Содержание
- Формулы площади осевого сечения конуса: прямого с круглым основанием и усеченного
- О какой фигуре будет идти речь?
- Осевое сечение конуса и его площадь
- Усеченный конус и его осевое сечение
- Задача на определение площади сечения осевого конуса усеченного
- Площадь сечения конуса
Формулы площади осевого сечения конуса: прямого с круглым основанием и усеченного
Круглый конус в геометрии является симметричной пространственной фигурой, имеющей ось вращения. Одной из важных его характеристик является площадь сечения осевого. В данной статье приведем формулу площади сечения осевого конуса прямого с круглым основанием и усеченного.
О какой фигуре будет идти речь?
Круглый конус — это фигура, которую можно получить следующим образом. Необходимо взять треугольник с углом прямым и его вокруг одного из катетов вращать. Тогда получится показанная ниже объемная фигура.
Отрезок AC на рисунке называется радиусом основания, который «рисует» при вращении с центром в точке A круг. Катет AB — это высота конуса. Очевидно, что отрезок AB перпендикулярен основанию и является частью оси вращения фигуры. Точка B — это высота рассматриваемой фигуры. Отрезок BE называется образующей, или генератрисой конуса. Совокупность всех генератрис образует боковую поверхность конуса. Она является конической. Ограничивающая основание окружность называется направляющей, или директрисой конуса.
Поскольку генератриса, радиус и высота являются гипотенузой и катетами рассмотренного прямоугольного треугольника, то для них можно записать формулу:
Здесь g — генератриса, r — радиус, h — высота.
Осевое сечение конуса и его площадь
Чтобы записать для конуса формулу площади сечения осевого, сначала следует познакомиться с самим сечением. Оно получается так: нужно взять секущую плоскость, расположить ее параллельно оси конуса. Затем необходимо разрезать конус плоскостью на две одинаковые части таким образом, чтобы в плоскость сечения попала вершина фигуры.
Несложно себе представить, что в результате описанной операции получится равнобедренный треугольник. Равные стороны треугольника будут такие же, как длины генератрис. А третья сторона будет равна диаметру основания.
Формула площади осевого сечения конуса (фото см. выше) не отличается сложностью. Она соответствует формуле расчета этой величины для описанного треугольника. Поскольку у треугольника площадь равна произведению основания на высоту, которое следует поделить пополам, то искомое равенство для осевого сечения примет вид:
Эта формула говорит о том, что S в два раза больше площади прямоугольного треугольника, вращением которого был получен конус.
Усеченный конус и его осевое сечение
Усеченный конус получается из обычного при помощи секущей плоскости, которая параллельна его основанию. Полученная при этом фигура под плоскостью будет усеченным конусом. Он показан на рисунке.
Помимо боковой поверхности, эта фигура состоит из двух оснований, которые представляют собой большой и малый круги. Обозначим их радиусы как r1 и r2. Расстояние между основаниями называется высотой, обозначим ее буквой h.
Осевое сечение рассматриваемого конуса будет четырехугольником, две стороны которого являются образующими. А две другие стороны будут параллельны друг другу и равны 2*r1 и 2*r2 соответственно. Этот четырехугольник будет равнобедренной трапецией, которая показана на рисунке ниже.
Этот факт позволяет использовать выражение для трапеции, чтобы записать формулу площади сечения усеченного осевого конуса . Она примет вид:
То есть площадь S равна произведению суммы радиусов оснований усеченного конуса на его высоту.
Для решения геометрических задач также может потребоваться формула связи между генератрисой фигуры и ее параметрами r1, r2 и h. Соответствующее выражение приобретает вид:
Получить ее достаточно просто самостоятельно, если рассмотреть прямоугольный треугольник внутри конуса, построенный на сторонах g, h и (r1 — r2).
Задача на определение площади сечения осевого конуса усеченного
Покажем, как находить площадь осевого сечения на примере усеченного конуса.
Известно, что высота указанной фигуры составляет 10 см. Также известно, что для конуса осевого сечения площадь равна разности площадей оснований. Зная, что диаметры оснований отличаются ровно в два раза, необходимо найти площадь этого сечения по оси.
