Как найти ортогональную проекцию точки на плоскость

Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M₀ на плоскость α, необходимо:

• построить прямую L, проходящую через точку M₀ и ортогональной плоскости α.
• найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁ точки M₀ на плоскость (1).

Пример 1.Найти проекцию M₁ точки M₀(4, -3, 2) на плоскость

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

т.е. A=5, B=1, C=−8.

Координаты точки M₀: x₀=4, y₀=−3, z₀=2.

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

Из выражений (7) находим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.

Проецирование, виды проецирования

Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.

Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.

Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.

Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.

Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.

Проекция точки на плоскость

Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.

Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.

Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем – плоскость α и точка М1, не принадлежащая плоскости α. Начертим через заданную точку М1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α. Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как H1, она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М1 на плоскость α.

В случае, если задана точка М2, принадлежащая заданной плоскости α, то М2 будет служить проекцией самой себя на плоскость α.

Проекция точки на плоскость – это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.

Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры

Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат Oxyz, плоскость α, точка М1(x1, y1, z1). Необходимо найти координаты проекции точки М1 на заданную плоскость.

Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М1 на плоскость α как Н1. Согласно определению, H1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a, проведенной через точку М1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α.

Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:

– получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;

– определить уравнение прямой a, проходящей через точку М1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);

– найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М1 на плоскость α.

Рассмотрим теорию на практических примерах.

Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.

Пусть задана точки М1(x1, y1, z1) и координатные плоскости Oxy, Оxz и Oyz. Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: (x1, y1, 0), (x1, 0, z1) и (0, y1, z1). Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:

Cz+D=0⇔z=-DC, By+D=0⇔y=-DB

И проекциями заданной точки М1 на эти плоскости будут точки с координатами x1,y1, -DC, x1, -DB, z1 и -DA, y1, z1.

Продемонстрируем, как был получен этот результат.

В качестве примера определим проекцию точки М1(x1, y1, z1) на плоскость Ax+D=0 . Остальные случаи – по аналогии.

Заданная плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и i→= (1, 0, 0) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости Oyz. Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:

x=x1+λy=y1z=z1

Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение Аx+ D = 0 равенства: x=x1+λ, y=y1, z=z1 и получим: A·(x1+λ)+D=0⇒λ=-DA-x1

Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ=-DA-x1:

x=x1+-DA-x1y=y1z=z1⇔x=-DAy=y1z=z1

Т.е., проекцией точки М1(x1, y1, z1) на плоскость будет являться точка с координатами -DA, y1, z1.

Построение ортогональных проекций точек

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

1. Записать их координаты.
2. Достроить проекции т. A и B на плоскость П₃.
3. Определить положение точек в пространстве (октант или плоскость проекций).
4. Построить наглядное изображение точек в системе плоскостей П₁, П₂, П₃.

Определение координат точек по их проекциям

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A’, имеющая координаты x, y. Проведем из т. A’ перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A_х, A_у. Координата х для т. A равна длине отрезка A_хO со знаком плюс, так как A_х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A_уO со знаком минус, так как т. A_у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A” имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A” на ось z и найдем A_z. Координата z точки A равна длине отрезка A_zO со знаком минус, так как A_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B –  т. В’. Так как она лежит на оси х, то B_x = B’ и координата B_у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B_хO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B” к оси z, таким образом найдем B_z. Аппликата z точки B равна длине отрезка B_zO со знаком минус, так как B_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П₃ имеют следующие координаты: A”’ (y, z); B”’ (y, z). При этом A” и A”’ лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B” и B”’. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A_уO. После этого проведем перпендикуляр из A_у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A” к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A”’.

Точка B”’ лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B” к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B”’.

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П₂.

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Октанты	Знаки координат
x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П₂. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П₁, П₂, П₃

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П₁, П₂, П₃, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A_х и A_у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A_х и A_у  соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П₂ по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B_х и B_z, определит положение точки B.

Содержание:

Ортогональное проецирование:

Из всех методов проецирования ортогональное нашло наиболее широкое применение в инженерной практике в силу ряда своих преимуществ.

Метод Монжа. Октанты пространства

Наиболее важным из них является возможность при определенных условиях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. При этом при получении ортогонального чертежа, обладающего полной обратимостью, необходимо иметь, как было отмечено ранее, по крайней мере, две связанные между собой ортогональные проекции оригинала. Наиболее удобной для фиксирования положения геометрического образа в пространстве и выявления его формы по ортогональным проекциям является система из трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Такой плоскостной макет представлен на рис. 29. При этом различают:

Плоскости проекций пересекаются по трем взаимно перпендикулярным прямым, которые называются осями проекций  Оси проекций пересекаются в общей точке трех плоскостей проекций – точке 

В большинстве европейских стран принята система расположения плоскостей проекций, при которой положительными направлениями осей считают: для оси  – влево от точки для оси  – в сторону зрителя (вперед) от плоскости для – вверх от плоскости противоположные направления осей считают отрицательными.

