Как найти ось призмы

Содержание

  1. Введение системы координат
  2. Координаты куба
  3. Координаты трехгранной призмы
  4. Координаты шестигранной призмы
  5. Координаты четырехугольной пирамиды
  6. Координаты правильной треугольной призмы

Введение системы координат

Метод координат — это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Тем не менее, приведу некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников. С указанием конкретных точек. Во всех случаях упор делается на минимизацию объема вычислений.

Координаты куба

Если в задаче C2 будет куб — считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

  1. Начало координат — в точке A;
  2. Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
  3. Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA1.

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

Точка A B C D
Координаты (0; 0; 0) (1; 0; 0) (1; 1; 0) (0; 1; 0)
Точка A1 B1 C1 D1
Координаты (0; 0; 1) (1; 0; 1) (1; 1; 1) (0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B1 = (1; 0; 1). Главное — не запутаться!

Координаты трехгранной призмы

Призма — это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб — это тоже призма, только четырехгранная.

Итак, поехали! Вводим систему координат:

  1. Начало координат — в точке A;
  2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
  3. Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C1. У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Шестигранная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты четырехугольной пирамиды

Пирамида — это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.

Источник

Координаты правильной треугольной призмы

Решение заданий №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

С помощью данных методических рекомендаций можно научиться решать задачи на вычисление углов и расстояний в стереометрии с помощью координатно-векторного метода. Для учеников 10-11 классов самой главной проблемой является подготовка к ЕГЭ. Причем не все ученики уверенно решают задания II части , а некоторые и не берутся за их решение.

Координатно-векторный метод основан на введении прямоугольной системы координат и создании геометрически-алгебраической модели решения задач, тем самым упрощая громоздкие и достаточно сложные преобразования и выкладки.

Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Выражаю огромную благодарность своим ученикам 11 класса 2016 – 2017 учебного года: Комаровой Ангелине, Тарбаеву Наилю, Бекмурзаеву Тимуру, Утегеновой Аимгуль, Абылхатаевой Карине, Кункашевой Арине, Юсуповой Аделине, Успанову Гелиму, которые сыграли большую роль в создании данного методического сборника

Если у вас имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного стереометрического рисунка, если вам никак не удается подобрать необходимые дополнительные построения, мне кажется, что стоит заняться изучением координатно-векторного метода. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда до ЕГЭ остается всего лишь 2-3 месяца.

Данный курс не претендует на научность, а является небольшим методическим пособием при подготовке к ЕГЭ для выпускника, нацеленного на высокий балл при сдаче экзамена. Курс является кратким, в нем рассмотрены лишь наиболее часто встречающиеся типы заданий, как в сборниках, так и в контрольно-измерительных материалах.

Метод координат — это довольно несложный способ, но в настоящих задачах №14 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Основные понятия.

Метод координат —эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Данный метод заключается во введении декартовой системы координат, а затем – нахождение образующихся векторов (их длин и углов между ними). Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций. Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

— Выбираем в пространстве систему координат

— Находим координаты необходимых, по условию задачи, точек.

— Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.

— Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

Для начала разбора метода координат для стереометрических задач рассмотрим, что же представляет собой прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy иOz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.

z

0 у

Для того чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы:

1. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

, где

2. Нахождение координат середины отрезка

A(x 1 ; y 1 ; z 1), B(x 2 ; y 2 ; z 2)

3. Нахождение косинуса угла между векторами

, где

4. Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками А(х1, у1,z1 ) и B(x2,y2,z2 ), в отношении , определяется по формулам

5. Расстояние от точки до плоскости

Для решения задач необходимо научиться находить координаты вершин основных многогранников при помещении их в прямоугольную систему координат.

Ниже представлены координаты вершин некоторых многогранников, помещенных в систему координат.

Координаты куба

Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

1. Начало координат — в точке A;

2. Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;

3. Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA1.

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень удобно и логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

Точка A B C D
Координаты (0; 0; 0) (1; 0; 0) (1; 1; 0) (0; 1; 0)
Точка A1 B1 C1 D1
Координаты (0; 0; 1) (1; 0; 1) (1; 1; 1) (0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются от соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B1 = (1; 0; 1).

Координаты правильной треугольной призмы

При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах №14 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба.

1. Начало координат — в точке A;

2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;

3. Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C1. У них есть иррациональные координаты, и для того чтобы довольно просто решить задание №14 эти иррациональные координаты надо просто запомнить. Или можно вывести.

Дата добавления: 2021-03-18 ; просмотров: 582 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Что такое ось призмы? (прямой правильной треугольной)

Угон Харлеев



Знаток

(325),
закрыт



14 лет назад

Лучший ответ

Leonid

Высший разум

(388685)


14 лет назад

Линия, соединящая центры симметрии оснований (они же центры тяжести и прочие цуентры правильных треугольников, лежащих в основаниях призмы).

Остальные ответы

Ayrat

Гуру

(3591)


14 лет назад

это линия проходящая через 2 точки, в плоскости основания призмы, полученные в результате пересечения биссектрис.

Похожие вопросы

Содержание:

Ранее вы уже знакомились с призмой, т. е. многогранником, две грани которого — равные Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Что такое призма

Равные грани-многоугольники призмы лежат в параллельных плоскостях и называются основаниями призмы, а остальные грани-параллелограммы — боковыми гранями. Ребра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называют диагональю призмы (рис. 1). Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 2 показаны два диагональных сечения призмы.

Призмы разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Призма, изображенная на рисунке 1, — шестиугольная, а на рисунке 2, — девятиугольная.

Отличают прямые и наклонные призмы в зависимости от того, перпендикулярны или не перпендикулярны боковые ребра призмы ее основаниям. Обычно при изображении прямой призмы ее боковые ребра проводят вертикально.

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной призмой. В прямой призме все боковые грани — прямоугольники, а в правильной — равные прямоугольники.

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется высотой призмы. На рисунке 3 показаны две высоты Призма в геометрии - определение, формулы и примеры и Призма в геометрии - определение, формулы и примеры призмы Призма в геометрии - определение, формулы и примеры. У прямой призмы ее высота равна боковому ребру.

Боковые грани составляют боковую поверхность призмы, а боковые грани вместе с основаниями — полную поверхность призмы.

Теорема 1.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра:

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Доказательство:

Пусть имеется Призма в геометрии - определение, формулы и примеры-угольная призма Призма в геометрии - определение, формулы и примеры. Пересечем ее плоскостью Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, перпендикулярной боковому ребру. Получим перпендикулярное сечение Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, стороны которого перпендикулярны сторонам параллелограммов, составляющим боковую поверхность призмы. Поэтому для боковой поверхности Призма в геометрии - определение, формулы и примеры получим:

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

При переходе (1) мы учли, что все боковые ребра призмы равны друг другу, при переходе (2) — то, что сумма Призма в геометрии - определение, формулы и примеры выражает периметр Призма в геометрии - определение, формулы и примеры перпендикулярного сечения призмы, а множитель Призма в геометрии - определение, формулы и примеры — длину Призма в геометрии - определение, формулы и примеры бокового ребра.

Следствие 1.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты.

Действительно, перпендикулярное сечение прямой призмы равно ее основанию, а боковое ребро является высотой.

Частным видом призмы является параллелепипед, т. е. призма, основанием которой является параллелограмм. Параллелепипед, как и призма, может быть прямым или наклонным. Прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны друг другу, называется кубом.

У параллелепипеда все грани — параллелограммы, из которых у прямого параллелепипеда прямоугольниками являются боковые грани, а у прямоугольного параллелепипеда — все грани.

12 ребер параллелепипеда разделяются на три четверки равных ребер (рис. 5), его 6 граней — на три пары равных граней (рис. 6), а 4 диагонали пересекаются в одной точке, являющейся центром симметрии параллелепипеда (рис. 7).

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Прямой параллелепипед еще имеет ось симметрии (рис. 8) и плоскость симметрии (рис. 9). Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 10) и три плоскости симметрии (рис. 11).

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (рис. 12), и все его диагонали равны друг другу.

Важной характеристикой плоской фигуры является ее площадь. Подобной характеристикой тела является его объем. Будем считать, что изучаемые нами тела имеют объем.

За единицу объема принимают объем куба с ребром 1. На практике пользуются разными единицами объема: как метрическими — кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, кубический километр, так и неметрическими — галлон, барель, бушель, кварта.

Для объема тела выполняются его основные свойства:

  • равные тела имеют равные объемы;
  • если тело разделено на части, то его объем равен сумме объемов этих частей.

При этом равными фигурами называют фигуры, которые преобразуются друг в друга определенным движением. Например, равными являются две шестиугольные правильные призмы, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты (рис. 13), или два цилиндра с соответственно равными радиусами оснований и образующими (рис. 14). Тело, изображенное на рисунке 15, можно разделить на цилиндр и конус, и его объем равен сумме объемов этих цилиндра и конуса.

Два тела с равными объемами называют равновеликими телами. Равные тела являются равновеликими, но не наоборот.

Вы знаете, что объем Призма в геометрии - определение, формулы и примеры прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, Призма в геометрии - определение, формулы и примеры (рис. 16): Призма в геометрии - определение, формулы и примеры.

Учитывая, что в формуле Призма в геометрии - определение, формулы и примеры произведение Призма в геометрии - определение, формулы и примеры выражает площадь Призма в геометрии - определение, формулы и примеры основания прямоугольного параллелепипеда, а число Призма в геометрии - определение, формулы и примеры — его высоту Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, получим, что объем Призма в геометрии - определение, формулы и примеры прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты: Призма в геометрии - определение, формулы и примеры.

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Теорема 2.

Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты:

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Доказательство:

Пусть имеется произвольный параллелепипед Призма в геометрии - определение, формулы и примеры (рис. 17). Через ребро Призма в геометрии - определение, формулы и примеры проведем плоскость, перпендикулярную ребру Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, она отсечет от параллелепипеда треугольную призму Призма в геометрии - определение, формулы и примеры (рис. 18). После параллельного сдвига этой призмы в направлении отрезка Призма в геометрии - определение, формулы и примеры получим призму Призма в геометрии - определение, формулы и примеры. Параллелепипед Призма в геометрии - определение, формулы и примеры равновелик с данным параллелепипедом Призма в геометрии - определение, формулы и примеры. Выполненное преобразование параллелепипеда также сохраняет объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.

У параллелепипеда Призма в геометрии - определение, формулы и примеры его боковые грани Призма в геометрии - определение, формулы и примеры и Призма в геометрии - определение, формулы и примеры перпендикулярны плоскости основания. К граням Призма в геометрии - определение, формулы и примеры и Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, которые не перпендикулярны плоскости основания, применим такое же преобразование, в результате которого получим прямой параллелепипед Призма в геометрии - определение, формулы и примеры (рис. 19), в котором сохраняются объем, площадь основания и высота.

Наконец, применив еще раз такое преобразование к граням Призма в геометрии - определение, формулы и примеры и Призма в геометрии - определение, формулы и примеры прямого параллелепипеда Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, получим прямоугольный параллелепипед Призма в геометрии - определение, формулы и примеры (рис. 20), сохранив объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Значит,

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Множитель Призма в геометрии - определение, формулы и примеры есть площадь основания параллелепипеда Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, а множительПризма в геометрии - определение, формулы и примеры выражает его высоту, так как Призма в геометрии - определение, формулы и примеры есть перпендикуляр, возведенный из точки Призма в геометрии - определение, формулы и примеры основания Призма в геометрии - определение, формулы и примеры к другому основанию Призма в геометрии - определение, формулы и примеры. Значит, объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты.

Теорема 3.

Объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты:

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Доказательство:

Рассмотрим сначала треугольную призму Призма в геометрии - определение, формулы и примеры (рис. 21). Дополним ее до параллелепипеда Призма в геометрии - определение, формулы и примеры (рис. 22). Точка Призма в геометрии - определение, формулы и примеры пересечения диагоналей диагонального сечения Призма в геометрии - определение, формулы и примеры этого параллелепипеда является его центром симметрии. Это означает, что достроенная призма Призма в геометрии - определение, формулы и примеры симметрична данной призме Призма в геометрии - определение, формулы и примеры относительно центра Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, а потому эти призмы равны друг другу. Значит, объем параллелепипеда Призма в геометрии - определение, формулы и примеры равен удвоенному объему данной призмы.

Объем параллелепипеда Призма в геометрии - определение, формулы и примеры равен произведению площади его основания Призма в геометрии - определение, формулы и примеры и высоты. Но площадь его основания Призма в геометрии - определение, формулы и примеры равна удвоенной площади основания Призма в геометрии - определение, формулы и примеры данной призмы, а высота параллелепипеда равна высоте призмы.

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Отсюда следует, что объем призмы Призма в геометрии - определение, формулы и примеры равен площади ее основания Призма в геометрии - определение, формулы и примеры и высоты. Теперь рассмотрим произвольную призму Призма в геометрии - определение, формулы и примеры (рис. 23).

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Диагональными сечениями, проходящими через вершину Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, разобьем ее на треугольные призмы-части Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, …, Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, которые все имеют одну и ту же высоту, равную высоте Призма в геометрии - определение, формулы и примеры данной призмы. Объем данной призмы равен сумме объемов призм-частей. По уже доказанному для объема Призма в геометрии - определение, формулы и примеры данной призмы получим:

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Учитывая, что сумма в скобках выражает площадь S основания данной призмы, получим:

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Следствие 2.

Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания и бокового ребра.

Призма и её сечения

С призмой вы уже знакомы. Несмотря на это, мы напомним определение призмы и её свойства.

Призма -это многогранник, две грани которого равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (рис. 22).

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

В зависимости от того перпендикулярны ли боковые грани призмы его основаниям или нет, призмы делят на прямые или наклонные. На рисунке 23.а изображена прямая призма, а на рисунке 23.b – наклонная. Очевидно, что боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Если основания прямой призмы являются правильными многоугольниками, то её называют правильной (рис. 24). Боковые грани правильной призмы это равные между собой прямоугольники.

Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания к другому, называют его перпендикуляром (рис. 23.b).

Сечение призмы, проходящее через соответствующие диагонали его оснований, называют диагональным сечением (рис. 24.а) и их число равно числу диагоналей одного из оснований.

Перпендикулярным сечением призмы называют сечение перпендикулярное всем его боковым рёбрам (рис. 25). так как Призма в геометрии - определение, формулы и примеры число диагоналси выпуклого n-угольника, то число диагональных сeчeний n-угольной призмы также равно Призма в геометрии - определение, формулы и примеры .

В каждом диагональном сечении призмы можно провести две диагонали. Следовательно, n-угольная призма имеет Призма в геометрии - определение, формулы и примеры диагоналей.

Пример:

В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами соответственно равны 7 см, 15 см и 20 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

Решение:

Известно, что расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую. Тогда длины сторон перпендикулярного сечения ABC (рис. 26). Наибольшая грань призмы проходит через наибольшую сторону АС= 20 см этого сечения. Расстояние от рёбра призмы В2В1 до плоскости грани Призма в геометрии - определение, формулы и примеры равно высоте BD треугольника ABC.

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Тогда по формуле Герона получаем:

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры,

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры.

С другой стороны, Призма в геометрии - определение, формулы и примеры.

Отсюда Призма в геометрии - определение, формулы и примерыили Призма в геометрии - определение, формулы и примерысм.

Ответ: 4,2 см.

Параллелепипед и куб

Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называют параллелепипедом (рис. 27). Параллелепипеды также как и призмы могут быть прямыми (рис. 27.а) и наклонными (рис. 27.b). Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Грани параллелепипеда, не имеющие общую вершину, называют противоположными гранями.

У параллелепипеда:

  • —12 рёбер, каждые четыре из которых равны (рис. 28.а),
  • —6 граней, которые попарно параллельны и равны (рис. 28.b),
  • —4 диагонали, которые пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 28.с),
  • —точка пересечения диагоналей – центр его симметрии (рис. 28.с). Прямой параллелепипед имеет ось симметрии (рис. 28.d) и плоскость симметрии (рис. 28.e).

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольники, называют прямоугольным параллелепипедом (рис. 29). Очевидно, что все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 30) и три плоскости симметрии (рис. 31).

Длины трех рёбер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называют его измерениями.

Свойство: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали d равен сумме квадратов его измерений: а, b и с (рис.32):

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры.

Прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны, называют кубом. Очевидно, что все грани куба являются равными квадратами. Куб имеет один центр симметрии, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Выше были перечислены свойства призмы. Некоторые из них были показаны в 10 классе. Доказательства остальных свойств проще, поэтому их доказательства вы можете провести самостоятельно.

Площади боковой и полной поверхности призмы

На рисунке 33 проведены высоты НН1 DD1 призмы

АВСDЕА1В1С1D1Е1. Очевидно, что высоты правильной призмы будут равны её боковому рёбру. Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Боковая поверхность призмы (точнее, площадь боковой поверхности)равна сумме боковых поверхностей ее граней, а полная поверхнасть равна сумме боковой поверхности и площадей двух ее оснований. Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Теорема. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту: Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Доказательство. Пусть высота данной прямой призмы равна Призма в геометрии - определение, формулы и примеры, а периметр основания Призма в геометрии - определение, формулы и примеры(рис. 34). Известно, что каждая грань прямой призмы является прямоугольником. Основания прямоугольников равны соответствующим сторонам основания призмы, а высоты равны высоте призмы.

Тогда Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Теорема. Боковая поверхность произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро:Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Доказательство. Пусть периметр перпендикулярного сечения призмы равен Р (рис. 35). Сечение делит призму на две части (рис. 36.а). Совершим параллельный перенос одной из этих частей так, чтобы основания нашей призмы совпали. В результате мы получим новую прямую призму (рис. 36.b). Очевидно, что, боковая поверхность этой призмы равна боковой поверхности данной. Её основанием является перпендикулярное сечение, а боковое ребро равно Призма в геометрии - определение, формулы и примеры.

Тогда по доказанной выше теореме:Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Объем призмы

Одним из свойств, характеризующих геометрические тела в пространстве, является понятие объема. Каждый предмет (тело) занимает некоторую часть пространства. Например, кирпич по сравнению со спичечным коробком занимает большую часть пространства. Для сравнения этих частей между собой вводится понятие объёма.

Объём – это величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

  1. Любое тело имеет определённый объём, выраженный положительным числом.
  2. Равные тела имеют равные объёмы.
  3. Если тело разбито на несколько частей, то его объём равен сумме объёмов этих частей.
  4. Объём куба, ребро которого равно единице, равен единице.

Объём – также как длина и площадь, является величиной. В зависимости от выбора единицы длины, объём единого куба измеряют в кубических единицах:

1 см3, 1 дм3, 1 м3 и т. д.

Объёмы тел измеряют различными способами или вычисляют. Например, объёмы маленьких предметов можно измерить с помощью сосудов (мензурки) с мелкими делениями (шкалами) (рис. 46). А объём ведра можно измерить с помощью сосуда, имеющего единичный объём, наполнив его водой (рис. 47). Но таким способом мы не можем измерить объёмы всех тел. В таких случаях объём вычисляют различными способами. Ниже рассмотрим их без доказательств. Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Объём параллелепипеда

Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерeний (рис.48): Призма в геометрии - определение, формулы и примеры.

Следствие. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 49): Призма в геометрии - определение, формулы и примеры.

Теорема. Объём произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 50): Призма в геометрии - определение, формулы и примеры.

Это свойство вытекает из вышеупомянутого следствия. На рисунке 50 показано как данный параллелепипед преобразовать в прямоугольный параллелепипед. Воспользовавшись этим самостоятельно обоснуйте свойство. Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Нахождение объёма призмы

Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади его основания на высоту (рис. 51): Призма в геометрии - определение, формулы и примеры.

Доказательство. 1 случай. Пусть основанием призмы будет прямоугольный треугольник (рис 51.а). Эту призму можно дополнить равной ей призмой до прямоугольного параллелепипеда (рис. 51 .b).

Если объём данной призмы, площадь её основания и высота V, S и h, то объём полученного прямоугольного параллелепипеда, площадь его основания и высота будут соответственно равны 2V, 2S и h.

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Следовательно Призма в геометрии - определение, формулы и примеры или Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

2 случай. Пусть Sплощадь произвольной n – угольной прямой призмы и h – её высота. Основание призмы – n-угольник делится диагоналями на треугольники, каждый из которых можно разделить на прямоугольные треугольники (рис. 52). В результате данная призма разделится на конечное число прямых призм, основания которых являются прямоугольными треугольниками. Высоты этих призм равны h , а сумма площадей оснований этих призм равна площади основания данной призмы: Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Объём данной призмы равен сумме объёмов составляющих её треугольных призм:

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

или Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Теорема. Объём произвольной призмы равен произведению площади его основания на высоту: Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

По рисунку 5.3 докажите эту теорему самостоятельно, сначала для треугольной призмы (рис. 5.3.а), затем для любой призмы (рис. 5.3.b).

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Пример:

Стороны основания прямого параллелепипеда равны а и b, а угол между ними 30°. Найдите его объём, если площадь его боковой поверхности равна S.

Решение:

Обозначим высоту параллелепипеда h(рис. 54).

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

Тогда по условию задачи:

Призма в геометрии - определение, формулы и примеры

  • Цилиндр в геометрии
  • Пирамида в геометрии
  • Конус в геометрии
  • Сфера в геометрии
  • Возникновение геометрии
  • Геометрические преобразования в геометрии
  • Планиметрия – формулы, определение и вычисление
  • Стереометрия – формулы, определение и вычисление

Макеты страниц

Напомним, что правильной называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Симметричность правильных призм определяется симметричностью их оснований (рис. 7.13), а так же перпендикулярностью основаниям боковых ребер и граней.

У правильной П-угольной призмы имеется П плоскостей симметрии, проходящих через соответствующие оси симметрии оснований призмы (рис. 7.14). Кроме того, у нее имеется еще одна плоскость симметрии, которая проходит через середины боковых ребер (рис. 7.15).

Рис. 7.14

Осями симметрии правильной -угольной призмы всегда являются осей симметрии сечения этой призмы, проходящего через середины боковых ребер (рис. 7.16). Если к тому же четно, то осью симметрии является еще прямая, которая соединяет центры оснований (рис. 7.17). Если же нечетно, то это не так и других осей симметрии нет.

Отрезок, соединяющий центры оснований правильной призмы, называется ее осью (рис. 7.17).

Если П четно, то середина оси правильной -угольной призмы является центром симметрии этой призмы (рис. 7.18). Если же нечетно, то центра симметрии у правильной призмы нет (как и у ее основания).

Итак, симметричность правильной -угольной призмы определяется симметричностью ее основания — правильного П-угольника. Но, как известно из планиметрии, правильные П-угольники имеют еще один вид симметрии — вращательную, т. е. они самосовмещаются при повороте вокруг своего центра на угол (рис. 7.19), а также на любой угол, кратный . Аналогично, правильные -угольные призмы самосовмещаются при повороте вокруг своей оси на такой же угол (рис. 7.20).

Подробнее это означает следующее. Плоскости, перпендикулярные оси правильной -угольной призмы Р, параллельны ее основанию. Поэтому все сечения призмы Р такими плоскостями равны ее основанию и проектируются на него. Центры этих правильных -угольников лежат на оси призмы. Поэтому, если эти многоугольники одновременно повернуть в их плоскостях в одном направлении на угол вокруг их центров, то все они самосовместятся. А потому при таком преобразовании и призма Р самосовместится. Такое преобразование призмы называется поворотом вокруг прямой — оси призмы — на угол Тем самым призма среди симметрий имеет и поворотную симметрию.

Заметим еще, что осевая симметрия в пространстве является поворотом на 180° вокруг оси симметрии. Действительно, в результате поворота на 180° вокруг

Рис. 7.15

Рис. 7.16

Рис. 7.17

Рис. 7.18

Рис. 7.19

Рис. 7.20

прямой а точка X, не лежащая на прямой а, перейдет в такую точку X, что прямая а перпендикулярна отрезку и пересекает его в середине.

Привет, Вы узнаете про симметрии в призме, Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
симметрии в призме, симметрии в пирамиде , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Стереометрия.

Симметрия прямой призмы

Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер .

Симметрии в призме и в пирамиде

Симметрия правильной призмы

1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы

Симметрии в призме и в пирамиде

2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра

Симметрии в призме и в пирамиде

3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней .

Симметрии в призме и в пирамиде

Симметрия правильной призмы

Напомним, что правильной называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. Симметричность правильных призм определяется симметричностью их оснований (рис. 1), а так же перпендикулярностью основаниям боковых ребер и граней.

У правильной n-угольной призмы имеется n плоскостей симметрии, проходящих через соответствующие оси симметрии оснований призмы (рис. 2).

Кроме того, у нее имеется еще одна плоскость симметрии, которая проходит через середины боковых ребер (рис. 7/15).

Симметрии в призме и в пирамиде

рис . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 1

Симметрии в призме и в пирамиде

рис. 2

Осями симметрии правильной n -угольной призмы всегда являются n осей симметрии сечения этой призмы, проходящего через середины боковых ребер (рис. 7.16). Если к тому же четно, то n осью симметрии является еще прямая, которая соединяет центры оснований (рис. 7.17). Если же нечетно, то это не так и других n осей симметрии нет.

Отрезок, соединяющий центры оснований правильной призмы, называется ее осью (рис. 7.17).

Если n – четно, то середина оси правильной -угольной призмы является центром симметрии этой призмы (рис. 7.18).

Если же n – нечетно, то центра симметрии у правильной призмы нет (как и у ее основания).

Симметрии в призме и в пирамиде

Итак, симметричность правильной n-угольной призмы определяется симметричностью ее основания — правильного n-угольника. Но, как известно из планиметрии, правильные n-угольники имеют еще один вид симметрии — вращательную, т. е. они самосовмещаются при повороте вокруг своего центра на угол Симметрии в призме и в пирамиде (рис. 7.19), а также на любой угол, кратный . Аналогично, правильные n -угольные призмы самосовмещаются при повороте вокруг своей оси на такой же угол Симметрии в призме и в пирамиде (рис. 7.20).

Симметрии в призме и в пирамиде

Подробнее это означает следующее. Плоскости, перпендикулярные оси правильной n -угольной призмы Р, параллельны ее основанию. Поэтому все сечения призмы Р такими плоскостями равны ее основанию и проектируются на него. Центры этих правильных n -угольников лежат на оси призмы. Поэтому, если эти многоугольники одновременно повернуть в их плоскостях в одном направлении на угол Симметрии в призме и в пирамиде вокруг их центров, то все они самосовместятся. А потому при таком преобразовании и призма Р самосовместится. Такое преобразование призмы называется поворотом вокруг прямой — оси призмы — на угол Симметрии в призме и в пирамиде Тем самым призма среди симметрий имеет и поворотную симметрию.

Симметрии в призме и в пирамиде

Заметим еще, что осевая симметрия в пространстве является поворотом на 180° вокруг оси симметрии. Действительно, в результате поворота на 180° вокруг

прямой а точка X, не лежащая на прямой а, перейдет в такую точку X`, что прямая а перпендикулярна отрезку XX` и пересекает его в середине.

Симметрия правильной пирамиды

1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 15).

Симметрии в призме и в пирамиде

2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания .

Симметрии в призме и в пирамиде

См. также

  • понятие симметрии , виды симметрии ,
  • симметрия шара , симметрия сферы ,
  • центральная симметрия параллелепипеда , симметрия параллелепипеда ,
  • свойство симметрии относительно точки ,
  • симметрия относительно прямой , ось симметрии ,
  • симметрия относительно точки , центр симметрии ,
  • Симметрии в физике
  • Суперсимметрия
  • Трансляционная симметрия
  • Симметрии в биологии
  • Асимметрия
  • диссимметрии
  • сферическая симметрия
  • аксиальная симметрия
  • радиальная симметрия
  • трансляционная симметрия
  • двусторонняя (билатеральная) симметрия
  • Симметрия в химии
  • Анизотропия
  • Симметрия в религии и культуре

В общем, мой друг ты одолел чтение этой статьи об симметрии в призме. Работы в переди у тебя будет много. Смело пишикоментарии, развивайся и счастье окажется в ваших руках.
Надеюсь, что теперь ты понял что такое симметрии в призме, симметрии в пирамиде
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Стереометрия

Из статьи мы узнали кратко, но емко про симметрии в призме

Добавить комментарий