Как найти ординату точки касания графиков функций

егэ – Как найти ординату касательной?

Чтобы
правильно и рационально решать задачи, связанные
с уравнением касательной, нужно четко понимать, что такое
касательная, владеть техникой составления
уравнения касательной к графику функции и
представлять себе, для решения каких задач (в том
числе и задач с параметрами) можно использовать метод касательной.

Опр.
1. Касательной к графику функции у
= f(x)
называется
предельное положение секущей MN
при

(рис. 1).

Рис. 1

Касательная к кривой может
иметь с ней несколько общих точек или пересекать ее. Можно дать и
другое определение касательной к кривой.

Опр.
2. Касательной к графику функции у
= f(x) в
точке A₀(x₀;
f(x₀))
называется
прямая, проходящая через точку A₀,
угловой
коэффициент которой
равен значению производной функции у
=f(x)
в точке
с абсциссой x₀.

Уравнение
касательной
к кривой у =
f(x)
в точке с
абсциссой х₀
имеет вид:
.

Между
понятием касательной и понятие производной имеется тесная
связь. Геометрический
смысл производной можно выразить так: если функция
у = f(x)
в точке
х₀
имеет
производную, то в точке с этой абсциссой определена касательная к
графику функции
,
причем ее
угловой коэффициент
равен
.
Вывод: если в точке х₀
есть производная
функции
,
то в точке с
этой абсциссой есть касательная к графику
функции

и наоборот; если
в точке х₀
нет производной
функции
,
то в точке с
этой абсциссой нет касательной к графику функции

и наоборот.

Укажем
случаи, когда
функция не имеет в точке касательной, и, следовательно, не
имеет и производной. Таких случаев три: угловая точка, точка
возврата, узловая точка
(рис. 2 а, б, в). Особо
отметим случай, когда в точке функция имеет бесконечную
производную (рис. 2 г).

угловая точка
точка возврата узловая
точка

а) б) в) г)

Рис. 2

Рассмотрим решение
некоторых задач.

Задачи,
связанные с определением того, является ли прямая
у = kx
+ b
касательной к графику функции
у = f(x).
Можно указать два способа решения таких задач.

1. Находим общие
   точки графиков, т. е. решаем уравнение f(x)
   = kx
   + b,
   а затем для каждого из его решений
   вычисляем
   .
   В тех случаях, когда
   
   = k,
   имеет место касание, в других —
   пересечение.

2. Находим корни
   уравнения
   
   = k
   и для каждого из них проверяем, выполняется ли
   равенство f(x)
   = kx
   + b.
   При его выполнении получаем абсциссы точек
   касания.

Обобщая
оба способа, заметим, что для того чтобы прямая у
= kx
+ b
была касательной к графику функции
у = f(x),
необходимо и достаточно существование хотя
бы одного числа х₀,
для которого выполняется система

1. При каких
   значениях b
   прямая у = 3х +b
   является касательной к графику функции у
   =?

Решение.
Записав условие касания

получим

Ответ:
_.

1. При каких
   значениях а прямая
   у=ах+2
   является касательной к графику функции
   

Указание.

Ответ:
а = e^-3

1. При каких
   значениях а прямая
   
   является касательной к графику функции
   

Указание.

Ответ:
а = 7 или а =
-1.

1. Является ли
   прямая
   
   касательной к графику функции
   ?
   Если является, то найти координаты точки касания.

Решение.
Пусть
.
Из условия следует, что должны выполняться равенство
,
где
–
возможная абсцисса точки касания. Имеем:

Если теперь
составить уравнение касательной к графику заданной функции в каждой
из двух найденных точек, то окажется, что в точке

как раз и получится
.
Значит, точка касания имеет координаты (1;-1).

1. К графику
   функции
   проведена
   касательная, параллельная прямой
   .
   Найти ординату точки касания.

Решение.
.
Абсцисса интересующей нас точки касания удовлетворяет уравнению
.
Имеем:

Таким образом,
.
Значит,
–
абсцисса точки касания. Чтобы найти ординату точки касания
преобразуем выражение, задающее функцию:

Ответ: 1.

1. Написать
   уравнение всех касательных к графику функции
   ,
   параллельных прямой
   .

