Как найти ориентированный объем

Ориентированные площади и объёмы

Ориентированная площадь параллелограмма

Ориентированной площадью параллелограмма, построенного на неколлинеарных векторах и , называется его площадь , взятая со знаком плюс, если ориентация пары векторов и правая , и со знаком минус, если ориентация — левая

Внешним (косым) произведением неколлинеарных векторов и на плоскости называется число, равное ориентированной площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Если векторы и коллинеарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается . Его свойства повторяют алгебраические свойства векторного произведения, т.е. для любых векторов на плоскости и любого числа справедливы равенства:

1) ;

2) ;

3) .

4) Если векторы и в правом ортонормированием базисе имеют координаты и соответственно, то внешнее произведение этих векторов находится по формуле

Если — координатные столбцы векторов в стандартном базисе на плоскости, то их внешнее произведение находится по формуле

Приведенные свойства внешнего произведения следуют из алгебраических свойств векторного произведения, если векторы на плоскости рассматривать как векторы в пространстве с нулевыми аппликатами.

Рассмотрим задачу разложения вектора по базису на плоскости. Отложим все векторы от произвольной точки . Сначала разберем случаи, когда векторы и коллинеарны: одинаково направлены (рис.1.49,а) или противоположно направлены (рис. 1.49,6). В этих случаях ордината вектора равна нулю, а абсцисса находится как отношение

при (рис.1.49,а)

при (рис.1.49,b)

так как пара в первом случае правая (рис.1.49,а), а во втором случае — левая (рис.1.49,б).

Пусть теперь векторы и не коллинеарны (рис.1.49,в). Построим проекции и на прямые, содержащие базисные векторы: . Из концов векторов и опустим перпендикуляры и соответственно на прямую, содержащую вектор . Учитывая, что векторы и противоположно направлены, а также подобие прямоугольных треугольников с гипотенузами и , находим абсциссу вектора :

так как пара — правая, а пара — левая. Аналогично находится ордината (векторы и одинаково направлены)

Таким образом, вектор имеет следующее разложение по базису на плоскости:

Рассмотрим применение формулы (1.19) для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Эту систему можно записать в виде .Рассматривая полученные столбцы как координатные столбцы векторов в стандартном базисе на плоскости, получаем разложение .

Таким образом, нахождение решения системы уравнений свелось к задаче разложения вектора по векторам и . Предполагая, что коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е. (векторы и не коллинеарны), по формуле (1.19), полагая , получаем:

что совпадает с правилом Крамера.

---

Ориентированный объем параллелепипеда

Ориентированным объемом параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах , называется его объем , взятый со знаком плюс, если ориентация тройки векторов правая и со знаком минус, если ориентация — левая .

Внешним (косым) произведением некомпланарных векторов называется число, равное ориентированному объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если векторы компланарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается .

Внешнее произведение трех векторов совпадает с их смешанным произведением (в силу первого геометрического свойства смешанного произведения), т.е. . В ортонормированием базисе

так как определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

При помощи ориентированных объемов задача разложения вектора по базису в пространстве решается так же как и на плоскости с использованием ориентированных площадей. В результате получаем

где

Формула (1.21) соответствует правилу Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

---

Пример 1.23. Заданы координатные столбцы

векторов в стандартном базисе. Разложить вектор по векторам .

Решение. По формуле (1.20) находим смешанные произведения

Коэффициенты разложения определяем по формуле (1.21):

Следовательно, .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Определение. Множество концов
векторов вида,
гдеипри
условии, что начала векторовисовпадают с концом вектора,
называетсяпараллелограммом, натянутым
на вектораи.

Аналогично, множество концов векторов
вида,
где,ипри условии, что начала векторов,исовпадают с концом вектора,
называетсяпараллелепипедом, натянутым
на вектора,и.

Определение. Ориентированная
площадь параллелограмма, натянутого
на вектораиесть
число (как положительное так и
отрицательное), причём модуль (абсолютная
величина этого числа) есть обычная
площадь параллелограмма. Знак этого
числа определяется сравнением ориентации
пары векторовис
ориентацией пары базисных векторовиплоскости векторови(для
простоты можно считать, чтоиобразуют декартов базис, то есть эти
вектора имеют единичную длину и взаимно
ортогональны (перпендикулярны)). Если
ориентация парыисовпадает с ориентацией парыи,
то ориентированная площадь положительна,
если не совпадают, то ориентированная
площадь отрицательна.

