Как найти ортогональную проекцию прямой на плоскость

5.6.3. Как найти ортогональную проекцию прямой на плоскость?

г) Во-первых, что это за проекция?

Проведём очередную физкульт-пятиминутку:

Пожалуйста, найдите дома швабру и поместите её между ног. Представьте, что она бесконечна. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго перпендикулярно смотрим вниз на швабру. при этом получается такое умное лицо…. Все выполнили задание? Тень от швабры – это и есть её ортогональная проекция на пол.

На чертеже выше наша «швабра» проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая – коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся пересечением плоскостей: , и на самом деле ответ уже готов:

Другое дело, что часто требуется представить уравнения прямой в канонической форме, это стандартная задача:

Точка , принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её направляющий вектор. Для быстроты используем формулу:

Таким образом, канонические уравнения проекции:

Как уже отмечалось, для решения этой задачи, не обязательно находить именно точку пересечения (лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции, и её легко подобрать из системы .

Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но я тут прикинул, он вряд ли короче. Однако на всякий случай озвучу алгоритм, вдруг понадобится кому:

– находим точку пересечения прямой и плоскости: (вот в этом способе уже обязательно находим);

– берём произвольную точку , не совпадающую с точкой ) и опускаем из неё перпендикуляр на плоскость (см. следующие параграфы);

– находим основание перпендикуляра (как пересечение прямой и плоскости );

– составляем канонические уравнения проекции по двум точкам: .

Задача 31787 Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1.

Условие

Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1 = (z+1)/2 на плоскость x+4y–3z+7=0

Решение

Точка (2;3;-1) принадлежит данной прямой.
Составим уравнение прямой || нормальному вектору плоскости
vector=(1;4;-3)

Найдем координаты точки K — точки пересечения этой прямой и плоскости
Решаем систему:
<(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3)

Обозначим отношение
(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3) = λ ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x= λ +2
y= 4λ +3
z=-3 λ +1

подставим в уравнение плоскости

Найдем координаты точки В — точки пересечения данной прямой и данной плоскости.

Обозначим отношение
(x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2=t ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x=5t+2
y=t+3
z=2t+1

подставим в уравнение плоскости

Составляем уравнение прямой ВК, как уравнение прямой, проходящей через две точки

Ортогональнальная проекция прямой на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью.
Теорема о трех перпендикулярах

Проекция прямой на плоскость

Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.

Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.

Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».

Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».

Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a’, образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.

Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).

Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице

Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.

Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a’, лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.

Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a’, совпадает с прямой a .

Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.

Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.

На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.

Если прямая a параллельна плоскости α , то проекцией прямой a является прямая a’, лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO.

Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a’, совпадает с прямой a .

Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O , то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α.

Угол между прямой и плоскостью

Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Свойство проекции
Наклонная к плоскости α
Прямая, параллельная плоскости
Прямая, лежащая на плоскости
Прямая, перпендикулярная к плоскости

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O. )

На рисунке это угол φ

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).

Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O )

На рисунке это угол φ

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a’ на плоскость α перпендикулярна к прямой b.

Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.

На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P’ – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b’, параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b’, совпадет с прямой b.

Поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’. Прямая a перпендикулярна к прямой b’ по условию. Таким образом, прямая b’ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’, откуда вытекает, что прямая b’ перпендикулярна и к прямой a’, лежащей на плоскости POP’.

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a’ наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.

Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.

Прямая a’ перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’, поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b’, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P’O и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’. Тогда, в частности, прямая b’ перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP’.

Фигура	Рисунок	Определение
Наклонная к плоскости α
Прямая, параллельная плоскости
Прямая, лежащая на плоскости
Прямая, перпендикулярная к плоскости



г) Во-первых, что это за проекция?

Проведём очередную физкульт-пятиминутку:

Пожалуйста, найдите дома швабру и поместите её между ног. Представьте, что она бесконечна. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго

перпендикулярно смотрим вниз на швабру…, при этом получается такое умное лицо….  Все выполнили задание? Тень от швабры – это и есть её

ортогональная проекция на пол.

На чертеже выше наша «швабра»  проведена малиновым цветом, а её

проекция, прямая  – коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся

пересечением плоскостей: , и на самом деле ответ уже готов:

Другое дело, что часто требуется представить уравнения прямой в канонической форме, это стандартная

задача:

Точка , принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её

направляющий вектор. Для быстроты используем формулу:

Таким образом, канонические уравнения проекции:

Как уже отмечалось, для решения этой задачи, не обязательно находить именно точку пересечения  (лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции, и её легко подобрать из системы .

Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но я тут прикинул, он

вряд ли короче. Однако на всякий случай озвучу алгоритм, вдруг понадобится кому:

– находим точку пересечения прямой и плоскости:  (вот в этом способе уже

обязательно находим);

– берём произвольную точку , не совпадающую с точкой ) и опускаем из неё перпендикуляр  на плоскость  (см. следующие

параграфы);

– находим основание перпендикуляра  (как пересечение прямой  и плоскости );

– составляем канонические уравнения проекции  по двум точкам: .

5.6.4. Как найти угол между прямой и плоскостью?

5.6.2. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

vtg25 писал(а):

Не могу понять, как составить уравнение проекции прямой [math]frac{ x-1 }{ -1 }[/math] [math]=[/math][math]frac{ y }{ 3 }[/math] [math]=[/math][math]frac{ z+1 }{ 5 }[/math] на плоскость 5x-y+z-1=0

vtg25
При решении поставленной перед Вами задачи нужно исходить из того, что под проекцией обычно понимается ортогональная проекция. Значит, искомая проекция (которая в общем случае является прямой) принадлежит как заданной плоскости (плоскости проекции), так и плоскости, которая проходит через заданную прямую перпендикулярно к заданной плоскости.

Чтобы вывести уравнение второй (проецирующей) плоскости, воспользуемся тем, что ей принадлежит точка [math]M_0 left( 1;~0;~-1 right);[/math] вектор [math]vec{p}= left( -1;~3;~5 right)[/math] — направляющий вектор заданной прямой; вектор [math]vec{n}= left( 5;~-1;~1 right)[/math] — нормальный вектор плоскости проекции. Тогда получим

[math]begin{vmatrix} x-1 & -1 & 5 \ y & 3 & -1 \ z+1 & 5 & 1 end{vmatrix}=0,[/math]

[math](x-1)(3 cdot 1-(-1) cdot 5)-y((-1) cdot 1-5 cdot 5)+(z+1)((-1) cdot (-1)-5 cdot 3)=0,[/math]

[math]8(x-1)+26y-14(z+1)=0,[/math]

[math]8x+26y-14z-22=0,[/math]

[math]4x+13y-7z-11=0[/math]

— уравнение проецирующей плоскости.

Искомая проекция может быть задана системой уравнений, задающих плоскости проекции и проецирующую, то есть так:

[math]left{!begin{aligned}
& 5x-y+z-1=0, \
& 4x+13y-7z-11=0.
end{aligned}right.[/math]

Полученная система уравнений является ответом к задаче.

От указанной выше системы уравнений, задающих проекцию как результат пересечения двух плоскостей, можно перейти к её каноническим уравнениям. Для этого примем, например, что [math]z=0.[/math] Тогда получим систему уравнений

[math]left{!begin{aligned}
& 5x-y-1=0, \
& 4x+13y-11=0,
end{aligned}right.[/math]

решив которую, получим [math]x=frac{8}{23},[/math] [math]y=frac{17}{23},[/math] то есть точка [math]M left( frac{8}{23};~frac{17}{23};~0 right)[/math] принадлежит проекции. Направляющим вектором проекции является вектор, который перпендикулярен к нормальным векторам плоскостей проекции и проецирующей, то есть

[math]vec{l}=begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 5 & -1 & 1 \ 4 & 13 & -7 end{vmatrix}=((-1) cdot (-7)-1 cdot 13) vec{i}-(5 cdot (-7)-1 cdot 4) vec{j}+(5 cdot 13-(-1) cdot 4) vec{k}=[/math]

[math]=-6 vec{i}+39 vec{j}+69 vec{k},[/math]

поэтому канонические уравнения проекции суть

[math]frac{x-frac{8}{23}}{-6}=frac{y-frac{17}{23}}{39}=frac{z}{69},[/math]

или

[math]frac{x-frac{8}{23}}{-2}=frac{y-frac{17}{23}}{13}=frac{z}{23}.[/math]

Если Вы хотите воспользоваться моими расчётами, то не поленитесь, пожалуйста, проверить их хотя бы на отсутствие арифметических ошибок. Рекомендую Вам также посетить этот ресурс:

http://www.mathprofi.ru/zadachi_s_pryam … ostju.html

2.1. Задание прямой на эпюре

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

а                                                                  б
Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется прямой частного положения.

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня.

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₁, то его фронтальная проекция А₂В₂ параллельна оси проекций π₁/π₂, а горизонтальная проекция отрезка А₁В₁ определяет истинную величину АВ:

А₂А₀=В₂В₀
А₂В₂ || π₂/π₁

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₂, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π₂/π₁, а фронтальная проекция отрезка C₂D₂ определяет истинную величину CD.

С₁А₀=D₁D₀

C₁D₁ || π₂/π₁

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Эпюр профильной прямой

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими.

