Как найти оригиналы соответствующие изображению

Рассмотрим
простейшие приемы нахождения оригинала
по известному изображению. Один из них
основан на использовании таблицы
изображений, которая в этом случае
рассматривается в обратном порядке, и
правил операционного исчисления. В
первую очередь это относится к теореме
смещения, интегрированию и дифференцированию
изображения и изображению свертки
функций.

Пример
12.
Найти оригинал f(t),
если
.

Решение.
Исходным можно взять соответствие

.

Операции
смещения на а
в области изображений соответствует
операция домножения на

в области оригиналов. Поэтому при а=1
имеем

.

Операции
домножения на

в области изображений соответствует
запаздывание на =2
в области оригиналов. Следовательно,

Пример
13.
Найти оригинал изображения
.

Решение.
Выделим в знаменателе полный квадрат

.

Воспользуемся
равенством
,
а также теоремой смещения. В результате
получим
.

Пример
14.
Найти оригинал, соответствующий
изображению
.

Решение.
Можно поступить так: за исходное взять
соотношение
.

Затем
воспользуемся тем, что делению на р
в области изображений соответствует
операция интегрирования в области
оригиналов:

.

Это же свойство
применим повторно:

.

Заметим,
что оригинал указанного изображения
проще можно было бы найти, если разложить
его на простейшие дроби:

.

Согласно
свойству линейности имеем

.

Пример
15.
Найти оригинал изображения

.

Решение.
Представим изображение в виде

.

Произведению
изображений

и

соответствует свертка их оригиналов

и
.
Поэтому

.

Для
этого изображения оригинал можно найти
проще, если воспользоваться тем, что
операции дифференцирования в области
изображений соответствует операция
домножения на (-t)

в области оригиналов. Поэтому

.

Очень
часто при решении практических задач
возникает необходимость нахождения
оригиналов изображений, которые
представляются в виде дробно рациональной
функции

,

в
которой старшая степень числителя
меньше старшей степени знаменателя
переменной р.

При
нахождении оригинала такой дроби
разлагают ее на сумму простых дробей с
помощью метода неопределенных
коэффициентов, известного из интегрального
исчисления. Затем находят оригиналы
для каждой простой дроби.

Пример
16
.
Найти оригинал, соответствующий
изображению

.

Решение.
Разложим данную дробь на сумму простейших
дробей. Для этого, прежде всего, найдем
корни знаменателя, решив уравнение
.
Проверкой убеждаемся, что

один из его корней. Разделим кубический
многочлен

на двучлен р+1.
В частном получим
.
Дискриминант этого трехчлена –
отрицательный, на действительные
множители он не разлагается. Разложение
данного изображения на простейшие дроби
имеет вид:

.

Отсюда

.

Полагая
в этом равенстве
,
находим
.
Затем приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях р:

,
.

Таким
образом,
.

В
знаменателе второй дроби выделим полный
квадрат, а в числителе – двучлен
:

.

Используя
свойство линейности , переходим в область
оригиналов. Получим

.

Заметим,
что в данном случае, прежде чем приступать
к разложению изображения на простейшие
дроби, было бы полезно воспользоваться
теоремой смещения. Для этого в исходном
изображении выделим двучлен
:

.

Тогда

.

Разложение
полученного изображения на простейшие
дроби проще, чем исходного:

;
; ; .

Оригиналом
будет функция

или
.

Задача
нахождения оригиналов, соответствующих
дробно-рациональным изображениям
упрощается, если воспользоваться
следующей краткой таблицей (табл. 3).

Таблица 3 –
Изображение – оригинал

Изображение

Оригинал

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

11

0

Продолжение табл.
3

1

2

3

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Преобразование Лапласа и его свойства

Основные определения

1. Оригинал — это комплекснозначная функция f(t) действительного аргумента t, которая удовлетворяет следующим условиям:

а) f(t)=0 при t<0;

б) на любом конечном отрезке [a;b]in[0;+infty) функция f(t) имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода;

в) f(t)f(t) имеет ограниченный рост, т.е. возрастает не быстрее показательной функции: существуют такие постоянные M>0 и sigmageqslant0, что |f(t)|<M,e^{sigma t} при t>0.

Замечания 5.1

1. Величина sigma_0=infsigma называется показателем роста функции f(t). Для любой ограниченной функции, являющейся оригиналом, можно принять sigma_0=0.

2. Обозначим f(+0)= limlimits_{tto+0} f(t),~ f(+infty)= limlimits_{tto+infty} f(t), если пределы существуют и конечны.

3. Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов.

4. В точке t_0 разрыва первого рода функция имеет конечные односторонние пределы: limlimits_{tto t_0+0} f(t),~ limlimits_{tto t_0-0} f(t).

Пример 5.1

2. Изображение функции f(t) — функция F(p) комплексного переменного p, определяемая равенством

F(p)= intlimits_{0}^{+infty} e^{-pt}f(t),dt,.

(5.1)

Область существования этой функции определяется областью сходимости интеграла Лапласа, стоящего в правой части равенства (5.1). Исследование интeгpaлa позволяет определить эту область и установить свойства функции F(p). Имеет место следующее утверждение.

Утверждение 5.1. Если функция f(t), является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно в области operatorname{Re}p=sigma> sigma_0 (рис. 5.1) , где sigma_0 — показатель роста оригинала. Внутри этой области, т.е. на любом замкнутом подмножестве operatorname{Re}p=sigma geqslant a>sigma_0, интеграл сходится равномерно и определяет аналитическую функцию F(p).

Рис. 5.1.

Замечания 5.2

1. Утверждение 5.1 аналогично свойствам степенных рядов, сходящихся в круге и равномерно сходящихся внутри этого круга, где сумма ряда является аналитической функцией.

2. Свойство аналитичности изображения имеет важное значение в теории и практике применения преобразования Лапласа, так как позволяет использовать в пространстве изображений методы теории аналитических функций, в частности разложения функций в ряды и теорию вычетов.

3. Совокупность всех изображений F(p) называется пространством изображений.

4. Переход, определяющий изображение F(p) по оригиналу f(t), называется преобразованием Лапласа:

F(p)= Lbigl[f(t)bigr]= intlimits_{0}^{+infty} e^{-pt}f(t),dt,.

(5.2)

Запись F(p)=L[f(t)] означает, что оригиналу f(t) соответствует изображение F(p).

5. Оригинал по изображению находится с помощью обратного преобразования Лапласа по формуле обращения

f(t)=L^{-1}bigl[F(p)bigr]= frac{1}{2pi i} intlimits_{sigma-iinfty}^{sigma+iinfty} e^{pt}F(p),dp,,

(5.3)

где путь интегрирования — любая прямая operatorname{Re}p=sigma, параллельная мнимой оси и лежащая правее прямой operatorname{Re}p=sigma_0 (рис. 5.1).

Непосредственное применение формулы обращения часто затруднительно. Поэтому на практике пользуются методами, изложенными ранее.

Замечания 5.3

1. Для преобразования Лапласа используются различные обозначения, на пример f(t)risingdotseq F(p) и F(p)fallingdotseq f(t), что означает: оригиналу f(t) соответствует изображение F(p) и изображению F(p) соответствует оригинал f(t). В некоторых учебниках вместо аргумента p применяется s, то есть F(s)=L[f(t)] и L^{-1}[F(s)]=f(t).

2. Для компактной записи оригиналов используется единичная ступенчатая функция boldsymbol{1}(t-tau)colon

boldsymbol{1}(t-tau)= begin{cases}1,& t>tau,\ 0,& t leqslant tau,end{cases}

(5.4)

Рис. 5.2.

где tau — точка приложения (рис. 5.2). Так как во многих практических задачах аргумент t имеет смысл текущего времени, то tau также называется моментом приложения единичной ступенчатой функции. В системах автоматического регулирования и управления функция boldsymbol{1}(t-tau) рассматривается как типовой входной сигнал.

При tau=0 функция boldsymbol{1}(t-tau) является функцией Хевисайда:

boldsymbol{1}(t)= begin{cases}1,& t>0,\ 0,& t leqslant 0.end{cases}

(5.5)

Тогда, если функция f(t) удовлетворяет условиям “б”, “в” в определении оригинала (п. 1), но не удовлетворяет условию “а”, то функция f(t)cdot boldsymbol{1}(t) будет оригиналом, так как

f(t)cdotboldsymbol{1}(t)= begin{cases}f(t),& t>0,\ 0,& tleqslant0. end{cases}

Далее под заданной с помощью аналитической формулы функцией f(t), там, где это не вызывает недоразумений, будем понимать произведение этой функции на функцию Хевисайда, а множитель boldsymbol{1}(t) опускать.

3. Функции F(p), являющиеся изображениями, удовлетворяют необходимому условию: если F(p) есть изображение, то F(p)to0 при operatorname{Re}p=sigmato+infty. Поэтому функции F_1(p)=1,~ F_2(p)=p,~ F_3(p)=sin p,~ F_4(p)= frac{p}{p-1} не являются изображениями. Однако в практических задачах функции типа F_1(p)=1,~ F_2(p)=p и другие встречаются. Это требует расширения понятий оригинала и изображения.

Класс оригиналов можно расширить, включив в него функции, которые могут быть не ограничены в окрестности некоторых конечных точек, но такие, что интеграл Лапласа от них, тем не менее, сходится абсолютно в некоторой полуплоскости operatorname{Re}p>sigma_0. К числу таких обобщенных оригиналов относятся степенная функция f(t)=t^{mu} при mu>-1,~ln t и некоторые другие.

4. Во всякой точке t_0, являющейся точкой разрыва функции f(t), правая часть формулы (5.3) равна frac{1}{2}bigl[f(t_0-0)+f(t_0+0)bigr].

Примеры 5.2-5.3

Пример 5.2. Найти изображение единичной функции Хевисайда f(t)= boldsymbol{1}(t).

Решение. Так как функция boldsymbol{1}(t) ограничена, то в качестве показателя роста можно положить sigma_0=0. По формуле (5.2) имеем

F(p)= L[boldsymbol{1}(t)]= intlimits_{0}^{+infty} boldsymbol{1}(t) e^{-pt},dt=left.{-frac{1}{p},e^{-pt}}right|_{0}^{+infty}= frac{1}{p},.

так как из равенства |e^{-pt}|= e^{operatorname{Re}(-pt)}= e^{-t operatorname{Re}p}= e^{-sigma t} следует, что limlimits_{tto+infty} e^{-pt}=0 при operatorname{Re}p= sigma>sigma_0=0.

Пример 5.3. Найти изображение функции f(t)=e^{at}, где a — действительное число.

Решение. Показателем роста можно считать sigma_0=a. По формуле (5.2)

F(p)= intlimits_{0}^{+infty} e^{at}e^{-pt},dt= intlimits_{0}^{+infty} e^{(a-p)t},dt= left.{frac{e^{(a-p)t}}{a-p}}right|_{0}^{+infty}=-frac{1}{a-p}=frac{1}{p-a},.

так как из равенства |e^{(a-p)t}|= e^{-t(operatorname{Re}p-a)}= e^{-t(sigma-a)} следует, что limlimits_{tto+infty} e^{(a-p)t}=0 при operatorname{Re}p=sigma>a.


Свойства преобразования Лапласа

Будем предполагать, что рассматриваемые далее функции f(t),f_1(t),ldots,f_n(t) являются оригиналами. Соответствующие им изображения (при operatorname{Re}p> sigma_i,~ i=0,1,ldots,n) обозначим F(p),F_1(p),ldots,F_n(p).

1. Линейность. Если f_1(t),ldots,f_n(t) — оригиналы, то для любых комплексных чисел c_i,~ i=1,2,ldots,n, функция textstyle{f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} c_kf_k(t)} также является оригиналом и справедливо равенство textstyle{L!left[ sumlimits_{k=1}^{n} c_kf_k(t)right]= sumlimits_{k=1}^{n}c_k L[f_k(t)]}

L bigl[c_1f_1(t)+ldots+ c_nf_n(t)bigr]= c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p),quad operatorname{Re}p>max{sigma_1,ldots,sigma_n}.

(5.6)

Заметим, что для функции textstyle{f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} c_kf_k(t)} существенно, что все слагаемыс являются оригиналами, так как, например, функция f(t)=frac{e^{t}-1}{t} является оригиналом, а слагаемые f_1(t)=frac{e^t}{t} и f_2(t)=-frac{1}{t} не являются.

Справедливо и обратное утверждение: если F_1(p),ldots,F_n(p) — изображения, то

L^{-1} bigl[c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p)bigr]= c_1f_1(t)+ldots+ c_nf_n(t).

Здесь также важно, что слагаемые функции c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p) являются изображениями, поскольку из того, что F(p)= c_1F_1(p)+ldots+ c_nF_n(p) — изображение, не следует, что F_1(p)+ldots+ F_n(p) — изображения. Например, функция F(p)= ln frac{p-1}{p} является изображением, а слагаемые F_1(p)= ln(p-1) и F_2(p)=-ln p не являются.

Примеры 5.4-5.5

Пример 5.4. Найти изображение функции f(t)=3+2e^{-t}.

Решение. Из примера 5.2 имеем L[boldsymbol{1}(t)]= frac{1}{p}, а из примера 5.3 при a=-1 имеем L[e^{-t}]= frac{1}{p+1}. Тогда согласно свойству линейности для оригинала f(t)=3cdotboldsymbol{1}(t)+2cdot e^{-t} получаем F(p)= 3cdot frac{1}{p}+2cdot frac{1}{p+1}.

Пример 5.5. Найти изображение функции f(t)=cos t.

Решение. Используя формулу Эйлера (2.11), получаем f(t)=cos t=frac{e^{it}+e^{-it}}{2}= frac{1}{2},e^{it}+frac{1}{2},e^{-it}.

Из примера 5.3 при a=i и a=-i следует: L[e^{it}]= frac{1}{p-i},,~ L[e^{-it}]=frac{1}{p+i}. Тогда по свойству линейности

L[cos t]= frac{1}{2}L[e^{it}]+frac{1}{2}L[e^{-it}]= frac{1}{2}cdot frac{1}{p-i}+ frac{1}{2}cdot frac{1}{p+i}= frac{p+i+p-i}{2(p^2+1)}= frac{p}{p^2+1},.

2. Подобие (теорема подобия). Для любого a>0 из F(p)=L[f(t)] следует

L bigl[f(at)bigr]= frac{1}{a},F! left(frac{p}{a}right)!,quad operatorname{Re}p>asigma_0,

(5.7)

и обратно: L^{-1} bigl[F(ap)bigr]= frac{1}{a},f! left(frac{t}{a}right).

Пример 5.6

Найти изображение функции f(t)=cos at.

Решение. Из примера 5.5 следует, что L[cos t]= frac{p}{p^2+1}. Тогда по теореме подобия

L[cos at]= frac{1}{a}cdot frac{p!!not{phantom{|}},a}{(p!!not{phantom{|}}, a)^2+1}= frac{p}{p^2+a^2},.

3. Смещение (теорема смещения). При любом комплексном a из F(p)= L[f(t)] следует

L bigl[e^{at}f(t)bigr]= F(p-a),quad operatorname{Re}(p-a)>sigma_0,

(5.8)

то есть умножению оригинала на e^{at} соответствует смещение изображения на a.

Пример 5.7

Найти изображение функции f(t)=e^{at}cos bt.

Решение. Из примера 5.6 следует L[cos bt]=frac{p}{p^2+a^2}. Тогда по теореме смещения L[e^{at}cos bt]= frac{p-a}{(p-a)^2+b^2}.


Рис. 5.3.

Запаздывание оригинала

4. Запаздывание (теорема запаздывания). Для любого tau>0 из F(p)=L[f(t)] следует

Lbigl[f(t-tau)bigr]= e^{-ptau}cdot F(p),quad operatorname{Re}p>sigma_0,

(5.9)

где f(t-tau)=f(t-tau)cdot boldsymbol{1}(t-tau) (рис. 5.3), т.е. запаздыванию оригинала на tau>0 соответствует умножение изображения на e^{-ptau}.

Примеры 5.8-5.10

Пример 5.8. Найти изображение функции f(t)=cos(t-3)cdot boldsymbol{1}(t-3)= cos(t-3).

Решение. В примере 5.5 получено L[cos t]=frac{p}{p^2+1}. По теореме запаздывания при tau=3 имеем L[cos(t-3)]= frac{e^{-3p}cdot p}{p^2+1}.

Пример 5.9. Найти оригиналы по изображениям: a) F(p)=frac{(p-1)e^{-4p}}{(p-1)^2+4}; б) F(p)=frac{e^{-p}}{p^2}.

а) Из примера 5.7 следует, что при a=1,~b=2 изображению frac{p-1}{(p-1)^2+4} соответствует оригинал e^tcos2t. Тогда по теореме запаздывания при tau=4 имеем

f(t)= L^{-1}[F(p)]= e^{t-4}cos(t-4)cdot boldsymbol{1}(t-4).

б) По формуле 3 из табл. 5.1 L^{-1}!left[frac{1}{p^2}right]=t.По теореме запаздывания при tau=1 получаем f(t)=L^{-1}[F(p)]= (t-1)cdot boldsymbol{1} (t-1). Заметим, что для похожего, но отличного от полученного, оригинала f(t)=t-1 (его можно записать в виде (t-1)cdot boldsymbol{1}(t)) изображение имеет вид F(p)=frac{1}{p^2}-frac{1}{p}ne frac{e^{-p}}{p^2}.

рис. 5.4.

Пример 5.10. Найти изображение функции delta_h(t)= begin{cases}frac{1}{h},& 0<tleqslant h,\ 0,& t<0,,t>h,end{cases}, график которой представлен на рис. 5.4.

С учетом (5.4) представим функцию delta_h(t) в виде delta_h(t)= frac{boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-h)}{h}.

Из примера 5.2 имеем L[boldsymbol{1}(t)]=frac{1}{p}. Применяя свойства линейности и запаздывания, получаем

Lbigl[delta_h(t)bigr]= frac{1}{h}Lbigl[boldsymbol{1}(t)bigr]-frac{1}{h}Lbigl[boldsymbol{1}(t-h)bigr]= frac{1}{h}cdot frac{1}{p}-frac{1}{h}cdot frac{1}{p},e^{-ph}= frac{1-e^{-ph}}{ph},.

Заметим, что, находя предел при hto0 в последнем выражении, можно получить изображение δ-функции delta(t)= limlimits_{hto0} delta_h(t)colon

Lbigl[delta(t)bigr]= limlimits_{hto0} frac{1-e^{-ph}}{ph}= limlimits_{hto0} frac{p,e^{-ph}}{p}=1.

Замечание 5.4. Дельта-функция часто встречается в инженерных приложениях как идеализация импульса конечной длительности. В теории автоматического регулирования и управления δ-функция вместе с единичной ступенчатой являются типовыми входными воздействиями.

Очевидно, изображение дельта-функции не удовлетворяет необходимому условию (п.2 замечаний 5.3). Этот факт свидетельствует о практическом требовании расширения понятия оригинала. Дельта-функция относится к обобщенным функциям и задается соотношением

intlimits_{a}^{b} f(t)delta(t-tau),dt= begin{cases}f(tau+0),& a leqslant tau<b,\ 0,& tau<a,, taugeqslant b.end{cases}

(5.10)


Дифференцирование оригинала

5. Если функции f(t),f'(t),ldots,f^{(n)}(t) являются оригиналами и F(p)=L[f(t)], то

begin{aligned}& L[f'(t)]= pF(p)-f(+0),\ & L[f''(t)]= p^2F(p)-pf(+0)-f'(+0),\ & quadvdots\ & L[f^{(n)}(t)]= p^nF(p)-p^{n-1}f(+0)-ldots-f^{(n-1)}(+0), end{aligned}

(5.11)

где f^{i}(+0)= limlimits_{tto+0} f^{(i)}(t),~ i=0,1,2,ldots,n-1.

Примеры 5.11-5.12

Пример 5.11. Найти изображение f'(t), если f(t)=e^{-t}cos3t.

Решение. Из примера 5.7 следует, что при a=-1,~b=3 имеем L[e^{-t}cos3t]= frac{p+1}{(p+1)^2+9}.

Найдем f(+0)=limlimits_{tto+0}e^{-t}cos3t=1. Согласно (5.11) L[f'(t)]= pcdot frac{p+1}{(p+1)^2+9}-1.

Пример 5.12. Найти изображение выражения x''+3x'+2x+1 с начальными условиями x(+0)=1,~x'(+0)=4.

Решение. Пусть X(p)=L[x(t)], тогда L[x'(t)]= pX(p)-1;~ L[x''(t)]= p^2X(p)-pcdot1-4. В примере 5.2 получено L[boldsymbol{1}(t)]=1!!not{phantom{|}},p. Используя свойство линейности, имеем

begin{aligned}L[x''+3x'+2x+1]&= L[x'']+3L[x']+2L[x]+L[1]=\ &=p^2X(p)-p-4+3pX(p)-3+2X(p)+frac{1}{p}=\ &=(p^2+3p+2)X(p)-p-7+frac{1}{p},.end{aligned}

Интегрирование оригинала

Если функция f(t) является оригиналом и F(p)=L[f(t)], то

textstyle{L! left[intlimits_{0}^{t} f(tau),dtauright]= dfrac{F(p)}{p},quad operatorname{Re}p>sigma_0,}

(5.12)

т.е. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на p.

Пример 5.13

Найти изображение интеграла textstyle{intlimits_{0}^{t} f(tau),dtau} от функции f(t)=cos t.

Решение. Из примера 5.6 следует, что L[cos t]=frac{p}{p^2+1}=F(p). Тогда

LBiggl[intlimits_{0}^{t} costau,dtauBiggr]= L[sin t]= frac{p}{p(p^2+1)}= frac{1}{p^2+1}, то есть L[sin t]= frac{1}{p^2+1}.


Дифференцирование изображения

Если функция f(t) является оригиналом и F(p)=L[f(t)]. то

Lbigl[(-1)^nt^nf(t)bigr]= F^{(n)}(p).

(5.13)

Примеры 5.14-5.15


Интегрирование изображения

Если функция frac{f(t)}{t} является оригиналом, то из F(p)=L[f(t)] следует

L! left[frac{f(t)}{t}right]= intlimits_{p}^{infty} F(z),dz,.

(5.14)

Пример 5.16

Найти изображение функции frac{sin t}{t}.

Решение. Функция frac{sin t}{t} является оригиналом, так как left|frac{sin t}{t}right|<1 (условие “в”) и точка t=0 является точкой разрыва первого рода (условие “б”). Из примера 5.13 следует L[sin t]=frac{1}{p^2+1}=F(p).

Отсюда L! left[frac{sin t}{t}right]= intlimits_{p}^{+infty} frac{dz}{z^2+1}= Bigl.{operatorname{arctg}z}Bigr|_{p}^{+infty}=frac{pi}{2}-operatorname{arctg}p..