Плоскости проекций делят пространство на восемь частей – октантов. Октанты условно принято нумеровать, как показано на рис. 29.

Принято, что наблюдатель всегда находится в первом октанте. Плоскости проекций считаются непрозрачными, поэтому видимы только точки (геометрические фигуры), расположенные в I октанте, а также на полуплоскостях

Пользоваться пространственным макетом для изображения проекций оригинала неудобно ввиду его громоздкости. Поэтому его реконструируют в эпюр Монжа – чертеж, составленный из двух или трех связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.

Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей  и с фронтальной плоскостью проекций

Для совмещения плоскости с поворачиваем  на 90° вокруг оси в направлении движения часовой стрелки (см. рис. 29).

Для совмещения с поворачиваем вокруг оси также на угол 90° в направлении, противоположном движению часовой стрелки. При повороте будет перемещаться и ось которая распадается на две оси ( и ).

После совмещения плоскостей проекций пространственный макет примет вид, показанный на рис. 30.

Обычно не указывают обозначение полуплоскостей проекций и отрицательное направление осей. Тогда, в окончательном варианте, эпюр принимает вид, показанный на рис. 31.

Проекции точки

Точка – одно из основных базовых понятий геометрии. Для отображения этого простейшего геометрического образа на плоскости целесообразно понимать под точкой физический объект, имеющий линейные размеры. При этом условно за точку принимают шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проекциях.

Для построения эпюра точки следует руководствоваться первым инвариантным свойством ортогонального проецирования: «Проекция точки есть точка». Пусть даны в пространстве точка и три взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 32). В данном случае и в дальнейшем для получения эпюра будем пользоваться первым октантом системы плоскостей. Спроецируем ортогонально точку на три плоскости проекций. Для этого в соответствии с правилом проецирования через точку проводим последовательно прямые линии, перпендикулярные к  – проецирующие лучи. В точках пересечения этих лучей с плоскостями проекций получаем ортогональные проекции точки . Назовем их: – горизонтальная проекция, – фронтальная проекция, – профильная проекция. Каждая пара из трех проецирующих лучей определяет плоскость, перпендикулярную к двум плоскостям и к оси проекций. Эти плоскости называемые проецирующими, пересекаются с плоскостями проекций по двум взаимно перпендикулярным прямым, имеющим общие точки на осях проекций (соответственно

Для получения эпюра точки преобразуем пространственный макет, изображенный на рис. 32, по схеме, предложенной выше.

На эпюре (рис. 33) проекции точки будут располагаться на прямых, перпендикулярных к осям проекций и проходящих через точки 

Эти прямые, являющиеся проекциями соответствующих проецирующих лучей, называют линиями проекционной связи.

Горизонтальная и фронтальная проекции будут располагаться на общей вертикальной линии связи, а фронтальная и профильная на общей горизонтальной линии. Для связи горизонтальной и профильной проекций можно воспользоваться дугой окружности, проводимой из точки также можно на горизонтальной линии связи отложить от оси вправо отрезок равный 

Прямоугольные координаты точки

Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций аналогична декартовой системе координатных плоскостей. При этом оси проекций соответствуют осям координат с началом в точке  ось  – оси абсцисс, ось – оси ординат, ось – оси аппликат.

Исходя из этого, положение точки в пространстве может быть определено тремя координатами:  Координата точки – число, выражающее величину расстояния от точки до соответствующей плоскости проекций.

Анализируя эпюр (рис.34), можно отметить, что каждая из проекций точки определяется двумя координатами этой точки: и и  и

Из этого следует, что положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций.

Точка в октантах пространства

На рис. 29 было показано, что плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных углов – восемь октантов.

Зная положительное и отрицательное направление осей, по координатам точки можно также определить, в каком октанте расположена точка:

На рис. 35,а показаны точки  расположенные в разных октантах, и их эпюры (рис. 35,б), соответствующие этому расположению.

Безосный чертеж

Большинство задач начертательной геометрии решают, не устанавливая метрической связи с плоскостями проекций. Вследствие этого построения на чертеже можно выполнять в безосной системе плоскостей проекций, т.е. без указания положения осей (рис. 36).

Имея такой чертеж, можно, при необходимости, всегда ввести оси и тем самым задать расстояние от точки до условно выбранных плоскостей  и Иными словами, для безосного чертежа (эпюра) плоскости проекций принимаются неопределенными, т.е. могут перемещаться параллельно самим себе. Механизм такого перемещения иллюстрирует рис. 37.

Перенесение оси на чертеже вверх или вниз соответствует параллельному переносу в пространстве двугранного угла в новое положение  в направлении биссекторной плоскости Биссекторной называют плоскость, проходящую через ось проекций и делящую двугранный угол пополам.

На эпюре такому параллельному переносу двугранного угла соответствует перемещение начала координат – точки по постоянной чертежа к> которая является следом биссекторной плоскости (рис. 38).

