Как найти ось симметрии квадрата 4 класс

Квадрат имеет четыре оси симметрии второго порядка (т.е. для совпадения нужно повернуть квадрат вокруг этой оси на 1/2 полного оборота), в плоскости, в которой лежит квадрат, и одну ось симметрии четвёртого порядка, перпендикулярную плоскости, в которой лежит квадрат. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим СТЭЛС [309K] 5 месяцев назад  Что такое ось симметрии? Правильно – это прямая (проведенная или воображаемая) которая разделяет фигуру на две одинаковые половины, которые как бы отражаются друг в друге, и в точность друг друга повторяют. Квадрат имеет все четыре стороны равные. Проведя через противоположные углы две прямых, мы имеем две оси. Проведя через цент квадрата две прямых, перпендикулярных противоположным сторонам, через которые они проходят, получаем еще две оси симметрии. Итого получается что у квадрата четыре оси симметрии. Корне­тОбол­енски­й [159K] 12 месяцев назад  Данный вопрос рассматривается, скорее всего, в курсе математики начальной школы. Поэтому и ответ будет интересен ученикам младших классов. У квадрата 4 оси симметрии. На данном рис. показаны все оси симметрии с нумерацией от 1 до 4. Добавлю ещё, что точка пересечения этих осей будет центром симметрии квадрата. kelly­milen­a [225K] более года назад  Рассмотрим квадрат.У данной фигуры искомых осей симметрии будет сразу несколько. Во-первых, это диагональ первая и вторая, , соединяющие несмежные вершины. Также следует считать осью симметрии отрезок, который проходит перпендикулярно через центр квадрата. Также это которая аналогично горизонтальная прямая, через центр данной фигуры проходящая. Это прямые проходят прямо через точку, еде происходит пересечение диагоналей, лежащих параллельно его сторонам. Прямые, которые содержат диагонали квадрата , и проходят через его углы, лежащие напротив друг друга, (противоположные), являются осями симметрии квадрата. Итак,у квадрата получилось 4 оси симметрии. Alex2­837 [113K] 5 месяцев назад  Если не вдаваться в дословную терминологию, то можно сказать, что осью симметрии является прямая линия, которая разделяет геометрическую фигуру на две одинаковые по форме части. Что касается такой геометрической фигуры, как квадрат, то всем известно, что у него все стороны имеют равное значение. Поэтому, осей симметрии у квадрата может быть только четыре. Эти оси проходят от противоположных углов квадрата через центр, а также от середин противоположных сторон квадрата через центр. Других осей симметрии в квадрате, чтобы получить равные по форме части, провести невозможно. Поэтому, правильный ответ – четыре оси симметрии. KillN­UR [9.4K] 5 лет назад  Квадрат – это прямоугольник у которого все стороны равны между собой, все углы прямые, диагонали равны. Поэтому помимо двух осей симметрии, которые есть у прямоугольника (делят противолежащие стороны пополам), добавляются еще две оси – проходящие по диагоналям квадрата Если вращать квадрат по любым из этих 4х осей, то получаемые разными частями квадрата фигуры будут совпадать Чосик [208K] более года назад  Прямоугольники имеют две оси симметрии, которые проходят через точку пересечения его диагоналей. Но если в случае обычного прямоугольника равны лишь противоположные стороны, то в случае с квадратом равны будут все стороны. Это приведет к тому, что число осей симметрии возрастает вдвое. Ведь помимо осей симметрии, что имеет прямоугольник, появляются еще две оси симметрии, свойственные ромбам. Потому ответ – четыре оси симметрии. Dilya­ra K [5K] 5 лет назад  У квадрата все четыре стороны равны между собой, все углы равны 90° (прямые). Из-за этого у квадрата равными оказываются еще и диагонали. Поэтому в отличие от прямоугольника, у которого всего две оси симметрии, у квадрата четыре оси симметрии. Две из них проходят по линиям, которые делят противоположные стороны квадрата пополам. Две другие оси проходят по диагоналям квадрата. владс­андро­вич [766K] более года назад  Квадрат как мы знаем является такой фигурой, у которой все стороны равны, а потому в отличие от прямоугольника, у него осями симметрии будут еще и те, которые идут не только как прямые, но и по диагонали и в общей сложности, их будет в итоге 4. Красн­ое облак­о [248K] 12 месяцев назад  У квадрата (в отличие от прямоугольника) все стороны равны, это важный момент. Получается что у этой геометрической фигуры (квадрат) не две оси симметрии как у прямоугольника, а целых четыре и по диагонали в том числе. Ответ, 4 оси симметрии. Знаете ответ?

Цель занятия: дать представление об осевой
симметрии; научить находить осевую симметрию в фигурах.

Задачи:

• развивать умение видеть симметричные фигуры, различать
  фигуры, имеющие одну или несколько осей симметрии;
• формировать умение проводить практическими и графическими
  способами оси симметрии в фигурах;
• воспитывать интерес к математике, чувство взаимовыручки,
  любознательность, аккуратность.

Формируемые УУД:

• регулятивные: принимать и сохранять цели и задачи
  учебной деятельности, искать и находить средства их
  достижения; планировать, контролировать и оценивать действия
  в соответствии с поставленной задачей;
• познавательные: выделять существенные характеристики
  объекта; осуществлять поиск и выделять необходимую информацию
  для выполнения заданий;
• коммуникативные: строить речевое высказывание в
  устной форме; принимать участие в определении общей цели и
  путей ее достижения; признавать возможность существования
  различных точек зрения;
• личностные: осуществлять самоконтроль и самооценку
  результатов деятельности; применять умения и навыки
  самостоятельной деятельности, осознавать личную
  ответственность за ее результат.

Методическое оснащение: ПК, интерактивная
доска, презентация, у каждого ученика: одна из геометрических
фигур (квадрат, прямоугольник, равносторонний и прямоугольный
треугольники, круг), линейка, ножницы, цветная бумага; карточки
с заданиями.

Ход урока

1. Организационный момент

Добрый день, ребята. Мы начинаем урок «Математика и
конструирование». Пусть сегодняшний урок принесёт нам радость
общения. Сегодня на уроке вас ожидает много интересных заданий
и новых открытий! А вашими помощниками пусть будут внимание,
целеустремлённость и ваша активная деятельность.

2. Мотивирование к учебной деятельности

(Мозговой штурм)

– А знаете ли вы, что …

– Название фигуры Трапеция происходит от латинского слова
«Трапезиум» – столик. От этого же слова происходит слово
«трапеза»

– А знаете ли вы, что…

– Во время сна рост увеличивается на 8 мм. Но после пробуждения
он «возвращается» к прежним цифрам.

– А знаете ли вы, что …

– Пчёлы – отличные «математики». Они изобрели самую совершенную
геометрическую форму сот -шестигранник, что обеспечило
наивысшую прочность этих хрупких восковых строений и
исключительную экономию места.

– А знаете ли вы, что …

– Число 111 111 магическое! При умножении его на само себя
получается такой лёгкий ответ 12 345 654 321.

– А знаете ли вы, что …

– 90% информации человек получает при помощи глаз. Отсюда и
пошло выражение «Лучше один раз …»

3. Актуализация знаний

– Посмотрите небольшой видео-ролик и найдите закономерность.

– Что интересного вы заметили? (отражение в воде)

– А где еще отражаются предметы? (В зеркале).

– Подумайте, как в математике называется зеркальное
отображение? (СИММЕТРИЯ)

– Отлично! Сформулируйте тему урока. (или нам поможет ребус).
(Слайд Симметрия.)

ЦЕЛЬ – узнать, что такое «симметрия», где
встречается.

– Где можно ознакомиться с этим понятием? (посмотреть в
толковом словаре – ПОКА СМОТРЯТ)

– Назовите предметы, которые вы считаете СИММЕТРИЧНЫМИ. (запись
на доске) не знаем…, не уверенны…

– Давайте обратимся к толковому словарю и выясним значение
этого слова. (Толковый словарь С.И.Ожегова: «Симметрия» – это
соразмерность, одинаковость в расположении частей, В.И. Даля –
сходность, одинаковость 2-х половин…..)

– В переводе с греческого языка симметрия звучит как
«гармония», означая красоту.

Симметрия придает гармоничность, законченность.

4. Практическая работа. Введение в новую тему «Ось
симметрии»

Исследование квадрата.

– Давайте проверим это утверждение! что СИММЕТРИЯ – это
ОДИНАКОВОСТЬ и СХОДНОСТЬ 2-х ПОЛОВИН!!!

– У вас на столе лежат квадраты.

– Сложите квадрат пополам и четко прогладим линию сгиба.

– Покажите! Что мы наблюдаете?

– Какие получились части квадрата? (Одинаковые)

– Обведите цветным карандашом получившуюся прямую. Это и есть
ось симметрии!

– Сравните левую и правую части от оси симметрии. – Сделайте
вывод.

– Мы получили две одинаковые части слева и справа от линии
сгиба. В этом случае линия сгиба будет осью
симметрии, а части, расположенные по обе стороны от
нее, будут симметричными. А фигура называется –
симметричная.

Вывод: в квадрате мы нашли ось
симметрии. Ось симметрии делит фигуру на одинаковые
равные части. Эти половинки совпадают.

– Давайте попробуем сложить квадрат вновь пополам, но
по-другому.

– Что получили? – Покажите! (ещё одну ось симметрии)

– Обведите эту линию.

– Как еще можно сложить квадрат? (по диагонали)

– Так сколько же осей симметрии у квадрата? (4)

– Правильно! Запишем это в таблицу

5. Физминутка (рисуем руками в воздухе)

Много ль надо нам, ребята,

Для умелых наших рук?

Нарисуем 2 квадрата,

А на них огромный круг.

А потом ещё кружочек,

Треугольный колпачок.

Вот и вышел очень, очень

Развесёлый чудачок!

– Подойдите к окну, Пусть отдохнут ваши глаза, посмотрите по
сторонам, полюбуйтесь красотой зимнего дня. Возможно, вы
увидите симметричные предметы.…. Перечислите. Продолжаем
работать!

6. Работа в группах

Исследование разных геометрических фигур.
Защита.

Ребята, предлагаю вам провести исследование – симметричны ли
другие геом. фигуры? Работать будем в группах. Вспомним правила
работы в группах.

– Каждый должен работать на общий результат.

– Один говорит, другие слушают.

– Своё несогласие высказывай вежливо.

– Распределить обязанности.

В конвертах №1 у вас лежат геометрические фигуры. (Для каждой
группы – разные.)

Ваша задача узнать, симметрична ли фигура? сколько осей
симметрии имеет геом. фигура? Выступать будет один
представитель от группы. Вам дается 1 мин на исследование. И 1
мин на выступление. Используете алгоритм для выступления №1. (и
демонстрирует на большой фигуре.)

– Возьмите фигуры из конверта. Приступайте к исследованию.

– Что нужно сделать, чтобы провести ось симметрии? (перегнуть
фигуры пополам)

– Проведите оси симметрии, если это возможно. Цветным
карандашом.

Итак,

– Слушаем представителя 1-й группы.

– Приглашаем представителя 2-й группы.

– Слушаем представителя 3-й группы.

– Слушаем представителя 4-й группы. (На доске заполняю
результаты исследований в таблице)

ИТОГ. МОЛОДЦЫ. ВСЕ ГРУППЫ СПРАВИЛИСЬ С 1 ЗАДАНИЕМ.

– Назовите самую «несимметричную» фигуру. (Прям. Треугольник)

– Назовите самую «симметричную» фигуру. (круг)

– В Древней Греции круг считался венцом совершенства.
И не случайно! У него больше всего осей симметрий!

7. Исследование в разных областях. Защита

– Мы выяснили, что в математике, не у всех фигур, но симметрия
существует. Только ли в этой области она может быть?

– Оказывается, все в мире, всё построено по принципу симметрии.
Древние греки считали, что Вселенная симметрична просто потому,
что симметрия прекрасна. Используя красоту и гармонию природы,
человек многое создал в мире симметрии своими
руками. Об этих и многих других предметах мы сейчас и
поговорим.

– Продолжим нашу исследовательскую работу.

– Каждой группе нужно провести исследование – в своей области.
Ваша задача – доказать, или опровергнуть
наличие симметричности и, конечно же, сделать выводы о
проделанной работе. Вам достаточно 2 мин. обсудить этот вопрос
И 1 мин на защиту.

– Возьмите конверт №2. Ознакомьтесь с темой исследования.