В соответствии с условием задачи можно записать два уравнения:
Значение высоты известно из условия. Таким образом, мы имеем 2 равенства и 2 неизвестные величины. Решаем эту систему:
Мы получили неполное квадратное уравнение, которое следует решить относительно переменной r2. Уравнение имеет 2 корня, но решение r2 = 0 не является физическим, поэтому запишем только одно единственное значение для малого радиуса:
Тогда большой радиус r1 будет равен:
Подставляя эти равенства в формулу площади осевого сечения конуса, получаем:
Подставляем численное значение h и записываем ответ: S ≈ 95,54 см2.
Источник
Площадь сечения конуса
Площадь сечения конуса. Для вас представлена очередная статья с конусами. На момент написания этой статьи на блоге решены все примеры (прототипы) заданий с конусами, которые возможны на экзамене. Процесс решения несложен (1-2 действия), при определённой практике решаются устно. Нужно знать понятие образующей, об этом информация в этой статье . Так же необходимо понимать как образуются сечения конуса.
1. Если плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.
*Если плоскость проходит через ось конуса, то сечением является равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса, а основание на которое опущена эта высота равна диаметру основания конуса.
2. Если плоскость проходит перпендикулярно оси конуса, то сечением является круг.
Особенностью данных заданий является то, что применяется формула площади треугольника, здесь она первая . Формулы периодически повторяйте. Рассмотрим задачи:
324453. Площадь основания конуса равна 16Пи, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Осевым сечением конуса является треугольник с основанием равным диаметру основания конуса и высотой равной высоте конуса. Обозначим диаметр как D, высоту как Н, запишем формулу площади треугольника:
Высота известна, вычислим диаметр. Используем формулу площади круга:
Значит диаметр будет равен 8. Вычисляем площадь сечения:
324454. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Сечением является круг. Необходимо найти площадь этого круга.
Рассмотрим треугольники AKL и AOC – они подобны. Известно, что в подобных фигурах отношения соответствующих элементов равны. Мы рассмотрим отношения высот и катетов (радиусов):
OC это радиус основания, его можно найти:
Теперь можем вычислить площадь сечения:
*Это алгебраический способ вычисления без использования свойства подобных тел, касающегося их площади. Можно было рассудить так:
Два конуса (исходный и отсечённый) подобны, значит пощади их оснований являются подобными фигурами. Для площадей подобных фигур существует зависимость:
Таким образом, площадь основания полученного конуса равна:
Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.
Найдём диаметр основания и используя формулу площади треугольника вычислим площадь. По теореме Пифагора:
Вычисляем площадь сечения:
Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей — 25. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.
Радиус основания равен половине диаметра, то есть 20.
Вычислим высоту и далее используя формулу площади треугольника найдём искомую площадь. По теореме Пифагора:
Источник
Конус
Решение задач
1. Образующая конуса наклонена к плоскости
основания под углом 30°, а его высота равна 12 см.
Найдите площадь полной поверхности конуса и его объем.
ΔАОВ – прямоугольный катет против угла 30 град. АВ =24
ΔАОВ – прямоугольный, найдем АО по теореме Пифагора.
В
12
С
А
О
Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 о и
равна 8 см. Найти площадь полной поверхности и объем конуса.
ΔАОВ – прямоугольный. АВ =8
В
С
А
О
Образующая конуса равна 13 см, а радиус основания – 5 см.
Найдите площадь полной поверхности и объем конуса.
ΔАОВ – прямоугольный, найдем ВО по теореме Пифагора.
В
С
А
О
Радиус основания конуса равен 9 см. Найдите площадь полной поверхности и объем конуса, если осевое сечение конуса равносторонний треугольник.
ΔАВС – равносторонний .
ΔАОВ – прямоугольный катет против угла 30 град.
ΔАОВ – прямоугольный, найдем ВО по теореме Пифагора.
АВ =18
В
С
А
О
Радиус основания конуса равен 6 см. Найдите площадь полной поверхности и объем конуса, если осевое сечение конуса равнобедренный прямоугольный треугольник.
ΔАВС – прямоугольный равнобедренный.
ΔАОВ – прямоугольный равнобедренный АО = ВО.
В
Найдем АВ по теореме Пифагора.
С
А
О
Найдите площадь полной поверхности и объем усеченного конуса,
если площади его оснований 16 и 36 см 2 , а площадь осевого сечения 50 см 2 .
h – высота конуса.
ΔАВCD – трапеция, площадь которой 50.
AP = AO –BO1
ΔАPВ – прямоугольный . Найдем АВ по теореме Пифагора.
АP = 2, ВР = 5
О 1
С
В
А
D
О
P
Найдите площадь полной поверхности и объем усеченного конуса,
если площади его оснований 16 и 36 см 2 , а площадь осевого сечения 50 см 2 .
О 1
С
В
D
А
О
P
Найдите площадь полной поверхности и объем усеченного конуса,
если он образован вращением прямоугольной трапеции с основаниями
10 и 16 см вокруг меньшей стороны, равной 8 см.
AP = AO –BO1
ΔАPВ – прямоугольный . Найдем АВ по теореме Пифагора.
АP = 6, ВР = 8
О 1
С
В
D
А
О
P
09
Сен 2013
Категория: 02 Стереометрия
02. Конус
2013-09-09
2022-09-11
Задача 1. Высота конуса равна 
, образующая равна 
Найдите его объем, деленный на 
.
Решение: + показать
Задача 2. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника 
вокруг катета, равного 
Найдите его объем, деленный на .
Решение: + показать
Задача 3. Высота конуса равна 
а диаметр основания – 
Найдите образующую конуса.
Решение: + показать
Задача 4. Найдите объем 
конуса, образующая которого равна 
и наклонена к плоскости основания под углом 
В ответе укажите 
Решение: + показать
Задача 5. Длина окружности основания конуса равна 
образующая равна 
Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решение: + показать
Задача 6. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 
раз?
Решение: + показать
Задача 7. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 
раз?
Решение: + показать
Задача 8. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 
раз, а высота останется прежней?
Решение: + показать
Задача 9. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 10. Объем конуса равен 
Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Решение: + показать
Задача 11. Площадь полной поверхности конуса равна 
Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
Решение: + показать
Задача 12. Найдите объем конуса, образующая которого равна 
и наклонена к плоскости основания под углом 
В ответе укажите 
.
Решение: + показать
Задача 13. Диаметр основания конуса равен 
а угол при вершине осевого сечения равен 
°. Вычислите объем конуса, деленный на .
Решение: + показать
Задача 14. Площадь основания конуса равна 
, высота — 
Найдите площадь осевого сечения конуса.
Решение: + показать
Задача 15. Площадь основания конуса равна 
Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 
и 
считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Решение: + показать
Задача 16. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение: + показать
Задача 17. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение: + показать
Задача 18. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 
высоты. Объём жидкости равен 
мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Решение: + показать
Вы можете пройти тест
Автор: egeMax |
комментариев 10
Печать страницы
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи по теме «Конус»
(blacktriangleright) Точка (P) – вершина конуса.
(blacktriangleright) Отрезок, соединяющий вершину конуса с границей основания, называется образующей (все образующие равны между собой).
(blacktriangleright) Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания-круга, является высотой конуса.
(blacktriangleright) Площадь боковой поверхности конуса ({large{S_{text{бок.пов.}}=pi rl}}), где (r) – радиус основания, (l) – образующая.
(blacktriangleright) Площадь полной поверхности конуса – эта сумма площади боковой поверхности и площади основания. [{large{S_{text{полн.пов.}}=pi rl+pi r^2=pi r(r+l)}}]
(blacktriangleright) Объем конуса ({large{V=dfrac{1}{3}S_{text{осн.}}cdot h=dfrac{1}{3}pi
r^2h}}), где (h) – высота конуса.
Заметим, что конус имеет некоторое сходство с пирамидой, только в основании пирамиды лежит многоугольник (граница которого – ломаная), а в основании конуса – круг (граница которого – гладкая).
Поэтому можно сказать, что поверхность пирамиды “ребристая” , а конуса – “гладкая”.
Задание
1
#1886
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Площадь боковой поверхности конуса равна (48pi), а площадь основания равна (36pi). Найдите длину образующей конуса.
Если радиус окружности, лежащей в основании конуса обозначить за (r), а длину образующей за (l), то площадь основания и площадь боковой поверхности конуса выразятся по формулам: (S_{text{осн.}} =
pi r^2), (S_{text{бок.пов.}} = pi r l). Из первой формулы следует: (pi r^2 = 36pi) (Rightarrow) (r^2 = 36) (Rightarrow) (r
= 6) (Rightarrow) (6pi l = 48pi) (Rightarrow) (6l = 48) (Rightarrow) (l = 8).
Ответ: 8
Задание
2
#1887
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Площадь боковой поверхности конуса равна (48pi), а площадь боковой поверхности усеченного конуса с такими же основанием и углом наклона образующей к плоскости основания равна (36pi). Найдите высоту усеченного конуса, если высота исходного конуса равна (10).
