11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.
11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.
- Оглавление
- Занятия
- Обсуждение
- О курсе
Вопросы
Поделись с друзьями
Комментарии преподавателя
1. Введение
Если через точку О в пространстве мы проведем три перпендикулярные прямые, назовем их, выберем направление, обозначим единичные отрезки, то мы получим прямоугольную систему координат в пространстве. Оси координат называются так: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат и Оz – ось аппликат. Вся система координат обозначается – Oxyz. Таким образом, появляются три координатные плоскости: Оxy, Оxz, Оyz.
Приведем пример построения точки В(4;3;5) в прямоугольной системе координат (см. Рис. 1).
Рис. 1. Построение точки B в пространстве
Первая координата точки B – 4, поэтому откладываем на Ox 4, проводим прямую параллельно оси Oy до пересечения с прямой, проходящей через у=3. Таким образом, мы получаем точку K. Эта точка лежит в плоскости Oxy и имеет координаты K(4;3;0). Теперь нужно провести прямую параллельно оси Oz. И прямую, которая проходит через точку с аппликатой 5 и параллельна диагонали параллелограмма в плоскости Oxy. На их пересечении мы получим искомую точку B.
Рассмотрим расположение точек, у которых одна или две координаты равны 0 (см. Рис. 2).
Например, точка A(3;-1;0). Нужно продолжить ось Oy влево до значения -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пересечении линий, проходящих через эти значения, получаем точку А. Эта точка имеет аппликату 0, а значит, она лежит в плоскости Oxy.
Точка C(0;2;0) имеет абсциссу и аппликату 0 – не отмечаем. Ордината равна 2, значит точка C лежит только на оси Oy, которая является пересечением плоскостей Oxy и Oyz.
Чтобы отложить точку D(-4;0;3) продолжаем ось Ox назад за начало координат до точки -4. Теперь восстанавливаем из этой точки перпендикуляр – прямую, параллельную оси Oz до пересечения с прямой, параллельной оси Ox и проходящей через значение 3 на оси Oz. Получаем току D(-4;0;3). Так как ордината точки равна 0, значит точка D лежит в плоскости Oxz.
Следующая точка E(0;5;-3). Ордината точки 5, аппликата -3, проводим прямые проходящие через эти значения на соответствующих осях, и на их пересечении получаем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую координату 0, значит она лежит в плоскости Oyz.
2. Координаты вектора
Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсцисс, единичный вектор оси ординат , и единичный вектор оси аппликат (см. рис. 1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны – попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.
Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам
Возьмем вектор , поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным – лежащим в разных плоскостях – векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов , и . Получаем: . Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор . , а длина вектора ровно в x раз больше длины . Так же поступим и с векторами и , и получаем разложение вектора по трем координатным векторам:
Коэффициенты этого разложения x, y и z называются координатами вектора в пространстве.
Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.
;
1) Сложение:
2) Вычитание:
3) Умножение на число: ,
Вектор, начало которого совпадает с началом координат, называется радиус–вектором. (Рис. 2). Вектор – радиус-вектор, где x, y и z – это коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам , , . В данном случае x – это первая координата точки A на оси Ox, y – координата точки B на оси Oy, z – координата точки C на оси Oz. По рисунку видно, что координаты радиус-вектора одновременно являются координатами точки М.
Возьмем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Представим вектор как разность векторов и по свойству векторов. Причем, и – радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора как разность соответствующих координат векторов и : . Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы , , . Нас спрашивают вектор . В данном случае найти это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:
Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:
У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:
Ответ:
Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB – попарно перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M – сер.AC; N – сер.OC; P – сер. CB.
Найти: ,,,,,,,.
Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды – M, P и N. По рисунку находим координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).
Так как координаты вектора – это разность координат его конца и начала, получаем:. Таким же образом находим координаты векторов и . ; .
Чтобы найти координаты вектора , нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку видно, что точка N имеет координаты, так как она лежит на оси аппликат. Рассмотрим . MN – средняя линия, . Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их разность: .
Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5 по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.
;
.
Вектора и – радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих векторов: , .
Раздел 2. Векторная алгебра
Абсолютная величина вектора см. Модуль вектора.
Абсцисса – первая координата вектора или точки в декартовой системе координат.
Антикоммутативное свойство (Антикоммутативность) векторного произведения двух векторов: при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный, т.е. a´b = – b´a.
Аппликата – третья координата вектора или точки в декартовой системе координат.
Базис n-мерного векторного пространства (Базисные векторы) – совокупность n линейно независимых векторов этого пространства, линейными комбинациями которых можно представить любой вектор пространства.
См. Ортонормированный базис.
Базис трехмерного пространства (Базис в пространстве) – упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Базис на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов.
Базисные векторы см. Базис n-мерного пространства.
Базисные векторы декартовой прямоугольной системы координат – единичные ортогональные векторы i, j на плоскости и единичные попарно ортогональные векторы i, j, k в пространстве.
Вектор (Векторная величина, геометрический вектор) – направленный отрезок прямой. Пояснение. Вектор является величиной, полностью определенной своим направлением и длиной. Обозначение: a, 
.
См. Единичный, нулевой, свободный, связанный вектор; коллинеарные, компланарные, линейно зависимые, линейно независимые векторы.
Векторная алгебра – раздел математики, изучающий алгебраические операции над векторами.
Векторная величина см. Вектор.
Векторное произведениедвух векторов a и b – вектор c, определяемый следующими тремя условиями:
а) модуль вектора c, численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах, т.е. |c| = |a|×|b|×sin j, где j = Ð(a,b);
б) вектор c ортогонален векторам a и b;
в) вектор c направлен так, что векторы a, b, c образуют правую тройку.
Обозначения: a´b = c, [a, b] = c, [ab] = c.
Векторно-скалярное произведение векторов см. Смешанное произведение векторов.
Вектор-столбец – запись вектора, при которой его координаты располагаются вертикально.
Вектор-строка– запись вектора, при которой его координаты располагаются горизонтально.
Геометрический вектор см. Вектор.
Граничные точки отрезка см. Концевые точки отрезка.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве– система координат, заданная тремя взаимно ортогональными единичными векторами, называемыми ортами.
Декартова прямоугольная система координат на плоскости– система координат, заданная двумя взаимно ортогональными единичными векторами, называемыми ортами.
Декартовы координаты вектора– проекции вектора на оси координат декартовой системы координат.
Длина вектора см. Модуль вектора.
Единичный вектор – вектор, модуль которого равен единице.
Обозначение: a o , e. См. Орт.
Квадрант – одна из четырех областей, на которые плоскость делится двумя взаимно перпендикулярными прямыми.
Коллинеарность векторов– свойство векторов быть коллинеарными.
Коллинеарные векторы – векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: a||b.
Компланарность– свойство векторов быть компланарными.
Компланарные векторы– векторы, расположенные в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Компонента см. Координата.
Концевые точки отрезка(Граничные точки отрезка) – точки, между которыми заключен отрезок прямой.
Координата (компонента, составляющая) вектора в декартовой системе координат – проекция вектора на соответствующую ось координат.
Координатная плоскость – плоскость, проходящая через две координатные оси из трех.
Координатные оси (Оси координат) – числовые прямые, имеющие общую нулевую точку (начало координат).
Координаты точки – 1) числа, определяющие положение точки на плоскости или в пространстве; 2) координаты радиус-вектора этой точки.
Левая тройка векторов – тройка векторов, не являющаяся правой.
Линейная комбинация n векторов – сумма произведений этих векторов на произвольные скаляры (числа), называемые коэффициентами:
Линейно зависимые векторы – векторы, линейная комбинация которых равна нулю, если не все коэффициенты равны нулю.
Линейно независимые векторы – векторы, линейная комбинация которых равна нулю только при условии, когда все коэффициенты равны нулю.
Линейные операции над векторами – это операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Многогранник (Многогранная поверхность) – поверхность, образованная из многоугольников (граней поверхности) так, что каждая сторона любого из этих многоугольников (ребро поверхности) является стороной еще одного многоугольника.
Многоугольник – замкнутая ломаная линия на плоскости.
Модуль вектора (Длина вектора, Абсолютная величина вектора) – число, равное расстоянию между его началом и концом. Обозначение: |a|, | |.
Направляющий косинус вектора– косинус соответствующего направляющего угла.
Направляющий угол вектора– угол, образуемый вектором и соответствующей осью координат декартовой системы.
Начало координат– точка пересечения координатных осей, являющаяся началом отсчета. Обозначение: O.
Нулевой вектор– вектор, модуль которого равен нулю.
Пояснение. Начало и конец нулевого вектора совпадают. Обозначение: o.
Объем тела – мера пространственных тел, не меняющая своего значения при движении тела и равная единице на единичном кубе.
Октант – одна из восьми областей, на которые трехмерное пространство делится тремя взаимно перпендикулярными плоскостями.
Ордината– вторая координата вектора или точки в декартовой системе координат.
Ориентация векторов– взаимное расположение трех векторов в пространстве; три вектора могут быть с правой или левой ориентацией. Такие векторы образуют правую или левую тройку векторов соответственно.
См. Правая тройка векторов.
Орт – единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a. Обозначение: a o .
Ортогональность– свойство векторов быть ортогональными.
Ортогональные векторы– 1) векторы, угол между которыми является прямым; 2) векторы, скалярное произведение которых равно нулю.
Ортонормированный базис – базис векторного пространства, образованный единичными попарно ортогональными векторами.
Острый угол между векторами– угол, значение которого меньше 90 о .
Оси координат см. Координатные оси.
Ось– прямая, на которой указаны начало отсчета, единица и положительное направление.
Ось абсцисс (Ось x) – первая ось в декартовой системе координат на плоскости или в пространстве.
Ось аппликат (Ось z) – третья ось в декартовой системе координат в пространстве.
Ось ординат (Ось y) – вторая ось в декартовой системе координат на плоскости или в пространстве.
Отрезок прямой(Отрезок) – часть прямой, заключенная между двумя ее точками и включающая обе эти точки.
Параллелепипед– призма, основаниями которой являются параллелограммы.
Параллелограмм – плоский четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Параллельный перенос (сдвиг) – перемещение фигуры, при котором каждая точка перемещается на один и тот же вектор.
Параллельный сдвиг см. Параллельный перенос.
Пирамида– многогранник, одной их граней которого является многоугольник (обычно это основание), а остальные грани – треугольники с общей вершиной.
Площадь плоской фигуры – неотрицательная функция геометрической фигуры на плоскости, сохраняющая свое значение при движениях и удовлетворяющая условию, что единичный квадрат имеет площадь, равную единице.
Полный угол – угол, равный 360 о .
Правая (Правоориентированная) тройка векторов – три некомпланарных вектора, удовлетворяющих условиям:
1) они упорядочены, и третий вектор направлен по направлению осевого движения правого винта при повороте по наименьшему углу от первого вектора ко второму;
2) они упорядочены и наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от первого вектора ко второму и от второго к третьему кажутся происходящими против часовой стрелки;
3) они упорядочены и из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки.
Пояснение. Приведены три равносильных условия (определения) правой тройки векторов.
Правило параллелограмма– графическое правило образования суммы двух векторов.
Правило треугольника– графическое правило образования суммы двух векторов.
Призма – многогранник, две грани (основания) которого – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) – параллелограммы.
Проекция вектора на вектор– число, равное модулю вектора, проекция которого находится, умноженному на косинус угла между векторами.
Произведение вектора a на скаляр (число) l – вектор, обозначаемый la, такой что:
а) его модуль равен произведению модулей исходного вектора и скаляра, т.е.
|la| = |l|×|a|;
б) новый вектор и исходный вектор коллинеарны, т.е. a || la;
в) векторы a и la сонаправлены, если l > 0, и противоположно направлены, если l o , в радианной мере p/2.
Прямоугольные декартовы координаты – координаты, базис которых состоит из попарно ортогональных единичных векторов.
Равные векторы – векторы, являющиеся коллинеарными, одинаково направленными и имеющие равные модули.
Радиус-вектор точки P – вектор 
, начало которого находится в начале координат O, а конец – в рассматриваемой точке P.
Развернутый угол – угол, стороны которого составляют одну прямую; в градусной мере равен 180 o , в радианной мере p.
Свободный вектор– множество всех векторов, равных данному вектору, т.е. множество всех векторов с одинаковым модулем и направлением, но с различными начальными точками.
Связанный вектор– вектор с фиксированной начальной точкой.
Скаляр (Скалярная величина) – величина, которая полностью характеризуется одним числом.
Скалярная величинасм. Скаляр.
Скалярное произведение двух векторов– число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: ab, a×b, (a,b).
Скалярный квадрат– скалярное произведение вектора на самого себя.
Обозначение: a 2 .
Сложение векторовсм. Сумма двух векторов.
Смешанное (Векторно-скалярное) произведение трех векторов – число, полученное по правилу: (a´b)×c), т.е. первые два вектора перемножаются векторно, а результат умножается на третий вектор скалярно. Обозначение: abc, (abc).
Составляющаясм. Координата.
Сумма двух векторов – новый вектор, получаемый по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначение: a + b = c.
Тетраэдр– треугольная пирамида, т.е. пирамида, основанием которой является треугольник.
Пояснение. Тетраэдр имеет четыре треугольных грани, шесть ребер и четыре вершины.
Треугольная призма – призма, основания которой – треугольники.
Треугольник– многоугольник, имеющий три вершины и три стороны.
Тупой угол– угол, больший прямого, но меньший развернутого.
Угол между двумя векторами– наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов до совмещения с другим.
См. Острый, полный, прямой, развернутый, тупой угол.
Умножение вектора на скаляр – операция отыскания произведения вектора на скаляр. Обозначение: la = b.
Упорядоченная тройка векторов – три вектора, если указано, какой из них является первым, какой – вторым и какой – третьим.
Ортогональные векторы и условие ортогональности
В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.
Ортогональные векторы: определение и условие
Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .
Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.
Примеры решения задач на ортогональность векторов
Плоские задачи на ортогональность векторов
Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:
a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0
Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 >и b ¯ = < 2 ; – 1 >ортогональны.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( – 1 ) = 2 – 2 = 0
Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.
Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = < 3 ; – 1 >и b ¯ = < 7 ; 5 >ортогональны.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( – 1 ) × 5 = 21 – 5 = 16
Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.
Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 >и b ¯ = < n ; 1 >будут ортогональными.
Как решить?
Найдем скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = – 4 n = – 2
Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .
Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; – 1 ; 10 >условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .
Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; – 1 ; 10 >являются ортогональными.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( – 1 ) + 0 × 10 = 2 – 2 = 0
Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.
Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 ; 1 >и b ¯ = < n ; 1 ; – 8 >будут являться ортогональными.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( – 8 ) = 2 n + 4 – 8 = 2 n – 4 2 n – 4 = 0 2 n = 4 n = 2
Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .
[spoiler title=”источники:”]
http://lektsii.org/1-77669.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/ortogonalnye-vektory-i-uslovie-ortogonalnosti/
[/spoiler]
Как найти аппликата вектора
Адиль Айжанов
Ученик
(95),
на голосовании
1 год назад
Здравствуйте! Ищу в интернете и не могу найти формулу и нормальное разъяснение что такое аппликата и как её найти. Сама задача:
Заданы координаты точек А(-4, 6, 3), В(-5, -2, 6). Найдите аппликату вектора .
Голосование за лучший ответ
При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.
Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O. Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.
Прямые с началом O, имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.
Прямоугольная система координат обозначается Oxy. Координатными осями называют Ох и Оу, называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.
Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.
Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление Ох слева направо, а Oy – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.
Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.
Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве
Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех Ох, Оу, Оz осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где Оz имеет название ось аппликат.
По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.
Оси координат пересекаются в точке O, называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.
Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.
Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости
Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равняется единственной точке М, расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если -3, то соответственное расстояние 3. Ноль – это начало отсчета координатных прямых.
Иначе говоря, каждая точка М, расположенная на Ox, равна действительному числу xM . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении Ox и Оу. Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.
Имеющееся число xM называют координатой точки М на заданной координатной прямой.
Возьмем точку как проекцию точки Mx на Ох, а как проекцию точки My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, где послучим соответственные точки пересечения Mx и My .
Тогда точка Mx на оси Ох имеет соответствующее число xM , а My на Оу – yM. На координатных осях это выглядит так:
Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел (xM, yM), называемую ее координатами. Абсцисса M – это xM , ордината M – это yM .
Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара (xM, yM) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.
Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве
Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются Mx, My, Mz, являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси Ох, Оу, Оz. Тогда значения этих точек на осях Ох, Оу, Оz примут значения xM, yM, zM. Изобразим это на координатных прямых.
Чтобы получить проекции точки M, необходимо добавить перпендикулярные прямые Ох, Оу, Оz продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M. Таким образом, плоскости пересекутся в Mx, My, Mz
Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные (xM, yM, zM) , которые имеют название координаты точки M, , xM, yM, zM- это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M. Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.
Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.
Оси координат (Ox), (Oy) и (Oz) называются соответственно: (Ox) — ось абсцисс, (Oy) — ось ординат, (Oz) — ось аппликат.
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: ((Oxy)), ((Oyz)) и ((Oxz)).
Положение точки (A) в пространстве определяется тремя координатами: (x), (y) и (z).
Координата (x) называется абсциссой точки (A), координата (y) — ординатой точки (A), координата (z) — аппликатой точки (A).
Записываются так: (A(x; y; z)).
Если точка находится на оси (Ox), то её координаты (X(x; 0; 0)).
Если точка находится на оси (Oy), то её координаты (Y(0; y; 0)).
Если точка находится на оси (Oz), то её координаты (Z(0; 0; z)).
Если точка находится в плоскости (Oxy), то её координаты
A1x;y;0
.
Если точка находится в плоскости (Oyz), то её координаты
A20;y;z
.
Если точка находится в плоскости (Oxz), то её координаты
A3x;0;z
.
Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы
i→
,
j→
и
k→
, то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде
OA→=x⋅i→+y⋅j→+z⋅k→
.
Коэффициенты (x), (y) и (z) определяются одним-единственным образом и называются координатами вектора.
Записываются так:
OA→x;y;z
.
Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:
– координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:
,
b→x2;y2;z2
,
a→+b→x1+x2;y1+y2;z1+z2
;
– координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
a→−b→x1−x2;y1−y2;z1−z2
;
– координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:
– длину вектора:
– координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точек вектора:
,
BxB;yB;zB
,
AB→xB−xA;yB−yA;zB−zA
;
– расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:
;
– координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точек отрезка:
.
Содержание:
Система координат в пространстве
Декартова система координат в пространстве
Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом
точку О – называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оz — осями координат, Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат и Оz – ось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охz – координатными плоскостями.
Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).
Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.
Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.
Аналогично определяют у – координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.
Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4). 
Пример:
Пусть в пространстве в декартовой системе координат
задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?
Решение:
От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).
Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой. 
Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).
Расстояние между двумя точками
Пусть заданы две точки А (х1; у1; z1) и B (х2; у2; z2).
1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .
Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.
Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.
По теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + СВ2.
Однако 
Поэтому 
2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда 
и, так как
х1= х2 , у1 = у2 , мы опять приходим к вышеприведённой формуле.
Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:
(1)
Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 
Уравнение сферы и шара
Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству 
Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в
точке А (а; b; с) имеет вид: 
Пример:
Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в
точках А (9; 3; -5), В (2; 10; -5), С (2; 3; 2).
Решение:
Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой 
расстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:
Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр 
.
Ответ: 
Координаты середины отрезка
Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) – произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8). 
Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках 
и 
. Тогда по теореме Фалеса точка Сz – середина отрезка АzВz.
Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости 
Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.
Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.
Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам 
находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).
Задача 3. Докажите, что четырёхугольник МЛШЬ с вершинами М{3; 6; 4), N(0; 2; 4), К(3; 2; 8), 1(6; 6; 8) – параллелограмм (рис. 9).
Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.
Координаты середины отрезка МК:
Координаты середины отрезка NL:
Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK – параллелограмм.
В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»
Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения – длина, глубина и ширина».
Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».
В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»
В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы – эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.
Векторы в пространстве и действия над ними
Векторы в пространстве
Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.
Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа 
, (рис. 17).
Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.
Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.
Hа основании этого вектор можно обозначить как 
или 
или кратко 
(рис. 18).
Вектор можно записать и без координат 
(или 
). В этой записи
на первом месте начало вектора, а на втором – конец.
Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают 
или 
, направление этого вектора не определено.
Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,
а2 и а3 – координаты точки А, то есть А (а1; а2; а3), то эти же числа будут
координатами вектора 
: 
(а1; а2; а3).
Однако вектор в пространстве 
с началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке 
будет иметь те же координаты: 
.
Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.
Длинной вектора называют длину направленного отрезка
изображающего его (рис. 17). Длину вектора 
записывают
так
. Длина вектора 
, заданного координатами,
вычисляется по формуле 
.
Пример:
Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов 
и 
равны между собой?
Решение:
У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:
Следовательно, 
.
Докажите самостоятельно, что 
Действия над векторами в пространстве
Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.
Суммой векторов и 
(b1; b2; b3); называют вектор 
(рис. 20).
Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора , а груз относительно крана вдоль вектора 
. В результате груз движется вдоль вектора 
. Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.
Свойства суммы векторов
Для любых векторов 
,
и 
имеют место следующие свойства:
a)
– переместительный закон сложения векторов;
b)
– распределительный закон сложения.
Правило треугольника сложения векторов
Для любых точек А, В и С (рис. 21): 
Правило параллелограмма сложения векторов
Если АВСD – параллелограмм (рис. 22), то 
Правило многоугольника сложения векторов
Если точки А, В, С, D и Е – вершины многоугольника (рис. 23), то
Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то
.
Вектор 
= (a1; a2; a3) – называют умножением вектора
(a1; a2; a3) на число 
(рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.
Для любых векторов и и чисел 
и 
а)
;
b)
;
c)
и направление вектора
совпадает с направлением вектора , если 
,
противоположно направлению вектора , если 
. 
Коллинеарные и компланарные векторы
Пусть заданы ненулевые векторы и 
. Если векторы
и сонаправлены или противоположно направлены,
то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).
Свойство 1. Если для векторов и имеет место равенство 
, то они коллинеарны и наоборот.
Если 
, то векторы и сонаправлены 
, если
, то
противоположно направлены 
.
Свойство 2. Если векторы (a1; a2; a3) и (b1; b2; b3) коллинеарны,
то их соответствующие координаты пропорциональны:
и наоборот.
Пример:
Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору ( 1; 2; 3).
Решение:
Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда 
(х – 1 ;у – 1; – 1).
По условию задачи векторы (х – 1 ;у – 1; – 1) и (1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.
Тогда получаем следующие пропорции 
.
Откуда находим 
, 
.
Итак,
Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27). 
Векторы 
(1; 0; 0), 
(0; 1; 0) и 
(0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).
Любой вектор 
можно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде 
(рис. 29).
Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора 
и 
, то любой вектор 
можно единственным образом представить в виде:
.
Здесь 
некоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.
Скалярное произведение векторов
Углом между ненулевыми векторами и называют угол между направленными отрезками векторов 
= и 
=, исходящих из точки О (рис. 30).
Угол между векторами и обозначают так 
.
Скалярным произведением векторов и называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Скалярное произведение обозначают 
или 
. По определению
(1)
Из определения следует, что если скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.
В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии 
, под воздействием силы 
(рис. 31), равна скалярному произведению силы 
на расстояние
: 
Свойство. Если и (b1; b2; b3), то (
) = 
Доказательство. Приложим векторы и к началу
координат О (рис.32). Тогда = 
и 
= (b1; b2; b3).
Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.
Тогда
.
Однако, 
,
и 
.
Следовательно,
.
Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны 
, также выполняется
это равенство. 
Свойства скалярного произведения векторов
1.
– переместительное свойство.
2.
– распределительное свойство.
3.
– сочетательное свойство.
4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными
векторами, то 
, так как соs 0° = 1.
5.Если же векторы противоположно направлены, то 
, так как cos l80° = -1.
6. 
.
7. Если вектор перпендикулярен вектору , то 
. Следствия: а) Длина вектора 
; (1) b) косинус угла между векторами
: 
; (2)
с) условие перпендикулярности векторов 
и
.
(3)
Пример:
– заданные точки. Найдите косинус угла между векторами 
.
Решение:
Найдём длины векторов 
:
,
.
,
.
Следовательно,
Пример:
Найдите угол между векторами 
.
Решение:
Итак, 
Пример:
Найдите 
, если 
, 
и угол между векторами
и 
равен 
.
Решение:
Пример:
Найдите координаты и длины векторов 1)
; 2)
, если 
.
Решение:
Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов и по координатам:
1)
. Следовательно,
.
Тогда
.
2)
.
Следовательно, 
.
Тогда 
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример:
Найдите произведение
, если угол между векторами и равен 30° и 
, 
.
Решение:
Сначала найдём поизведение векторов и :
.
Затем перемножим заданные выражения как многочлены
и, пользуясь распределительным свойством умножения
вектора на число, получим:
.
Учитывая, что 
,
найдём искомое произведение
Преобразование и подобие в пространстве
Геометрические преобразования в пространстве
Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.
Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.
Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.
Движение и параллельный перенос
Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в равный ему отрезок, угол – в равный ему угол, треугольник – в равный ему треугольник, плоскость – в плоскость, тетраэдр – в равный ему тетраэдр.
В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.
Простейшим примером движения является параллельный перенос.
Пусть в пространстве даны вектор
и произвольная точка Х
(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным
переносом на вектор , если выполняется условие 
. Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор при помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.
Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч – в луч, плоскость – в плоскость,
и т. д.
Пусть точка 
фигуры F перешла в точку 
фигуры F1 при помощи параллельного переноса
на вектор 
.
Тогда по определению получим:
или
.
Эти равенства называют формулами параллельного переноса.
Пример:
В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор
= (3; 2; 5)?
Решение:
По вышеприведённым формулам параллельного переноса: 
.
Ответ: 
.
Центральная симметрия в пространстве
Если в пространстве 
, то есть точка О – середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.
Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.
Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.
Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.
Пример:
В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?
Решение:
Пусть А1 = (х; у; z) – искомая точка. По определению точка
О – середина отрезка АА1. Следовательно,
Из этих уравнений получаем:
.
Ответ: 
Симметрия относительно плоскости
Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,
если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно
плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).
Симметрия относительно плоскости а является движением. 
Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.
Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.
Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.
Поворот и симметрия относительно оси
Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол 
, то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол относительно прямой l (рис. 55).
Если каждую точку фигуры F повернуть на угол относительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол относительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.
Поворот относительно прямой также является движением.
Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.
Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:
Симметрия в природе и технике
В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.
Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.
Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.
Подобие пространственных фигур
Пусть 
и преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если
при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры 
, то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).
Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.
Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.
Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к 
. Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию 
, называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом 
(рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число коэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.
Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.
Гомотетия относительно точки О с коэффициентом является преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом при = 1 отображает фигуру F в себя, а при =-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число раз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость – в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.
Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.
- Иррациональные числа
- Действительные числа
- Решение уравнений высших степеней
- Системы неравенств
- Уравнения и неравенства
- Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
- Уравнение
- Метод математической индукции
