Как найти ординату центра окружности описанной около

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA₁ и AA₂ на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A₁ на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A₂ на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 .

(1)

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A₀ (x₀ ; y₀) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Как искать ординату центра окружности

Найдите ординату центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите ординату центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (−2; −2), (6; −2), (6; 4), (−2; 4).

Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Диагональ равна диаметру окружности, описанной около треугольника, следовательно, центр окружности лежит на середине диагонали прямоугольника. Тогда можно легко найти координаты центра окружности.

Материалы к занятию по теме “Параметр в уравнении окружности”

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Материалы для занятия по теме

«Параметр в уравнении окружности»

1. Уравнение окружности.

(х ‒ х ₀ )² + (у ‒ у ₀ )² = R ², где А(х ₀ ; у ₀ ) ‒ центр окружности, R ‒ радиус.

х² + у² = R ² ‒ уравнение окружности с центром в начале координат.

2. Параметр – радиус.

Если а = 0, то (х ‒ х ₀ )² + (у‒ у ₀ )² = 0, то есть А(х ₀ ; у ₀ ) – точка.

Если а ˂ 0, то ни окружность, ни точка не существуют.

Если а > 0, то R =, на плоскости – концентрические окружности с центром (х ₀ ; у ₀ ).

Пример. (х ‒ 2)² + (у + 2)² = а (а > 0)

3. Параметр в одной из координат центра.

Одна координата с параметром: (х ‒ 2а)² + (у + 3)² = 9. У центра окружности меняется абсцисса, ордината постоянна. Значит, центры окружностей зафиксированы на прямой у = ‒3.

Задание : подставляя разные значения параметра а, определите координаты центров нескольких окружностей и выполните построение.

Аналогично: (х‒3)² +(у ‒ 2а)² = 9. У центра окружности меняется ордината, абсцисса постоянна. Центры окружностей зафиксированы на прямой х=3.

Задание: построить несколько окружностей, удовлетворяющих последнему уравнению.

4. Параметр в обеих координатах центра.

(х ‒ а)² + (у ‒ а)² = 1. Обе координаты с параметром.

Центр окружности ‒ точка А (а ; а). Так как абсцисса и ордината равны, то все точки такие находятся на прямой у = х. Тогда данное уравнение задает множество окружностей , центры которых лежат на прямой у = х , а радиус равен 1.

Задание : построить несколько окружностей, удовлетворяющих следующему уравнению (х ‒ а)² + (у + 2а)² = 4.

Подсказка. Найдем координаты центра окружности: (х ‒ а)² + (у ‒ (‒2а))² = 4

А(а;-2а), значит центры окружностей лежат на прямой у = ‒2х, радиус равен 2.

5. Параметр в координатах центра и в радиусе.

( х ‒ а)² + (у‒ 2а ‒1 )² = а². Это окружности с центрами на прямой у = 2а + 1, радиус равен а. При а=0 – точка.

Задания для самостоятельной работы.

№ 1. Указать центр, радиус и построить каждую окружность , заданную уравнением:

а) (х ‒ 3)² + (у + 2)² = 16; б) (х + 1)² + (у ‒ 4)² = 10.

№ 2. Выяснить, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найти координаты центра и радиус каждой окружности:

а) х² + у² + 8х ‒ 4у + 40 = 0;

б) х² + у² ‒ 2х + 4у ‒ 20 = 0;

в) х² + у² ‒ 4х ‒ 2у + 1 = 0.

№ 3. Выделить уравнение окружности, указать ее центр и радиус в задачах с параметром. Описать расположение графика уравнения на координатной плоскости. Выполнить построение:

а) х² + у² + 2ах ‒ 4у + а² ‒ 1 = 0;

б) х² + у² ‒ 6х + 4ау + 4а² = 0;

в) х² + у² ‒ 2а( х ‒ у ) = 4 ‒ 2а².

1.Геометрия. 7-9 классы : учебник для общеобразовательных организаций с приложением на электронном носителе / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]. – 3-е изд.-М. : Просвещение, 2014.-383 с.

2.Шестаков С.А. ЕГЭ 2014. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – М.:МЦМНО. 2014.-240 с.