Умножение изображений (теорема Бореля)

Из F_1(p)=L[f_1(t)] и F_2(p)=L[f_2(t)] следует

Lbigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]= F_1(p)cdot F_2(p),

(5.15)

т.е. свертке оригиналов соответствует произведение изображений. Функция f_1(t)ast f_2(t) определяется формулой

f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t} f_1(tau)f_2(t-tau),dtau= intlimits_{0}^{t} f_1(t-tau)f_2(tau),dtau

(5.16)

и называется сверткой оригиналов f_1(t) и f_2(t).

Пример 5.17

Найти оригинал, соответствующий изображению F(p)= frac{p}{(p^2+1)^2}.

Решение. Представим F(p) в виде произведения изображений: F(p)= F_1(p)cdot F_2(p)= frac{1}{p^2+2}cdot frac{p}{p^2+1}.

Из примеров 5.6 и 5.13 следует f_1(t)=L^{-1}! left[frac{1}{p^2+2}right]=sin t,~ f_2(t)=L^{-1}! left[frac{p}{p^2+2}right]=cos t.

Согласно (5.15),(5.16) получаем искомый оригинал:

begin{aligned}L^{-1}! left[frac{p}{(p^2+1)^2}right]&= f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t} sintaucos(t-tau),tau= frac{1}{2} intlimits_{0}^{t} bigl[sin t+sin(2tau-t)bigr]dtau=\ &=left.{frac{1}{2}! left(sin tcdottau-frac{1}{2}cos(2tau-t)right) }right|_{0}^{t}= frac{1}{2}! left(tsin t-frac{1}{2}cos t+frac{1}{2}cos(-t)right)= frac{t}{2}sin t.end{aligned}


Дифференцирование свертки (интеграл Дюамеля)

10. Согласно свойствам 9 и 5 найдем преобразование Лапласа от производной свертки двух функций:

Lleft{bigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]'right}= pF_1(p)cdot F_2(p).

С другой стороны,

bigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]'= frac{d}{dt} intlimits_{0}^{t} f_1(tau) f_2(t-tau),dtau= f_2(0)f_1(t)+ intlimits_{0}^{t} f'_2(tau) f_1(t-tau),dtau

или, применяя правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, имеем

bigl[f_1(t)ast f_2(t)bigr]'= frac{d}{dt} intlimits_{0}^{t} f_1(t-tau)f_2(tau),dtau= f_1(0)f_2(t)+intlimits_{0}^{t} f'_1(tau)f_2(t-tau),dtau,.

Здесь при дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, применялась формула Лейбница, которая для общего случая имеет вид

frac{d}{dlambda} intlimits_{u(lambda)}^{v(lambda)}f(x,lambda),dx= f bigl(v(lambda),lambdabigr)frac{dv}{dlambda}-f bigl(u(lambda),lambdabigr)frac{du}{dlambda}+ intlimits_{u(lambda)}^{v(lambda)} frac{partial}{partiallambda}f(x,lambda),dx,.

Объединяя полученные результаты, можно записать:

begin{aligned}L^{-1} bigl[pF_1(p)F_2(p)bigr]&= f_1(0)f_2(0)+ f'_1ast f_2= f_2(0)f_1(t)+ f'_2ast f_1=\ &=f_1(0)f_2(0)+ intlimits_{0}^{t}f'_1(tau)f_2(t-tau),dtau= f_2(0)f_1(t)+ intlimits_{0}^{t} f'_2(tau) f_1(t-tau),dtau,.end{aligned}

(5.17)

Формула (5.17) называется интегралом Дюамеля. Интеграл Дюамеля применяется для решения дифференциальных уравнений.

Пример 5.18

Найти оригиналы, соответствующие изображениям: a) F(p)= frac{p}{(p-1)(p-2)}; б) F(p)= frac{p^3}{(p^2+1)(p^2+4)}.

Решение. а) Заметим, что здесь нельзя непосредственно воспользоваться теоре мой Бореля, так как в произведении F(p)=frac{p}{p-1}cdot frac{1}{p-2} множитель F_1(p)= frac{p}{p-1} не является изображением (не выполняется необходимое условие).

Представим изображение в виде произведения F(p)=pcdotfrac{1}{p-1}cdot frac{1}{p-2}. Из примера 5.3 вытекает

f_1(t)=L^{-1}bigl[F_1(p)bigr]= L^{-1}!left[frac{1}{p-1}right]= e^t;qquad f_2(t)= L^{-1} bigl[F_2(p)bigr]= L^{-1}! left[frac{1}{p-2}right]=e^{2t}.

Тогда по формуле (5.17) имеем

L^{-1} bigl[F(p)bigr]= f_1(0)f_2(t)+ f'_1ast f_2= 1cdot e^{2t}+ intlimits_{0}^{t} e^{tau}cdot e^{2(t-tau)},dtau= e^{2t}+ e^{2t} intlimits_{0}^{t} e^{-tau},dtau=-e^{t}+2e^{2t}.

Можно решить этот пример с помощью теоремы Бореля, представив изображение в виде

F(p)= frac{p}{(p-1)(p-2)}= frac{p-1+1}{(p-1)(p-2)}= frac{1}{p-2}+ frac{1}{p-1}cdot frac{1}{p-2},.

Тогда, используя свойство линейности и теорему Бореля, получаем

L^{-1}bigl[F(p)bigr]= e^{2t}+e^{t}ast e^{2t}= e^{2t}+ intlimits_{0}^{t} e^{2tau}cdot e^{t-tau},dtau= e^{2t}+ e^{t} intlimits_{0}^{t} e^{tau},dtau= e^{2t}+e^{t}(e^{t}-1)= 2e^{2t}-e^{t}.

б) Представим изображение в виде произведения:

F(p)= frac{p^3}{(p^2+1)(p^2+4)}= pcdot frac{p}{p^2+1}cdot frac{p}{p^2+1}= pcdot F_1(p)cdot F_2(p).

Из примера 5.6 при a=1 и a=2 следует

L^{-1}! left[frac{p}{p^2+1}right]=cos t=f_1(t),qquad L^{-1}! left[frac{p}{p^2+ 4}right]= cos2t= f_2(t).

Тогда по формуле (5.17) получаем

begin{aligned}f(t)&= L^{-1} bigl[F(p)bigr]= f_1(0)f_2(t)+ f'_1ast f_2= cos2t-intlimits_{0}^{t} sintaucos[2(t-tau)],dtau=\ &=cos2t-frac{1}{2} intlimits_{0}^{t} bigl[sin(3tau-2t)+sin(2t-tau)bigr]dtau=\ &=cos2t+ left.{frac{1}{6}cos(3tau-2t)}right|_{0}^{t}-left.{frac{1}{2} cos(2t-tau)}right|_{0}^{t}= frac{4}{3}cos2t-frac{1}{3}cos t,.end{aligned}


Теорема о связи “начальных” и “конечных” значений оригинала и изображения

Начальное значение оригинала находится по формуле

f(+0)= limlimits_{ptoinfty} pF(p).

(5.18)

Если существует конечный предел limlimits_{tto+infty} f(t)= f(+infty), то

f(+infty)= limlimits_{pto0} pF(p).

(5.19)

Из соотношений (5.18),(5.19) следует, что для нахождения начальных и конечных значений оригинала не требуется знания оригинала, а достаточно иметь соответствующее изображение. На практике соотношение (5.19) применяется, например, для нахождения установившегося значения выходного сигнала в системах автоматического регулирования.

Пример 5.19

Найти начальное и конечное значения оригинала, которому соответствует изображение F(p)= frac{p+1}{(p+1)^2+9}.

Решение. Согласно (5.18) и (5.19) имеем

f(+0)= limlimits_{ptoinfty} frac{p(p+1)}{(p+1)^2+9}=1;qquad f(+infty)= limlimits_{pto0} frac{p(p+1)}{(p+1)^2+9}=0.

С другой стороны, из примера 5.7 следует, что

f(t)= L^{-1}! left[frac{p+1}{(p+1)^2+9}right]=e^{-t}cos3t,,

поэтому легко убедиться в правильности полученного результата.

Полученные решения примеров 5.2–5.17 позволяют сформировать таблицу преобразования Лапласа. Табл. 5.1 является фрагментом более полных таблиц, используемых далее при решении примеров и задач.


Нахождение изображения по оригиналу

Для нахождения изображения требуется применить свойства преобразования Лапласа Так, чтобы к функции или ее составляющим можно было применить результаты, содержащиеся в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Таблица основных преобразований Лапласа

Посмотреть

Пример 5.21

Найти изображения функций:

a) f(t)=t,e^{2t}sin3t; б) f(t)=frac{2}{t}(1-cos t);

в) f(t)=begin{cases}cos[4(t-2)],&t>3,\ 0,&t leqslant 2;end{cases}; г) f(t)= begin{cases}e^{-3t}cos[4(t-2)],& t>2,\ 0,& t leqslant 2;end{cases};

д) f(t)= frac{1}{2}(t-2)^2e^{-(t-2)}boldsymbol{1}(t-2); е) f(t)= e^{2t}+ boldsymbol{1}(t-1)+ boldsymbol{1}(t-4)sin[3(t-4)];

ж) intlimits_{0}^{t} frac{operatorname{sh}tau}{tau},dtau; з) f(t)= cos(4t-8).

Решение

а) Согласно формуле 12 из табл. 5.1 L bigl[e^{2t}sin3tbigr]= frac{3}{(p-2)^2+9}. По свойству дифференцирования изображения (формула (5.13) при n=1):

L bigl[(-1)tf(t)bigr]=F'(p) или L bigl[tf(t)bigr]=-F'(p).

Поэтому Lbigl[t,e^{2t}sin3tbigr]=-left[frac{3}{(p-2)^2+9}right]'=-frac{-2(p-2)cdot3}{bigl[(p-2)^2+9bigr]^2}= frac{6(p-2)}{bigl[(p-2)^2+9bigr]^2}.

Можно решать иначе, используя формулу 10 из табл. 5.1 при а = 3 и свойство смещения при a=2colon

L bigl[tsin3tbigr]= frac{6p}{(p^2+9)^2} и L bigl[t,e^{2t}sin3tbigr]= frac{6(p-2)}{bigl[(p-2)^2+9bigr]^2}.

б) Применим свойства линейности и интегрирования изображения. Так как L[1-cos t]=frac{1}{p}-frac{p}{p^2+1} в силу формул 1 и 9 из табл. 5.1 , то согласно (5.14)

L! left[frac{2}{t}(1-cos t)right]= 2 intlimits_{p}^{+infty}! left(frac{1}{z}-frac{z}{z^2+1}right)!dz= ldots= lnfrac{p^2+1}{p^2},.

в) По формуле 9 из табл. 5.1 L[cos4t]= frac{p}{p^2+16}. Функцию fit) можно записать, используя единичную ступенчатую функцию: f(t)= cos[4(t-2)]cdot boldsymbol{1}(t-2). Поэтому для нахождения изображения следует применить теорему запаздывания (5.9) к оригиналу cos4t при tau=2colon

L bigl[cos[4(t-2)]bigr]= e^{-2p}cdot frac{p}{p^2+16},.

г) Согласно теореме смещения (5.8) и с учетом результата п. “в” имеем

L bigl[e^{-3t}cos[4(t-2)]bigr]= e^{-2(p+3)}cdot frac{p+3}{(p+3)^2+16}, так как a=-3.