Аналогичноопределяется ориентированный
объём параллелепипеда, натянутого на
тройку векторов,и:
это есть число, модуль которого – обычный
объём этого параллелепипеда, а знак
числа определяется по совпадению
ориентаций тройки векторов,ис ориентацией тройки базисных векторов
пространства,и.

Определение. Грассманово произведениедвух векторов есть операция, обладающая
следующими свойствами.

1. Эта операция линейна относительно
   своих сомножителей:
   .

2. Эта
   операция антикоммутативна относительно
   своих сомножителей:

.
Следствие антикоммутативности:.

Нетрудно видеть, что ориентированная
площадь обладает свойствами грассманова
произведения. Свойство 1 может быть
проиллюстрировано рисунком.

Далее,
,
поскольку ориентация парыпротивоположна ориентации пары.

Рассмотрим грассманово произведение
двух векторов, разложенных по векторам
идекартова базиса:и.

Видно, что:

.

В данном случае использованы свойства
линейности и антикоммутативности
грассманова произведения и его следствие:

Отсюда видно, что
,
где– определитель второго порядка.
Рассматриваякак именованную ориентированную площадь,
а величинукак некоторую единицу измерения этой
площади, видим, что определитель как
отвлечённое число есть отношение
именованных площадей:.

Задача. Проверить формулу вычисления
определителя второго порядка
непосредственно на декартовой плоскости.

Решение вытекает из рисунка.

Именно:
.

Из изложенного выше вытекает, что разница
между определителем и грассмановым
произведением примерно такая же, как
между отвлечённым и именованным числом.
В данном случае грассманово произведение
играет роль единицы измерения. Само по
себе грассманово произведение не число
и не вектор, а некий объект, называемый
в литературе бивектором.

В пространстве (аналогично случаю
плоскости) можно также ввести грассманово
произведение трёхвекторов
(тривектор), обладающее свойствами
линейности и антикоммутативности по
каждой паре сомножителей. Аналогично
случаю плоскости, можно показать, что:. Иначе говоря, определитель третьего
порядка как отвлечённое число есть
отношение пропорциональных между собой
тривекторови.

Макеты страниц

Ориентированный объем тройки векторов

В. Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников

.Геометрическое определение вектора

.Алгебраические операции над направленными отрезками

..Сложение направленных отрезков

..Умножение направленных отрезков на число

..Параллельное проектирование вектора в пространстве

. Проекция точки на плоскость

. Проекция вектора на плоскость

..Ортогональная проекция вектора в пространстве

. Ортогональная проекция вектора на плоскость

. Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось

..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве

..Линейная зависимость векторов и размерность пространства

..Различные формы записи векторов

..Линейные операции над векторами в координатной форме

. Свойства скалярного умножения

. Скалярное умножение в декартовых координатах

..Некоторые примеры использования скалярного умножения

..Площадь параллелограмма, построенного на векторах

..Задачи на применение определителей

..Объем параллелепипеда, построенного на векторах

..Определитель третьего порядка и его свойства

..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат

.Ковариантные и контравариантные координаты вектора

..Индексная форма записи для выражений с определителями

..Свойства символов Веблена

..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах

.Линейный оператор и его матрица

.Доказательство теоремы об определителе

.Общие определения алгебраических операций с тензорами

.Примеры на применение тензоров в физике

..Задачи на тождественные преобразования

..Объем параллелепипеда, построенного на векторах

Вы когда-нибудь чистили лесную клубнику? Ягоды мелкие с одного боку красные, а с другого зеленоватые. От каждой ягоды нужно отщипнуть листочки. Работа нудная и утомительная. Постепенно руки становятся липкими и тяжелыми, листочки к ним пристают, что раздражает. Спина начинает ныть от длительного сидения. Но вот наконец-то ягоды заканчиваются и ты почти счастлив. В этот момент родители ставят на стол еще одну корзину, и все внутри обрывается. Ты, конечно же знал о ней, но в глубине души надеялся, что как-нибудь обойдется. Нет не обошлось, никуда не денешься, работу надо выполнять до конца.

Мы тоже выполним нашу работу до конца, хотя так и подмывает сказать, что в трехмерном случае все аналогично, и записать окончательные результаты. Мы бы так и поступили, если бы промежуточные результаты нас не интересовали, но они нас интересуют. Достаточно сказать, что впервые при выводе формулы для объема в центре нашего внимания появится понятие об ориентации пространства. А это понятие стоит того, чтобы остановиться на нем подробнее. Тем не менее мы постараемся всячески облегчить нашу работу, опуская многочисленные утомительные подробности, используя сходство с задачей о площадях.