Площадь боковой поверхности меньшего конуса, который дополняет усеченный конус до полного, равна разности их площадей поверхностей: (S_{text{мал}} = 48pi – 36pi = 12pi). Отношение площадей боковых поверхностей большого и малого конусов равно квадрату коэффициента подобия между ними: [frac{S_{text{бол}}}{S_{text{мал}}} = k^2 =
frac{48pi}{12pi} = 4Rightarrow k = 2]
Тогда высоты конусов относятся друг к другу: (dfrac{h_{text{бол}}}{h_{text{мал}}} = dfrac{10}{h_{text{мал}}}
= k = 2). Тогда
[h_{text{мал}} = 5Rightarrow h_{text{усеч}} = h_{text{бол}}
– h_{text{мал}} = 10 – 5 = 5]
Ответ: 5
Задание
3
#962
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
На высоте конуса с вершиной (A), центром основания (C) и радиусом основания (R = 4) отметили точку (E) такую, что расстояние от неё до основания равно (sqrt{3}(4-pi^{-0,5})). Известно, что угол между образующей конуса и плоскостью основания равен (60^circ). Найдите площадь сечения (T) конуса, проходящего через точку (E) и параллельного основанию конуса.
Рассмотрим треугольник (ABC), где (B) – некоторая точка на окружности основания. Так как (AC) – высота конуса, то (ACperp CB), тогда (angle CAB = 90^circ – angle ABC = 30^circ), следовательно, (AB = 2CB = 8). По теореме Пифагора [AC = sqrt{AB^2 – CB^2} = 4sqrt{3}.]
Обозначим через (D) точку пересечения плоскости сечения (T) и (AB). Рассмотрим треугольник (AED): [AE = AC – CE = 4sqrt{3} – sqrt{3}(4 – pi^{-0,5}) = sqrt{dfrac{3}{pi}}.]
Так как сечение (T) параллельно плоскости основания, а (AC) – высота конуса, то (ACperp ED), тогда (triangle AED) – прямоугольный и (angle EAD = 30^circ), откуда [ED = AEcdot mathrm{tg}, angle EAD = sqrt{dfrac{3}{pi}}cdot dfrac{1}{sqrt{3}} = dfrac{1}{sqrt{pi}} = r] – радиус сечения (T).
Таким образом, площадь сечения (T) равна (pi r^2 = picdotdfrac{1}{pi} = 1).
Ответ: 1
Задание
4
#963
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Радиусы оснований усечённого конуса равны [r = dfrac{2}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}}qquad text{и}qquad R = dfrac{10}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}},] а угол между его образующей и основанием равен (45^circ). Найдите площадь боковой поверхности этого усечённого конуса.
Обозначим центры оснований усечённого конуса через (A) и (E), так что (A) – центр большего основания. Отметим на большем основании точку (C), а точку меньшего основания, через которую проходит образующая, выходящая из (C), обозначим через (D).
Высота (AE) и образующая (CD) лежат в одной плоскости. Обозначим точку их пересечения через (B).
Так как (AE) – высота, то (AEperp CD) и (AEperp AC).
Рассмотрим прямоугольный треугольник (BAC):
в нём (angle BCA = 45^circ), тогда [AB = R = dfrac{10}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}},qquadqquad BC = Rsqrt{2} = dfrac{10sqrt{2}}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}}.]
Рассмотрим прямоугольный треугольник (BED):
так как (angle EBD = 45^circ), то [BE = r = dfrac{2}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}},qquadqquad BD = rsqrt{2} = dfrac{2sqrt{2}}{sqrt[4]{2}sqrt{pi}},] тогда (EA = AB – BE = R – r), (DC = BC – BD = Rsqrt{2} – rsqrt{2} = sqrt{2}(R – r)). [S_{text{бок}} = pi(R + r)cdot I,] где (I) – образующая, тогда [S_{text{бок}} = pi(R + r)cdotsqrt{2}(R – r) = sqrt{2}pi(R^2 – r^2) = sqrt{2}pileft(dfrac{100}{sqrt{2}pi} – dfrac{4}{sqrt{2}pi}right) = 96.]
Ответ: 96
Старшеклассникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, непременно стоит научиться вычислять площадь и другие неизвестные параметры конуса. Как показывает практика предыдущих лет, подобные задания из раздела «Геометрия в пространстве» вызывают у выпускников определенные сложности.