д) По теореме запаздывания (5.9) при tau=2 и по формуле 7 из табл. 5.1 при a=2,~ b=-1 получаем

L! left[frac{1}{2}(t-2)^2e^{-(t-2)} boldsymbol{1}(t-2)right]= e^{-2p}cdot L! left[frac{1}{2},t^2e^{-t}right]= e^{-2p}cdot frac{1}{2}cdot frac{2!}{(p+1)^3}= frac{e^{-2p}}{(p+1)^3},.

е) Используя свойства линейности, запаздывания и формулы 6,1,8 из табл. 5.1, получаем

F(p)= frac{1}{p-2}+ frac{1}{p},e^{-p}+ e^{-4p}cdot frac{3}{p^2+9},.

ж) По формуле 19 из табл. 5.1 находим L[operatorname{sh}t]=frac{1}{p^2-1}. По свойству интегрирования изображения (формула (5.14)):

L! left[frac{operatorname{sh}t}{t}right]= intlimits_{p}^{+infty} frac{dz}{z^2-1}= left.{frac{1}{2}ln frac{z-1}{z+1}}right|_{p}^{+infty}= ldots=-frac{1}{2} ln frac{p-1}{p+1}= frac{1}{2}ln frac{p+1}{p-1},.

По свойству интегрирования оригинала (5.12): L Biggl[intlimits_{0}^{t} frac{operatorname{sh}tau}{tau},dtauBiggr]= frac{1}{2p}ln frac{p+1}{p-1}.

з) Используем формулу косинуса разности и запишем оригинал в виде суммы:

f(t)= cos(4t-8)= cos4tcos8+sin4tsin8

По свойству линейности получаем:

L bigl[cos(4t-8)bigr]= cos8cdot frac{p}{p^2+16}+ sin8cdot frac{4}{p^2+16}= frac{pcos8+4sin8}{p^2+16},.

Заметим, что здесь f(t)=f(t)cdot boldsymbol{1}(t) и результаты пп. “в” и “з” различны так как оригиналами являются разные функции.


Нахождение изображений функций, заданных графиком

При решении прикладных задач оригинал часто задан графиком. Это может быть, например, входной сигнал, действующий на систему автоматической регулирования. В этом случае рекомендуется сначала записать аналитическое выражение оригинала с помощью единичной ступенчатой функции (5.4), привести полученное выражение к виду, удобному для применения табл. 5.1 и свойстве преобразования Лапласа.

Пример 5.22

Найти изображения функций, заданных графиками на рис. 5.5.

Решение.

рис. 5.5.

а) Представим функцию в виде f(t)=(1-t)cdot boldsymbol{1}(t-1)=-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1).

По формуле 3 из табл.5.1 и теореме запаздывания (формула (5.9) при tau=1)

F(p)=-frac{1}{p^2}cdot e^{-p}.

б) Запишем функцию в виде f(t)=(1-t) bigl[boldsymbol{1}(t)+boldsymbol{1}(t-1)bigr]=(1-t)cdot boldsymbol{1}(t)+ (t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1).

По формулам 1,3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) имеем F(p)=frac{1}{p}-frac{1}{p^2}+frac{e^{-p}}{p^2}.

в) Запишем изображенную функцию в виде f(t)=-tcdot boldsymbol{1}(t-1)= (-t+1-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)=-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1).

По формулам 1,3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) имеем F(p)=-frac{e^{-p}}{p^2}-frac{e^{-p}}{p}.

г) Представим функцию в виде

begin{aligned}f(t)&= (t-1)cdot bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]+ (3-t)cdot bigl[boldsymbol{1}(t-2)-boldsymbol{1}(t-3)bigr]=\ &=(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-2(t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2)+ (t-3)cdot boldsymbol{1}(t-3). end{aligned}

По формулам 3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) имеем F(p)= frac{e^{-p}}{p^2}-frac{2e^{-2p}}{p^2}+frac{e^{-3p}}{p^2}.

д) Запишем функцию в форме

begin{aligned}f(t)&= t bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]+ bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]+ (3-t)cdot bigl[boldsymbol{1}(t-2)-boldsymbol{1}(t-3)bigr]=\[2pt] &=tcdotboldsymbol{1}(t)-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1)+boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2),+\ &quad+(2-t)cdot boldsymbol{1}(t-2)+ boldsymbol{1}(t-2)-(3-t)cdot boldsymbol{1}(t-3)=\[2pt] &=tcdot boldsymbol{1}(t)-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-(t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2)+ (t-3)cdot boldsymbol{1}(t-3). end{aligned}

По формулам З из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) F(p)=frac{1}{p^2}-frac{e^{-p}}{p^2}-frac{e^{-2p}}{p^2}+frac{e^{-3p}}{p^2}.

е) Представим изображенную функцию в виде

begin{aligned}f(t)&= (1-t) bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]-1cdot bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]+ (t-3)cdot boldsymbol{1}(t-2)=\[2pt] &=(1-t)cdotboldsymbol{1}(t)+ (t-1)cdotboldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1)+ boldsymbol{1}(t-2)+ (t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2)-boldsymbol{1}(t-2)=\[2pt] &=(1-t)cdotboldsymbol{1}(t)+ (t-1)cdotboldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1)+ (t-2)cdot boldsymbol{1}(t-2).end{aligned}

По формулам 1,3 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9) F(p)=frac{1}{p}-frac{1}{p^2}+frac{1}{p^2},e^{-p}-frac{1}{p},e^{-p}+frac{1}{p^2},e^{-2p}.

ж) Запишем функцию в форме f(t)= sin tcdot bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-pi)bigr]= sin tcdotboldsymbol{1}(t)+ sin(t-pi)cdot boldsymbol{1}(t-pi).

По формуле 8 из табл. 5.1 и по теореме запаздывания F(p)= frac{1}{p^2+1}+ frac{e^{pi p}}{p^2+1}.

з) Представим функцию в виде f(t)= e^{-t} bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]= e^{-t}cdotboldsymbol{1}(t)-frac{e^{-(t-1)}}{e}cdot boldsymbol{1}(t-1)..

По формуле 6 из табл. 5.1 при a=-1 и (5.9) при tau=1 имеем

F(p)= frac{1}{p+1}-frac{1}{e}cdot frac{e^{-p}}{p+1}= frac{1}{p+1}bigl(1-e^{-p-1}bigr).

и) Представим функцию в виде f(t)=1cdot bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]-1cdot bigl[boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-2)bigr]= boldsymbol{1}(t)-2cdot boldsymbol{1}(t-1)+boldsymbol{1}(t-2)..

Используя формулы 2 из табл. 5.1 и (5.6), (5.9), получаем F(p)=frac{1}{p}-frac{2}{p}e^{-p}+ frac{1}{p},e^{-2p}.


Нахождение изображений периодических функций

Во многих приложениях используются оригиналы, являющиеся периодическими функциями.

Пусть f(t) — оригинал с периодом T (рис. 5.6,в), образованный повторением функции f_0(t) (рис. 5.6,б):

f_0(t)= begin{cases}0,& tleqslant 0,\ f(t),& 0<tleqslant T,\ 0,& t>T.end{cases}рис. 5.6,

Для нахождения изображения F(p) периодической функции f(t) следует:
1. Найти изображение функции f_0(t)colon, F_0(p)=Lbigl[f_0(t)bigr].
2. Найти изображение F(p) по формуле

F(p)= frac{F_0(p)}{1-e^{-Tp}}

(5.20)

Пример 5.23.

Найти изображения функций, представленных на рис. 5.7.
Решение

рис. 5.7.

а) По графику (рис. 5.7,в) получаем

f_0(t)= tcdot bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-1)bigr]= 1cdot boldsymbol{1}(t)-(t-1)cdot boldsymbol{1}(t-1)-boldsymbol{1}(t-1).

Поэтому F_0(p)= frac{1}{p^2}-frac{1}{p^2},e^{-p}-frac{1}{p},e^{-p}.

Поскольку T=1, по формуле (5.20) находим

F(p)= frac{dfrac{1}{p^2}(1-e^{-p}-pe^{-p})}{1-e^{-p}}= frac{e^p(1-e^{-p}-pe^{-p})}{p^2(e^p-1)}= frac{e^p-1-p}{p^2(e^p-1)},.

б) По графику (рис. 5.7,б) имеем f_0(t)= boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-tau), тогда F_0(p)=frac{1}{p}-frac{1}{p},e^{-ptau}. По формуле (5.20) при T=2tau имеем

F(p)= frac{1}{p}(1-e^{-ptau})frac{1}{1-e^{-2tau p}}= frac{1}{p(1+e^{-ptau})},.

в) Функция, изображенная на рис. 5.7,в , имеет период T=2c. Запишем аналитическое выражение для f_0(t) и соответствующее изображение F_0(p)colon

begin{aligned}&f_0(t)= h bigl[boldsymbol{1}(t)-boldsymbol{1}(t-c)bigr]-h bigl[boldsymbol{1}(t-c)-boldsymbol{1}(t-2c)bigr]= hcdotboldsymbol{1}(t)-2hcdot boldsymbol{1}(t-c)+hcdot boldsymbol{1}(t-2c),\ &F_0(p)= frac{h}{p}-frac{2h}{p},e^{-pc}+frac{h}{p},e^{-2pc}.end{aligned}

По формуле (5.20) получаем F(p)=frac{h(1+e^{-2pc}-2e^{-pc})}{p(1-e^{2pc})}.

г) Для функции, изображенной на рис. 5.7,г, изображением для f_0(t) является F_0(p)= frac{1}{p^2+1}(1+e^{-pi p}) (см. пример 5.22 п.”ж”). Тогда по формуле (5.20) при T=pi получаем F(p)= frac{1+e^{-pi p}}{(p^2+1)(1-e^{-pi p})}.


Нахождение оригинала по изображению

Непосредственное применение формулы обращения (5.3) затруднительно, поэтому для нахождения оригинала применяются теоремы разложения и правила преобразования изображения к виду, представленному в табл. 5.1.

Применение теорем разложения

Теорема 5.1 (первая теорема разложения). Если функция F(p) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд по степеням frac{1}{p} имеет вид textstyle{F(p)= sumlimits_{n=0}^{infty} dfrac{a_n}{p^{n+1}}}, то функция (5.21) является оригиналом, соответствующим изображению F(p).

f(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} a_n frac{t^n}{n!},quad tgeqslant0

(5.21)

Теорема 5.2 (вторая теорема разложения). Если изображение F(p) является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек p_1,p_2,ldots,p_n лежащих в конечной части плоскости, то

f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} bigl[e^{pt}F(p)bigr].

(5.22)

Замечания 5.5

1. Формула (5.21) может быть записана в виде textstyle{L^{-1}! left[sumlimits_{n=0}^{infty} dfrac{a_n}{p^{n+1}}right]= sumlimits_{n=0}^{infty}a_nL^{-1}! left[dfrac{1}{p^{n+1}}right]}. Задача нахождения оригинала при выполнении условий теоремы сводится к нахождению коэффициентов разложения функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

2. Формула (5.22) принимает наиболее простой вид в случае F(p)=R(p) — рационального изображения, т.е. F(p)= R(p)= frac{P_m(p)}{Q_n(p)}, где P_m(p),,Q_n(p) — многочлены степеней /пил соответственно, не имеющие общих корней. Если все полюсы p_1,p_2,ldots,p_n функции F(p) простые, то по формуле (4.24) получаем mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}= frac{P_m(p_k)}{Q'_n(p_k)},e^{p_kt}, а формула (5.22) принимает вид

f(t)= sumlimits_{k=1}^{n} frac{P_m(p_k)}{Q'_n(p_k)},e^{p_kt}.

