Как найти ортогональность одного вектора

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

рис. 1

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Так в случае плоской задачи для векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > , условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 – 2 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 – 5 = 16

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2 n + 4
2 n + 4 = 0
2 n = -4
n = -2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z >, условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 – 2 + 0 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2 n + 4 – 8 = 2 n – 4
2 n – 4 = 0
2 n = 4
n = 2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Ортогональные векторы

В данной публикации мы рассмотрим, какие векторы называются ортогональными, какое условие при этом должно выполняться. Также разберем примеры решения задач по этой теме.

Условие ортогональности векторов

Векторы a и b являются ортогональными, если угол между ними прямой (т.е. равен 90°).

Примечание: Скалярное произведение ортогональных векторов равняется нулю. Это и есть существенное условие их ортогональности.

a · b = 0

То есть, если в плоскости и , то

Примеры задач

Задание 1
Докажем, что векторы и ортогональны.

Решение:
a · b = 2 · (-2) + 4 · 1 = 0

Следовательно, заданные векторы являются ортогональными, так как их скалярное произведение равняется нулю.

Задание 2
При каком значении n векторы и ортогональны.

Решение:
a · b = 3 · 6 + (-9) · n = 0
18 – 9n = 0
n = 2

Таким образом, a и b ортогональны при n, равном двум.

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Так в случае плоской задачи для векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 – 2 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 – 5 = 16

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2 n + 4
2 n + 4 = 0
2 n = -4
n = -2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z > условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 – 2 + 0 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2 n + 4 – 8 = 2 n – 4
2 n – 4 = 0
2 n = 4
n = 2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

[spoiler title=”источники:”]

http://0oq.ru/reshebnik-onlajn/ru.onlinemschool.com/math/library/vector/orthogonality/default.htm

[/spoiler]

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, какие векторы называются ортогональными, какое условие при этом должно выполняться. Также разберем примеры решения задач по этой теме.

• Условие ортогональности векторов

• Примеры задач

Условие ортогональности векторов

Векторы a и b являются ортогональными, если угол между ними прямой (т.е. равен 90°).

Примечание: Скалярное произведение ортогональных векторов равняется нулю. Это и есть существенное условие их ортогональности.

a · b = 0

То есть, если в плоскости a = {a_x; a_y} и b = {b_x; b_y}, то a · b = a_x · b_x + a_y · b_y = 0

Примеры задач

Задание 1
Докажем, что векторы a = {2; 4} и b = {-2; 1} ортогональны.

Решение:
a · b = 2 · (-2) + 4 · 1 = 0

Следовательно, заданные векторы являются ортогональными, так как их скалярное произведение равняется нулю.

Задание 2
При каком значении n векторы a = {3; -9} и b = {6; n} ортогональны.

Решение:
a · b = 3 · 6 + (-9) · n = 0
18 – 9n = 0
n = 2

Таким образом, a и b ортогональны при n, равном двум.

Определение 1. Два вектора a
и b из E
называются ортогональными, если
их скалярное произведение равно нулю.

Определение 2. Система ненулевых
векторов b₁,
b₂, …, b_m
называется ортогональной
системой векторов, если
различные векторы этой системы попарно
ортогональны: b_ib_j
= 0 (i, j = 1,
2,…, m; i 
j).

Теорема 1. Ортогональная
система векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть a₁,
a₂ , …, a_k
– ортогональная система ненулевых
векторов из V. Доказывая линейную
независимость системы a₁,
a₂ , …, a_k
допустим, что выполняется равенство:

₁a₁+ ₂a₂
+…+ _ka_k
= 0.

Скалярно умножим обе части этого
равенства на a_i , i
= 1, 2, …,k, получим в силу свойств 1, 2

₁(a₁a_i)
+ ₂(a₂a_i)
+…+ _i(a_ia_i)
+ … + _k(a_ka_i)
= 0.

В силу ортогональности системы отсюда
находим _i(a_ia_i)
= 0 . Так как a_i 
0 и скалярное произведение
невырожденное, то a_ia_i
 0. Таким образом

_i = 0 для всех i = 1, 2, …,k.
Таким образом система векторов a₁,
a₂ , …, a_k
линейно независима. 

Теорема 2. Для любой
линейно независимой системы
векторов a₁,
a₂, …, a_m
существует ортогональная система
векторов b₁,
b₂, …, b_m
таких, что каждый вектор b_j
(j = 1,
2,…, m)
линейная комбинация векторов b_j
(j = 1,
2,…, j).