Приступайте к работе. Защита по алгоритму.

• 1 гр. – Симметрия в архитектуре
• 2 гр. – Симметрия в мире растений
• 3 гр. – Симметрия в русском языке
• 4 гр. – Симметрия в мире животных

(Выступления групп. Выводы. Заполнение таблицы на доске.)

ИТОГ. МОЛОДЦЫ. ВСЕ ГРУППЫ СПРАВИЛИСЬ С 2 ЗАДАНИЕМ.

– Итак, мы доказали, что Симметрия- это не только красота.
Симметричность формы нужна рыбе, чтобы плыть, птице, чтобы
летать. Поэтому мы можем сделать вывод, что симметрия в природе
неспроста: она ещё и полезна, т.е. целесообразна.

– Рассматривая красивую машину, величественную фигуру самолёта,
корабли – мы восхищаемся ими ! И в основе их красоты лежит
симметрия. Денис из нашего класса своими руками создаёт эти
шедевры!

– К какой области можно отнести эти предметы, созданные руками
человека?

8. Подведение итогов «Кластер». Оценивание

– Какие цели мы ставили в начале урока? …(Что такое симметрия?
Где встречается?)

– Что вы выяснили для себя?

– Какие слова, словосочетания, связи, явления события … и т.д.
возникают с этой темой?

(заполним «КЛАСТЕР»)

ИТОГ! – Каждая группа справилась с
исследованием, правильно сделали выводы! Активно работали на
уроке…. Молодцы!

Домашнее задание

– Ребята, это не все ОБЛАСТИ, где ВСТРЕЧАЕТСЯ СИММЕТРИЯ.
Подумайте дома, подготовьте картинку, в какой области можно
встретить симметрию. (Спорт, искусство,…и т.д.)

– Символом симметрии является БАБОЧКА.

Я предлагаю вам создать уникальный узор на крыльях бабочки или
выполнить другой симметричный рисунок на выбор. Подойдите,
возьмите, что вам больше нравится.

– Рассмотрите иллюстрацию к мультфильму. Что увидел Енот в
пруду?

– А можно ли проверить, доказать, СИММЕТРИЧНЫ ли предметы из
повседневной жизни, крупные, твёрдые… НЕ
бумажные?..

– Способ – сложением пополам – не всегда действует. Можно
провести прямую «на глаз».

Урок окончен. Спасибо, вы молодцы!

Центральная
и осевая симметрия.

В нашей жизни часто
встречаются симметрии. Наша флора и фауна не перестаёт нас удивлять
причудливостью форм. И среди всех этих форм очень часто встречаются
симметричные формы. В геометрии существует 6 видов симметрий (в природе их
больше): осевая, центральная, зеркальная, вращательная, винтовая, скользящая. Из
рисунков ниже попробуйте определить где какой вид.

Сегодня мы изучаем
только два вида симметрий: центральную и осевую. Разберём подробно, что это за
симметрии и чем они отличаются.

Определение. Центральной
симметрией относительно некоторой точки  называется такое
преобразование, при котором каждой точке  ставится в соответствие
некоторая точка , так что точка  является серединой отрезка . Точка  называется центром
симметрии.

   читается
так: «Точка  переходит в точку  при симметрии относительно
точки ». Или так: «Точка  симметрична точке  относительно точки ».

   При этом, .

Приведём пример
построения симметричных фигур.

1) Дан треугольник  и точка , не принадлежащая этому
треугольнику. Построить фигуру, симметричную данному треугольнику относительно
точки O.

Ø Через
вершины треугольника  и точку О проводим прямые .

Ø На продолжении прямой , по другую сторону от точки
, откладываем отрезок , равный отрезку .

Ø Аналогично,
.

Ø Соединяем
точки  .

Ø Треугольник
 симметричен треугольнику  относительно точки .

2) Дан произвольный выпуклый четырёхугольник  и точка O,
лежащая внутри этого четырёхугольника. Построить фигуру, симметричную KMNP
относительно точки O.

Все построения производятся также, как и в примере выше. Но рисунок
зрительно воспринимается по-другому.

Напишем алгоритм
построения фигуры, симметричной данной фигуре, относительно заданного центра
симметрии.

Ø  Провести
прямые через каждую точку (вершину) заданной фигуры и центр симметрии.

Ø  На
этих прямых, по другую сторону от центра симметрии, отложить отрезки, равные
отрезкам от вершин до центра симметрии.

Ø  Соединить
получившиеся точки в порядке, соответствующем данной фигуре.

В некоторых фигурах можно выбрать такой
центр симметрии, что фигура перейдёт сама в себя. Говорят, что такие фигуры
имеют центр симметрии.

Например,

˗         
у окружности центр симметрии – это центр окружности;

˗         
у квадрата центр симметрии – это точка пересечения диагоналей;

˗         
у правильного 8-миугольника центр симметрии – это точка
пересечения диагоналей.

Определение. Осевой
симметрией или симметрией относительно прямой
называется такое преобразование, при котором каждой точке фигуры, находящейся
по одну сторону от прямой соответствует точка, находящаяся по другую сторону от
прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны прямой и делятся ею
пополам. Эта прямая называется осью симметрии, а соответствующие точки –
симметричными точками относительно прямой.

Приведём пример
построения симметричных фигур.

1) Дана фигура  и прямая , не пересекающая эту
фигуру. Построить фигуру, симметричную данной относительно прямой .

Ø   Через
каждую вершину фигуры  проводим прямые,
перпендикулярные прямой .

Ø   Обозначим
точки пересечения этих прямых с прямой  .

Ø   На
прямой  по другую сторону от прямой
 откладываем отрезок , равный отрезку .  .

Ø   Аналогичные
действия совершаем на остальных прямых:  .

Ø   Соединяем
последовательно полученные точки:  .

Ø   Получили
фигуру , симметричную данной
относительно прямой .

Напишем алгоритм
построения фигуры, симметричной данной фигуре, относительно заданной оси
симметрии.

Ø  Провести
прямые через каждую точку (вершину) заданной фигуры перпендикулярно оси  симметрии.

Ø  На
этих прямых, по другую сторону от оси симметрии, отложить отрезки, равные
отрезкам от вершин заданной фигуры до оси симметрии.

Ø  Соединить
получившиеся точки в порядке, соответствующем данной фигуре.

Некоторые фигуры имеют собственную ось
симметрии, т.е. такую прямую, что симметричная фигура совпадает с данной.

На рисунке внизу изображено несколько
фигур, имеющих ось симметрии.

У окружности осей
симметрии бесконечно много. Это любая прямая, проходящая через центр
окружности.

У прямоугольника две
оси симметрии. Это прямые, которые проходят через середины противолежащих
сторон.

У квадрата 4 оси
симметрии. Это прямые, проходящие через середины противолежащих сторон и две
диагонали.

У равнобедренного
треугольника одна ось симметрии. Это прямая, содержащая медиану треугольника,
проведённую к основанию.

У равностороннего
треугольника 3 оси симметрии. Это прямые, содержащие все три медианы
треугольника.

У равнобедренной
трапеции одна ось симметрии. Это прямая, проходящая через середины оснований
трапеции.

У
невыпуклого 10-тиугольника с равными сторонами (звезды) 5 осей симметрии. Они
изображены разными цветами.

1.  
Выберите буквы, которые имеют а) центр симметрии; б) ось
симметрии:

2.     
Сколько осей симметрии имеет окружность; прямоугольник; прямая;
отрезок; ромб?

3.  
На рисунке изображены два квадрата  и , симметричные друг другу
относительно точки . Ответьте на вопросы:

а)     
Какая точка является их центром симметрии?

б)  
В какие точки перейдут при этой симметрии вершины квадрата ?

в)     
Какие точки симметричны точкам  и  квадрата ?

г)     

Назовите равные отрезки на этом рисунке.

д)     
Назовите равные фигуры на этом рисунке.

4.  

В какую фигуру переходят: а) луч  при симметрии относительно
центра ; б) угол при симметрии
относительно точки ? Выполнить рисунки.

5.     
Какие из изображённых фигур имеют центр симметрии?

6.  
Постройте отрезок, симметричный отрезку  относительно данного центра .

7.  
Постройте прямую, симметричную данной прямой  относительно данного центра  ( принадлежит ).

8.     
Постройте фигуры, симметричные изображённым на рисунках,
относительно некоторого центра. В каждом случае выберите самостоятельно центр
симметрии.

9.  

Треугольник  при симметрии относительно
центра  переходит в треугольник . Постройте эти симметричные
треугольники и найдите стороны  треугольника , если . В какую точку перейдёт при
этой симметрии точка  – середина стороны ? Чему равно расстояние ?

10.
  На плоскости изображены два треугольника, симметричные друг
другу относительно оси . Ответьте на следующие
вопросы:

а)  
В какие точки этой симметрии перейдут точки ?

б)  
В какие фигуры перейдут стороны треугольника ?

в)     
Какие расстояния сохраняются при этой симметрии?

г)  
Что можно сказать о треугольниках  и ?

11. 
Нарисуйте отрезок и постройте отрезок, симметричный ему
относительно прямой:

а)     
содержащей его;

б)     
проходящей через его конец;

в)     
проходящей через точку внутри его.

     Изобразите такие треугольники.

12. 
Нарисуйте равносторонний треугольник. Постройте треугольник,
симметричный ему относительно средней линии. Назовите объединение исходного и
полученного треугольников. Вычислите периметр фигуры, являющейся объединением,
если сторона исходного треугольника равна 2.

13. 
Дан прямоугольник. Постройте фигуру, симметричную этому
прямоугольнику относительно прямой, проходящей через его диагональ. Назовите
объединение исходного и полученного прямоугольников. Найдите периметр фигуры,
являющейся объединением, если стороны исходного прямоугольника равны 3 и 4.

14. 

На рисунках изображены различные фигуры. Имеют ли эти фигуры оси
симметрии? Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Постройте эти оси
симметрии.

15. 

На рисунках фигуры переходят в себя при некоторых осевых
симметриях. Укажите оси этих симметрий. Постройте их.

16.
Четырёхугольник  симметричен относительно
прямой . Найдите длины сторон  и , если .

17.
Дан отрезок  и две точки  и , такие, что  Докажите, что точки  и  симметричны относительно
прямой .

18.
На плоскости задана прямая . Пользуясь только циркулем,
постройте фигуру, в которую при симметрии относительно оси  переходит:

а)  
точка  не принадлежащая оси ;

б)  
окружность с центром  и радиусом .

19.
Во внутренней области прямого угла  взята точка  и построены точки  и , симметричные точке  относительно сторон данного
угла. Докажите, что точки  и  лежат на данной прямой.

20.
Дана ось симметрии  и окр. , такая, что . Постройте при помощи одного
циркуля окр. , симметричную окр.  относительно оси .

21.
Даны ось симметрии , точка  и точка , такая, что . Отметьте на плоскости точку  и постройте точку , такую, что  при помощи одной линейки.

22.
Даны ось симметрии  и точки . Какие из указанных фигур
лежат в одной полуплоскости с границей :

а)  
луч

б)  
отрезок

в)  
луч

г)  
отрезок

д)  
отрезок

е)  
отрезок ?

23. 
Постройте фигуру, которая является объединением четырёх разносторонних
треугольников с общим основанием и имеет две оси симметрии. Каким
многоугольников является общая часть этих треугольников и сколько осей
симметрии имеет этот многоугольник?

24. 
Постройте фигуру, которая является объединением:

а)     
четырёх равных окружностей и имеет четыре оси симметрии;

б)     
трёх окружностей и имеет бесконечное множество осей симметрии;

в)     
трёх окружностей и имеет только две оси симметрии.

25. 
Постройте фигуру, которая является общей частью взаимно
пересекающихся кругов и имеет четыре оси симметрии.

26.
Постройте фигуру, симметричную трапеции  относительно:

а)  
вершины

б)  
прямой .

27.
Начертите произвольный треугольник , на стороне  отметьте точку , не являющуюся её серединой.
Постройте фигуру, симметричную треугольнику  относительно точки .

28.
Начертите прямоугольник . Постройте фигуру,
симметричную ему относительно прямой .

29.
Начертите прямоугольный треугольник , на гипотенузе  отметьте точку , не являющуюся её серединой.
Постройте фигуру, симметричную треугольнику  относительно точки .

30.
Начертите параллелограмм . Постройте фигуру,
симметричную ему относительно прямой .