Рис. 39 демонстрирует построение на безосном чертеже профильной проекции точки по заданным горизонтальной и фронтальной ее проекциям.

Построение выполнено с помощью постоянной чертежа проведенной в случайном месте чертежа под углом 45° к направлению линии связи

 

Конкурирующие точки

Геометрические образы могут быть взаимно расположены таким образом, что некоторые из них (или отдельные их части) будут закрыты от наблюдателя.

Построение границы видимости образов на чертеже выполняется на основании выявления и анализа конкурирующих точек.

Конкурирующими называют точки, лежащие на одном проецирующем луче.

Для определения видимости конкурирующих точек рассуждают следующим образом (рис. 40). Точки и лежат на общем горизонтально-проецирующем луче, т.е. их горизонтальные проекции совпадают. Точка выше точки и расположена ближе наблюдателю (г.о. всегда находится между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций). Следовательно, она будет видна, а точка закрыта ею. Из двух совпадающих проекций  и проекцию невидимой точки заключают в скобки.

На точки и проецируются разными лучами, поэтому фронтальные проекции их не совпадают. Обе точки относительно видны.

На эпюре (рис. 41) вопрос видимости точек и  относительно принимая во внимание вышеуказанные рассуждения, решают по удалению их фронтальных проекций ( и ) от оси

Фронтальная проекция точки расположена от оси дальше, чем проекция  следовательно, горизонтальную проекцию точки  заключаем в скобки.

Аналогично рассуждают, определяя видимость конкурирующих точек и относительно других плоскостей проекций (рис. 42).

На рис. 42 показаны фронтально-конкурирующие точки  и  а также профильно-конкурирующие точки  и

Проекции прямых линий

Наряду с точкой прямая линия является одним из исходных понятий в геометрии. Прямая является простейшей из линий (более подробно линии будут рассмотрены в разделе V), которой в начертательной геометрии отводится важная роль при решении инженерных задач.

Аналитически прямую в пространстве можно задать разными способами. Например, как уравнение прямой, полученной при пересечении двух плоскостей:  

Другим, более удобным, является уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и

Если рассматривать прямую на плоскости, то общим уравнением ее будет

При построении эпюра прямой следует использовать третье свойство проецирования: «Проекция прямой есть прямая». Другими словами, для определения проекции прямой достаточно задать проекции двух не тождественных точек, принадлежащих этой прямой.

Пусть прямая  проходит через две точки  и (рис. 43, а). На эпюре этой прямой (рис. 43, б) разность расстояний точек и прямой до горизонтальной плоскости проекций определяется величиной равной разности аппликат точек и  Разность расстояний точек и до фронтальной плоскости проекций  определяется разностью ординат  И, наконец, разность расстояний точек и до профильной плоскости проекций определяется величиной разности абсцисс

Прямая линия общего положения

Такая прямая занимает в системе плоскостей проекций произвольное положение (углы наклона прямой к плоскостям – отличные от 0 и 90°). Для этой прямой    

На эпюре прямой общего положения (см. рис. 43, б) нет натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций.

Частные случаи расположения прямой

Прямая линия, кроме произвольного, может занимать следующие положения относительно плоскостей проекций:

• – параллельное одной из плоскостей проекций (прямые уровня);
• – перпендикулярное какой-нибудь плоскости проекций (проецирующие прямые).

Прямые уровня

Прямые линии, параллельные (но не перпендикулярные) плоскостям проекций, называют линиями уровня. Таких линий три:

• – горизонталь – прямая параллельная
• – фронталь – прямая параллельная
• – профильная прямая, параллельная

Если в условии (1) будем иметь:  то прямая преобразуется в горизонталь  (рис. 44,а). Особенностью эпюра горизонтали (рис. 44,б) является то, что ее фронтальная проекция параллельна оси а горизонтальная проекция составляет с осью  угол равный углу наклона самой прямой к плоскости проекций Горизонтальная проекция отрезка прямой определяет длину этого отрезка. Эта же проекция выявляет угол наклона прямой к профильной плоскости проекций 

Если в условии (1)  то прямая  преобразуется во фронталь  (рис. 45, а). На эпюре фронтали (рис. 45, б) ее горизонтальная проекция параллельна направлению оси проекций. Фронтальная проекция составляет с направлением оси  угол равный углу наклона самой прямой к горизонтальной плоскости проекций а с направлением оси – угол равный углу наклона прямой к Фронтальная проекция отрезка прямойопределяет длину этого отрезка (см. рис. 45, б).

Аналогично, если в условии (1)  то прямая  преобразуется в профильную прямую  (рис. 46, а, б). Особенность проекций профильной прямой (см. рис. 46, б): отрезок прямой проецируется без искажения на профильную плоскость проекций Здесь же видна натуральная величина углов его наклона  и  Проекции  и  прямой располагаются на одной линии связи.

