Как найти орбиту группы

Как найти орбиту группы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 апреля 2022 года; проверки требуют 5 правок.

Циклическая группа порядка три действует на множестве вершин равностороннего треугольника поворотами вокруг его центра на углы, кратные 120°, циклически переставляя их.

Действие группы на некотором множестве — это гомоморфное сопоставление каждому элементу группы некоторого преобразования этого множества. В случае, когда множество наделено некоторой дополнительной структурой, предполагается, что преобразования сохраняют эту структуру. Действия групп позволяют изучать симметрии математических объектов с помощью аппарата теории групп.

Если группа действует на некотором объекте или структуре, она обычно действует и на связанных с ними объектах. Так, группа движений евклидова пространства действует как на этом пространстве, так и на фигурах, изображенных в нём. Например, она действует на множестве всех треугольников. Кроме того, группа симметрий некоторого многогранника действует на множествах его вершин, рёбер и граней.

В случае действий на топологических пространствах все отображения предполагаются гомеоморфизмами. Такие действия часто называются непрерывными.

Действия групп на векторных пространствах называются их линейными представлениями. В случае конечномерных векторных пространств они позволяют отождествить многие группы с подгруппами полной линейной группы {displaystyle {rm {GL}}_{n}(K)}, то есть группы обратимых матриц размера ntimes n над некоторым полем K.

Определения[править | править код]

Действие слева[править | править код]

Говорят, что группа G действует слева на множестве M, если задан гомоморфизм Phi colon Gto S(M) из группы G в симметрическую группу S(M) множества M.
Для краткости (Phi (g))(m) часто записывают как g(m), gcdot m, {displaystyle g{.}m} или gm.
Элементы группы G называются в этом случае преобразованиями, а сама группа G — группой преобразований множества M. Тот факт, что сопоставление Phi является гомоморфизмом, означает то, что произведению элементов в группе соответствует композиция преобразований, а нейтральному элементу группы соответствует тождественное преобразование.

Другими словами, группа {displaystyle (G,ast )} действует слева на множестве M, если задано такое отображение Gtimes Mto M,
при котором образ пары {displaystyle (g,m)} обозначается g(m), что:

  1. {displaystyle (gast h)(m)=g(h(m))} для всех {displaystyle g,hin G} и min M;
  2. {displaystyle e(m)=m}, где e — нейтральный элемент группы G.

Действие справа[править | править код]

Аналогично, правое действие группы G на M задаётся таким отображением {displaystyle Mtimes Gto M}, при котором образ пары {displaystyle (m,g)} обозначается {displaystyle (m)g}, что:

  1. {displaystyle (m)(gast h)=((m)g)h};
  2. {displaystyle (m)e=m}.

Другими словами, правое действие группы G на M задаётся гомоморфизмом rho :G^{op}to S(M), где G^{{op}} — инверсная группа группы G. Или, что то же самое, левым действием группы G^{{op}} на M.

Разница между левыми и правыми действиями состоит в порядке, в котором произведение gh действует на данном элементе. В левом действии сначала действует h, затем g. А в правом действии сначала действует g, затем h.

Благодаря формуле {displaystyle (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}}, отображение gmapsto g^{-1} осуществляет изоморфизм между инверсной группой и исходной, который позволяет, путём взятия композиции с ним, построить взаимно однозначное соответствие между левыми и правыми действиями группы.

Таким образом, для установления общих свойств действий групп достаточно рассматривать только левые действия.

Типы действий[править | править код]

  • Свободное, если для любых различных g,;hin G и любого min M выполняется gmneq hm.
  • Транзитивное, если для любых m,;nin M существует gin G такой, что gm=n. Другими словами, действие транзитивно, если Gm=M для любого элемента min M.
    • Примитивное действие транзитивно и не сохраняет нетривиальных подможеств M.
  • Эффективное, если для любых двух элементов gneq h в G существует min M такой, что gmneq hm.
  • Вполне разрывное, если для любого компактного множества K множество всех gin G, для которых пересечение Kcap gK непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие rho :Gto mathrm {X} топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

  • Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
    • Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.
  • Непрерывное действие группы называется кокомпактным, если факторпространство по этому действию компактен.