Доказательство. Доказательство
проводим методом математической индукции
по k. При k =1 вторая система состоит
из одного вектора b₁ 
0 и поэтому ортогональна. Предположим,
что теорема справедлива для k1
векторов a₁, a₂
, …, a_k-1, т.е. и
поэтим векторам найдена ортогональная
система ненулевых векторов b₁,
b₂ , …, b_k-1
с указанными выше свойствами. Докажем
утверждение для k векторов. Для этого
ищем вектор b_k в виде:

b_k = ₁b₁
+ ₂b₂
+…+ _k-1b_k-1
 a_k
,
(2)

где значения коэффициентов ₁
, ₂ ,…
, _k-1 находим
из условия ортогональности b_k
векторам b₁, b₂
, …, b_k-1:

b_kb_i
= 0 , i = 1, 2, …,k –1,

которое можно записать в виде

₁(b₁b_i)
+ ₂(b₂b_i)
+…+ _i(b_ib_i)
+…+ _k-1(b_k-1b_i)
+ a_kb_i =
0.

Так как по предположению b_jb_i
= 0 при всех i = 1, 2, …,k –1, i 
j, то находим

_i(b_ib_i)
+ a_kb_i =
0.

Так как b_i 
0, то b_i b_i
 0 и

_i = (a_kb_i
)/(b_ib_i),
i = 1, 2, …,k –1.
(3)

При таком выборе коэффициентов _i
вектор b_k ортогонален
векторам b₁, b₂
, …, b_k-1 и полученная
ситема векторов b₁, b₂
, …, b_k ортогональна.

Выразим вектор b_k через
вектора a₁, a₂
, …, a_k:

b_k = ₁a₁
+ ₂(₂₁b₁
+ a₂) + ₃(₃₁a₁
+ ₃₂a₂
+ a₃) + … +_k-1(_k-11a₁
+ _k-12a₂
+…+ _k-1k–2a_k-2
 a_k-1)
a_k =

= (₁+ ₂₂₁
+ ₃₃₁
+ … +_k-1_k-11)a₁
+ (₂ +
₃₃₂
+ … + _k-1_k-12
)a₂ +…+ (_k-2
 _k-1_k-1k–2)a_k-2
 _k-1a_k-1
a_k =

= _k1a₁
+ _k2a₂
+…+ _kk-1a_k-1
 a_k,

где _k1
, _k2 ,
…, _kk-1 
Р. Вектор b_k 
0. Действительно, если b_k
= 0, то

_k1a₁ + _k2a₂
+…+ _kk-1a_k-1
 a_k
= 0 .

Отсюда следует, что система a₁,
a₂ , …, a_k
линейно зависима, а это противоречит
условию.

Определение 3. Базис пространства
E_n
называется ортогональным, если он
образует ортогональную систему векторов.

Определение 4. Ортогональный базис
e₁, e₂,
…, e_n
называется ортонормированным, если
все его векторы единичную длину.

Теорема 4. Любое n-мерное
евклидово пространство обладает
ортогональным базисом.

Теорема 5. Любое n-мерное
евклидово пространство обладает
ортонормированным базисом.

Теорема 6. Скалярное
произведение векторов в ортонормированном
базисе равно сумме попарных произведений
соответствующих координат

Определение 7. Вектор a
евклидова пространства называется
нормированным, если его длина равна
единице, т.е. a
=1.

Определение 8. Ортогональный базис
евклидова пространства E_n
называется ортонормированным, если
все вектора базиса нормированные, т.е.
базис е₁, e₂,
…, е_n ортонормированный,
если выполняются условия:

1 е_ie_j
= 0, i, j = 1, 2, …,n, i 
j;

2 е_ie_i
= 1, i = 1, 2, …,n.

Теорема 7. Любое конечномерное
евклидово пространство Е_n
обладает ортонормированным базисом.

Доказательство. Скалярное произведение
в евклидовом пространстве невырожденное.
Поэтому по следствю теоремы 2 Е_n
обладает ортогональным базисом b₁,
b₂ , …, b_n
. Тогда легко показать, что система
векторов

е₁ =


, e₂ =


, …, е_n =

– линейно независима. Она образует
ортонормированный базис Е_n.
Действительно,

е_ie_j
=
,

если i, j = 1, 2, …,n, i 
j;

е_ie_i
=
,

i = 1, 2, …,n. 