При этом понимать, как найти площадь боковой поверхности или, к примеру, сечения конуса, параллельного основанию, должны все учащиеся, независимо от уровня их подготовки. Это позволит им успешно пройти аттестационное испытание по математике.
Базовая информация, которую стоит запомнить
- Конус представляет собой геометрическое тело, которое образовано совокупностью круга, точки, находящейся вне его плоскости, и лучей, соединяющих заданную точку с точками круга. Его высотой называется перпендикуляр, который опущен из вершины на плоскость основания.
- Все образующие конуса равны между собой.
- Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этой фигуры равняется двум радиусам. Боковые стороны треугольника равны образующим конуса.
Занимайтесь вместе с сайтом «Школково»!
Чтобы не допускать распространенных ошибок при решении задач по теме «Конус», выбирайте наш математический портал. Здесь есть весь необходимый материал для изучения разделов, требующих повторения.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают новый подход к подготовке к экзамену, предполагающий переход от простого к сложному. Вначале мы даем полную теорию, основные формулы и элементарные практические задачи с решением, в том числе и по теме «Конус», а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня, которые также встречаются в ЕГЭ. Вся необходимая информация представлена в разделе «Теоретическая справка».
Вы также можете сразу приступить к решению онлайн-задач на вычисление высоты усеченного конуса, площади его боковой поверхности, объема, а также похожих задач на вычисление, например, нахождению объема или площади сечения куба. Большая база упражнений представлена в разделе «Каталог». Перечень заданий систематически обновляется.
Проверьте, насколько легко вы сможете определить площадь конуса в режиме онлайн. Если упражнение потребовало от вас минимальных усилий, рекомендуем вам не тратить время на простые задачи и переходить к более сложным. А если затруднения все же возникли, тогда вам непременно стоит находить время в своем ежедневном расписании на дистанционные занятия вместе со «Школково». С нами вы сможете быстро усвоить алгоритм решения задач на расчет объема конуса и других неизвестных параметров.
УСТАЛ? Просто отдохни
Площадь сечения конуса. Для вас представлена очередная статья с конусами. На момент написания этой статьи на блоге решены все примеры (прототипы) заданий с конусами, которые возможны на экзамене. Процесс решения несложен (1-2 действия), при определённой практике решаются устно. Нужно знать понятие образующей, об этом информация в этой статье. Так же необходимо понимать как образуются сечения конуса.
1. Если плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.
*Если плоскость проходит через ось конуса, то сечением является равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса, а основание на которое опущена эта высота равна диаметру основания конуса.
2. Если плоскость проходит перпендикулярно оси конуса, то сечением является круг.
Особенностью данных заданий является то, что применяется формула площади треугольника, здесь она первая. Формулы периодически повторяйте. Рассмотрим задачи:
324453. Площадь основания конуса равна 16Пи, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.
Осевым сечением конуса является треугольник с основанием равным диаметру основания конуса и высотой равной высоте конуса. Обозначим диаметр как D, высоту как Н, запишем формулу площади треугольника:
Высота известна, вычислим диаметр. Используем формулу площади круга:
Значит диаметр будет равен 8. Вычисляем площадь сечения:
Ответ: 24
324454. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Сечением является круг. Необходимо найти площадь этого круга.
Построим осевое сечение:
Рассмотрим треугольники AKL и AOC – они подобны. Известно, что в подобных фигурах отношения соответствующих элементов равны. Мы рассмотрим отношения высот и катетов (радиусов):
OC это радиус основания, его можно найти:
Значит
Теперь можем вычислить площадь сечения:
*Это алгебраический способ вычисления без использования свойства подобных тел, касающегося их площади. Можно было рассудить так:
Два конуса (исходный и отсечённый) подобны, значит пощади их оснований являются подобными фигурами. Для площадей подобных фигур существует зависимость:
Коэффициент подобия в данном случае равен 1/3 (высота исходного конуса равна 9, отсечённого 3), 3/9=1/3.
Таким образом, площадь основания полученного конуса равна:
Ответ: 2
323455. Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.
Найдём диаметр основания и используя формулу площади треугольника вычислим площадь. По теореме Пифагора:
Вычисляем площадь сечения:
Ответ: 48
Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей — 25. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.
Радиус основания равен половине диаметра, то есть 20.
Вычислим высоту и далее используя формулу площади треугольника найдём искомую площадь. По теореме Пифагора:
Вычисляем площадь сечения:
Ответ: 300
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