Орбиты[править | править код]

Подмножество

Gm={gmmid gin G}subset M

называется орбитой элемента min M (иногда обозначается как {displaystyle mathrm {Orb} (m)}).

Действие группы G на множестве M определяет на нём отношение эквивалентности

forall n,;min M;(n,sim _{_{G}},m)Longleftrightarrow (exists gin G;:;gn=m)Longleftrightarrow (Gn=Gm).

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому если общее число классов эквивалентности равно k, то

M=Gm_{1}sqcup Gm_{2}sqcup ldots sqcup Gm_{k},

где m_{1},;m_{2},;ldots ,;m_{k}in M попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия k=1.

Стабилизаторы[править | править код]

Подмножество

G_{m}={gin Gmid gm=m}subset G

является подгруппой группы G и называется стабилизатором, или стационарной подгруппой элемента min M (иногда обозначается как {displaystyle mathrm {Stab} (m)}).

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если n,sim _{_{G}},m, то найдется такой элемент gin G, что

G_{m}=gG_{n}g^{-1}.

Количество элементов в орбите[править | править код]

|Gm|=[G:G_{m}], G_{m} — стабилизатор элемента m и [G:G_{m}] — индекс подгруппы G_{m}subset G, в случае конечных групп равен {frac {|G|}{|G_{m}|}}.
Размерность орбиты можно вычислить так:
{displaystyle dim |Gm|=dim |G|-dim |G_{m}|}, где

{displaystyle dim |Gm|} размерность отдельной орбиты,

{displaystyle dim |G_{m}|} размерность стабилизатора, {displaystyle dim |G|} размерность группы Ли.

Если M=Gm_{1}sqcup Gm_{2}sqcup ldots sqcup Gm_{k}, то

|M|=sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}] — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

  1. forall min M;sum _{nin Gm}|G_{n}|=|G|;
  2. sum _{min M}|G_{m}|=k|G|;
  3. лемму Бёрнсайда.

Примеры действий[править | править код]

Действия на себе[править | править код]

Слева[править | править код]

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия. В этом случае M=G, и гомоморфизм Phi :Gto S(G) задан как (Phi (g))(h)=gh.

Справа[править | править код]

Аналогично определяется действие на себе справа: (Phi (g))(h)=hg^{-1}.

Слева и справа[править | править код]

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения Gtimes G на M=G с гомоморфизмом Phi :Gtimes Gto S(G), заданным как (Phi (g_{1},;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}.

Сопряжениями[править | править код]

Пусть M=G, и гомоморфизм Phi :Gto S(G) задан как (Phi (g))(h)=ghg^{-1}. При этом для каждого элемента hin G стабилизатор G_{h} совпадает с централизатором C(h):

G_{h}={gin Gmid ghg^{-1}=h}={gin Gmid gh=hg}=C(h).

Например, для элемента h из центра группы G (то есть hin Z(G)) имеем C(h)=G и G_{h}=G.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Псевдогруппа преобразований

См. также[править | править код]

  • Представление группы

Литература[править | править код]

  • Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607..
  • Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6..
Источник
Определение:
Группа действует на множестве (англ. acts on a set) , если задано отображение (обозначается ), такое что для любого , а также для любых оно обладает свойствами:

  1. (здесь — групповая операция)

Эквивалентность по группе

Определение:
Пусть группа действует на множестве . Введем на отношение эквивалентности для : , если . Тогда, если , то говорят, что и равны с точностью до группы.
Утверждение:

Отношение является отношением эквивалентности.
  1. Рефлексивность. Для любого верно , значит .
  2. Симметричность. Пусть для некоторых . Тогда существует , такое что . Пользуясь свойствами групп, получаем следующие равенства: . То есть . Значит, .
  3. Транзитивность. Пусть и для некоторых . Тогда существуют такие , что , а . Отсюда следует, что . То есть, .