Решение.
Так как касательная должна быть параллельна прямой
,
то ее угловой коэффициент, равный у'(х₀),
где х₀
— абсцисса точки касания, совпадает с
угловым коэффициентом данной прямой, т. е.
.
Отсюда

или
.
Далее составляем уравнение касательной для каждой точки.

Ответ:
,.

1. Найти все
   значения
   ,
   при каждом из которых касательная к графикам функций
   
   и
   в
   точках с абсциссой
   
   параллельны.

Решение.
Известно, что тангенс угла наклона касательной к графику функций

в точке с абсциссой

равен
.
Следовательно, все искомые значения

будут корнями уравнения
,
откуда
.
Используя формулу разности синусов углов, будем иметь
.
Решая полученное уравнение, получаем

1. Найти
   расстояние между касательными к графику функции
   ,
   расположенными параллельно оси
   .

Решение.
Найдем критические точки заданной функции:

Так как,
производная в точках

и

равна нулю, то касательные, проведенные к кривой в точках с этими
абсциссами, параллельны оси
.
Найдем значения функций в этих точках.

Итак,
расстояние d
между касательными, параллельными оси
,
равно

С составлением
уравнения касательной, параллельной данной прямой, связана задача о
нахождении кратчайшего расстояния между графиком
некоторой функции f(x)
и прямой
.

Во многих
случаях удается найти касательную к графику
,
параллельную данной прямой

и делящую плоскость на две части, в одной из
которых расположен график функции, а в другой — заданная
прямая. Тогда кратчайшим расстоянием между графиком функции и прямой

является расстояние от точки М(х₀;
у₀),
в которой проведена параллельная касательная,
до заданной прямой у =
kx
+ b;
это расстояние можно вычислить по формуле

1. Найти
   кратчайшее расстояние между параболой
   
   и прямой
   

Решение.
Убедившись, что графики не имеют общих
точек (уравнение

не имеет решений), запишем
уравнение такой касательной к графику функции
,
которая параллельна прямой

Уравнение касательной имеет
вид

касание происходит в точке

Прямая у =
х
– 2 и парабола у
= х²
расположены по разные
стороны от касательной. Таким образом, кратчайшее
расстояние между параболой и прямой равно
расстоянию от точки М до
прямой
.

Ответ:

Довольно
сложной является задача составления уравнения всех касательных к
графику функции у = f(x),
проходящих через заданную точку М(х₀;
у₀),
вообще говоря, не лежащую на графике.
Приведем алгоритм решения этой задачи.

1. Составляем
уравнение касательной к графику функции
у = f(x)
в произвольной
точке графика с абсциссой
t:

2. Решаем
относительно t
уравнение

и для каждого его
решения t
записываем
соответствующую
касательную в виде
.

1. Написать
   уравнение всех касательных к графику функции
   ,
   проходящих через точку
   М(2; -2).

Указание.
Уравнение касательной в точке с абсциссой t
имеет вид
.
Так как эта
касательная проходит через точку
(2; -2), то
,
откуда
.

Ответ:
.

1. Найти
   площадь треугольника, образованного касательными, проведенными
   к графику функции
   
   через точку
   
   и секущей,
   проходящей через точки касания.

Указание.
Уравнение

дает два
решения: t₁
= 1, t₂
= 4. Таким
образом, точки K₁
(1;1) и
K₂(4;2)
являются точками касания.

Ответ:
0,25.

Говорят, что
прямая

является общей касательной графиков функции


и
,
если она касается как одного, так и другого
графиков (но совершенно не обязательно в одной и той же точке).
Например, прямая

является общей касательной графиков функций

(в точке М(2; 5) и

(в точке K(0,5;
-1)). Заметим, что графики функций
и

имеют в точке их пересечения М(х₀;
у₀)
общую невертикальную касательную тогда и
только тогда, когда
.

1. Доказать,
   что параболы
   
   и
   имеют
   в их общей точке общую касательную. Найти
   уравнение этой общей касательной. Решение.
   Уравнение
   имеет
   единственный корень х=2,
   т. е. параболы имеют единственную общую точку
   М(2;0). Убедимся, что значения производных для
   обеих функций в точке х =
   2 равны; действительно,
   и
   .
   Далее составляем уравнение касательной.