(5.23)

3. Если при выполнении условий п.2 коэффициенты многочлена Q_n(p) — лействительные числа, то его комплексные корни, как известно, являются по парно сопряженными. Нахождение суммы вычетов в таких точках можно заме нить нахождением действительной части вычета в одной из них. Действительио, вычет в точке overline{p}_k, используя свойства сопряженных чисел, можно записать следующим образом:

mathop{operatorname{res}}limits_{p=overline{p}_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}= frac{P_m(overline{p}_k)}{Q'_n(overline{p}_k)},e^{overline{p}_kt}= frac{overline{P_m(p_k)}}{overline{Q'_n(p_k)}},e^{overline{p_kt}}= overline{frac{P_m(p_k)}{Q'_n(p_k)},e^{p_kt}}.

Это означает, что вычет в точке overline{p}_k есть число, сопряженное вычету в точке p_k, а сумма таких чисел равна их удвоенной действительной части:

mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=overline{p}_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}= 2 operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} frac{P_m(p)}{Q_n(p)},e^{pt}.

Пример 5.24

Найти оригиналы для функций:

a) F_1(p)=frac{1}{p}exp frac{1}{p^2},quad F_2(p)=frac{1}{p}cos frac{1}{p},quad F_2(p)= frac{1}{sqrt{p}}sin frac{1}{sqrt{p}};

б) F_1(p)=frac{p}{p^2+4p+5},quad F_2(p)=frac{p+2}{(p+1)(p-2)(p^2+4)},quad F_3(p)=frac{p^2+p+1}{(p-1)(p+1)^2}.

Решение. В случае “а” для решения задачи используем теорему 5.1, а в случае “б” — теорему 5.2.

а) Используем типовые разложения

e^z=sumlimits_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!},qquad cos z=sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!},qquad sin z=sumlimits_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!},.

Для заданных изображений получаем:

begin{aligned}F_1(p)&= frac{1}{p} sumlimits_{n=0}^{infty} frac{1}{p^{2n}n!}= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{1}{p^{2n+1}n!},quad a_{2n}=frac{1}{n!},;\[2pt] F_2(p)&= frac{1}{p} sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{p^{2n}(2n)!}= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{p^{2n+1}(2n)!},quad a_{2n}= frac{(-1)^n}{(2n)!},;\[2pt] F_3(p)&= frac{1}{sqrt{p}} sumlimits_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{sqrt{p^{2n+1}}(2n+1)!}= sumlimits_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{(2n+1)!p^{n+1}},quad a_n= frac{(-1)^n}{(2n+1)!},.end{aligned}

Согласно первой теореме разложения

f_1(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{1}{n!}frac{t^{2n}}{(2n)!},,qquad f_2(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nt^{2n}}{[(2n)!]^2},,qquad f_3(t)= sumlimits_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nt^n}{(2n+1)!n!},.

б) Представим F_1(p) в виде

F_1(p)= frac{p}{p^2+4p+5}= frac{P_1(p)}{Q_2(p)}= frac{p}{bigl[p-(-2+i)bigr] bigl[p-(-2-i)bigr]},.

где p_1=-2+i,~ p_2=-2-i — простые полюсы функции F(p). По второй теореме разложения

begin{aligned}f_1(t)&= sumlimits_{k=1}^{2}frac{P_1(p_k)}{Q'_2(p_k)},e^{p_kt}= sumlimits_{k=1}^{2} frac{p_k}{2p_k+4},e^{p_kt}= frac{-2+i}{-4+2i+4},e^{(-2+i)t}+ frac{-2-i}{-4-2i+4},e^{(-2-i)t}=\ &=e^{-2t}! left(frac{-2+i}{2i},e^{it}+frac{2+i}{2i},e^{-it}right)= e^{-2t}! left(frac{e^{it}+e^{-it}}{2}-2cdotfrac{e^{it}-e^{-it}}{2i}right)= e^{-2t} bigl[cos t-2sin tbigr]. end{aligned}

Тот же результат можно получить, пользуясь пп. 2 и 3 замечаний 5.5:

begin{aligned}f_1(t)&= 2 operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=-2+i} frac{p,e^{pt}}{p^2+4p+5}= left.{2 operatorname{Re} frac{p,e^{pt}}{2p+4}}right|_{-2+i}= 2 operatorname{Re} frac{-2+i}{2i},e^{(-2+i)t}=\ &=2 operatorname{Re}! left[e^{-2t}, frac{1+2i}{2},e^{it}right]= operatorname{Re} bigl[e^{-2t}(1+2i)(cos t+isin t)bigr]= e^{-2t}(cos t-2sin t). end{aligned}

Функция F_2(p) имеет четыре простых полюса: p_1=-1,~ p_2=2,~ p_3=2i.

Так как вычет в простом полюсе находится по формуле mathop{operatorname{res}}limits_{p=p_k} F(p)= limlimits_{pto p_k} F(p)(p-p_k), то по второй теореме разложения

begin{aligned}f_2(t)&= sumlimits_{k=1}^{4} mathop{operatorname{res}}limits_{p_k} bigl[F(p)e^{pt}bigr]= limlimits_{pto-1} frac{(p+2)e^{pt}}{(p-2)(p^2+4)}+ limlimits_{pto2} frac{(p+2)e^{pt}}{(p+1)(p^2+4)},+\ &qquad + limlimits_{pto2i} frac{(p+2)e^{pt}}{(p-1)(p+1)(p+2i)}+ limlimits_{pto-2i} frac{(p+2)e^{pt}}{(p-1)(p+1)(p-2i)}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}+frac{2+2i}{8-24i},e^{2it}+ frac{2-2i}{8+24i},e^{-t}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}+frac{-32+64i}{640},e^{2it}+ frac{-32-64i}{640},e^{-t}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}-frac{64}{640}cdot frac{e^{2it}+e^{-2it}}{2}-frac{128}{640}cdot frac{e^{2it}-e^{-2it}}{2i}=\[2pt] &=-frac{1}{15},e^{-t}+ frac{1}{6},e^{2t}-frac{1}{10}cos2t-frac{1}{5}sin2t,.end{aligned}

Функция F_3(p) имеет два полюса: простой p_1=1 и полюс второго порядка p_2=-1.

По второй теореме разложения f_3(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p_1=1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p_2=-1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}. Находим вычеты

begin{aligned}mathop{operatorname{res}}limits_{p_1=1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}&= limlimits_{pto1} frac{(p^2+p+1)(p-1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}= limlimits_{pto1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p+1)^2}= frac{3}{4},e^{t},\[2pt] mathop{operatorname{res}}limits_{p_2=-1} frac{(p^2+p+1)e^{pt}}{(p-1)(p+1)^2}&= limlimits_{pto-1} frac{d}{dp}! left[frac{(p^2+p+1)e^{pt}(p+1)^2}{(p-1)(p+1)^2}right]= ldots= frac{1}{4},e^{-t}-frac{t}{2},e^{-t}, end{aligned}

получаем окончательный ответ f_3(t)= frac{3}{4},e^{t}+frac{1}{4},e^{-t}-frac{t}{2},e^{-t}.


Применение таблицы и свойств преобразования Лапласа

Приведем ряд известных приемов нахождения оригинала.

1. Если изображение отличается от табличного на постоянный множитель, то его следует умножить и одновременно поделить на этот множитель, а затем воспользоваться свойством линейности.

Пример 5.25

2. Изображение, заданное в виде дроби frac{apm b}{c}, разлагается на сумму дробей.

Пример 5.26

Найти оригинал для функций: а) F(p)= frac{3p}{(p+5)^2}; б) F(p)= frac{3p-2}{(p+5)^2}; в) F(p)= frac{p^3+2p+2}{p^3(p+1)}.

Решение. Представим дроби в виде суммы двух слагаемых, а затем воспользуемся свойством линейности и формулами из табл. 5.1:

а) F(p)= frac{3(p+5)-15}{(p+5)^2}= 3cdotfrac{1}{p+5}-15cdot frac{1}{(p+5)^2}quad Rightarrowquad f(t)=3e^{-5t}-15te^{-5t};

б) F(p)= 3cdot frac{p}{(p+5)^2}-frac{2}{1!}cdot frac{1!}{(p+5)^2}quad Rightarrowquad f(t)= 3(1-5t)e^{-5t}-2te^{-5t}= e^{-5t}(3-17t).

в) представим F(p) в виде F(p)= frac{p^3+2p+2}{p^3(p+1)}= frac{p^3+2(p+ 1)}{p^3(p+1)}= frac{2}{p^3}+ frac{1}{p+1}. По формулам 4,6 из табл. 5.1 находим f(t)= t^2+e^{-t}.

3. Если знаменатель дроби содержит квадратный трехчлен, то в нем выде ляется полный квадрат: ap^2+bp+c= a(ppmalpha)^2pmomega^2. При этом числитель дроби представляется в виде многочлена от (ppmalpha).

Пример 5.27

Найти оригиналы для функций: a) F(p)=frac{3}{p^2+4p+7}; б) F(p)= frac{3p+2}{2p^2-8p+6}.

Решение. а) Выделим полный квадрат в знаменателе дроби и воспользуемся табл. 5.1 (по формуле 12 из табл. 5.1 при a=-2,~ b=sqrt{3}):

F(p)= frac{3}{(p+2)^2-4+7}= frac{3}{(p+2)^2+3}= sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{(p+2)^2+(sqrt{3})^2}quad Rightarrowquad f(t)=sqrt{3},e^{-2t}sin(t sqrt{3}).

б) Используем представление

F(p)= frac{3p+2}{2(p^2-4p+3)}= frac{1,!5p+1}{(p-2)^2-1}= frac{1,!5(p-2)+3}{(p-2)^2-1}+ frac{1}{(p-2)^2-1}= 1,!5cdotfrac{p-2}{(p-2)^2-1}+4cdot frac{1}{(p-2)^2-1},.

По формулам 19,20 из табл. 5.1 и по теореме смещения (формула (5.8))

f(t)=frac{3}{2},e^{2t}operatorname{ch}t+ 4e^{2t}operatorname{sh}t= frac{3}{2},e^{2t},frac{e^t+e^{-t}}{2}+ 4e^{2t},frac{e^t-e^{-t}}{2}= frac{11}{4},e^{3t}-frac{5}{4},e^{t}.

Можно решить эту задачу иначе, используя вторую теорему разложения (см. п. “б” примера 5.24):

begin{gathered}F(p)= frac{3p+2}{2(p^2-4p+3)}= frac{3p+2}{2(p-1)(p-3)}\ Downarrow\ f(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p=1} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=3} F(p)e^{pt}= frac{5e^t}{2cdot(-2)}+ frac{11e^{3t}}{2cdot2}= frac{11}{4},e^{3t}-frac{5}{4},e^{t}.end{gathered}

4. Если оригинал представляет собой правильную рациональную дробь, то следует разложить ее на простейшие дроби и для каждой из полученных дробей найти оригинал.

Примеры 5.28-5.29

Пример 5.28. Найти оригиналы для функций:

а) F(p)=frac{3p^2+3p-13}{p(p^4+4p+13)}; б) F(p)=frac{p}{(p+2)^2(p-1)}; в) F(p)=frac{p^2+4}{(p-1)(p+2)(p-3)}; г) F(p)=frac{3p}{2p^2-2p-4}.

Решение. а) Представим F(p) в виде F(p)=frac{3p^2+3p-13}{p(p^4+4p+13)} = frac{A}{p}+ frac{Bp+C}{p^2+4p+13}, где A,,B,,C — неопределенные коэффициенты.

Отсюда следует равенство 3p^2+3p-13= Ap^2+4Ap+13A+Bp^2+Cp.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p, получаем систему уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов:

begin{cases}A+B=3,\ 4A+C=3,\ 13A=-13.end{cases} Решая ее, получаем A=-1,~B=4,~C=7 и

F(p)=-frac{1}{p}+frac{4p+7}{p^2+4p+13}=-frac{1}{p}+ frac{4(p+2)-1}{(p+2)^2+9}=-frac{1}{p}+4cdot frac{p+2}{(p+2)^2+3^2}-frac{1}{3}cdot frac{3}{(p+2)^2+3^2},.

По формулам 1,12,13 из табл. 5.1 f(t)=-1+4e^{-2t}cos3t-frac{1}{3},e^{-2t}sin3t.

б) Представим F(p) в виде F(p)= frac{p}{(p+2)^2(p-1)}= frac{A}{p-1}+ frac{B}{p+2}+ frac{C}{(p+2)^2}, где A,,B,,C — неопределенные коэффициенты.

Отсюда A(p+2)^2+ B(p-1)(p+2)+ C(p-1)=p.

Подставляя последовательно p=1,~p=-2,~ p=0, получаем A=frac{1}{9},~ B=frac{2}{3},~ C=-frac{1}{9} и поэтому

F(p)=frac{1}{9}cdot frac{1}{p-1}-frac{1}{9}cdot frac{1}{p+2}+ frac{2}{3}cdot frac{1}{(p+2)^2},.

По формулам 6,7 из табл. 5.1 находим frac{1}{9},e^{t}-frac{1}{9},e^{-2t}+ frac{2}{3},t,e^{-2t}..

в) Представим изображение в виде F(p)=frac{p^2+4}{(p-1)(p+2)(p-3)}= frac{A}{p-1}+ frac{B}{p+2}+ frac{C}{p-3}. Отсюда

A(p+2)(p-3)+ B(p-1)(p-3)+ C(p-1)(p+2)= p^2+4.

При p=1,~p=-2,~p=3 получаем A=-frac{5}{6},~ B=frac{8}{15},~ C=frac{13}{10}, поэтому

F(p)=-frac{5}{6}cdot frac{1}{p-1}+ frac{8}{15}cdot frac{1}{p+2}+ frac{13}{10}cdot frac{1}{p-3},.

По свойству линейности и по формуле 6 из табл. 5.1 получаем

f(t)=-frac{5}{6},e^{t}+ frac{8}{15},e^{-2t}+ frac{13}{10},e^{3t}.

Можно решить эту задачу иначе, используя вторую теорему разложения (см. п. “б” примера 5.24):

begin{gathered}F(p)= frac{p^2+4}{(p-1)(p+2)(p-3)}\ Downarrow\ begin{aligned}f(t)&= mathop{operatorname{res}}limits_{p=1} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=-2} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=3} F(p)e^{pt}=\ &= frac{5e^t}{3cdot(-2)}+ frac{8e^{-2t}}{(-3)cdot(-5)}+ frac{13e^{3t}}{2cdot5}=-frac{5}{6},e^t+ frac{8}{15},e^{-2t}+ frac{13}{10},e^{3t}.end{aligned}end{gathered}

г) Представим F(p) в виде F(p)= frac{3p}{2p^2-2p-4}= frac{3p}{2(p-2)(p+1)}= frac{A}{p-2}+ frac{B}{p+1}, где A,,B — неопределенные коэффициенты.

Из равенства A(p+1)+B(p-2)=frac{3p}{2} при p=-1,~p=2 получаем A=1,~ B=frac{1}{2}, поэтому F(p)=frac{1}{p-2}+ frac{1}{2}cdot frac{1}{p+1}.

По формуле 6 из табл. 5.1 имеем f(t)=e^{2t}+frac{1}{2},e^{-t}.

Можно также решить эту задачу иначе, используя вторую теорему разложения (см. п. “б” примера 5.24 и п. “в” данного примера):

begin{gathered}F(p)= frac{3p}{2(p^2-p-2)}= frac{3p}{2(p+1)(p-2)}\ Downarrow\ f(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p=-1} F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=2} F(p)e^{pt}= frac{-3e^{-t}}{2cdot(-3)}+ frac{6e^{2t}}{2cdot3}= e^{2t}+frac{1}{2},e^{-t}. end{gathered}

Пример 5.29. Найти оригиналы для функций: a) F(p)= frac{1}{p^2(p-1)^2}; б) F(p)= frac{p}{(p^2+1)(p^2+4)}.

Решение. а) Решим пример различными способами.

Первый способ. Воспользуемся разложением дроби на элементарные:

F(p)= frac{1}{p^2(p-1)^2}= frac{2}{p}+ frac{1}{p^2}-frac{2}{p-1}+ frac{1}{(p-1)^2},.

По формулам 2,3,6,7 из табл. 5.1 получаем f(t)=2+t-2e^t+te^t.

Второй способ. Применим вторую теорему разложения, учитывая, что p_1=0 и p_2=1 — полюсы второго порядка функции F(p)colon

begin{aligned} f(t)= mathop{operatorname{res}}limits_{p=0}F(p)e^{pt}+ mathop{operatorname{res}}limits_{p=1}F(p)e^{pt}= limlimits_{pto0} frac{d}{dp}! left[frac{p^2e^{pt}}{p^2(p-1)^2}right]+ limlimits_{pto1} frac{d}{dp}! left[frac{(p-1)^2e^{pt}}{p^2(p-1)^2}right]= ldots= t+2+te^t-2e^t.end{aligned}

Третий способ. Обозначим F_1(p)= frac{1}{(p-1)^2}. Тогда f_1(t)=t,e^t. Рассмотрим функцию F_2(p)= frac{1}{p}F_1(p). По свойству интегрирования оригинала (формула (5.12)) получаем

f_2(t)= intlimits_{0}^{t}tau,e^{tau},dtau= Bigl.{tau,e^{tau}}Bigr|_{0}^{t}-Bigl.{e^{tau}}Bigr|_{0}^{t}= t,e^t-e^t+1.

Заметим, что F(p)= frac{1}{p}F_2(p). Применяя еще раз свойство интегрирования оригинала, имеем

f(t)= intlimits_{0}^{t}(tau,e^{tau}-e^{tau}+1)dtau= ldots= t,e^t-2e^t+2+t.

Четвертый способ. Представим изображение в виде произведения

F(p)= frac{1}{p^2(p-1)^2}= frac{1}{p^2}cdot frac{1}{(p-1)^2}= F_1(p)cdot F_2(p), где F_1(p)=frac{1}{p^2},~~ F_2(p)=frac{1}{(p-1)^2}.

По формулам 3 и 7 из табл. 5.1 f_1(t)=t,~ f_2(t)=t,e^t. Далее по теореме Бореля (формула (5.15))

f(t)= f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t}tau,e^{tau}(t-tau)dtau= ldots= t,e^t-2e^t+2+t.

б) Решим пример также несколькими способами.

Первый способ. Воспользуемся разложением дроби на элементарные:

F(p)= frac{p}{(p^2+1)(p^2+4)}= frac{p[p^2+4-(p^2+1)]}{3(p^2+1)(p^2+4)}= frac{1}{3}cdot frac{p}{p^2+1}-frac{1}{3}cdot frac{p}{p^2+4},.

По формуле 9 из табл. 5.1 получаем f(t)= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t.

Второй способ. Применим вторую теорему разложения с учетом пп. 2,3 замечаний 5.5:

f(t)= 2operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=i} frac{p,e^{pt}}{(p^2+1)(p^2+4)}+ 2operatorname{Re} mathop{operatorname{res}}limits_{p=2i} frac{p,e^{pt}}{(p^2+1)(p^2+4)}= ldots= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t.

Третий способ. Представим изображение в виде произведения:

F(p)= frac{p}{(p^2+1)(p^2+4)}= frac{p}{p^2+4}cdot frac{1}{p^2+1}= F_1(p)cdot F_2(p).

Отсюда f_1(t)= L^{-1}! left[frac{p}{p^2+4}right]=cos2t,~ f_2(t)= L^{-1}! left[frac{1}{p^2+1}right]= sin t. По теореме Бореля

f(t)=f_1(t)ast f_2(t)= intlimits_{0}^{t} cos2tausin(t-tau)dtau= ldots= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t.

Четвертый способ. Используем формулу 37 из табл. 5.1. При a=1,~b=2 получаем

f(t)=frac{cos2t-cos t}{1-4}= frac{1}{3}cos t-frac{1}{3}cos2t.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.

  1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям — их изображениям.
  2. Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
  3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа

Оригиналы и их изображения:

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) — действительная функция действительного переменного t (под t будем понимать время или координату).

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

  1. Операционное исчисление
  2. f(t) — кусочно-непрерывная при Операционное исчисление т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
  3. Существуют такие числа Операционное исчисление что для всех t выполняется неравенство Операционное исчисление, т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число Операционное исчисление называется показателем роста f(t).

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить Операционное исчисление), степенные Операционное исчисление и другие (для функций вида Операционное исчисление( условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функция Операционное исчисление(не удовлетворяет второму условию).

Замечание:

Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е. иметь вид Операционное исчисление она считается оригиналом, если действительные функции Операционное исчислениеявляются оригиналами.

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного Операционное исчисление, определяемая интегралом

Операционное исчисление

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде Операционное исчисление или Операционное исчисление(принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения — соответствующими большими буквами).

Теорема:

Существование изображения. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости Операционное исчисление— показатель роста функции f(t) , причем функция F(p) является аналитической в этой полуплоскости Операционное исчисление.

Докажем первую часть теоремы. Пусть Операционное исчисление произвольная точка полуплоскости Операционное исчисление (см. рис. 302).

Операционное исчисление

Учитывая, что Операционное исчисление находим:

Операционное исчисление

так как

Операционное исчисление

Таким образом,

Операционное исчисление

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изображение F(p) существует и однозначно в полуплоскости Операционное исчисление

Следствие:

Необходимый признак существования изображения. Если функция F(p) является изображением функции f(t) , то

Операционное исчисление

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), когдаОперационное исчисление

Так как F(p) — аналитическая функция в полуплоскости

Операционное исчисление

по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции Операционное исчисление не могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой Операционное исчисление или на самой этой прямой. Функция F(p) , не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция Операционное исчисление (ее особые точки расположены на всей оси s).

Теорема:

О единственности оригинала. Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов Операционное исчисление, то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)

Пример:

Найти изображение единичной функции Хевисайда

Операционное исчисление

(см. рис. 303).

Операционное исчисление

Решение:

По формуле (78.1) при Операционное исчисление находим:

Операционное исчисление

т. e. Операционное исчисление, или, в символической записи, Операционное исчисление

Замечание:

В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде f(t) , подразумевал, что

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение функции Операционное исчисление — любое число.

Решение:

Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1) имеем

Операционное исчисление

если Re(p — a) > 0. Таким образом,

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение функции f(t) = t.

Решение:

В этом случае преобразование Лапласа имеет вид

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Замечание:

Функция Операционное исчисление является аналитической не только в полуплоскости Rep > Re а, где интеграл (78.1) сходится, а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особенность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно выражается интегралом (78.1).

Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если

Операционное исчисление

— постоянные числа, то

Операционное исчисление

Используя свойства интеграла, находим

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображения функций Операционное исчисление — любое число), с (const), Операционное исчисление

Решение:

Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:

Операционное исчисление

т. е.

Операционное исчисление

Аналогично получаем формулу

Операционное исчисление

Далее, Операционное исчислениет. е.