Орбита и стабилизатор

Определение:
Пусть группа действует на множество . Тогда орбитой (англ. orbit) элемента называется множество: . Множество всех орбит обозначается так: .

Иными словами, орбитой элемента множества в группе называется порожденный им класс эквивалентности по отношению . Задача подсчета количества классов эквивалентности является нетривиальной и решается в общем случае при помощи Леммы Бёрнсайда.

Определение:
Элемент называется неподвижной точкой (англ. fixed point) элемента , если
Определение:
Пусть группа действует на множество . Тогда стабилизатором (англ. stabilizer) элемента называется множество его неподвижных точек:

Далее приведены несколько несложных и полезных на практике утверждений.

Утверждение:

Заметим, что

Аналогично доказывается, что

Таким образом,

Примеры

В качестве примера рассмотрим ожерелья, состоящие из бусин, которые бывают красного и черного цвета. Таким образом, множество — это множество всевозможных ожерелий из бусин, окрашенных в один из двух цветов.
Теперь введем группу , в которой будет элементов: , где будет означать поворот ожерелья на угол против часовой стрелки.

Таким образом, правое ожерелье получено из левого путем действия на него элементом . Из этого следуют, что левое и правое ожерелья равны с точностью до группы , а значит они находятся в одном классе эквивалентности.

Теперь в качестве примера рассмотрим орбиту левого ожерелья — все элементы множества , полученные из элемента путем поворотов на различных углов.

Ожерелье

Ожерелье

Ожерелье

Ожерелье

Ожерелье

Ожерелье

См. также

  • Теорема Кэли
  • Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа
  • Задача об ожерельях

Источники информации

  • Wikipedia | Действие группы
  • Wikipedia | Group action
  • Теория групп
  • MAXimal::algo::Лемма Бернсайда. Теорема Пойа
Источник

Говорят, что группа {displaystyle G} действует на множестве {displaystyle M},
если задан гомоморфизм {displaystyle Phi :Gto S(M)} из группы {displaystyle G} в группу
{displaystyle S(M)} всех перестановок множества
{displaystyle M}. Для краткости {displaystyle (Phi (g))(m)} часто записывают как {displaystyle gm}.

Другими словами, группа {displaystyle G} действует на множестве {displaystyle M}, если задано отображение {displaystyle Gtimes Mto M} (обозначаемое {displaystyle (g,m)mapsto gm}), такoe что

  1. {displaystyle (gh)m=g(hm)} для всех {displaystyle g,hin G}, {displaystyle min M} и
  2. {displaystyle em=m,} где {displaystyle e} есть единица {displaystyle G}.

Типы действий

Орбиты

Подмножество

{displaystyle Gm={gmmid gin G}subset M}

называется орбитой элемента {displaystyle min M}.

Действие группы {displaystyle G} на множестве {displaystyle M} определяет на нём отношение эквивалентности

{displaystyle forall n,min Mqquad left(nsim _{G}mright)quad Longleftrightarrow quad left(exists gin G gn=mright)quad Longleftrightarrow quad left(Gn=Gmright).}

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов.
Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно {displaystyle k}, то

{displaystyle M=Gm_{1}sqcup Gm_{2}sqcup dots sqcup Gm_{k}},

где {displaystyle m_{1},m_{2},dots ,m_{k}in M} попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия {displaystyle k=1}.

Стабилизаторы

Подмножество

{displaystyle G_{m}={gin Gmid gm=m}subset G}

является подгруппой группы {displaystyle G} и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента {displaystyle min M}.

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если {displaystyle nsim _{G}m}, то найдется такой элемент {displaystyle gin G}, что

{displaystyle G_{m}=g,G_{n},g^{-1}.}

Количество элементов в орбите

{displaystyle |Gm|=[G:G_{m}]}, где {displaystyle [G:G_{m}]} — индекс подгруппы {displaystyle G_{m}subset G}, в случае конечных групп равен {displaystyle {frac {|G|}{|G_{m}|}}}.