Проецирующие прямые

Прямые линии, перпендикулярные плоскостям проекций, называют проецирующими. Различают следующие проецирующие прямые:

• – горизонтально-проецирующая, перпендикулярная 
• – фронтально-проецирующая, перпендикулярная
• – профильно-проецирующая, перпендикулярная

Проецирующие прямые в то же время параллельны двум координатным плоскостям проекций.

Если в условии (1) для прямой общего положения  ввести и  то она преобразуется в горизонтально-проецирующую прямую (рис. 47). Фронтальная и профильная проекции отрезка этой прямой определяют его натуральную длину, а горизонтальная проекция вырождается в точку. Эта прямая одновременно параллельна фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Если в условии (1) примем и  то прямая преобразуется во фронтально-проецирующую прямую (рис. 48). Здесь горизонтальная (профильная) проекция определяет длину отрезка прямой , а фронтальная проекция преобразуется в точку. Эта прямая параллельна одновременно горизонтальной и профильной плоскостям проекций.

И, наконец, если в условии (1)  и то прямая преобразуется в профильно-проецирующую прямую (рис. 49). Горизонтальная и фронтальная проекции прямой параллельны оси и каждая из проекций определяет длину отрезка. На проекция прямой – точка. Эта прямая одновременно параллельна горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций.

Понятие о следах прямой

Точки пересечения прямой линии с координатными плоскостями проекций называют следами прямой. Соответственно точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называют горизонтальным следом, а с фронтальной плоскостью проекций – фронтальным следом.

На рис. 50 прямая  пересекает горизонтальную плоскость проекций в точке а фронтальную плоскость в точке Точка  имеет аппликату т.е. след совпадает с а лежит на оси

Точка  прямой имеет ординату  след  совпадает с a  лежит на оси

Построение следов на эпюре показано на рис. 51.

Чтобы найти горизонтальный след необходимо найти сначала его фронтальную проекцию как точку пересечения фронтальной проекции прямой с осью Горизонтальная проекция совпадает с горизонтальным следом  и лежит на продолжении

Чтобы найти фронтальный след необходимо найти сначала его горизонтальную проекцию  как точку пересечения с осью Фронтальная проекция следа будет лежать на продолжении и совпадает с фронтальным следом

Если прямая параллельна плоскости проекций, то следом ее на этой плоскости является несобственная точка.

Натуральная длина отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций

На эпюре натуральная длина отрезка прямой и углы его наклона видны только в случае его частного расположения относительно плоскостей проекций.

Если же прямая занимает общее положение относительно плоскостей проекций, то для нахождения натуральной величины отрезка этой прямой и углов его наклона к плоскостям проекций можно использовать соответствующее свойство ортогонального проецирования (свойство 12).

Используя это свойство, на плоскости проекций (рис. 52), можно построить прямоугольный треугольник, один катет которого – проекция отрезка  на плоскости  а другой – разность расстояний концов отрезка от плоскости проекций  Гипотенуза такого треугольника  будет равна натуральной величине отрезка. Из рис. 52 видно также, что угол равен углу  и будет определять угол наклона прямой к плоскости

Аналогичные построения можно выполнить на эпюре прямой (рис.53).

Принимаем плоскость за  (горизонтальную плоскость проекций). На горизонтальной проекции прямой, как на катете, строим прямоугольный треугольник. Второй катет этого треугольника равен разности расстояний концов отрезка от  В результате получаем прямоугольный треугольник гипотенуза которого равна натуральной величине отрезка  а угол есть угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций

Аналогичные построения можно выполнить, принимая плоскость  за фронтальную плоскость проекций (рис. 54).

Такой прием нахождения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов его наклона к плоскостям проекций называют способом прямоугольного треугольника.

Взаимное расположение двух прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельны друг другу или скрещиваться.

Пересекающиеся прямые. Прямые линии, имеющие общую точку, называются пересекающимися.

Если прямые пересекаются в пространстве, то их одноименные проекции также пересекаются, и проекции точки пересечения лежат на одной линии связи. Для подтверждения пересечения прямых на чертеже бывает достаточно двух проекций (рис. 55). Однако, если хотя бы одна из прямых является линией уровня, то одной из двух проекций должна быть проекция на ту плоскость, которой параллельна эта линия уровня (рис. 56).

Параллельные прямые. Прямые линии, пересекающиеся в несобственной точке, называются параллельными.

Если две прямые параллельны в пространстве, то их одноименные проекции тоже параллельны. Для подтверждения параллельности прямых и  достаточно параллельности двух одноименных проекций (рис. 57). Исключение составляют некоторые прямые частного положения. Например, для подтверждения параллельности профильных прямых необходимо проверить параллельность всех трех одноименных проекций прямых. Так, показанные на рис. 58 профильные прямые и после построения профильной проекции оказываются не параллельными друг другу.

Скрещивающиеся прямые. Прямые, не пересекающиеся и не параллельные между собой, называются скрещивающимися. На рис. 59 показана пространственная модель таких прямых.