Для начала рассмотрим наиболее простые частные случаи, когда векторы , и расположены вдоль координатных осей (рис. 33).

Рис. 33

Во всех этих случаях объем параллелепипеда, построенного на векторах, может быть вычислен по формуле: . Причем произведение должно быть взято со знаком плюс в тех случаях, когда векторы образуют правую тройку векторов; и со знаком минус, когда – левую. Это наблюдение позволяет, подобно тому, как мы это сделали для площади, ввести понятие ориентированного объема.

Ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах, образующих правую тройку, будем считать положительным, а объем, построенный на векторах, образующих левую тройку – отрицательным.

Ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , будем обозначать , в отличие от “обычного” объема .

Мы пока еще не рассмотрели все возможные варианты расположения векторов. Мы не рассмотрели случаев расположения вектора вдоль осей y и z . То же самое можно сказать и об остальных векторах. Всего таких случаев может быть 48. Ясно, что мы этого делать не будем. Вместо этого мы сразу перейдем к произвольному расположению векторов, получим общее выражение для ориентированного объема и проверим, на всякий случай, какой-нибудь частный вариант. Имея в своем распоряжении общую формулу, читатель может, при желании, проверить остальные варианты. В дальнейшем, когда мы познакомимся с теорией линейных преобразований, мы получим элегантный инструмент, который позволит решить все эти проблемы сразу.

Наши дальнейшие рассуждения будут опираться на простой геометрический факт: объем параллелепипеда не изменится, если любую его грань произвольно переместить в своей плоскости параллельно самой себе.

Рис. 34

Допустим, что мы переместили верхнюю грань параллелепипеда так, как это показано на рис. 31. Тогда вектор преобразуется в вектор . Вектор целиком лежит в плоскости верхней грани, следовательно, он параллелен нижней грани, в которой лежат векторы и . Но в этом случае он может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов: . Следовательно, при данной трансформации параллелепипеда, вектор преобразуется в вектор . Подобные преобразования параллелепипеда и соответствующие им преобразования тройки векторов, на которых он построен, будем называть элементарными или линейными преобразованиями. Для нас важно, что при любых линейных преобразованиях параллелепипеда и векторов, на которых он построен, объем параллелепипеда все время остается неизменным. Более того, линейные операции не изменяют и ориентацию, определяемую этой тройкой векторов. Следовательно, .

Теперь после всех этих замечаний перейдем непосредственно к нашей задаче.

Рис. 35

Пусть , и – некоторые некомпланарные векторы общего положения. Отложим их от начала координат. На рис. 35 сплошными линиями показан параллелепипед, построенный на этих векторах.

Теперь выполним следующие элементарные преобразования параллелепипеда, не приводящие к изменению объема и ориентации.

1. Переместим верхнюю грань параллелепипеда в своей плоскости параллельно самой себе таким образом, чтобы его ребро, совпадающее с вектором , совпало с осью z . Если верхняя грань не параллельна оси z , то такое преобразование возможно. Вектор при этом перейдет в вектор . Найдем его координаты.

.

Полученное равенство эквивалентно системе линейных уравнений:

,

решая которую, получаем:

, обозначив для краткости числитель стоящей в правой части дроби Δ, мы можем записать, что , где

.

Полученное выражение, как мы уже отметили, не имеет смысла, когда верхняя грань параллелепипеда параллельна оси z . В самом деле, знаменатель дроби, стоящей в правой части, по смыслу равен ориентированной площади параллелограмма, построенного на проекциях векторов , : (рис. 36).

Рис. 36

Если векторы и лежат в плоскости, параллельной оси z , то параллелограмм вырождается в прямую линию и его площадь, естественно, равна нулю. Отметим для себя этот частный случай, но не будем на нем задерживаться.

Продолжим преобразования в соответствии с рис. 35 (средний рисунок). В получившемся после первого преобразования параллелепипеде переместим правую грань таким образом, чтобы вектор преобразовался в вектор , параллельный оси y . Естественно, что такое преобразование возможно только в том случае, когда правая грань не параллельна оси y . Найдем координаты этого вектора.

.

Обозначив , перепишем матричное равенство в виде системы уравнений:

Решая эту систему, получаем:

и .