Операционное исчисление

Наконец,

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Аналогично получаем формулу

Операционное исчисление

Подобие

Если

Операционное исчисление

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число Операционное исчисление приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (78.1) имеем

Операционное исчисление

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).
Например, пусть Операционное исчисление. Тогда

Операционное исчисление

Смещение (затухание)

Если

Операционное исчисление

т. е. умножение оригинала на функциюОперационное исчисление влечет за собой смещение переменной р.

В силу формулы (78.1) имеем

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Операционное исчисление

Решение:

Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

Операционное исчисление

(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

Если

Операционное исчисление

т. е. запаздывание оригинала на положительную величину Операционное исчислениеприводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на Операционное исчисление.

Положив Операционное исчисление, получим

Операционное исчисление

Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и Операционное исчислениеимеют одинаковый вид, но график функции Операционное исчисление сдвинут на Операционное исчисление единиц

Рис. 304
Рис. 305
вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и Операционное исчисление описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией Операционное исчисление, начинается с опозданием на время Операционное исчисление.

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

Функция

Операционное исчисление

называется обобщенной единично ной функцией (см. рис 305).

Так как

Операционное исчисление

Запаздывающую функцию

Операционное исчисление

можно записать так:

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение f(t) = t — 1.

Решение:

Для того чтобы быть оригиналом, функция f(t) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию f(t) как

Операционное исчисление

т. е. Операционное исчисление (см. рис. 306, а), то, зная, что Операционное исчисление(см. формулу (78.4)), Операционное исчисление и, используя свойство линейности, находим

Операционное исчисление

Если же понимать функцию f(t) как

Операционное исчисление

т. е. Операционное исчисление (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение функции

Операционное исчисление

Решение:

Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции Операционное исчисление и обобщенной единичной функции Операционное исчисление. Поэтому

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение функции

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Решение:

Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда Операционное исчисление:

Операционное исчисление

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Операционное исчисление

Изображение функции f(t) будет равно

Операционное исчисление

Замечания:

1.Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,

есть Операционное исчисление

2.Свойство опережения

Операционное исчисление

применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если Операционное исчисление и функции Операционное исчисление являются оригиналами, то

Операционное исчисление

По определению изображения находим

Операционное исчисление

Итак,Операционное исчисление Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f»(t):

Операционное исчисление

Аналогично найдем изображение третьей производной f»‘(t):

Операционное исчисление

Применяя формулу (78.11) (п — 1) раз, получим формулу (78.14).

Замечание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если

Операционное исчисление

т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на р.

Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Пример:

Найти изображение выражения

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Решение:

Пусть Операционное исчисление Тогда, согласно формулам (78.11)—(78.13), имеем

Операционное исчисление

Следовательно,

Операционное исчисление

Дифференцирование изображения

Если Операционное исчисление то

Операционное исчисление

т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t).

Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Операционное исчислениеСледовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции опустим), получим

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображения функций Операционное исчисление

Операционное исчисление

Решение:

Так как Операционное исчисление, то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем Операционное исчисление т. е.

Операционное исчисление

Далее находим

Операционное исчисление

Продолжая дифференцирование, получим

Операционное исчисление

С учетом свойства смещения получаем

Операционное исчисление

Согласно формуле (78.5), Операционное исчисление Следовательно,

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим

Операционное исчисление

С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем

Операционное исчисление

Интегрирование оригинала

Если

Операционное исчисление

т. е. интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на р.

Функция Операционное исчисление является оригиналом (можно проверить).

Пусть Операционное исчисление Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем

Операционное исчисление

(так как Операционное исчисление). А так как

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Интегрирование изображения

Если Операционное исчисление и интеграл Операционное исчисление сходится, то Операционное исчислениет. е. интегрированию изображения от p до Операционное исчисление соответствует деление его оригинала на t.

Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем

Операционное исчисление

Пример:

Найти изображение функции Операционное исчисление найти изображение интегрального синуса Операционное исчисление

Решение:

Так как

Операционное исчисление

т. е. Операционное исчисление Применяя свойство интегрирования t оригинала, получаем

Операционное исчисление

Умножение изображений

Если Операционное исчислението

Операционное исчисление

Можно показать, что функция Операционное исчислениеявляется оригиналом.

Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать

Операционное исчисление

Область D интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями Операционное исчисление (см. рис. 309).

Операционное исчисление

Изменяя порядок интегрирования и полагая Операционное исчисление, получим

Операционное исчисление

Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции Операционное исчисление и обозначается символом Операционное исчисление, т. е.

Операционное исчисление

Можно убедиться (положив Операционное исчисление), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е. Операционное исчисление

Умножение изображений соответствует свертыванию их оригиналов, т. е.

Операционное исчисление

Пример:

Найти оригинал функций

Операционное исчисление

Решение:

Так как

Операционное исчисление

то

Операционное исчисление

Операционное исчисление

т. e.

Операционное исчисление

Аналогично получаем

Операционное исчисление

Следствие:

Если Операционное исчисление также является оригиналом, то

Операционное исчисление

Запишем произведение Операционное исчисление в виде

Операционное исчисление

или

Операционное исчисление

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам Операционное исчисление Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать Операционное исчисление или

Операционное исчисление

Формула (78.18) называется формулой Дюамеля. На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

Операционное исчисление

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример:

Найти оригинал, соответствующий изображению

Операционное исчисление

Решение:

Так как

Операционное исчисление

то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем

Операционное исчисление

Умножение оригиналов

Операционное исчисление

где путь интегрирования — вертикальная прямая Операционное исчисление (см. рис. 310) (примем без доказательства).

Операционное исчисление

Резюме

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.

Операционное исчисление

Операционное исчисление

6. Дифференцирование изображения

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Таблица оригиналов и изображений

Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Обратное преобразование Лапласа

Теоремы разложения:

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствующий ему оригинал f(t).

Теорема:

Если функция F(p) в окрестности точки Операционное исчисление может быть представлена в виде ряда Лорана

Операционное исчисление

то функция

Операционное исчисление

является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.

Операционное исчисление

Примем эту теорему без доказательства.

Пример:

Найти оригинал f(t), если

Операционное исчисление

Решение:

Имеем

Операционное исчисление

Следовательно, на основании теоремы 79.1

Операционное исчисление

Запишем лорановское разложение функции Операционное исчисление в окрестности точкиОперационное исчисление:

Операционное исчисление

где Операционное исчислениеСледовательно,

Операционное исчисление

Теорема:

Если Операционное исчислениеправильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули)Операционное исчисление то функция

Операционное исчисление

является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Отметим, что дробь Операционное исчисление должна быть правильной (степень многочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)) в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения

Операционное исчисление

не может быть изображением.

Разложим правильную рациональную дробь Операционное исчисление на простейшие:

Операционное исчисление

где Операционное исчисление— неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента Операционное исчисление этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на Операционное исчисление:

Операционное исчисление

Переходя в этом равенстве к пределу при Операционное исчисление, получаем

Операционное исчисление

Итак, Операционное исчислениеАналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) на Операционное исчисление найдем Операционное исчисление

Подставляя найденные значения Операционное исчисление в равенство (79.2), получим

Операционное исчисление

Так как по формуле (78.3)

Операционное исчисление

то на основании свойства линейности имеем

Операционное исчисление

Замечание:

Легко заметить, что коэффициенты Операционное исчислениеопределяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых полюсах (формула (77.4)):

Операционное исчисление

Можно показать, что если Операционное исчисление правильная дробь, но корни (нули)Операционное исчисление знаменателя В(р) имеют кратности Операционное исчисление соответственно, то в этом случае оригинал изображения F(p) определяется формулой

Операционное исчисление

Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема:

Если изображение Операционное исчислениеявляется дробно-рациональной функцией от Операционное исчисление — простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображению F(p), определяется формулой

Операционное исчисление

Формула Римана-Меллина

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид

Операционное исчисление

где интеграл берется вдоль любой прямой Операционное исчисление.

При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по формуле

Операционное исчисление

Замечание:

На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Операционное исчисление

Решение:

Проще всего поступить так:

Операционное исчисление

(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).

Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:

Операционное исчисление

корни знаменателяОперационное исчисление и, согласно формуле (79.1),

Операционное исчисление

Пример:

Найти функцию-оригинал, если ее изображение
задано как Операционное исчисление

Решение:

Здесь

Операционное исчисление

— простой корень знаменателя, Операционное исчисление — 3-кратный корень (m = 3). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:

Операционное исчисление

Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь Операционное исчисление

на сумму простейших дробей:

Операционное исчисление

Следовательно,

Операционное исчисление

Приведем третий способ нахождения f(t). Представим F(p) как
произведение Операционное исчислениеи так как Операционное исчислениепользуясь свойством умножения изображений, имеем:

Операционное исчисление

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Операционное исчисление

удовлетворяющее начальным условиям

Операционное исчисление

где Операционное исчисление — заданные числа.

Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами.

Пусть Операционное исчислениеПользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении(80.1) от оригиналов к изображениям:

Операционное исчисление

Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y:

Операционное исчисление

— алгебраические многочлены от p степени п и п-1 соответственно. Из последнего уравнения находим

Операционное исчисление

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т. е.Операционное исчисление

В этом случае Операционное исчисление

Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (80.1).

Замечание:

Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при Операционное исчисление).

Пример:

Решить операционным методом дифференциальное уравнение Операционное исчисление при условиях Операционное исчисление

Решение:

Пусть Операционное исчисление Тогда

Операционное исчисление

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

Операционное исчисление

Отсюда Операционное исчисление Находим y(t). Можно разбить дробь на сумму простейших Операционное исчисление но так как корни знаменателя Операционное исчисление простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой

Операционное исчисление

Получаем:

Операционное исчисление

Пример:

Найти решение уравнения

Операционное исчисление

при условии Операционное исчисление

Решение:

График данной функции имеет вид, изображенный на рисунке 311.

Операционное исчисление

С помощью единичной функции правую часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением:

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Таким образом, имеем

Операционное исчисление

Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид

Операционное исчисление

Отсюда

Операционное исчисление

Так как

Операционное исчисление

то по теореме запаздывания находим:

Операционное исчисление

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Покажем это на конкретном примере.

Пример:

Решить систему дифференциальных уравнений

Операционное исчисление

Решение:

Пусть

Операционное исчисление

Находим, что

Операционное исчисление

Система операторных уравнений принимает вид

Операционное исчисление

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:

Операционное исчисление

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

Операционное исчисление

Операционное исчисление

Операционное исчисление

С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  110. Кривые второго порядка
  111. Кривые и поверхности второго порядка
  112. Числовые ряды
  113. Степенные ряды
  114. Ряды Фурье
  115. Преобразование Фурье
  116. Функциональные ряды
  117. Функции многих переменных
  118. Метод координат
  119. Гармонический анализ
  120. Вещественные числа
  121. Предел последовательности
  122. Аналитическая геометрия
  123. Аналитическая геометрия на плоскости
  124. Аналитическая геометрия в пространстве
  125. Функции одной переменной
  126. Высшая алгебра
  127. Векторная алгебра
  128. Векторный анализ
  129. Векторы
  130. Скалярное произведение векторов
  131. Векторное произведение векторов
  132. Смешанное произведение векторов
  133. Операции над векторами
  134. Непрерывность функций
  135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  136. Предел и непрерывность функции одной переменной
  137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  140. Матрицы
  141. Линейные и евклидовы пространства
  142. Линейные отображения
  143. Дифференциальные теоремы о среднем
  144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  145. Функции комплексного переменного
  146. Преобразование Лапласа
  147. Теории поля
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Примеры решений задач по операционному исчислению (преобразованию Лапласа)

Операционное (символическое) исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в
некоторых случаях свести исследование и решение дифференциальных, псевдодифференциальных, интегральных уравнений, к более простым алгебраическим задачам.

Изучая преобразование Лапласа, мы вводим оригинал функции $f(t)$ и ее изображение $F(p)$, находимое по формуле:

$$F(p) = int_0^infty f(t) e^{-pt}dt$$

Для быстроты и удобства решения задач составлена таблица изображений и оригиналов, которая, наряду с теоремами (линейности, подобия, смещения, запаздывания), свойствами и правилами дифференцирования и интегрирования изображения/оригинала, постоянно используется в решении примеров.

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа: восстановление оригинала или изображения функции, нахождение свертки функций, решение ДУ, систем ДУ или интегральных уравнений с помощью преобразования Лапласа и т.д.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Как найти изображение функции

Задача 1. Найти изображение данного оригинала, или оригинала, удовлетворяющего данному уравнению

$$f(t)=frac{e^{2t}-e^{-3t}}{t}.$$

Задача 2. Пользуясь определением, найти изображение функции $f(t)=3^t$.

Задача 3. Найти изображение функции: $int_0^t cos tau cdot e^{-3tau}dtau. $

Задача 4. Найти изображение оригинала $f(x)$ двумя способами:
1) Вычислив интеграл $F(p) = int_0^infty f(x) e^{-px}dx$;
2) Воспользовавшись таблице изображений и свойствами преобразования Лапласа.
Оригинал задается формулой (курсочно-линейная функция, см. файл).

Как найти оригинал функции

Задача 5. Найти оригинал изображения $F(p)$, где

$$F(p)=frac{2p-1}{(p^2-4p+13)^2}.$$

Задача 6. Найти оригинал изображения

$$F(p)=frac{15p^2+3p+34}{(p^2+4p+8)(p^2-6p+5)}.$$

Задача 7. Найти оригинал для функции с помощью вычетов

$$F^*(p)=frac{1}{e^{4p}-625}.$$

Как решить ДУ (систему ДУ) операционным методом

Задача 8. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

$$x’+x=4e^t, x(0)=2.$$

Задача 9. Найти решение задачи Коши методами операционного исчисления

$$x”+2x’+2x=te^{-t}, quad x(0)=0, x'(0)=0.$$

Задача 10. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

$$x’=x-y,\
y’=x+y,\
x(0)=2, y(0)=1.$$

Задача 11. Методом операционного исчисления найти решение задачи Коши для ДУ 3-го порядка

$$x”’+x”-2x’-5x=5e^t, quad x(0)=0, x'(0)=1, x”(0)=2.$$

Задача 12. Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

$$frac{dx}{dt}=x-2y,\
frac{dy}{dt}=x+3y,\
x(0)=0, y(0)=1. $$

Задача 13. C помощью формулы Дюамеля найти решение уравнения

$$x”’+x’=tg t, quad x(0)=x'(0)=x”(0)=0.$$

Задача 14. Решить систему ДУ с помощью преобразования Лапласа

$$
x’=-y+z,\
y’=z, quad x(0)=1, \
z’=-x+z;\
y(0)=z(0)=1/2.
$$

Как решить интегральное уравнение

Задача 15. Методом операционного исчисления найти решение интегрального уравнения

$$ y(t)=cos t +int_0^t (t-tau)^2 y(tau)d tau. $$

Задача 16. Решить интегральное уравнение

$$ int_0^t ch (tau) x(t-tau)d tau = t. $$

Как найти свертку функций

Задача 17. Найти свертку функций $f(t)=1$ и $phi(t)=sin 5t$.

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Подробнее о решении заданий с преобразованием Лапласа

Дополнительная информация

  • Онлайн-помощь по математическому анализу
  • Дифференциальные уравнения – задачи с решениями
  • Как решать ДУ с помощью операционного исчисления

Содержание

Отыскание оригинала по изображению

Рассмотрим два способа для нахождения оригинала по заданному изображению:

  • Разложение изображения на сумму элементарных дробей, оригиналы для которых можно найти по таблице.

  • Применение теорем разложения.

Разложение $F(p)$ на сумму элементарных дробей и применение основных теорем операционного исчисления

Пример 1.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.
begin{equation*}
begin{split}
F(p)&=displaystylefrac{1}{p(p-1)(p^2+4)}= \
&=-frac{1}{4p}+frac{1}{5(p-1)}+frac{p-4}{20(p^2+4)}=\
&=-frac{1}{4p}+frac{1}{5(p-1)}+frac{p}{20(p^2+4)}-frac{1}{10}frac{2}{(p^2+4)}\
&\
f(t)&=-frac14+frac15e^t+frac{1}{20}mbox{cos},2t-frac{1}{10}mbox{sin},2t.
end{split}
end{equation*}

Пример 2.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.
begin{equation*}
F(p)=displaystylefrac{1}{p^3-8}.
end{equation*}
begin{equation*}
begin{split}
F(p)&=displaystylefrac{1}{p^3-8}= \
&=frac{1}{12(p-2)}-frac{p+4}{12(p^2+2p+4)}=\
&=frac{1}{12(p-2)}-frac{p+4}{12((p+1)^2+3^2)}=\
&=frac{1}{12(p-2)}-frac{1}{12}cdotfrac{p+1}{(p+1)^2+(sqrt{3})^2}-frac{sqrt{3}}{12}cdotfrac{sqrt{3}}{(p+1)^2+(sqrt{3})^2}.\
&\
f(t)&=frac{1}{12}e^{2t}-frac{1}{12}e^{-t}(mbox{cos},tsqrt{3}+sqrt{3},mbox{sin},tsqrt{3}).
end{split}
end{equation*}

Пример 3.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.
begin{equation*}
begin{split}
F(p)&=displaystylefrac{1}{p+2p^2+p^3}=displaystylefrac{1}{p(p+1)^2}.
end{split}
end{equation*}
Можно разложить на сумму элементарных дробей, а можно использовать теорему об интегрировании оригинала. Воспользуемся теоремой:
begin{equation*}
t,e^{-t}risingdotseq frac{1}{p^2+1},, Rightarrow ,, intlimits_0^ttau,e^{-tau},dtaurisingdotseq frac{1}{p (p+1)^2}.
end{equation*}
Вычислим интеграл и запишем оригинал $f(t)$:
begin{equation*}
intlimits_0^ttau,e^{-tau},dtau = -(t+1)e^{-t}+1 ,, Rightarrow ,,
end{equation*}
begin{equation*}
displaystylefrac{1}{p(p+1)^2} risingdotseq -(t+1)e^{-t}+1.
end{equation*}

Пример 4.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.
begin{equation*}
F(p)=displaystylefrac{e^{-p}}{p+1}.
end{equation*}
Воспользуемся теоремой запаздывания.
begin{equation*}
frac{1}{p+1} risingdotseq e^{-t},, Rightarrow ,,
end{equation*}
begin{equation*}
frac{e^{-p}}{p+1}=frac{e^{-1cdot p}}{p+1} risingdotseq e^{-(t-1)}cdoteta(t-1).
end{equation*}

Применение теорем разложения

Первая теорема разложения

Пусть $F(p)$ — аналитическая в окрестности $z=infty$ функция и в этой окрестности раскладывается в ряд Лорана:
begin{equation*}
F(p)=sumlimits_{k=1}^{infty}displaystylefrac{c_k}{p^k}.
end{equation*}
Тогда
begin{equation*}
F(p)risingdotseq f(t)=sumlimits_{k=1}^{infty}displaystylefrac{c_k}{(k-1)!}t^{k-1}.
end{equation*}

Вторая теорема разложения

Пусть $F(p)$ — дробно-рациональная функция и $p_1, ldots p_n$ — ее полюсы (простые или кратные).
Тогда
begin{equation*}
F(p)risingdotseq f(t)=sumlimits_{k=1}^{n}mbox{res}left(F(p_k)e^{p_kt}right).
end{equation*}

Пример 5.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.
begin{equation*}
F(p)=displaystylefrac{p}{(p+1)(p+2)(p+3)(p+4)}
end{equation*}
Обозначим
$$H(p)=F(p)e^{pt}.$$
Все особые точки $H(p)$ — простые полюсы:
$$p_1=-1,,, p_2=-2,,, p_3=-3,,, p_4=-4.$$
begin{equation*}
begin{split}
mbox{res}left(H(p_1)right)&=-frac16e^{-t}, \
mbox{res}left(H(p_2)right)&=e^{-2t}, \
mbox{res}left(H(p_3)right)&=-frac32e^{-3t}, \
mbox{res}left(H(p_4)right)&=frac23e^{-4t}.
end{split}
end{equation*}
Тогда по второй теореме разложения получаем:
begin{equation*}
f(t)=-frac16e^{-t}+e^{-2t}-frac32e^{-3t}+frac23e^{-4t}.
end{equation*}

Пример 6.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.
begin{equation*}
F(p)=displaystylefrac{1}{(p-a)(p-b)^2}
end{equation*}
По второй теореме разложения:
begin{equation*}
f(t)=frac{te^{bt}}{b-a}-frac{e^{bt}}{(b-a)^2}+frac{e^{at}}{(b-a)^2}.
end{equation*}

Пример 7.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.
begin{equation*}
F(p)=displaystylefrac{p^3}{(p^2+1)^2}
end{equation*}
Обозначим
$$H(p)=F(p)e^{pt}.$$
Особые точки $H(p)$ — полюсы второго порядка:
$$p_1=i,,, p_2=-i.$$
begin{equation*}
begin{split}
mbox{res}left(H(p_1right))&=frac{e^{it}(2+it)}{4}, \
mbox{res}left(H(p_2right))&=frac{e^{-it}(2-it)}{4}.
end{split}
end{equation*}
Тогда по второй теореме разложения:
begin{equation*}
f(t)=frac14left(2e^{it}+2e^{-it}+i,te^{it}-i,te^{-it}right)=mbox{cos},t-frac12,t,mbox{sin},t.
end{equation*}

Пример 8.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.

begin{equation*}
F(p)=displaystylefrac{p}{p^2+1}.
end{equation*}
Разложим $F(p)$ в ряд Лорана в окрестности $z=infty$:
begin{equation*}
F(p)=frac{p}{p^2}sumlimits_{n=0}^{infty}displaystylefrac{(-1)^n}{p^{2n}}=sumlimits_{n=0}^{infty}displaystylefrac{(-1)^n}{p^{2n+1}}.
end{equation*}
И по первой теореме разложения получим:
begin{equation*}
f(t)=sumlimits_{n=0}^{infty}displaystylefrac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!}=mbox{cos},t.
end{equation*}

Пример 9.
Найти оригинал $f(t)$ для заданного изображения $F(p)$.

begin{equation*}
F(p)=displaystylefrac{1}{p^2}mbox{cos}displaystylefrac{1}{p}.
end{equation*}
Разложим $F(p)$ в ряд Лорана в окрестности $z=infty$:
begin{equation*}
F(p)=frac{1}{p^2}sumlimits_{n=0}^{infty}displaystylefrac{(-1)^n}{(2n)!p^{2n}}=sumlimits_{n=0}^{infty}displaystylefrac{(-1)^n}{(2n)!p^{2n+2}}.
end{equation*}
По первой теореме разложения:
begin{equation*}
f(t)=sumlimits_{n=0}^{infty}displaystylefrac{(-1)^n}{(2n)!(2n+1)!}t^{2n+1}.
end{equation*}

Добавить комментарий