Пример 1. Ортогонализовать систему
векторов a₁ = (1, 0, 0) , a₂
= =(1,1, 0), a₃
= (4, 2, 2) (скалярное
произведение определено в примере 1).
Пусть b₁ = (1, 0, 0).

По формуле (2) b₂ = ₁b₁
a₂, где коэффициент ₁
находим по формуле (3): ₁=
(a₂b₁)/(b₁b₁)
= (1)/1
= 1. Тогда b₂ = b₁
a₂= (0, 1, 0).

По формуле (2) b₃ = ₁b₁
+ ₂b₂
 a₃
, где коэффициенты ₁
, ₂ находим
по формуле (3): ₁=
(a₃b₁)/(b₁b₁)
= 4/1 = 4.
₂= (a₃b₂)/(b₂b₂)
= (2)/1
= = 2. Тогда b₂ = 4b₁
+ 2b₂ 
a₃= (0, 0, 2).

и ищем v₂ = (1,
1, 0), v₃ = (4, 2,
2) линейно независима и образует базис
пространства R³

Ортогональная система векторов a₁
= (1,0,0), a₂ = (0,1,0), a₃
= (0,0,2).

.5. Ортогональное дополнение.

Определение 1. Пусть L
– подпространство
евклидова пространства E.
Ортогональным дополнением
L называется множество
L^
всех векторов из E
ортогональных каждому вектору из
L: L^
= {
bE

для любого вектора a

L имеем
b a = 0 }.

Теорема 1..
Для любого подпространства L
из E ортогональное
дополнение L^
есть
подпространство из
E.

Доказательство. По определению L^

E. Так как для
любого вектора a

L имеем
0 a
= 0, то 0 
L^
и L^

.

Проверим условия, входящие в определение
подпространства.

1. Пусть b,
   c 
   L^,
   тогда для любого a
   
   L имеем (b
   + c)
   a = b
   a + c
   a = 0+ 0
   = 0, и b
   + c
   
   L^.

2. Пусть b
   
   L^
   , R,
   тогда для любого a
   
   L имеем (b)
   a =(b
   a) =
   0 = 0, и b
   
   L^.

Отсюда по определению L^
– подпространство из E.


Теорема 2. Для
любого подпространства L
из E L
 L^
= {0}.

Доказать самостоятельно.

Теорема 3..
Если E –
конечномерное евклидово пространство,
то E прямая сумма
L и L^
: E
= L 
L^.

Доказательство. Если L
= {0}, то
L^
= E. Если L

{0}, то
подпространство L имеет
базис e₁,
e₂,…,
e_k,
который в силу теоремы предыдущего
параграфа, можно считать ортогональным.
По теореме о базисах этот базис можно
дополнить до базиса пространства E
и полученный базис ортогонолизовать.
Получим ортогональный базис e₁,
e₂,…,
e_k,
e_k
+
1,…,
e_n
пространства E. Тогда
любой вектор a

E представляется
единственным образом в виде:

a = ₁e₁
+ ₂e₂
+…+ _ke_k
+ 
_{k +
1}e_k
+
1 +…+

_n e_n
= b +
c;
b 
L, c
 L^.

Отсюда и теоремы 2 по определению прямой
суммы следует, что E
= L 
L^.


Следствие. Если E
– конечномерное евклидово пространство,
то dim E
= dim L
+ dim L^.

Теорема 4.
Пусть V – конечномерное векторное
пространство с невырожденным скалярным
призведением, L, L₁, L₂
– подпространства из V. Тогда
справедливы следующие свойства:

1 (L^)^
= L;

2 если L₁
 L₂ , то
L₁^
 L₂^;

3 (L₁ +
L₂)^
= L₁^
 L₂^;

4 (L₁ 
L₂)^
= L₁^
+ L₂^.

Доказательство. 1
Eсли a  L ,
то ab =0 для любого b 
L^. Поэтому
a  L^
и L  (L^)^.
Докажем, что (L^)^
 L и тогда получим
(L^)^
= L.

Пусть a 
(L^)^
. Так как (L^)^
 V и по теореме
4 V = L  L^,
то a = b + b
, где b  L
, b
 L^
. Поэтому bb
= 0. Так как a 
(L^)^
, то ab
= 0. Отсюда bb
= (a  b)b
= ab 
ab
= 0 + 0 = 0. В силу невырожденности скалярного
произведения b
= 0 и a = b 
L . Свойство доказано.

Свойства 2 – 4
рекомендуется доказать читателю
самостоятельно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #