливается неразрешимость задачи либо составляется новый псевдоплан. Делается это в результате пересчёта табличных данных, например, методом Жордана-Гаусса.
Пример задачи
Использование метода линейного программирования распространено в решениях транспортных задач. Он помогает в целевых расчётах и нужен для минимизации затрат в условиях ограниченной грузоподъёмности и времени обслуживания заказчиков.
Задачи линейного программирования (ЗЛП) позволяют выбрать оптимальную загрузку при перемещении какого-либо товара из одних мест в другие. Во вводных данных указывается число пунктов отправления (м) и количество мест назначения (n). Первые обозначаются как А1, А2…Ам, а вторые – В1, В2…Вn. За аi принимается объём продукции на складе, а bi – потребность. Затраты на перевозку с i пункта в j обозначаются Сij.
Главная задача — составить план таким образом, чтобы общая стоимость была минимальна. Пусть дано четыре песчаных карьера, с которых необходимо поставить песок на четыре склада. При этом осуществляться перевозки должны за определённую стоимость. Составляем таблицу.
Записываем уравнение ограничения. Сумма всего перевезённого песка с первого карьера должна быть меньше или равна 140. Поэтому можно записать: x11+x12+x12+x14+T1 = 140, где Т1 переменная для хранения остатка. Сумма ограничений будет записана как х11+х21+х31 =115. Аналогичные уравнения составляют и для оставшихся карьеров.
Теперь формируют матрицу, на основании которой с помощью свойства матриц ищется единичный базис. Например, вычесть из одной строки другую. Все отрицательные значения последнего столбца убирают. Для этого из каждой строки вычитают наименьшее значение, а последнее отрицательное число умножают на -1. Теперь составляют подробную симплекс-таблицу, где:
- A0 – последний столбец из матрицы;
- Сб – стоимость перевозок;
- Х11, Т3 – данные из полученной матрица.
В последней строчке прямоугольника проставляют сумму произведений Сб на этот столбец и вычитают значение суммы перемножения Сб с А0. Делают дополнительное вычисление. Для каждой строки А0 делят на выделенное число, ищут наименьший результат и умножают его на положительные числа из последней строки.
Наибольшее число определяется пересечением ранее выбранных значений, на базе которых создают новый базис. После в соответствии с единичными базисами меняют Сб и Хб. Операцию повторяют до тех пор, пока не исчезнут все положительные числа из последней строки. Заполняют новую таблицу.
Расчёт в Excel
Для включения пакета анализа в программе необходимо перейти в раздел «Параметры» и выбрать строчку «Перейти». В новом окне найти строчку «Пакет анализа», кликнуть по ней и нажать кнопку ОК.
Затем понадобится загрузить и открыть шаблон для проверки в Excel. Используя манипулятор типа «мышь» или клавиатуру, выбрать ячейку G4 и выполнить команду «Сервис/Поиск решения». Далее указать исходные данные, а после нажать кнопку «Выполнить».
Полученное решение можно представить в форме отчёта, содержащего:
- Результаты – содержит информацию об исходных и конечных значениях целевой и влияющих ячеек, дополнительные сведения об ограничениях.
- Устойчивость — отчёт, включающий данные о чувствительности решения к малым изменениям.
- Пределы – включают исходные и конечные значения, а также верхние и нижние границы значений, которые принимают влияющие ячейки при введённых ограничениях.
Онлайн-сервис для чайников
Метод решения относится к высшей математике, поэтому в нём довольно трудно разобраться даже подготовленному человеку, не говоря уже о чайнике. Существует некоторое количество сайтов с подробным онлайн-решением методом симплекса. На таких сервисах предлагается ввести количество переменных и строк (ограничений). А далее просто заполнить симплекс-таблицу и нажать расчёт. Причём при необходимости вводимые данные можно править, тем самым видеть, как изменяется результат от изменения исходной информации.
Удобным является ещё и то, что обычно на сайтах предлагается создать шаблон решения в Excel или Maple. Решаться любая задача будет почти мгновенно. Подробно можно выполнить расчёт онлайн-калькулятор по методу симплекса на следующих сайтах:
- «Семестр» (semestr.ru).
- «Мир математики» (matworld.ru).
- «Высшая математика» (math-pr.com).
- «Матзона» (mathzone.ru).
- «Контрольная работа» (kontrolnaya-rabota.ru).
Выполнить расчёт с помощью онлайн-сервисов сможет любой. При этом вероятность ошибки в ответе стремится к нулю. Тем более что для решения задачи даже необязательно знать принцип симплекс-метода.