Ответ:.

В завершении рассмотрим
решение еще нескольких задач на касательную с параметром.

1. При
   каких значениях параметра
   касательная
   к графику функции
   
   в точке
   
   проходит через точку (2;3)?

Решение.
Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке
:

Так как эта прямая проходит через точку (2;3), то имеет место
равенство
,
откуда находим:
.

1. Может ли
   касательная к кривой
   
   в какой-либо ее точке составлять острый угол с положительным
   направлением оси
   ?

Решение.
Найдем производную функции
.
В любой точке, в которой функция определена, производная
отрицательна. Но производная есть тангенс угла наклона касательной, а
так как он отрицателен, то угол тупой.

Ответ: Не
может.

1. Найти
   значение параметра
   ,
   при котором касательная к графику функции
   
   в точке
   
   проходит через точку М(1;7).

Решение.
Пусть
тогда
.
Составим уравнение касательной:

По условию эта
касательная проходит через точку М(1;7), значит,
,
откуда получаем:

1. При каких
   значениях параметра
   
   прямая
   
   является касательной к графику функции
   ?

Решение.
Из условия следует, что должно выполнятся равенство
где

абсцисса
точки касания. Значит,
и

связаны между собой равенством

(1). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в
точке

Из условия
следует, что должно выполняться равенство
.
Решив это уравнение, получим
.
Тогда из (1) получаем, что
.

1. При каком
   значении
   
   прямая
   
   является касательной у графику
   ?

Решение.
Так как прямая

является касательной к графику функции
,
то в точке касания угловой коэффициент касательной равен 3. Но
угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в
этой точке, то есть
,
откуда
,
следовательно,
–
абсцисса точки касания. Найдем теперь
из
условия равенства значений функций
и

при
.
Имеем
,
откуда
.

1. При каких
   значениях параметра а касательные к графику функции
   ,
   проведенные в точках его пересечения с осью оx,
   образуют между собой угол 60^о?

Решение.
В этой задаче, как и в предыдущих, речь идет о касательных к графику
функции. Составлять уравнение касательной не надо, достаточно
использовать геометрический смысл производной, то есть угловые
коэффициенты касательных. Графиком данной функции является парабола с
ветвями, направленными вверх, пересекающая ось оx
в двух точках (случай а=0
нас не устраивает):

и
учитываем,
что х₂>0
(рис. 3)

Рис. 3

Касательные АМ
и ВМ пересекаются под углом 60^о
в точке М, лежащей на оси параболы, причем возможны два случая: либо
,
либо смежный угол равен 60^о.
в первом случае угол между касательной АО и осью х равен 120^о,
следовательно, угол коэффициента касательной равен tg120^o,
то есть равен

Далее имеем:
.
Таким образом, получаем, что
,
то
.
Во втором случае
,
поэтому угол между касательной АО и остью ох
равен 150^о.
Значит, угловой коэффициент касательной равен tg150^o
, то есть он равен
.
Таким образом, получаем, что
,
то есть

Ответ:
.

Литература:

1. Далингер,
   В.А. Начала математического анализа в задачах [Текст]: учебное
   пособие / В.А. Далингер. – Омск: Изд-во ГОУ ОМГПУ, 2009. –
   312 с.

2. Звавич, Л.И. Алгебра и
   начала анализа. 8-11 кл. [Текст]: пособие для школ и классов с
   углубл. изучением математики / Л. И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В.
   Чинкина.– М.: Дрофа, 1999. – 352 с.

Уравнение касательной к графику функции

п.1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace_<=k>x+underbrace_ <=b>$$

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)

Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1).

(f(x_0)=1^2+3=4 )
(f'(x)=2x )
(f'(x_0)=2cdot 1=2)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: (y=2x+2)

п.3. Вертикальная касательная

Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]).

Пусть (f(x)=sqrt[5]+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1).