Если мы не рассматриваем случай, когда перемещаемая грань параллелепипеда параллельна оси y , то не может равняться нулю и решение имеет смысл.

Теперь выполним последнее преобразование: переместим переднюю грань образовавшегося после первых двух преобразований параллелепипеда таким образом, чтобы его ребро, совпадающее с вектором , совпало бы с осью x (рис. 35, справа). Это преобразование всегда возможно, если возможны первые два. Вектор при этом переходит в вектор

.

Даже не решая этого уравнения, можно сказать, что и, следовательно:

.

В результате преобразований мы получили параллелепипед, построенный на векторах , и , объем которого равен объему первоначального параллелепипеда общего положения. Расположение же векторов , и , по отношению к осям координат соответствует случаям, которые показаны на рис. 32. Это позволяет нам записать общее выражение для ориентированного объема:

или, что то же самое,

.

Данная формула получена нами для произвольного расположения векторов , и , за исключением тех некоторых случаев, которые мы отметили при ее выводе.

Можно ли подтвердить правильность формулы, если мы не можем провести первое преобразование по причине параллельности верхней грани параллелограмма оси z ? Никакая грань не может быть параллельна сразу всем осям координат. Пусть она не параллельна оси x . Тогда мы можем переместить эту грань таким образом, чтобы ребро параллелепипеда, совпадающее с вектором , совместилось с этой осью. Словом, мы всегда можем выполнить преобразования, аналогичные тем, которые мы провели. Разница только в том, что векторы , и в результате будут лежать не на тех осях. Пусть, например,

, и , тогда

или короче – . Но векторы , и образуют в этом случае левую тройку векторов, и, следовательно, формула верна. Конечно, это не исчерпывает всех возможных вариантов, но, как мы сказали уже об этом раньше, полное доказательство полученной формулы мы отложим до лучших времен.

..Определитель третьего порядка и его свойства

Выражение
называется определителем третьего порядка.

В общем случае понятие определителя вводится для квадратной матрицы в курсе линейной алгебры. Воспользовавшись принятыми в этой науке обозначениями, мы можем записать:

.

Для обозначения определителя, составленного из координат векторов, мы будем также использовать краткое обозначение .

Запишем формулу для вычисления объема с учетом этих обозначений.

.

На свойстве определителей мы подробно останавливались, когда говорили об определителях второго порядка. Все свойства, о которых мы тогда говорили, остаются в силе и для определителей третьего порядка. Тогда мы их насчитали одиннадцать. Но есть еще одно свойство, о котором мы не могли сказать раньше – двенадцатое.

Двенадцатое свойство определителя.

Для того, чтобы получить это свойство, преобразуем выражение

.

.

Поскольку выражения в скобках являются определителями второго порядка, мы имеем право записать:

.

Полученное выражение называется разложением определителя по первому столбцу. Аналогичное выражение может быть получено и для строки. Правило разложения определителя по столбцу является последним свойством, которое мы отметим. Данное свойство позволяет свести проблему вычисления определителя третьего порядка к проблеме вычисления определителя второго порядка. Вообще-то вычисление определителя второго и третьего порядка не вызывает особых трудностей. Здесь можно вспомнить два правила, которые придумал страсбургский профессор Фредерик Саррюс: правило треугольников и правило приписывания столбцов. Значение данного свойства в том, что оно позволяет вычислять, а при желании, и формально ввести в его помощью определители более высоких порядков. Например, определитель четвертого порядка может быть введен так:

.

Мы еще раз выражаем надежду, что читатель знаком с теорией определителей по курсу линейной алгебры, потому что мы не можем больше останавливаться на этом предмете.

Осталось сделать замечание, аналогичное тому, что мы сделали, когда речь шла об ориентированной площади. Если мы поменяем местами любые два базисных вектора или изменим направление одного из них на противоположное, то и знак определителя

изменится.

Следовательно, изменится знак ориентированного объема, поскольку .

Выходит, формула для вычисления объема дает его значение по отношению к базисной системе векторов – в левом базисе, в частности, объем параллелепипеда построенного на правой тройке векторов будет отрицательным.