Дистанционные курсы для педагогов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 927 человек из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 321 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 700 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Сергеева Татьяна ВладиславовнаНаписать 525 15.02.2020

Номер материала: ДБ-1001835

15.02.2020 34

15.02.2020 7

15.02.2020 39

15.02.2020 35

15.02.2020 83

15.02.2020 33

15.02.2020 11

15.02.2020 125

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

530 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Стартовал региональный этап Всероссийской олимпиады школьников

Время чтения: 2 минуты

Проходной балл ЕГЭ для поступления на бюджет снизился впервые за 10 лет

Время чтения: 3 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

В Китае приняли закон о сокращении нагрузки на школьников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

[spoiler title=”источники:”]

http://ege.sdamgia.ru/problem?id=59699

http://infourok.ru/materialy-k-zanyatiyu-po-teme-parametr-v-uravnenii-okruzhnosti-4144727.html

[/spoiler]

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Как найти координаты центра окружности, описанной около треугольника, знаякоординаты его вершин. Построение этой окружности

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

ТЕМА: КАК НАЙТИ КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА, ЗНАЯКООРДИНАТЫ ЕГО ВЕРШИН. ПОСТРОЕНИЕ ЭТОЙ ОКРУЖНОСТИ.

Работу выполнила ученица 9 класса

МОУ «Лицей №1 пос. Львовский»

математики Габова Ю.В.

История появления координатной плоскости.

Координаты середины отрезка.

Расстояние между точками.

Окружность, описанная около треугольника.

Окружность вписанная в треугольник.

Доказательство тождества tg (90 0 + a )=- ctga .

Как найти координаты центра окружности, описанной около треугольника, зная координаты его вершин. Построение этой окружности.

Список используемой литературы.

Данная работа носит исследовательский характер.

Выведенные формулы с доказательством позволяют решать новые, еще не встречавшиеся задачи. Школьная программа не включает в себя решение наиболее сложных задач, связанных с координатной плоскостью, и мы предлагаем расширить круг знаний в этой области. Задачи, связанные с этими формулами, можно использовать как олимпиадные задачи, а также они будут интересны учащимся, изучающим курс математики, выходящий за рамки школьного курса.

Здесь предложена одна из задач на выбранную нами тему. Она связана с описанной окружностью, но можно составить задачи и на вписанную окружность, и на нахождение точки пересечения медиан, высот, биссектрис на координатной плоскости.

Данная работа направлена на расширение круга знаний ученика.

История появления координатной плоскости.

Более чем 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.

В 14 веке французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и назвать широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту. Такую систему координат стали называть декартовой. Точку О пересечения прямых называют началом координат, а сами направленные прямые – осями, ось Ох – осью абсцисс, а ось Оу – осью ординат. Числа х, у называют декартовыми координатами точки (х; у). точка плоскости – геометрический объект – заменяется парой чисел (х;у), т.е. алгебраическим объектом. Принадлежность точки заданной кривой теперь соответствует тому, что числа х и у удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (а;в) удовлетворяют уравнению (х-а) 2 +(у-в) 2 =R 2 .

Координатная плоскость состоит из двух перпендикулярных прямых X и Y , которые пересекаются в начале отсчета – точке О и на них обозначен единичный отрезок (смотри рис.). эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О – началом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.

Пусть А – некоторая точка плоскости. Проведем через нее прямую M А , перпендикулярно координатной прямой Х , и прямую LA , перпендикулярную координатной прямой Y . Т.к. точка М имеет координату 5, а точка L координату 4, то положение точки А определяется парой чисел (5;4). Эту пару чисел называют координатами точки А. Число 5 называют абсциссой точки А, а число 4 называют ординатой точки А. К оординатную прямую Х называют осью абсцисс, а координатную прямую Y — осью ординат. Точку А с абсциссой 5 и ординатой 4 обозначают так: А (5;4 ). При этом всегда на первом месте пишут абсциссу точки, а на втором месте её ординату. Если переставить местами координаты, то получится другая точка N (4;5), которая показана на рисунке.

Каждой точке А на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА.

где А (х 1 ;у 1 ) и В(х 2 ;у 2 ) – концы отрезка.

А (х 1 ;у 1 ) и В(х 2 ;у 2 ) – произвольные точки плоскости Оху.

y

А у А(х 1 ;у 1 )

С у С (х;у)

В у В(х 2 ;у 2 )

О А х С х В х х

Пусть АВ не параллелен оси Оу, т.е. х 1 ≠х 2. проведем через точки А,В,С прямые, параллельные оси Оу. Они пересекут ось Ох в точках А(х 1 ;0), В(х 2 ;0), С(х;0). По теореме Фалеса точка С х – середина отрезка [А х В х ], то есть А х С х = С х В х или отсюда либо х-х 1 =х-х 2 , либо х-х 1 =-(х-х 2 ). Первое равенство невозможно, т.к. х 1 ≠х 2, а второе дает . Если х 1 =х 2, то х=х 1 =х 2 и равенство остается верным. Ордината точки С находится аналогичными построениями и рассуждениями.

Следовательно, теорема доказана.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ.

Если А 1 (х 1 ;у 1 ) и А 2 (х 2 ;у 2 ) две произвольные точки плоскости Оху, а d –расстояние между ними, то d вычисляется из соотношения .

Утверждение теоремы следует из определения проекции отрезка и теоремы Пифагора.

Уравнение вида называется общим уравнением прямой.

Угол α, определяемый, как показано на рисунке, называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k: k=tgα

y

α b x

Уравнение y=kx+b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k – угловой коэффициент, b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Уравнение вида ax+by+c=0 при условии, что a и b одновременно не равны нулю, задает прямую в плоскости Оху, и наоборот, уравнение произвольной прямой может быть записано в указанном виде.

Пусть b≠0. Тогда уравнение прямой можно переписать в виде y=kx+b.

Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла между положительной полуосью абсцисс и лучом прямой, лежащей в одной с положительной полуосью ординат полуплоскости относительно оси абсцисс.

Уравнение окружности ω(А;R) имеет вид

, где а и b- координаты центра А окружности ω(А;R).

Пусть дана окружность ω(А;R) на плоскости Оху, где А, центр окружности – имеет координаты а и b, по определению окружности для любой точки В(х;у), лежащей на окружности ω(А;R), верно АВ=R. Но в соответствии с теоремой: Если А 1 (х 1 ;у 1 ) и А 2 (х 2 ;у 2 ) две произвольные точки плоскости Оху, а d –расстояние между ними, то d вычисляется из соотношения .

АВ 2 . Таким образом, координаты х и у любой точки окружности ω(А;R) удовлетворяет уравнению

Обратно: любая точка В(х;у), координаты которой удовлетворяют уравнению, принадлежит окружности, т.к. расстояние от нее до точки А(a;b) равно R. Отсюда по определению данное уравнение – уравнение окружности ω(А;R).

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.

Пусть АВС – данный треугольник и О – центр окружности описанной около данного треугольника. ΔАОВ – равнобедренный (АО=ОВ как радиусы). Медиана ОD – этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что цент окружности лежит на перпендикулярах к другим сторонам треугольника. Теорема доказана.

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Пусть АВС — данный треугольник, О – центр вписанной в него окружности, D, E, F – точки касания окружности со сторонами. ΔAEO=ΔAOD по гипотенузе и катету (EO=OD – как радиус, АО – общая). Из равенства треугольников следует, что

КАК НАЙТИ КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА, ЗНАЯ КООРДИНАТЫ ЕГО ВЕРШИН. ПОСТРОЕНИЕ ЭТОЙ ОКРУЖНОСТИ.

Теперь выясним, как найти координаты центра окружности, описанной около треугольника, зная координаты его вершин. Чтобы найти центр этой окружности, нужно найти точку пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам этого треугольника.

Для начала найдем середину каждой стороны треугольника.

у В(а 1 ;в 1 ) Е С(а 2 ;в 2 )

D F

А(a;в)

О х

Рассмотрим сторону АВ. Зная координаты двух точек А и В, можно составить уравнение прямой АВ по виду: у=kx+L. Подставляя вместо х и у координаты точек А и В, получим систему:

Выражая k из первого уравнения и подставляя во второе, найдем значение L 1 . Подставляя значение L 1 в одно из уравнений, найдем значение k 1 . Зная k 1 и L 1 , получим уравнение прямой АВ: у=k 1 x+L 1.

Рассмотрим отдельно прямую АВ. Серединный перпендикуляр включает в себя сразу два понятия: медиану и высоту. Точки на сторонах треугольника для прохождения медиан найдены. Теперь через одну из этих точек проведем высоту.

Угол пересечения прямой АВ с осью Ох обозначим α (альфа). Тогда острый угол, образованный прямой DY и осью Ох будет равен: 180 0 -(90 0 +α)=90 0 -α. А угол, смежный с ним: 180 0 -(90 0 -α)=90 0 +α.

В уравнении прямой АВ у=k 1 x+L 1 k 1 — угловой коэффициент, он равен tgα.

Если k 1 =tgα, то k 2 в уравнении у=k 2 x+L 2 для прямой DY равно tg(90 0 +α)=-сtgα.

х

В(а 1 ;в 1 )

D

А(a;в)

О 0 — 0 + 1 * k 2 =tgα*(-сtgα)=-1, т.е. k 1 * k 2 =-1, отсюда k 2 =-1: k 1 .

Мы знаем уравнение прямой АВ: у=k 1 x+L 1 и знаем, как k 1 связан с k 2 . Тогда уравнение прямой DY примет вид : у=-1:k 1* x+L 2 ; зная координаты точки D, принадлежащей этой прямой, и подставляя их в это уравнение, найдем L 2.

Аналогично пишем уравнения другим серединным перпендикулярам треугольника и ( с помощью систем уравнений) находим точку их пересечения – это и есть центр описанной окружности.

Чтобы найти радиус, надо соединить центр окружности с одной из вершин треугольника и найти длину этого отрезка.

Теперь, зная центр и радиус описанной около треугольника окружности, можно ее построить.

Доказательство тождества tg(90 0 +α)=-сtgα.

Возьмем окружность радиусом 1 и центром в точке начала координат. Из начала координат проведем вектор Р, образующий с осью Ох угол α, а затем повернем этот вектор на 90 0 и проведем прямые, параллельные оси Оу и проходящие через точки А и В.

Пусть точка А(х а ;у а ), а точка В(х 90+α ; у 90+α ).

Рассмотрим ΔОАД. Он прямоугольный и следует, sinα=AD:OA=y a :1=y a . A cosα=OD:OA=x 1 :1=x 1 . Значит координаты точки А можно записать так A (cosα; sinα).

Аналогично точке А, координаты точки В можно записать: В(cos(90 0 +α); sin(90 0 +α)).

Треугольники ОВЕ и АОД равны по одной стороне и двум , прилежащим к ней углам. Из этого следует равенство:

ВЕ=ОД, sin(90 0 +α)=cosα и ОЕ=АД, cos (90 0 +α)=-sinα (т.к. ОЕ принимает отрицательное значение)

Из нашей исследовательской работы следует, что произведение коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1. Этот результат работы можно использовать при решении других задач на координатной плоскости. Например, при нахождении точки пересечения высот треугольника. Попутно мы пришли к выводу, что tg(90+α)=-ctgα. Это тождество поможет успешно изучать тригонометрию. Мы предлагаем расширить круг задач в школьном курсе геометрии по теме «Координатная плоскость»

Список использованной литературы.

Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва. «Педагогика», 1989г.

Большой справочник математика для школьников и поступающих в вузы. Д.И. Аверьянов. «Дрофа», 1998г.

Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва. «Педагогика», 1985г.

…!!…………………..

, где a – сторона многоугольника N – количество сторон.
r=a:(2*tg45)=a/2 – для квадрата
r=a:(2*tg60)=a;(2√3) – для треугольника
r=a:(2*tg30)=a*√3:(2) – для шестиугольника

Все решается системой. Через площадь надо выразить сумму оснований, а затем подставить ее в периметр.

Описанная окружность — подробнее

Определение

Описанная окружность – такая окружность, что проходит через все три вершины треугольника, около которого она описана.

Свойства и центр описанной кружности

И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:

Вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

Почему этот факт удивительный?

Потому что треугольники ведь бывают разные!

И для всякого найдётся окружность, которая пройдёт через все три вершины, то есть описанная окружность.

Доказательство этого удивительного факта мы приведем чуть позже, а здесь заметим только, что если взять, к примеру, четырехугольник, то уже вовсе не для всякого найдётся окружность, проходящая через четыре вершины.

Вот, скажем, параллелограмм – отличный четырехугольник, а окружности, проходящей через все его четыре вершины – нет!

А есть только для прямоугольника:

Подробнее об этом смотри в статье о вписанных четырехугольниках!

Ну вот, а треугольник всякий и всегда имеет собственную описанную окружность! И даже всегда довольно просто найти центр этой окружности.

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.

Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр?

Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.

Прямая ( displaystyle a) – это серединный перпендикуляр к отрезку ( displaystyle AB).

А теперь посмотрим, что получится, если мы рассмотрим целых три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника.

Вот оказывается (и это как раз и нужно доказывать, хотя мы и не будем), что все три перпендикуляра пересекутся в одной точке. Смотри на рисунок – все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке ( displaystyle O).

Это и есть центр описанной около (вокруг) треугольника ( displaystyle ABC) окружности.

Как ты думаешь, всегда ли центр описанной окружности лежит внутри треугольника? Представь себе – вовсе не всегда!

Если треугольник тупоугольный, то центр его описанной окружности лежит снаружи!

Вот так:

А вот если остроугольный, то внутри:

Что же делать с прямоугольным треугольником?

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Здорово, правда?

Если треугольник – прямоугольный, то не надо строить аж три перпендикуляра, а можно просто найти середину гипотенузы – и центр описанной окружности готов!

Да ещё с дополнительным бонусом:

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Раз уж заговорили о радиусе описанной окружности: чему он равен для произвольного треугольника? И есть ответ на этот вопрос: так называемая теорема синусов.

А именно:

В произвольном треугольнике:
( Large displaystyle frac{a}{sin angle A}=2R)

Ну и, конечно,

( displaystyle begin{array}{l}frac{b}{sin angle B}=2R\frac{c}{sin angle C}=2Rend{array})

Так что ты теперь всегда сможешь найти и центр , и радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

То есть чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать одну (!) сторону и один (!) противолежащий ей угол. 

Хорошая формула? По-моему, просто отличная!

Доказательство теоремы

Теорема. Вокруг всякого треугольника можно описать окружность, при том единственным образом.

Центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Смотри, вот так:

Давай наберёмся мужества и докажем эту теорему.

Если ты читал уже тему «Биссектриса» разбирался в том, почему же три биссектрисы пересекаются в одной точке, то тебе будет легче, но и если не читал – не переживай: сейчас во всём разберёмся.

Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).

Геометрическое место точек, обладающих свойством «( displaystyle X)» — такое множество точек, что все они обладают свойством «( displaystyle X)» и никакие другие точки этим свойством не обладают.

Ну вот, например, является ли множество мячей – «геометрическим местом» круглых предметов? Нет, конечно, потому что бывают круглые …арбузы.

А является ли множество людей, «геометрическим местом», умеющих говорить? Тоже нет, потому что есть младенцы, которые говорить не умеют.

В жизни вообще сложно найти пример настоящего «геометрического места точек». В геометрии проще. Вот, к примеру, как раз то, что нам нужно:

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.

Тут множество – это серединный перпендикуляр, а свойство «( displaystyle X)» — это «быть равноудаленной (точкой) от концов отрезка».

Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:

• Всякая точка на серединном перпендикуляре находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка
• Всякая точка, которая равноудалена от концов отрезка – находится на серединном перпендикуляре к ему

Приступим:

Проверим 1. Пусть точка ( displaystyle M) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ( displaystyle AB).

Соединим ( displaystyle M) с ( displaystyle A) и с ( displaystyle B).Тогда линия ( displaystyle MK) является медианой и высотой в ( displaystyle Delta AMB).

Значит, ( displaystyle Delta AMB) – равнобедренный, ( displaystyle MA=MB) – убедились, что любая точка ( displaystyle M), лежащая на серединном перпендикуляре, одинаково удалена от точек ( displaystyle A) и ( displaystyle B).

Теперь 2. Почти точно так же, но в другую сторону. Пусть точка ( displaystyle M) равноудалена от точек ( displaystyle A) и ( displaystyle B), то есть ( displaystyle MA=MB).

Возьмём ( displaystyle K) – середину ( displaystyle AB) и соединим ( displaystyle M) и ( displaystyle K). Получилась медиана ( displaystyle MK). Но ( displaystyle Delta AMB) – равнобедренный по условию ( displaystyle (MA=MB)Rightarrow MK) не только медиана, но и высота, то есть – серединный перпендикуляр. Значит, точка ( displaystyle M) — точно лежит на серединном перпендикуляре.

Всё! Полностью проверили тот факт, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Это все хорошо, но не забыли ли мы об описанной окружности? Вовсе нет, мы как раз подготовили себе «плацдарм для нападения».

Рассмотрим треугольник ( displaystyle ABC). Проведём два серединных перпендикуляра ( displaystyle {{a}_{1}}) и ( displaystyle {{a}_{2}}), скажем, к отрезкам ( displaystyle AB) и ( displaystyle BC). Они пересекутся в какой-то точке, которую мы назовем ( displaystyle O).

А теперь, внимание!

Точка ( displaystyle O) лежит на серединном перпендикуляре ( displaystyle {{a}_{1}}Rightarrow OA=OB);
точка ( displaystyle O) лежит на серединном перпендикуляре ( displaystyle {{a}_{2}}Rightarrow OB=OC).
И значит, ( displaystyle OA=OB=OC) и ( displaystyle OA=OC).

Отсюда следует сразу несколько вещей:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 6. Описанная окружность. Многоугольники

Вы этом видео вы узнаете, что такое описанная окружность, где находится её центр, и другие свойства. 

Около каких фигур можно, а вокруг каких нельзя описать окружность. 

Также мы узнаем, что такое правильные многоугольники, и какие у них свойства; как они связаны с описанной окружностью. 

Научимся решать задачи из ЕГЭ на описанную окружность и правильные многоугольники.

ЕГЭ 6. Вписанная окружность

В этом видео мы узнаем, что такое вписанная окружность, где находится её центр, и другие свойства.

В какие фигуры можно, а в какие нельзя вписать окружность. Научимся решать задачи на вписанную окружность.