(f(x_0)=sqrt[5]<1-1>+1=1)
(f'(x)=frac15(x-1)^<frac15-1>+0=frac15(x-1)^<-frac45>=frac<1><5(x-1)^<frac45>> )
(f'(x_0)=frac<1><5(1-1)^<frac45>>=frac10=+infty)
В точке (x_0) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: (x=1)
Ответ: (y=2x+2)

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=-2 end right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end Касательная в точке (x_0=-2): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac<15> <8>end Уравнение касательной: begin y=1cdotleft(x+frac34right)-frac<15><8>=x-frac98 end

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end Точка касания (x_0=-frac32) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end Уравнение касательной: begin y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end Или, в каноническом виде: begin 2x+y+frac92=0 end

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end Точка касания (x_0=-1) begin f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end Уравнение касательной: begin y=0cdot(x+1)-2=-2 end

Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac<1>=-frac<1><11>) begin f'(x)=left(fracright)’-x’=frac<2x(x+3)-(x^2+2)cdot 1><(x+3)^2>-1=frac<2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2><(x+3)^2>=\ =frac<(x+3)^2>=- frac<11> <(x+3)^2>end В точке касания: begin f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac<11><(x+3)^2>=-frac<1><11>Rightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin x=-14\ x=8 end right. end
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin f(x_0)=frac<(-14)^2+2><-14+3>+14=frac<198><-11>+14=-18+14=-4\ y=-frac<1><11>(x+14)-4=-frac <11>end Уравнение касательной при (x_0=8) begin f(x_0)=frac<8^2+2><8+3>-8=frac<66><11>-8=-2\ y=-frac<1><11>(x-8)-2=-frac <11>end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac<11>)
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac<11>)

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.

Найдем производные функций: begin f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b – для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin begin 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end Rightarrow begin 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end Rightarrow begin a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end Rightarrow begin a-b=3\ a+b=frac53 end Rightarrow \ Rightarrow begin 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end Rightarrow begin a=frac73\ b=-frac23 end end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac<49><9>=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$
Точки касания: begin a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac<49><9>-frac<35><3>+6=frac<49-105+54><9>=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac<4-6+9><9>=frac79 end
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))

Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac<-3pmsqrt<5>> <2>end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) – решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin x=0\ 2x^2+3=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x^2=-frac32 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ xinvarnothing end right. Rightarrow x=0 end Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)

Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0).

Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac<0,4><2>=-0,2 end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2sqrt<2^2+1^2>=frac<sqrt<5>><5>)
Ответ: (frac<sqrt<5>><5>)

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Как получить уравнение касательной и уравнение нормали

Касательная – это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем – уравнение нормали к графику функции.

В нём k – угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

Значение производной f ‘(x 0 ) функции y = f(x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f ‘(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль – это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

Переходим к примерам. Для решений потребуется таблица производных (откроется в новом окне).

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет “холодным душем”.

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Решаем задачи вместе

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции (функция представляет собой многочлен и её производную можно найти по формулам 1, 2 и 3 в таблице производных):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример – тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг – приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в “формулу-болванку” и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного “причесать”: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Снова решаем задачи вместе

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали – не заметить, что функция, данная в примере, – сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры – уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Внимание! Данная функция – сложная, так как аргумент тангенса ( 2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (потребуется формула 9 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Как и в предыдущем примере, данная функция – сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции (используя формулу 1 в таблице производных сложной функции):

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.

На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .

• Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
• Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 α π 2 или 0 ° α 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
• Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
• Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 α π или 90 ° α 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f ( x ) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что А В является секущей, а f ( x ) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Получаем формулу для нахождения секущей вида:

k = t g α = B C A C = f ( x B ) – f x A x B – x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f ( x A ) , f ( x B ) – это значения функции в этих точках.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f ( x B ) – f ( x A ) x B – x A или k = f ( x A ) – f ( x B ) x A – x B , причем уравнение необходимо записать как y = f ( x B ) – f ( x A ) x B – x A · x – x A + f ( x A ) или
y = f ( x A ) – f ( x B ) x A – x B · x – x B + f ( x B ) .

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А , от А до В , справа от В . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Касательная к графику функции f ( x ) в точке x 0 ; f ( x 0 ) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f ( x 0 ) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х , близких к x 0 .

Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами ( 1 ; 2 ) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к ( 1 ; 2 ) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.

Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А . Для наглядности приведем рисунок.

Секущая А В , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .

Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А , то есть B → A .

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f ( x ) , где А и В с координатами x 0 , f ( x 0 ) и x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x ) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f ( x ) = f ( x 0 + ∆ x ) – f ( ∆ x ) . Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f ( x ) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Отсюда следует, что f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f ’ ( x ) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 ( x 0 ) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f ‘ ( x 0 ) .

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x 0 , f 0 ( x 0 ) принимает вид y = f ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + f ( x 0 ) .

Имеется в виду, что конечным значением производной f ‘ ( x 0 ) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 – 0 f ‘ ( x ) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) ≠ lim x → x 0 – 0 f ‘ ( x ) .

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f ‘ ( x 0 ) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у – k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x 0 .

Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 – 6 – 3 3 x – 17 – 3 3 в точке с координатами ( 1 ; 3 ) с определением угла наклона.

Решение

По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, ( 1 ; 3 ) является точкой касания, тогда x 0 = – 1 , f ( x 0 ) = – 3 .

Необходимо найти производную в точке со значением – 1 . Получаем, что

y ‘ = e x + 1 + x 3 3 – 6 – 3 3 x – 17 – 3 3 ‘ = = e x + 1 ‘ + x 3 3 ‘ – 6 – 3 3 x ‘ – 17 – 3 3 ‘ = e x + 1 + x 2 – 6 – 3 3 y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( – 1 ) = e – 1 + 1 + – 1 2 – 6 – 3 3 = 3 3

Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.

Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3

Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6

Ответ: уравнение касательной приобретает вид

y = f ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + f ( x 0 ) y = 3 3 ( x + 1 ) – 3 y = 3 3 x – 9 – 3 3

Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.

Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.

Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x – 1 5 + 1 в точке с координатами ( 1 ; 1 ) . Составить уравнение и определить угол наклона.

Решение

По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.

Перейдем к нахождению производной

y ‘ = 3 · x – 1 5 + 1 ‘ = 3 · 1 5 · ( x – 1 ) 1 5 – 1 = 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5

Если x 0 = 1 , тогда f ’ ( x ) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( + 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 – 0 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( – 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке ( 1 ; 1 ) .

Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .

Для наглядности изобразим графически.

Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 – 4 5 x 2 – 16 5 x – 26 5 + 3 x + 2 , где

1. Касательная не существует;
2. Касательная располагается параллельно о х ;
3. Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .

Решение

Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ – ∞ ; 2 и [ – 2 ; + ∞ ) . Получаем, что

y = – 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ – ∞ ; – 2 1 15 x 3 – 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ – 2 ; + ∞ )

Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что

y ‘ = – 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ‘ , x ∈ – ∞ ; – 2 1 15 x 3 – 6 x 2 + 9 x + 12 ‘ , x ∈ [ – 2 ; + ∞ ) ⇔ y ‘ = – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) , x ∈ – ∞ ; – 2 1 5 x 2 – 4 x + 3 , x ∈ [ – 2 ; + ∞ )

Когда х = – 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:

lim x → – 2 – 0 y ‘ ( x ) = lim x → – 2 – 0 – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 = – 1 5 ( – 2 ) 2 + 12 ( – 2 ) + 35 = – 3 lim x → – 2 + 0 y ‘ ( x ) = lim x → – 2 + 0 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 1 5 – 2 2 – 4 – 2 + 3 = 3

Вычисляем значение функции в точке х = – 2 , где получаем, что

1. y ( – 2 ) = 1 15 – 2 + 2 3 – 4 5 ( – 2 ) 2 – 16 5 ( – 2 ) – 26 5 + 3 – 2 + 2 = – 2 , то есть касательная в точке ( – 2 ; – 2 ) не будет существовать.
2. Касательная параллельна о х , когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f ‘ ( x 0 ) . То есть необходимо найти значения таких х , когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ ( x ) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х .

Когда x ∈ – ∞ ; – 2 , тогда – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 , а при x ∈ ( – 2 ; + ∞ ) получаем 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 0 .

– 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 D = 12 2 – 4 · 35 = 144 – 140 = 4 x 1 = – 12 + 4 2 = – 5 ∈ – ∞ ; – 2 x 2 = – 12 – 4 2 = – 7 ∈ – ∞ ; – 2 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 0 D = 4 2 – 4 · 3 = 4 x 3 = 4 – 4 2 = 1 ∈ – 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ – 2 ; + ∞

Вычисляем соответствующие значения функции

y 1 = y – 5 = 1 15 – 5 + 2 3 – 4 5 – 5 2 – 16 5 – 5 – 26 5 + 3 – 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( – 7 ) = 1 15 – 7 + 2 3 – 4 5 ( – 7 ) 2 – 16 5 – 7 – 26 5 + 3 – 7 + 2 = 4 3 y 3 = y ( 1 ) = 1 15 1 + 2 3 – 4 5 · 1 2 – 16 5 · 1 – 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y ( 3 ) = 1 15 3 + 2 3 – 4 5 · 3 2 – 16 5 · 3 – 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Отсюда – 5 ; 8 5 , – 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.

Рассмотрим графическое изображение решения.

Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.

1. Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y ‘ ( x ) = 8 5 . Тогда, если x ∈ – ∞ ; – 2 , получаем, что – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 8 5 , а если x ∈ ( – 2 ; + ∞ ) , тогда 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 8 5 .

Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что

– 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 – 4 · 43 = – 28 0

Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда

1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 8 5 x 2 – 4 x – 5 = 0 D = 4 2 – 4 · ( – 5 ) = 36 x 1 = 4 – 36 2 = – 1 ∈ – 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ – 2 ; + ∞

Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что

y 1 = y ( – 1 ) = 1 15 – 1 + 2 3 – 4 5 ( – 1 ) 2 – 16 5 ( – 1 ) – 26 5 + 3 – 1 + 2 = 4 15 y 2 = y ( 5 ) = 1 15 5 + 2 3 – 4 5 · 5 2 – 16 5 · 5 – 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки со значениями – 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .

Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках – 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x – π 4 – 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = – 2 x + 1 2 .

Решение

Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется – 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = – 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = – 2 , тогда k x = – 1 k ⊥ = – 1 – 2 = 1 2 .

Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х , после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y ‘ ( x 0 ) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.

y ‘ ( x 0 ) = 3 cos 3 2 x 0 – π 4 – 1 3 ‘ = 3 · – sin 3 2 x 0 – π 4 · 3 2 x 0 – π 4 ‘ = = – 3 · sin 3 2 x 0 – π 4 · 3 2 = – 9 2 · sin 3 2 x 0 – π 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) ⇔ – 9 2 · sin 3 2 x 0 – π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 – π 4 = – 1 9

Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.

3 2 x 0 – π 4 = a r c sin – 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 – π 4 = π – a r c sin – 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 – π 4 = – a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 – π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z – множество целых чисел.

Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 – π 4 – 1 3

y 0 = 3 · 1 – sin 2 3 2 x 0 – π 4 – 1 3 или y 0 = 3 · – 1 – sin 2 3 2 x 0 – π 4 – 1 3

y 0 = 3 · 1 – – 1 9 2 – 1 3 или y 0 = 3 · – 1 – – 1 9 2 – 1 3

y 0 = 4 5 – 1 3 или y 0 = – 4 5 + 1 3

Отсюда получаем, что 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 – 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; – 4 5 + 1 3 являются точками касания.

Ответ: необходимы уравнения запишутся как

y = 1 2 x – 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 – 1 3 , y = 1 2 x – 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk – 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.

Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ – 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = – 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x – x c e n t e r 2 + y – y c e n t e r 2 = R 2 .

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y = R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = – R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = – R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.

Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r – R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r – R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r – R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у , тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r – R .

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x – x c e n t e r 2 a 2 + y – y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y = b a · a 2 – ( x – x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r y = – b a · a 2 – ( x – x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r

Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Написать уравнение касательной к эллипсу x – 3 2 4 + y – 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .

Решение

Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что

x – 3 2 4 x = 2 + y – 5 2 25 = 1 1 4 + y – 5 2 25 = 1 ⇒ y – 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; – 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.

Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что

x – 3 2 4 + y – 5 2 25 = 1 y – 5 2 25 = 1 – x – 3 2 4 ( y – 5 ) 2 = 25 · 1 – x – 3 2 4 y – 5 = ± 5 · 1 – x – 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 – x – 3 2

Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 – x – 3 2 , а нижний y = 5 – 5 2 4 – x – 3 2 .

Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид

y ‘ = 5 + 5 2 4 – x – 3 2 ‘ = 5 2 · 1 2 4 – ( x – 3 ) 2 · 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = = – 5 2 · x – 3 4 – ( x – 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = – 5 2 · 2 – 3 4 – ( 2 – 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x – 2 ) + 5 3 2 + 5

Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; – 5 3 2 + 5 принимает вид

y ‘ = 5 – 5 2 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = – 5 2 · 1 2 4 – ( x – 3 ) 2 · 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = = 5 2 · x – 3 4 – ( x – 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = 5 2 · 2 – 3 4 – ( 2 – 3 ) 2 = – 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y 0 ⇔ y = – 5 2 3 ( x – 2 ) – 5 3 2 + 5

Графически касательные обозначаются так:

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r – α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x – x c e n t e r 2 α 2 – y – y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r – b , тогда задается при помощи неравенства x – x c e n t e r 2 α 2 – y – y c e n t e r 2 b 2 = – 1 .

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y = b a · ( x – x c e n t e r ) 2 – a 2 + y c e n t e r y = – b a · ( x – x c e n t e r ) 2 – a 2 + y c e n t e r или y = b a · ( x – x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r y = – b a · ( x – x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r

В первом случае имеем, что касательные параллельны о у , а во втором параллельны о х .

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Составить уравнение касательной к гиперболе x – 3 2 4 – y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; – 3 3 – 3 .

Решение

Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что

x – 3 2 4 – y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x – 3 2 4 – 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x – 3 2 4 – 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x – 3 2 – 4 и л и y + 3 = – 3 2 · x – 3 2 – 4 ⇒ y = 3 2 · x – 3 2 – 4 – 3 y = – 3 2 · x – 3 2 – 4 – 3

Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; – 3 3 – 3 .

Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y ( 7 ) = 3 2 · ( 7 – 3 ) 2 – 4 – 3 = 3 3 – 3 ≠ – 3 3 – 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.

Для второй функции имеем, что y ( 7 ) = – 3 2 · ( 7 – 3 ) 2 – 4 – 3 = – 3 3 – 3 ≠ – 3 3 – 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.

y ‘ = – 3 2 · ( x – 3 ) 2 – 4 – 3 ‘ = – 3 2 · x – 3 ( x – 3 ) 2 – 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) = – 3 2 · x 0 – 3 x 0 – 3 2 – 4 x 0 = 7 = – 3 2 · 7 – 3 7 – 3 2 – 4 = – 3

Ответ: уравнение касательной можно представить как

y = – 3 · x – 7 – 3 3 – 3 = – 3 · x + 4 3 – 3

Наглядно изображается так:

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y ( x 0 ) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y ( x 0 ) . Такая касательная в вершине параллельна о х .

Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у . Получаем, что

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c – x = 0 D = b 2 – 4 a ( c – x ) y = – b + b 2 – 4 a ( c – x ) 2 a y = – b – b 2 – 4 a ( c – x ) 2 a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x 0 , y ( x 0 ) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.

Написать уравнение касательной к графику x – 2 y 2 – 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .

Решение

Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что

– 2 y 2 – 5 y + 3 – x = 0 D = ( – 5 ) 2 – 4 · ( – 2 ) · ( 3 – x ) = 49 – 8 x y = 5 + 49 – 8 x – 4 y = 5 – 49 – 8 x – 4

Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.

k x = y ‘ ( x 0 ) = t g α x = t g 150 ° = – 1 3

Отсюда определим значение х для точек касания.

Первая функция запишется как

y ‘ = 5 + 49 – 8 x – 4 ‘ = 1 49 – 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = 1 49 – 8 x 0 = – 1 3 ⇔ 49 – 8 x 0 = – 3

Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.

Вторая функция запишется как

y ‘ = 5 – 49 – 8 x – 4 ‘ = – 1 49 – 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = – 1 49 – 8 x 0 = – 1 3 ⇔ 49 – 8 x 0 = – 3 x 0 = 23 4 ⇒ y ( x 0 ) = 5 – 49 – 8 · 23 4 – 4 = – 5 + 3 4

Имеем, что точки касания – 23 4 ; – 5 + 3 4 .