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка  АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π₁ (Рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

На рисунке 2.5, а:

АА₁ – расстояние от точки А до плоскости проекций π₁;

ВВ₁ – расстояние от точки В до плоскости проекций π₁;

А₁В₁ – проекция отрезка АВ на π₁;

∠(AB; AK)=∠(AB; A₁B₁)=α – угол наклона прямой АВ к плоскости проекций π₁.

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

АК=А₁В₁ – катет, равный горизонтальной проекции отрезка АВ;

ВК=ВВ₁–АА₁=Δ₁ – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π₁ (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Истинная величина отрезка может быть найдена как гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция этого отрезка на плоскость проекций (А₂В₂), а другим – разность координат концов этого отрезка до плоскости (Δ₂), в которой ведется построение. Угол между истинной величиной (АВ) и проекцией (А₂В₂) определяет угол наклона (β) прямой к той плоскости проекций, в которой ведётся построение (Рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π₂

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

1. Принадлежат одноимённым проекциям данной прямой;
2. Лежат на одной линии связи.

Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой
Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

• С₁∈А₁В₁;
• С₂∈А₂В₂;
• С₁С₂⊥π₂/π₁;

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

{frac{A_2C_2}{C_2B_2}=frac{A_1C_1}{C_1B_1}=frac{AC}{CB}}
Справедливо и обратное утверждение.

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)

Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении
Решение:

• 1. Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е₂.
  2. Отложим  на этой прямой от точки Е₂ равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
  3. Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F₂.
  4. Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4—F₂) до пересечения с проекцией E₂F₂, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К₂.
  5. Горизонтальную проекцию точки К₁ получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.

  Упражнение

  Определить принадлежность  точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).
  
  Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

  
  Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

  Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

  2.5. Следы прямой

  След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

  Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

  • горизонтальный след M₁– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π₁;
  • фронтальный след N₂– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π₂;
  • профильный  след L₃ – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π₃.

  След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

  • горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M₁,
  • фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N₂,
  • профильный – с профильной проекцией L≡L₃ (Рисунок 2.10).

  

  Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

  Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

  Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

  1. Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М₂ является фронтальной проекцией горизонтального следа;
  2. Из точки М₂ провести линию проекционной связи до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М₁ и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

  Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

  1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N₁ является горизонтальной проекцией фронтального следа;
  2. Из точки N₁ провести линию проекционной связи до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB  или ее продолжением. Точка пересечения N₂ и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

  Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

  A₁B₁ ∩ xO =N₁;       Y_N=0;                   N ∈ xOz (π₂)      ⇒      AB ∩ xOz=N

  A₂B₂ ∩ xO =M₂;       Z_M=0;                  M ∈ xOy (π₁)     ⇒      AB ∩ xOy=M

  A₁B₁ ∩ yO =L₁;        X_L=0;                   L ∈ yOz (π₃)     ⇒      AB ∩ yOz=L

  A₂B₂ ∩ zO =L₂;

  
  Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

  Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

  2.6. Взаимное расположение прямых

  Две прямые в пространстве могут быть:

  • параллельными;
  • пересекающимися;
  • скрещивающимися.

  Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

  Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

  
  Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
  Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

  Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

  {{A_2B_2}cap{C_2D_2}=K_2}

   {{A_1B_1}cap{C_1D_1}=K_1}

   {frac{A_2K_2}{K_2B_2}=frac{A_1K_1}{K_1B_1}}

   {frac{C_2K_2}{K_2D_2}=frac{C_1K_1}{K_1D_1}}

   
  Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

  Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок  2.14).

  
  Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

  2.7. Проекции плоских углов

  Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

  
  Рисунок 2.15

  По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

  Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

  Теорема. Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).

  Обратная теорема. Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.

  

  Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

  Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВ ⊥ ВС,

  причём ВС // π₁ (Рисунок 2.16,б).

  Доказательство:

  1. Проведём через отрезок АВ проецирующую плоскость – σ, σ⊥π₁;
  2. Прямые АВ и ВВ₁ лежат в плоскости σ;
  3. ВС⊥ВВ₁ так как ВС//π₁, а ВВ₁⊥π₁;
  4. Следовательно, ВС⊥σ, а значит ВС перпендикулярна и любой прямой, лежащей в плоскости σ, в частности А₁В₁;
  5. Следовательно В₁С₁⊥σ;
  6. Так как В₁С₁//ВС, то В₁С₁⊥А₁В₁.

  2.8. Задачи для самостоятельного решения

  1. Построить отрезок прямой  АВ // π₁,  равный 35 мм и наклонённый к π₂ под углом 25° (Рисунок 2.17).

  
  Рисунок 2.17

  2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π₂ и π₁.

  3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π₁ и 45° — к плоскости проекций π₂.

  4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π₂/π₁ (Рисунок 2.18).

  

  Рисунок 2.18