Если прямые скрещиваются в пространстве, то на эпюре их одноименные проекции могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии связи (не являются проекциями одной точки) (рис. 60). Так, точка пересечения фронтальных проекций скрещивающихся прямых и является фронтальной проекцией двух точек и принадлежащих соответственно прямым и  Эти точки не совпадают, так как имеют разные ординаты.

Аналогично, точка пересечения горизонтальных проекций и  является горизонтальной проекцией двух точек  и  имеющих разные аппликаты.

Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых являются конкурирующими. Их видимость на эпюре определяют, как и видимость любых конкурирующих точек, по величине удаления от плоскости, на которой их проекции совпадают. Невидимые точки условно заключают в скобки.

Проекции плоскости

Наряду с точкой и прямой, плоскость также относится к основным базовым понятиям в начертательной геометрии.

Плоскость является простейшей поверхностью. Между декартовыми координатами принадлежащих ей точек существует зависимость, аналитически выраженная в форме многочлена первой степени:

 

т.е. плоскость – поверхность первого порядка.

Кинематическое образование плоскости, как простейшей поверхности, может быть представлено (рис. 61) перемещением прямой (образующей) параллельно направлению  по неподвижной прямой (направляющей).

Положение плоскости в пространстве однозначно определяется тремя различными точками не принадлежащими одной прямой. Поэтому для задания плоскости на чертеже достаточно указать проекции:

• – трех различных точек, не принадлежащих одной прямой (рис.62,а);
• – прямой и точки вне ее (рис. 62, б);
• – двух прямых, пересекающихся в собственной (рис. 62, в) или в несобственной (рис. 62, г) точке;
• – отсека плоской фигуры (рис. 62, д).

В некоторых случаях бывает целесообразным задавать плоскость прямыми, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такой вариант задания плоскости называют заданием плоскости следами.

На рис. 63 показаны плоскость  и ее следы на плоскостях проекций. При этом различают:

Точки в которых пересекаются два следа, называют точками схода следов. Точки схода следов всегда располагаются на осях проекций. На рис. 64 представлен эпюр плоскости, заданной следами.

Всегда можно перейти от одного вида задания плоскости к любому другому. Например, на рис. 65 показано, как от задания плоскости двумя пересекающимися прямыми  можно перейти к заданию ее следами Для этого достаточно найти горизонтальные следы и двух заданных прямых, а также фронтальные следы этих прямых и Соединив проекции и  а также и  получим соответственно горизонтальный  и фронтальный  следы плоскости 

Плоскость общего положения

На приведенных выше примерах заданная плоскость занимает произвольное положение по отношению к плоскостям проекций (углы наклона этой плоскости к плоскостям проекций отличны от 0° к 90°). Такая плоскость называется плоскостью общего положения.

На эпюре такой плоскости не сохраняются метрические характеристики плоской фигуры и не видны углы наклона ее к плоскостям проекций.

Частные случаи расположения плоскости

Кроме рассмотренного общего случая плоскость по отношению к плоскостям проекций может занимать следующие положения:

• – перпендикулярное одной из плоскостей проекций (проецирующие плоскости);
• – параллельное одной плоскости проекций (плоскости уровня).

Проецирующие плоскости

Плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называют проецирующими. При этом различают три типа проецирующих плоскостей:

Характерной особенностью проецирующих плоскостей является то, что сами плоскости и любые геометрические фигуры, лежащие в них, проецируются на плоскости проекций, им перпендикулярные, в виде прямых линий. Такое свойство проекций проецирующих плоскостей называется собирательным.

Например, на рис. 66, 6 горизонтально-проецирующая плоскость, заданная двумя следами – горизонтальным и фронтальным может быть задана только одним следом – Именно этот след несет всю информацию о заданной плоскости.

Проецирующие плоскости на эпюре удобнее задавать следами. При этом след (проекция), обладающий собирательным свойством, несет информацию об углах наклона проецирующей плоскости к неперпендикулярным ей плоскостям проекций (рис. 66, б – 68, б). Два других ее следа перпендикулярны той же плоскости проекций, какой перпендикулярна сама плоскость. Эти два следа не играют важной роли в определении плоскости, поэтому на безосном чертеже проецирующие плоскости обычно задают одним следом – линией пересечения только с той плоскостью, которой они перпендикулярны.

Плоскости уровня

Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называют плоскостями уровня. Различают три типа таких плоскостей:

• – горизонтальная плоскость уровня, параллельная (рис. 69);
• – фронтальная плоскость уровня, параллельная (рис. 70);
• – профильная плоскость уровня, параллельная (рис.71).

Характерной особенностью таких плоскостей является то, что плоские фигуры, расположенные в них, проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которой плоскости уровня параллельны. Две другие проекции (следы) плоскости уровня – прямые, параллельные соответствующим осям проекций. На безосном чертеже обычно задают плоскости уровня одним (любым) следом.

Изображение точки, примой, плоскости и простейших геометрических поверхностей в ортогональных проекциях

Предмет, задачи и метод начертательной геометрии:

Начертательная геометрия это наука изучающая методы изображения реальных пространственных объектив – зданий, сооружений, деталей машин – состоящих из совокупности точек, линий, поверхностей и методы решения геометрических задач но данным изображениям. Вместе с этим решается и очень существенная задача – развитие пространственного воображения.

Метод начертательной геометрии – метод проекций. Так как любой предмет можно рассматривать как совокупность множества точек, то сущность метода проецирования рассмотрим на примере точки.

• Заказать чертежи

Прямоугольные проекции и координаты точек. Эпюр (чертеж) Г.Монжа.  Изображение проекций точек при различном их положении в пространстве

Для построения проекции точки, зададим плоскость – плоскость проекций и точку А – оригинал (любая точка пространства). Проведем через точку А проецирующий луч до пересечения с плоскостью в точке  Точка и является проекцией точки А на плоскость (рисунок 1.1). Если проецирующий луч перпендикулярен плоскости проекций то проецирование называется прямоугольным, а точка называется прямоугольной или

ортогональной проекцией точки А.

На рисунке 1.1 видно, что одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве, так как в точку проецируются все точки проецирующего луча Для того чтобы положение точки в пространстве было определено, возьмем три взаимно перпендикулярные плоскости (рисунок 1.2).

• – горизонтальная плоскость проекции;
• – фронтальная плоскость проекций;
• – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций пересекаясь дают оси проекций –

Спроецируем ортогонально точку А на эти плоскости проекций. Получим соответственно:

• – горизонтальная проекция точки А;
• – фронтальная проекция точки А;
• – профильная проекция точки А.

В трехмерном пространстве положение точки определяется тремя (декартовыми) координатами А Совместив декартовую систему координат с осями проекций, получим начало координат – точку О. Ось ОХ совместим с осью Горизонтальная плоскость проекции Я/ совместится с координатной плоскостью Тогда точка А и ее проекции определяться координатами:

По чертежу видно, что две проекции точки полностью определяют положение точки в пространстве, так как содержат все три координаты.

Для перехода от пространственного чертежа к плоскому, плоскость повернем вокруг оси до совмещения с плоскостью . При этом звенья ломаной образуют прямую перпендикулярную оси Линия называется линией связи проекций

Плоский чертеж состоящий из горизонтальной и фронтальной проекций точки А, расположенных на линии

связи перпендикулярной оси называется эпюром (ортогональным чертежом) и носит имя основателя начертательной геометрии Г

Иногда возникает необходимость по двум проекциям построить третью. На рисунке 1.4 показано построение профильной проекции по двум заданным горизонтальной и фронтальной с помощью постоянной линии чертежа

Плоскости делят все пространство на четыре четверти, отмеченные на рисунке 1.5 римскими цифрами

Точки могут находиться в любой четверти, лежать на плоскостях проекций или на осях. Необходимо освоить две задачи.

Первая – по паре проекций точек находящихся на плоскостях проекций определить положение точки в пространстве.

Вторая – но положению точки в пространстве изобразить ее парой проекций.

На рисунке 1.5 точка А находится в I четверти. Все ее координаты имеют положительное значение – фронтальная проекция находится над осью горизонтальная – под осью. .Монжа (рисунок 1.3).

Точка В, находится во II четверти. Ее координата – отрицательна – обе проекции находится над осью.

У точки С, находящейся в III четверти отрицательными будут координаты

Фронтальная проекция находится под осью горизонтальная – над осью.

У точки D, находящейся в IV четверти, отрицательная координата – обе проекции находится под осью

У точки E, находящейся на плоскости координата = 0, откуда следует, что ее горизонтальная проекция лежит на оси (если точка лежит на какой-то плоскости проекций, то одна из ее проекций обязательно лежит на оси).

Точка К лежит на оси координаты равны нулю, а проекции совпадают  

Изображение примой линии в ортогональных проекциях. Прямые общего и частного положении. Следы примой. Взаимное положение точки и примой

Положение прямой линии в пространстве определяется двумя ее точками. А из свойств параллельного проецирования известно, что проекции прямых являются прямыми линиями. Поэтому, для построения прямой (m) достаточно построить проекции двух её точек (А и В) и одноименные проекции точек соединить прямыми (рисунок 1.6). Отсюда можно сделать вывод если точка лежит на примой, то ее проекции лежат на соответствующих проекциях примой. Если эта точка делит отрезок АВ в каком либо отношении, то в том же отношении проекции точки делят проекции отрезка.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется примой общего положении. На чертеже ни одна из проекций такой прямой не параллельна оси (рисунок 1.6). Длина ортогональной проекции отрезка прямой общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

Прямые частного положения

Прямые параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций называются прямыми частного положения

Различают два вида прямых частного положения:

• -прямые уровня – прямые параллельные плоскостям проекций; проецирующие -прямые – прямые перпендикулярные плоскостям проекций.

Прямые уровня (рисунок 1.7).

• а)    Горизонтальная прямая – прямая параллельная горизонтальной плоскости
• б)    Фронтальная прямая – прямая параллельная фронтальной плоскости
• в)    Профильная прямая – прямая параллельная профильной плоскости

На плоскость проекций, которой прямая уровня параллельна, она проецируется в натуральную величину.

• а)    горизонтально-проецирующая прямая – прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций
• б)    фронтально-проецирующая прямая – прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций
• в)    профильно-мроецирующая прямая – прямая перпендикулярная профильной плоскости проекций

Следы примой

Следами прямой АВ называются точки пересечения ее с плоскостями проекций (рисунок 1.9). Точка H – горизонтальный след прямой АВ. Точка F – фронтальный след прямой АВ.

Так как следы прямой это точки лежащие на плоскостях проекций, то одна из проекций следа находится на оси Поэтому для определения на эпюре горизонтального следа прямой (рисунок 1.10) необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью и отметить точку Из этой точки провести линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. Получим точку определяют горизонтальный след прямой. Аналогично определяется фронтальный след прямой

Взаимное положение прямых. Понятие конкурирующих точек

Две прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Их положение в пространстве устанавливается взаимным расположением одноименных проекций.

Если в пространстве две прямые параллельны, то их одноименные проекции также параллельны (рисунок 1.11а).

Параллельность профильных прямых не всегда очевидна. Хотя их горизонтальные и фронтальные проекции параллельны, сами прямые могут быть не параллельны. Для определения их взаимного положения можно построить профильную проекцию, (рисунок 1.116).

Перeсекающиеси прямые – это прямые, имеющие общую точку, следовательно, если прямые в пространстве пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций лежат на одной линии проекционной связи (рисунок 1.12).

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки, поэтому точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рисунок 1.13).

Пары точек, у которых какие-либо одноименные проекции совпали, т.е. они лежат на одном проецирующем луче, называются конкурирующими (одна из них «закрывает» другую). Точки М и N – горизонтально-конкурирующие, точки К и L – фронтально-конкурирующие. Из двух конкурирующих точек видна та, у которой больше одна из координат (две другие совпадают).

Например, координата Z у точки М больше, чем у точки N , следовательно, прямая а в этом месте расположена выше прямой в и будет видима при взгляде сверху, т.е. на горизонтальной проекции. Аналогично, у точки L координата Y больше, чем у точки K, следовательно, в этом месте прямая а расположена ближе к зрителю и будет видима на фронтальной проекции. Определение видимости конкурирующих точек позволит нам в дальнейшем определять видимость прямой относительно плоскости.  

Задание плоскости в ортогональных проекциях. Следы плоскости

Положение плоскости в пространстве определяется тремя не лежащими на одной прямой точками, прямой и не лежащей на ней точкой, двумя параллельными или пересекающимися прямыми, плоской фигурой. Примеры задания плоскости даны на рисунке 1.14.

Все изображенные на рисунке 1.14 плоскости являются плоскостями общего положения. Плоскостью общего положения называется плоскость не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. Плоскость также можно задать следами. Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций (рисунок 1.15).

Т.к следы плоскости – прямые линии, то для их построения достаточно найти две точки принадлежащие им. Пели прямые лежат в плоскости, то их следы лежат на следах плоскости. Следовательно для построения следов плоскости достаточно построить следы двух прямых лежащих в этой плоскости (рисунок 1.15).

Фронтальным следом плоскости . называется линия ее пересечения с фронтальной плоскостью проекций  Обозначается фронтальный след буквой Фронтальная проекция этого следа совпадает с самим следом, а горизонтальная лежит на оси

Горизонтальный след плоскости – линия пересечения с горизонтальной плоскостью проекций Аналогично горизонтальный след плоскостисовпадает со своей горизонтальной проекцией  а его фронтальная проекция лежит на оси

Они имеют общую точку на оси х – точку схода следов.

Прямые и точки в плоскости

Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой принадлежащей этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

На рисунке 1.17а. фронтальная проекция точки К выбрана произвольно в плоскости а Для построения горизонтальной проекции через проведена произвольная прямая проходящая через точки принадлежащие плоскости . Построив горизонтальные проекции точки проведем горизонтальную проекцию прямой принадлежащей плоскости и по линии связи найдем на ней горизонтальную проекцию Аналогично построена точка К принадлежащая плоскости (рисунок 1.176) и плоскости (рисунок 1.17в).  

Главные линии плоскости

Главными линиями плоскости называются ее горизонтали, фронтали и линии наибольшего ската.

Горизонтали плоскости – это прямые, принадлежащие плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций –

Все горизонтали плоскости параллельны между собой и параллельны горизонтальному следу плоскости. Фронтальные проекции горизонталей параллельны оси (рисунок 1.18).

Фронтали плоскости – это прямые, принадлежащие плоскости и параллельны фронтальной плоскости проекций –Все фронтали плоскости параллельны между собой и параллельны фронтальному следу плоскости. Горизонтальные проекции фронталей параллельны оси (рисунок 1.19).

Плоскости частного положения

Плоскости как и прямые относительно плоскостей проекций могут занимать частное положение. Плоскости, перпендикулярные или параллельные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями частного положения.

Плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими (рисунок 1.20).

• а)    горизонтально проецирующая плоскость
• б)    фронтально проецирующая плоскость
• в)    профильно проецирующая плоскость

Плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями уровня (рисунок 1.21).

Изображение простейших геометрических поверхностей

Многогранники представляют собой совокупность отрезков прямых и плоских фигур. На рисунке 1.22 изображены:

• а)    трехгранная прямая призма.
• б)    трехгранная пирамида.

На рисунке 1.23 изображены простейшие кривые поверхности:

• а)    прямой круговой цилиндр.
• б)    прямой круговой конус.

При решении геометрических задач в пространстве часто возникает проблема определения расстояния между плоскостью и точкой. В некоторых случаях это необходимо для комплексного решения. Эту величину можно вычислить, если найти проекцию на плоскость точки. Рассмотрим этот вопрос подробнее в статье.

Уравнение для описания плоскости

Перед тем как перейти к рассмотрению вопроса касательно того, как найти проекцию точки на плоскость, следует познакомиться с видами уравнений, которые задают последнюю в трехмерном пространстве. Подробнее – ниже.

Уравнением общего вида, определяющим все точки, которые принадлежат данной плоскости, является следующее:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Первые три коэффициента – это координаты вектора, который называется направляющим для плоскости. Он совпадает с нормалью для нее, то есть является перпендикулярным. Этот вектор обозначают n¯(A; B; C). Свободный коэффициент D однозначно определяется из знания координат любой точки, принадлежащей плоскости.

Далее в статье будем использовать записанное уравнение. Оно требуется, чтобы найти проекцию точки на плоскость.

Понятие о проекции точки и ее вычисление

Предположим, что задана некоторая точка P(x₁; y₁; z₁) и плоскость. Она определена уравнением в общем виде. Если провести перпендикулярную прямую из P к заданной плоскости, то очевидно, что она пересечет последнюю в одной определенной точке Q (x₂; y₂; z₂). Q называется проекцией P на рассматриваемую плоскость. Длина отрезка PQ называется расстоянием от точки P до плоскости. Таким образом, сам PQ является перпендикулярным плоскости.

Как можно найти координаты проекции точки на плоскость? Сделать это не сложно. Для начала следует составить уравнение прямой, которая будет перпендикулярна плоскости. Ей будет принадлежать точка P. Поскольку вектор нормали n¯(A; B; C) этой прямой должен быть параллелен, то уравнение для нее в соответствующей форме запишется так:

(x; y; z) = (x₁; y₁; z₁) + λ*(A; B; C).

Где λ – действительное число, которое принято называть параметром уравнения. Изменяя его, можно получить любую точку прямой.

После того как записано векторное уравнение для перпендикулярной плоскости линии, необходимо найти общую точку пересечения для рассматриваемых геометрических объектов. Ее координаты и будут проекцией P. Поскольку они должны удовлетворять обоим равенствам (для прямой и для плоскости), то задача сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.

Понятие проекции часто используется при изучении чертежей. На них изображаются боковые и горизонтальные проекции детали на плоскости zy, zx, и xy.

Вычисление расстояния от плоскости до точки

Как выше было отмечено, знание координат проекции на плоскость точки позволяет определить дистанцию между ними. Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте, получаем, что искомое расстояние равно длине отрезка PQ. Для его вычисления достаточно найти координаты вектора PQ¯, а затем рассчитать его модуль по известной формуле. Конечное выражение для d расстояния между P точкой и плоскостью принимает вид:

d = |PQ¯| = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²).

Полученное значение d представлено в единицах, в которых задается текущая декартова координатная система xyz.

Пример задачи

Допустим, имеется точка N(0; -2; 3) и плоскость, которая описывается следующим уравнением:

2*x – y + z + 4 = 0.

Следует найти точки проекцию на плоскость и вычислить между ними расстояние.

В первую очередь составим уравнение прямой, которая пересекает плоскость под углом 90^o. Имеем:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Записывая это равенство в явном виде, приходим к следующей системе уравнений:

x = 2*λ;

y = -2 – λ;

z = λ + 3;

2*x – y + z + 4 = 0.

Подставляя значения координат из первых трех равенств в четвертое, получим значение λ, определяющее координаты общей точки прямой и плоскости:

2*(2*λ) – (-2 – λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Подставим найденный параметр в уравнение прямой и найдем координаты проекции исходной точки на плоскость:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Для вычисления дистанции между заданными в условии задачи геометрическими объектами применим формулу для d:

d = √((3 – 0 )² + (-3,5 + 2 )² + (4,5 – 3 )²) = 3,674.

В данной задаче мы показали, как находить проекцию точки на произвольную плоскость и как вычислять между ними расстояние.