Ответ: уравнение касательной принимает вид

[spoiler title=”источники:”]

http://function-x.ru/derivative_and_tangent.html

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/proizvodnye/kasatelnaja-k-grafiku-funktsii-v-tochke/

[/spoiler]

и нормали. Физический смысл производной

Производная функции
в точкепредставляет собой угловой коэффициент
касательной, проведенной к графику
функции в точке

где
– угол наклона касательной к осиOx.
В этом состоит
геометрический смысл производной.

Уравнение
касательной, проведенной к графику
функции в точке
гдеимеет вид:

(11.9)

Прямая, проходящая
через точку
графика функцииперпендикулярно касательной, проведенной
в этой точке, называетсянормалью
к графику функции
в точке(рис. 11.1). Уравнение нормали имеет вид:

(11.10)

где

Рис. 11.1

Физические
приложения производной

1. Если материальная
точка M
движется неравномерно по пути, заданному
функцией
томгновенная
скорость
движения в момент времени
есть производная от путиS
по времени t:

(11.11)

2. Если функцией
описывается процесс изменения скорости
неравномерного движения в зависимости
от времени, то
мгновенное ускорение
материальной точки в момент времени
есть производная от скоростиv
по времени t:

(11.12)

3. Если
– функция, описывающая процесс изменения
количества теплоты, сообщаемой телу
при нагревании его до температурыT,
то теплоемкость
тела есть
производная от количества теплоты Q
по температуре T:

4. Линейная
плотность
неоднородного тонкого стержня в точке
есть производная от массыm
по длине l:

5. Мгновенное
значение электродвижущей силы индукции
равно скорости изменения магнитного
потока, т. е. производной от магнитного
потока 
по времени t:

6. Сила
тока в колебательном контуре в момент
времени t₀
равна производной заряда q
по времени t:

Пример 1.
Написать уравнение касательной и
нормали, проведенной к графику функции
в точке с абсциссойx
= 2.

Решение.
Для нахождения уравнения касательной
воспользуемся формулой (11.9). Сначала
найдем ординату точки касания
Для этого значениеподставим в уравнение функции:

Для нахождения
углового коэффициента найдем производную
используя формулу дифференцирования
дроби:

Найдем значение
производной при

Подставив найденные
значения в формулу (11.9), получаем уравнение
касательной:

т. е.

Чтобы
написать уравнение нормали, воспользуемся
формулой (11.10):

Получим, что
уравнение нормали, проведенной к заданной
кривой в заданной точке, имеет вид

Пример 2.
Определить, в какой точке кривой
касательная наклонена к оси абсцисс
под углом 45.

Решение.
Так как тангенс угла наклона касательной
к оси абсцисс равен значению производной
в точке касания, найдем производную
функции:

По условию
Следовательно,

Отсюда:

Получили два
значения абсциссы точки касания:

т. е. существуют
две точки касания, в которых касательная
образует угол 45
с осью Ох.

Найдем соответствующие
ординаты точек касания, подставляя
значения
в формулу функции:

Приходим к ответу:
в точках
икасательная к заданной кривой образует
с осьюОх
угол 45.

Пример 3.
Найти острый угол между параболами
ив точке их пересечения, имеющей
отрицательную абсциссу.

Решение.
Угол между двумя кривыми в точке их
пересечения – это угол между касательными
к этим кривым, проведенными в точке их
пересечения. Тангенс этого угла вычислим
по формуле

(11.13)

где k₁
и k₂ – угловые
коэффициенты касательных, проведенных
к параболам в заданной точке.

Найдем
точку пересечения этих парабол. Для
этого решим систему:

Отсюда
Условию задачи удовлетворяет точкаНайдем коэффициентk₁:

Аналогично найдем
k₂:

Воспользуемся
формулой (11.13) и получим:

откуда

Пример 4.
Тело движется прямолинейно по закону

Найти скорость
движения тела в тот момент, когда
ускорение равно нулю.

Решение.
Согласно формуле (11.11), скорость есть
производная функции S(t),
а, согласно формуле (11.12), ускорение а(t)
есть производная скорости v(t).

Последовательно
вычислим производные:

Найдем момент
времени, когда ускорение равно нулю:

Вычислим скорость
движения тела в момент времени

Задания

Соседние файлы в папке Часть 2

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #