Как найти ординату точки пересечения с осью


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Точка пересечения с осью Y – это точка, в которой график функции пересекает ось ординат. Найти такую точку можно несколькими способами, в зависимости от начальной информации.

  1. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 1

    1

    Запишите значение углового коэффициента и координаты точки. Угловой коэффициент характеризует угол наклона графика по отношению к оси X. Координаты точки, лежащей на графике, записываются в виде (х,у). Если вам не даны координаты и угловой коэффициент, воспользуйтесь другим методом.

    • Пример 1. Дана прямая, на которой лежит точка А (3,4) и угловой коэффициент которой равен 2. Найдите точку пересечения этой прямой с осью Y.
  2. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 2

    2

    Запишите линейную функцию. Ее график представляет собой прямую. Линейная функция имеет вид у = kх + b, где k – угловой коэффициент, b – координата «у» точки пересечения с осью Y.

  3. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 3

    3

    В функцию подставьте значение углового коэффициента. Подставьте данное значение вместо k.

    • Пример 1. y = kx + b
      k = 2
      y = 2x + b
  4. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 4

    4

    Вместо «х» и «у» подставьте данные координаты точки. Если даны координаты точки, лежащей на прямой, подставьте их в функцию вместо х и у.

    • Пример 1. Точка А (3,4) лежит на прямой. То есть х = 3, у = 4.
      Подставьте эти значения в y = 2x + b
      4 = 2*3 + b
  5. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 5

    5

    Найдите значение b. Напомним, что b – это координата «у» точки пересечения с осью Y. В уравнении b является единственной переменной, которую нужно обособить и найти ее значение.

    • Пример 1. 4 = 2*3 + b
      4 = 6 + b
      4 – 6 = b
      -2 = b
      Координата «у» точки пересечения с осью Y равна -2 (у = -2).
  6. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 6

    6

    Ответ запишите в виде пары координат точки пересечения прямой с осью Y. Точка лежит на пересечении прямой и оси Y; координата «х» любой точки, лежащей на оси Y, равна 0, поэтому координата «х» точки пересечения всегда равна 0 (х = 0).

    • Пример 1. Точка пересечения прямой с осью Y имеет координаты (0,-2).

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 7

    1

    Запишите координаты двух точек, лежащих на прямой. Если координаты обеих точек не даны, воспользуйтесь другим методом. Координаты каждой точки записываются в виде (х,у).

  2. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 8

    2

    Пример 2. Прямая проходит через точки А(1,2) и В(3,-4). Найдите точку пересечения этой прямой с осью Y.

  3. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 9

    3

    Найдите вертикальное и горизонтальное расстояние между двумя точками. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой, образуемого с осью Х, и вычисляется как отношение вертикального расстояния между двумя точками к горизонтальному расстоянию между двумя точками.

    • Вертикальное расстояние – это разность координат «у» двух точек.
    • Горизонтальное расстояние – это разность координат «х» двух точек.
    • Пример 2. Координаты «у» двух точек: 2 и -4, поэтому вертикальное расстояние: -4 – 2 = -6.
      Координаты «х» двух точек (в том же порядке): 1 и 3, поэтому вертикальное расстояние: 3 – 1 = 2.
  4. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 10

    4

    Разделите вертикальное расстояние на горизонтальное, чтобы найти угловой коэффициент. Найденные значение подставьте в формулу: угловой коэффициент = вертикальное расстояние / горизонтальное расстояние.

    • Пример 2. k = -6/2 = -3.
  5. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 11

    5

    Запишите линейную функцию. Ее график представляет собой прямую. Линейная функция имеет вид у = kх + b, где k – угловой коэффициент, b – координата «у» точки пересечения с осью Y. Подставьте известное значение углового коэффициента k и координаты точки (х,у), чтобы найти b.

  6. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 12

    6

    В функцию подставьте значение углового коэффициента и координаты точки. Вычисленное значение углового коэффициента подставьте вместо k. Координаты любой из данных точек подставьте вместо «х» и «у».

    • Пример 2. y= kх + b
      k = -3, поэтому у = -3x + b
      На прямой лежит точка А (1,2), поэтому 2 = -3*1 + b.
  7. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 13

    7

    Найдите значение b. В уравнении b является единственной переменной, которую нужно обособить и найти ее значение. Напомним, что координата «х» точки пересечения всегда равна 0.

    • Пример 2. 2 = -3*1 + b
      2 = -3 + b
      5 = b
      Координаты точки пересечения прямой с осью Y равны (0,5).

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 14

    1

    Запишите уравнение прямой. Если дано уравнение, описывающее прямую, можно найти точку ее пересечения с осью Y.

    • Пример 3. Найти точку пересечения прямой, которая задана уравнением х + 4y = 16, с осью Y.
    • Примечание: уравнение, приведенное в примере 3, описывает прямую. В конце этого раздела приведен пример квадратного уравнения (в котором переменная возводится в квадрат).
  2. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 15

    2

    Вместо «х» подставьте 0. Напомним, что точка пересечения лежит на пересечении прямой и оси Y; координата «х» любой точки, лежащей на оси Y, равна 0, поэтому координата «х» точки пересечения всегда равна 0 (х = 0). Подставьте х = 0 в уравнение прямой.

    • Пример 3. x + 4y = 16
      х = 0
      0 + 4y = 16
      4y = 16
  3. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 16

    3

    Найдите «у». Так вы вычислите координату «у» точки пересечения с осью Y.

    • Пример 3. 4y = 16
      {frac  {4y}{4}}={frac  {16}{4}}
      у = 4
      Координаты точки пересечения прямой с осью Y равны (0,4).
  4. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 17

    4

    Проверьте ответ, построив график (если хотите). График постройте как можно более точно. Точка, в которой прямая пересекает ось Y, является точкой пересечения.

  5. Изображение с названием Find the Y Intercept Step 18

    5

    Найдите точку пересечения в случае квадратного уравнения. Переменная (в большинстве случаев «х») в квадратном уравнении возводится в квадрат. В квадратное уравнение также подставляется х = 0, но имейте в виду, что квадратное уравнение описывает параболу, которая может пересекать ось Y в одной или двух точках или вообще не пересекать ось ординат. Это значит, что задача будет иметь 1 или 2 решения или вообще не иметь решений.

    Реклама

Советы

Похожие статьи

Об этой статье

Эту страницу просматривали 50 571 раз.

Была ли эта статья полезной?

Точки пересечения графика осями

Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

С осью абсцисс график функции может иметь любое количество общих точек (или ни одной). С осью ординат — не более одной (так как по определению функции каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции).

Чтобы найти точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0 (то есть найти нули функции).

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат, надо в формулу функции вместо каждого x подставить нуль, то есть найти значение функции при x=0: y=f(0).

1) Найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.

В точке пересечения графика функции с осью Ox y=0:

kx+b=0, => x= -b/k. Таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке ( -b/k ; 0).

В точке пересечения с осью Oy x=0:

y=k∙0+b=b. Отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.

2x-10=0; x=5. С Ox график пересекается в точке (5; 0).

y=2∙0-10=-10. С Oy график пересекается в точке (0; -10).

2) Найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.

В точке пересечения графика с осью абсцисс y=0. Значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью Ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

В зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает Ox.

В точке пересечения графика с осью Oy x=0.

y=a ∙ 0²+b ∙ 0+c=с. Следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.

x1=4; x2=5. График пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).

y=0²-9∙0+20=20. Отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.

Точки пересечения графика функции с осями координат

В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.

График функции (y = f(x)) является множеством точек ((x; y)) , координаты которых связаны соотношением (y = f(x).)

Равенство (y = f(x)) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.

Как найти координаты, примеры решения

Существует несколько способов решения подобных задач:

  1. Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
  2. Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
  3. Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.

В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:

Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения (x_1) и (x_2) и найти (f(x_1)) и ((x_2)) . Далее действия необходимо повторить с функцией (g(x)) . Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.

Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда (k_1 neq k_2) . В противном случае (k_1=k_2) , а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При ( k_1 neq k_2) и (m_1=m_2) точка пересечения будет соответствовать (M(0;m)) . Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.

Имеются функции: (f(x) = 2x-5)

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.

В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:

По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:

Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные — в правую:

В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в (f(x)) , либо в (g(x)) :

(f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11)

Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.

Записаны две функции: (f(x)=2x-1)

Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.

Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.

Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: (f(x)=x^2-2x+1)

В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:

Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:

Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить (x = 0) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:

(f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1)

M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.

Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней

Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.

Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:

  • раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
  • перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
  • математические преобразования;
  • определение корня.

Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:

  • разложение на множители;
  • выделение полного квадрата;
  • поиск дискриминанта;
  • теорема Виета.

В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.

Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:

В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными не имеет решений.

Квадратные уравнения решают таким образом:

  • выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
  • выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
  • проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.

Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.

Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:

  • понижение степени, то есть разложение на множители;
  • замена переменной.

Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:

  • выполнение математических преобразований;
  • выражение переменной через другую;
  • решение квадратного или линейного уравнения;
  • подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
  • вычисление искомых корней;
  • проверка;
  • исключение ложных решений;
  • запись ответа.

Путем составления системы уравнений

Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:

К примеру

Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере

Решение будет иметь следующий вид:

Решение будет иметь следующий вид

Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.

Прямые пересекаются в точке

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).

В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:

  • система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
  • решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
  • система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.

При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.

В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:

К примеру, необходимо решить следующую систему

Решение имеет следующий вид:

Решение имеет следующий вид

График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:

Можно построить первый график по точкам

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).

Можно решить систему графическим способом:

Можно решить систему графическим способом

В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).

График второго уравнения является параболой

Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему

Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.

Первым шагом является построение графика первого уравнения

Далее необходимо построить график функции:

Далее необходимо построить график функции

График будет являться ломанной:

График будет являться ломанной

Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:

В результате получится график функции

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация

Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)

Нахождение через графическое построений функций

Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой

Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.

В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:

Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:

(y1=y2 или k1x+b1=k2x+b2)

После преобразований получится, что:

Далее нужно выразить x:

При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:

График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.

С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:

В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции

В данном случае при х=0 ((y=a*0+b)) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть (y=f(x)=0) . Для того чтобы определить х, следует решить уравнение (f(x)=0) . В случае линейной функции получаем уравнение (ax+b=0) , откуда и находим (x=-b/a) . В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке ((-b/a,0).)

При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение (f(x)=0) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, (y=sin(x)) , график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Квадратичная функция и её график

Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается формулой y = ax 2 + bx + c.

Нарисовать параболу можно, используя таблицу значений, в которой мы выбираем произвольный х и находим у. Но не всегда этот способ является самым рациональным.

Начнем, как всегда, с простого)

Стандартная парабола.

Рассмотрим функцию y = ax 2 . Она также является квадратичной, просто b = c = 0.

При а = 1, мы получим функцию y = x 2 . Ее график назовем стандартной параболой, или классической (можешь называть как угодно). Начертить её можно с помощью таблицы значений:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9

На координатной плоскости отмечаем эти точки и чертим параболу.

Вершина этой параболы находится в точке (0; 0). И не забудь про то, что ветви параболы бесконечно поднимаются ввысь и не ограничены точками с координатами (3; 9) и (3; -9).

Еще одна стандартная парабола задается функцией y = —x 2 (в этом случае а = -1). Для этого графика я тоже напишу табличку:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9

Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:

Сразу напрашивается вывод: если перед х 2 стоит положительное число, то ветви параболы направлены вверх, если отрицательное — то вниз.

Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя “на ура”.

Параболы со смещенной вершиной.

Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x 2 + bx + c (обязательно коэффициент перед х 2 должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.

Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.

Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x1; y1). Тогда найти эти координаты можно по формулам:

Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.

Координату хО находим по той же формуле, а координату уО можно найти подстановкой координаты хО в функцию.

Без примера не обойтись)

Дана функция y = x 2 — 4x + 4. Найдите вершину параболы и постройте график.

Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.

1 способ: по формулам.

2 способ: подстановкой.

Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.

Итак, получили, что О(2; 0) — вершина параболы. Отмечаем ее на координатной плоскости.

Перед х 2 стоит положительное число, значит ветви параболы направлены вверх. Наша задача: нарисовать стандартную параболу, представив, что точка О — начало координат. Если тебе это сложно сделать, то необходимо начертить таблицу значений и уже по ней рисовать параболу.

Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.

Удивительно, но числовой коэффициент перед х 2 оказывается влияет на стройность и полноту парабол.

Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.

А если числовой коэффициент лежит в промежутке (-∞; -1) ∪ (1; +∞), то парабола будет прижиматься к оси Оу и занимать меньше места на плоскости.

Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:

К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.

Пусть вершиной первой параболы будет точка А(хА; уА), а вершиной второй параболы — точка B(хB; уB). Вершины буду находить по второму способу (см. выше).

Переходим к таблицам значений.

x 0 2 4 6 8
y 3 6 7 6 3
x -1,5 -1 -0,25 0 1
y -3 1 4,5 3 -3

Чертим обе параболы по получившимся координатам.

Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.

А ты заметил, что свободный член в уравнении функции — это точка пересечения графика с осью Оу? В обеих функциях свободный член равен 3 и графики пересекают ось Оу в точке с координатами (0; 3).

Практикум по параболам.

Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.

Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.

Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 ​+ bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Решение. Коэффициент а, стоящий перед х 2 , отвечает за направление ветвей параболы, а свободный член с — за пересечение графика с осью Оу.

А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.

Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.

В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.

Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 ​+ bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 3.

Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с < 0. Подходит вариант под номером 1.

В) Ветви направлены вниз, значит а < 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 2.

Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.

График В отличается от остальных тем, что его ветви направлены вниз. За направление ветвей отвечает коэффициент перед х 2 — он отрицательный. Отрицательный коэффициент только в функции под номером 3. Значит В-3.

Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)

Итак, рассматриваем график А и выбираем на нем точку с красивыми координатами (красивые значит не дробные). Мне нравится тут вершина. Ее координаты (4; -3). Даже не спрашивайте почему не прорисованы оси; эти задания взяты с сайта ФИПИ)

Теперь эти координаты подставляем в оставшиеся функции: вместо у подставляем -3, а вместо х подставляем 4.

Подставляем в первую функцию: -3 = 2 · 4 2 — 16 · 4 + 29; -3 = -3 — верно. Значит, А-1.

Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.

Очевидно, что В-2.

На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!

Подставляем в функцию А: 1 = (-4) 2 + 4 · (-4) + 1; 1 = 1 — верно. Значит, А-1.

Если ты считаешь, что чего-то не хватает или у тебя есть ещё задания из первой части, связанные с параболами, — напиши мне в VK)

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек
пересечения графика функции с осями координат.

При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:

График данной функции представлен на рисунке:

график функции y=x^2-2*x-5

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось

в двух точках, а ось

– в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции

с осью
. Сразу отметим, что в этих точках координата
. Поэтому для их поиска, нам нужно
решить уравнение:

Это
квадратное уравнение
имеет два корня:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс:

и
. Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью

эквивалентна задаче нахождения
нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата
. Поэтому для их поиска, просто подставляем значение

в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат
.

Точки пересечения графика осями

Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

С осью абсцисс график функции может иметь любое количество общих точек (или ни одной). С осью ординат — не более одной (так как по определению функции каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции).

Чтобы найти точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0 (то есть найти нули функции).

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат, надо в формулу функции вместо каждого x подставить нуль, то есть найти значение функции при x=0: y=f(0).

1) Найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.

В точке пересечения графика функции с осью Ox y=0:

kx+b=0, => x= -b/k. Таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке ( -b/k ; 0).

В точке пересечения с осью Oy x=0:

y=k∙0+b=b. Отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.

2x-10=0; x=5. С Ox график пересекается в точке (5; 0).

y=2∙0-10=-10. С Oy график пересекается в точке (0; -10).

2) Найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.

В точке пересечения графика с осью абсцисс y=0. Значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью Ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

В зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает Ox.

В точке пересечения графика с осью Oy x=0.

y=a ∙ 0²+b ∙ 0+c=с. Следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.

x1=4; x2=5. График пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).

y=0²-9∙0+20=20. Отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.

Пересечение с осями онлайн

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек пересечения графика функции с осями координат.

Найти точки пересечения функции с осями координат:

При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:

График данной функции представлен на рисунке:

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось в двух точках, а ось – в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции с осью . Сразу отметим, что в этих точках координата . Поэтому для их поиска, нам нужно решить уравнение:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс: и . Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью эквивалентна задаче нахождения нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата . Поэтому для их поиска, просто подставляем значение в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат .

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

Вы будете перенаправлены на Автор24

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac<1> <2>– 2 = – 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac<1><2>;- 2frac12)$.

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 – frac<1> <2>= frac<1><2>$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac<1><2>; frac<1><2>)$.

Третий способ

Готовые работы на аналогичную тему

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07.05.2021

[spoiler title=”источники:”]

http://mathforyou.net/online/calculus/intercepts/

http://spravochnick.ru/matematika/kak_nayti_koordinaty_tochek_peresecheniya_grafika_funkcii_primery_resheniya/

[/spoiler]

В предыдущем уроке мы подробно разобрали,
как построить параболу.
В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.


Как найти нули квадратичной функции

Запомните!
!

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно
в исходную функцию подставить вместо «y» число
ноль.

Рассмотрим задачу.

Найти нули квадратичной
функции «y = x2 − 3».

Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное
квадратное уравнение.

0 = x2 − 3
x2 − 3 = 0

x1;2 =

0 ±
02 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 = ±√3

Ответ: нули функции «y = x2 − 3» :
    

x1 = √3;
    

x2 = 3 .

Как найти при каких значениях
«x» квадратичная функция принимает заданное
числовое значение

Запомните!
!

Чтобы найти при каких значениях «x» квадратичная функция принимает заданное числовое значение,
нужно:

  • вместо «y» подставить в функцию заданное числовое значение;
  • решить полученное квадратное уравнение относительно «x».

Рассмотрим задачу.

При каких значениях «x» функция
«y = x2 − x − 3» принимает значение
«−3»
.

Подставим в исходную функцию
«y = x2 − x − 3» вместо «y = −3» и
найдем «x».

y = x2 − x − 3

−3 = x2 − x − 3
x2 − x − 3 = −3
x2 − x − 3 + 3 = 0
x2 − x = 0
x1;2 =

1 ±
12 − 4 · 1 · 0
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 1 x2 = 0

Ответ: при «x = 0» и
«x = 1» функция «y = x2 − x − 3»
принимает значение «y = −3».

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Запомните!
!

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

  • приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся «x»);
  • решить полученное уравнение относительно «x»;
  • подставить полученные числовые значения «x»
    в любую из функций и найти координаты точек по оси «Оy».

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x».

Приравняем правые части функций и решим
полученное уравнение относительно «x».

x2 = 3 − 2x
x2 − 3 + 2x = 0
x2 + 2x − 3 = 0

x1;2 =

−2 ±
22 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 1 x2 = −3

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в
«y = 3 − 2x») полученные
числовые значения «x», чтобы найти координаты
«y» точек пересечения.


1)   x = −3
y = 3 − 2x
y(−3) = 3 − 2 · (−3) = 3 − (−6) = 3 + 6 = 9
(·) A (−3; 9)
— первая точка пересечения.


2)   x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1)
— вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы
«y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (−3; 9) и
(·) B (1; 1).

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Запомните!
!

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка
    не принадлежит графику функции.

Рассмотрим задачу:

Не строя графика функции «y = x2», определить, какие точки принадлежат ему:
(·) А(2; 6),    
(·) B(−1; 1)
.

Подставим в функцию
«y = x2»

координаты точки (·) А(2; 6).


y = x2
6 = 22
6 = 4


(неверно)

Значит, точка (·) А(2; 6)
не принадлежит графику функции
«y = x2».

Подставим в функцию
«y = x2»

координаты точки (·) B(−1; 1).


y = x2
1 = (−)12
1 = 1


(верно)

Значит, точка (·) B(−1; 1)
принадлежит графику функции
«y = x2».


Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Рассмотрим задачу

Найти координаты точек пересечения параболы
«y = x2 −3x + 2» с осями координат
.

Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox».
На графике функции эти точки выглядят так:

точки пересечения с осью Ox

Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox»
равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в
исходную функцию «y = x2 −3x + 2»
и найдем их координаты по оси «Ox».

0 = x2 −3x + 2
x2 −3x + 2 = 0

x1;2 =

3 ±
32 − 4 · 1 · 2
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 2 x2 = 1

Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».

точки пересечения с осью Oy

Как видно на рисунке выше, координата «x»
точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.

Подставим «x = 0»
в исходную функцию
«y = x2 −3x + 2»
и найдем координату точки по оси
«Oy».

y(0) = 02 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).


Как определить при каких значениях x функция принимает
положительные или
отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает
значения» — речь идет о
значениях«y».
Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях
«x», координата
«y» положительна или отрицательна.

Запомните!
!

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

  • провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось «Ox»;
  • определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
  • записать ответ для каждого промежутка относительно «x».

Рассмотрим задачу.

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить:
При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.

положительные и отрицательные значения функциии

Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.

положительные и отрицательные значения функциии с доп. прямыми

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

положительные и отрицательные значения на графике

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает
«x» в каждой из выделенных областей.

положительные и отрицательные значения на графике c подписью относительно x

Ответ: при «x < −1» и
«x > 2» функция принимает отрицательные значения;
при «−1 < x < 2» функция принимает
положительные значения.


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:


Добавить комментарий