Если {displaystyle M=Gm_{1}sqcup Gm_{2}sqcup dots sqcup Gm_{k}}, то

{displaystyle |M|=sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]} — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества

{displaystyle forall min Mquad sum _{nin Gm}|G_{n}|=|G|}
{displaystyle sum _{min M}|G_{m}|=k|G|}

и лемму Бернсайда.

Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, {displaystyle M=G} и гомоморфизм {displaystyle Phi :Gto S(G)} задан как {displaystyle (Phi (g))(h)=gh}.

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа, {displaystyle (Phi (g))(h)=hg^{-1}}.

Сопряжениями

Пусть {displaystyle M=G} и гомоморфизм {displaystyle Phi :Gto S(G)} задан как {displaystyle (Phi (g))(h)=ghg^{-1}}. При этом для каждого элемента {displaystyle hin G} стабилизатор {displaystyle G_{h}} совпадает с централизатором {displaystyle C(h)}:

{displaystyle G_{h}={gin Gmid ghg^{-1}=h}={gin Gmid gh=hg}=C(h)}.

Например, для элемента {displaystyle h} из центра группы {displaystyle G} (т.е. {displaystyle hin Z(G)}) {displaystyle C(m)=G}), {displaystyle G_{h}=G}.

Слева и справа

Все эти два действия являются действиями подгрупп действия {displaystyle Gtimes G} на {displaystyle M=G} с гомоморфизмом {displaystyle Phi :Gtimes Gto S(G)} заданым как {displaystyle (Phi (g_{1},g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}}.
eo:Grupa ago
he:פעולת חבורה
pl:Działanie grupy na zbiorze
uk:Дія групи
zh-yue:作用 (代數)

Источник

§1 Формулировка и доказательство

Лемма
Бернсайда вычисляет количество орбит
действия группы на множестве с помощью
суммы по всем элементам группы. Она
применяется в том случае, когда порядок
множества X намного больше, чем порядок
группы G.

Пусть
G
– перестановок
на множестве

Подмножество
называетсяорбитой
группы G,
если

а)
для
любогои любого;
т.е. действие перестановок изG
на элементы O
не выводит за пределы О;

б)
два
элемента из О
можно перевести друг в друга некоторой
перестановкой из G.

Всякая
группа перестановок
G
= {
имеет
орбиты.

Для
доказательства выберем произвольный
элемент
и рассмотрим множество
Оно будет орбитой группы G,
так как

а)
если
так как

б)
если
ипроизвольные
элементы изтои при этомтак
какGгруппа.

Оказывается,
что орбитами
подобного вида исчерпы­ваются все
типы орбит.
Более точно, если Оорбита
группыG
и
,
то
=(а).
Справедливость этого утверждения
вытекает непосредственно из определения
орбиты группы.

Ясно,
что любые две орбиты О(а)
и О
(b)
либо совпа­дают (если bО(а)),
либо не пересекаются (если bO(а)).
Отсюда
следует, что множество
М распадается в объ­единение
непересекающихся подмножеств
— орбит
группы G.
В
частности, может случиться, что
единственной орбитой группы G
будет само множество М.
Группы с таким свойством называются
транзитивными.
Таким образом, группа пере­становок
G
на множестве М транзитивна, если любой
элемент аМ
может быть получен из любого другого
элемента bМ
под действием подходящим способом
вы­бранной перестановки
:.
Все другие группы перестановок называютсяинтранзитивными.

Пусть
число
неподвижных точек перестановки
,
число
орбит группы перестановокдействующей
на множестве

Лемма
Бернсайда: Для
любой группы перестано­вок имеет
место равенство

Доказательство:
Рассмотрим
отношение «переста­новка
сохраняет неподвижным элементm»
между пере­становками группы G
и элементами множества М.
Сопо­ставим парам (,т),
,
m,
вершины прямоуголь­ной сети и отметим
те из них, для которых соответствующая
пара (,т)
находится
в ука­занном отношении, т. е. m(a)
=
т
(рис. 4). Иными словами, построим
график
ука­занного отношения. Число от­меченных
точек (точек, принадлежащих графику)
можно подсчитать двумя способами:

оп­ределить
число отмеченных точек на каждой
вертикали и просуммировать полученные
величины или же опреде­лить число
таких точек по каждой горизонтали и
затем вычистить их сумму.

Рис.
4

Согласно
определению отношения на каждой вертикали
отмечаются все точки, сохраняемые
перестановкой
,
соот­ветствующей этой вертикали. Их
число равноПоэтому число всех точек графика равно

С
другой стороны, на каждой горизонтали
отмечаются все перестановки, сохраняющие
элемент m,
отвечаю­щий этой горизонтали. Мы
знаем, что они образуют группу Gm
—
стабилизатор элемента т
—
и их чисто равно

Поэтому
при втором способе подсчета числа
отмеченных точек графика рассматриваемого
отношения получаем выражение

Однако
если элементы i,
j
М
содержатся в одной орбите, то
и поэтомуПусть— все орбиты группыG,
такие, что
,
и слагаемые в этом объединении не
пересекаются. Разобьем сумму (1) на части
так, чтобы внутри каждой из частей
суммирование шло по элемен­там
некоторой орбиты:

Каждое
из t
слагаемых в правой части этого равенства
можно преобразовать следующим образом:

Поэтому

Таким
образом, при втором способе подсчета
мы полу­чили
отмеченных точек графика. Приравнивая
вели­чины, полученные при первом и
втором способах, получим

т.е.

Лемма
доказана.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Понять, что такое орбиты, легче всего вот из какого примера. Рассмотрим группу поворотов плоскости относительно начала координат. Возьмём какую-нибудь точку $%X$%, и посмотрим, куда она может переходить при поворотах. Очевидно, что она может оказаться в любом месте окружности с центром $%O$% радиусом $%X$%. Это и есть её орбита — как если бы точка $%X$% вращалась вокруг $%O$% по окружности, подобно небесному телу. Поэтому орбитами в данном случае будут все концентрические окружности, а у начала координат $%O$% орбита из одной этой точки и состоит.

а) Рассмотрим произвольный вектор $%vin V$%. Нужно описать его орбиту, то есть множество векторов вида $%Av$%, где $%A$% — невырожденная матрица (вектор можно считать столбцом из координат с фиксированном базисе). Здесь вектор $%v$% фиксирован, а $%A$% пробегает множество всех невырожденных матриц.

Очевидно, что если $%v=0$%, то $%Av=0$%, то есть у нулевого вектора орбита одноэлементна. Если $%vne0$%, то $%Avne0$% ввиду невырожденности $%A$%. (В противном случае можно было бы написать $%v=A^{-1}Av=A^{-1}0=0$%.) Вектор $%v$%, будучи ненулевым, является частью некоторого базиса пространства $%V$%. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор $%win V$%. Он тоже является частью некоторого базиса. Тогда для двух базисов существует и единственно линейное преобразование, переводящее векторы первого базиса в векторы второго. Обозначим его через $%A$%. Оно невырождено, так как базис переводит в базис (это эквивалентное свойство). При этом $%Av=w$%. Это означает, что $%v$% можно перевести невырожденным преобразованием в любой заданный ненулевой вектор. То есть орбитой $%v$% будет множество $%Vsetminus{0}$% всех ненулевых векторов.

Всего орбит имеется две: $%{0}$% и $%Vsetminus{0}$%.

b) Здесь рассуждение аналогично, но надо иметь в виду, что ортогональное преобразование сохраняет длину вектора. В то же время, для двух векторов одинаковой длины всегда существует ортогональное преобразование, переводящее один вектор в другой. Отсюда следует, что орбиты состоят из векторов одной и той же длины, то есть их столько же, сколько неотрицательных чисел. Для каждого $%rge0$% мы в качестве орбиты имеем сферу радиусом $%r$% в евклидовом пространстве $%V$%. Это и есть орбита любого вектора, имеющего длину $%r$%.

Источник

Добавить комментарий