Ориентированные площади и объёмы

Ориентированная площадь параллелограмма

Ориентированной площадью параллелограмма , построенного на неколлинеарных векторах и , называется его площадь , взятая со знаком плюс, если ориентация пары векторов и правая , и со знаком минус, если ориентация — левая

Внешним (косым) произведением неколлинеарных векторов и на плоскости называется число, равное ориентированной площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Если векторы и коллинеарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается . Его свойства повторяют алгебраические свойства векторного произведения, т.е. для любых векторов на плоскости и любого числа справедливы равенства:

4) Если векторы и в правом ортонормированием базисе имеют координаты и соответственно, то внешнее произведение этих векторов находится по формуле

Если — координатные столбцы векторов в стандартном базисе на плоскости, то их внешнее произведение находится по формуле

Приведенные свойства внешнего произведения следуют из алгебраических свойств векторного произведения, если векторы на плоскости рассматривать как векторы в пространстве с нулевыми аппликатами.

Рассмотрим задачу разложения вектора по базису на плоскости. Отложим все векторы от произвольной точки . Сначала разберем случаи, когда векторы и коллинеарны: одинаково направлены (рис.1.49,а) или противоположно направлены (рис. 1.49,6). В этих случаях ордината вектора равна нулю, а абсцисса находится как отношение

так как пара в первом случае правая (рис.1.49,а), а во втором случае — левая (рис.1.49,б).

Пусть теперь векторы и не коллинеарны (рис.1.49,в). Построим проекции и на прямые, содержащие базисные векторы: . Из концов векторов и опустим перпендикуляры и соответственно на прямую, содержащую вектор . Учитывая, что векторы и противоположно направлены, а также подобие прямоугольных треугольников с гипотенузами и , находим абсциссу вектора :

так как пара — правая, а пара — левая. Аналогично находится ордината (векторы и одинаково направлены)

Таким образом, вектор имеет следующее разложение по базису на плоскости:

Рассмотрим применение формулы (1.19) для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Эту систему можно записать в виде .Рассматривая полученные столбцы как координатные столбцы векторов в стандартном базисе на плоскости, получаем разложение .

Таким образом, нахождение решения системы уравнений свелось к задаче разложения вектора по векторам и . Предполагая, что коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е. (векторы и не коллинеарны), по формуле (1.19), полагая , получаем:

Ориентированный объем параллелепипеда

Ориентированным объемом параллелепипеда , построенного на некомпланарных векторах , называется его объем , взятый со знаком плюс, если ориентация тройки векторов правая и со знаком минус, если ориентация — левая .

Внешним (косым) произведением некомпланарных векторов называется число, равное ориентированному объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если векторы компланарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается .

Внешнее произведение трех векторов совпадает с их смешанным произведением (в силу первого геометрического свойства смешанного произведения), т.е. . В ортонормированием базисе

так как определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

При помощи ориентированных объемов задача разложения вектора по базису в пространстве решается так же как и на плоскости с использованием ориентированных площадей. В результате получаем

Формула (1.21) соответствует правилу Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1.23. Заданы координатные столбцы

векторов в стандартном базисе. Разложить вектор по векторам .

Решение. По формуле (1.20) находим смешанные произведения

Коэффициенты разложения определяем по формуле (1.21):

Ориентированный объем

Ориентированный объем

• Ориентированный объем. Введение в евклидову ориентацию В пространстве En так называемая аффинная система координат nat, определенный как набор неподвижных точек O Ордината @, 0, …, 0) и база ei, B2, …, ep любые координаты.

• Точка M из Ep в этом случае определяется как базовая координата. Vector OM all e2, …, en. В En рассмотрим систему с n-векторным номером х, х, …, х (8,57) Рассмотрим все возможные векторы ОМ, определенные как Шени Ями 12 OM = axx + a2x + … + apx, (8,58) 0 ^ oti ^ 1.

r- для всех возможных отисов, которые удовлетворяют неравенству = 1, 2, …, с. Людмила Фирмаль

• Множество всех точек М En, определяемых как Решение (8.58), образующее так называемый n-мерный параллелепипед С Ep, который охватывает вектор (8.57). Направленный объем V (x, x, …, x) этого параллелепипеда Вызываемый номер 1.2 n Y (x, x, …, x) = cili2 … inxilxi2 … xin. (8,59) Кроме того, Ci1i2 … in — это координаты базового дискриминантного тензора.

1 2 р Все ei, e2, …, en и x11, xr 0), отрицательный для левого основания (V Людмила Фирмаль

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=orientirovannye-ploshchadi-i-obemy

http://lfirmal.com/orientirovannyy-obem/

[/spoiler]

Public user contributions licensed under
cc-wiki license with attribution required