Как найти осевой момент инерции двутавра

Зачем нужен момент инерции сечения

Несмотря на то, что наука о прочности давно уже шагнула вперёд, и давно уже развиваются многие её направления (строительная механика, механика разрушения, теория упругости и другие), а также несмотря на то, что всё чаще расчеты сложных конструкций выполняются при помощи метода конечного элемента посредством специализированных программных комплексов, прикидочные расчеты на основе методов сопромата не утратили своей актуальности. Ведь именно они, во-первых, позволяют дать оценку прочности конструкции «в полевых условиях» (без трудоёмкого построения конечно-элементной модели, без сложных математических выкладок), а во-вторых — позволяют это сделать достаточно быстро.

В основном, расчеты в сопротивлении материалов имеют целью проверить общую (а не местную) прочность балок. Поэтому расчетная схема принимается упрощенной, и многими конструктивными элементами, даже являющимися концентраторами напряжений, в ней пренебрегают. Тем не менее, несмотря на ряд упрощений в схеме и принятые допущения (гипотезы, принятые для построения теории сопротивления материалов), в этой науке разработаны методы, позволяющие с довольно большой точностью определить опасные сечения и напряжения, возникающие в них.

Вообще, поперечное сечение балки может представлять собой тавр, швеллер, двутавр, круг, прямоугольник, кольцо, полый прямоугольник и т.п. или может быть составным, т.е. составленным из нескольких однотипных или различных профилей. От его формы и размеров зависит прочность и жесткость балки. Площадь поперечного сечения является важной характеристикой, но знать только лишь её достаточно разве что для задач на центральное растяжение. Если же балка испытывает изгиб или кручение, то знать только лишь площадь поперечного сечения оказывается недостаточно. Балка может «проходить» (т.е. обладать достаточной прочностью и жесткостью) с одним типом сечения и «не проходить» с другим типом сечения такой же площади. В процессе решения задач по сопромату, касающихся определения напряжений в балке при её изгибе или кручении, проверке устойчивости сжатых стержней, а также при решении некоторых других задач требуется знать не только площадь, но и другие геометрические характеристики сечения (момент инерции площади сечения, момент сопротивления площади сечения, полярный момент инерции площади сечения). Во-первых, они требуются для решения конкретной задачи об определении напряжений в данной балке с заданными размерами поперечного сечения. Во-вторых, они нужны для выполнения сравнительного анализа разных типов сечений (например, выбора среди нескольких различных сечений с одинаковой площадью именно того сечения, которое будет лучше сопротивляться изгибу или кручению), для подбора оптимального сечения для балки, работающей в конкретно заданных условиях. Поскольку нахождение геометрических характеристик сечения требует определенных знаний и практических навыков, в любом учебнике или справочнике по сопромату выделен раздел, посвященный определению этих характеристик, а в любом задачнике по сопромату приведены задачи по нахождению момента инерции или момента сопротивления сечения.

Что такое момент инерции сечения

Обычно, когда речь идёт о геометрических характеристиках сечения, слово «площадь» опускают, чтобы не было нагромождения слов, и говорят не «момент инерции площади сечения», «момент сопротивления площади сечения», а просто «момент инерции сечения», «момент сопротивления сечения» или даже просто «момент инерции», «момент сопротивления». При этом различают осевой, полярный и центробежный момент инерции площади сечения.

Осевой момент инерции площади фигуры (сечения) — это интеграл произведений элементарных площадок данного сечения на квадраты их расстояний от рассматриваемой оси. Другое, менее распространенное его название – экваториальный момент инерции. Величина осевого момента инерции всегда положительна.

Полярный момент инерции площади фигуры (сечения) относительно данной точки (полюса) — это интеграл произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от полюса. Величина полярного момента инерции всегда положительна.

Центробежный момент инерции площади фигуры — это интеграл произведений элементарных площадок на их расстояния от координатных осей. В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. При повороте осей вокруг начала координат на 90 градусов знак центробежного момента инерции меняется на обратный.

Задавая вопросы «в чем измеряется момент инерции», «какова единица измерения момента инерции», «как обозначается момент инерции» необходимо четко представлять, что именно имеется в виду: момент инерции сечения (о котором идёт речь в сопромате и, в частности, в настоящей статье) или же момент инерции тела (который упоминается в физике и в теории механизмов и машин). Размерность момента инерции сечения – это размерность длины в четвертой степени (например, см⁴, м⁴, мм⁴). Моменты инерции сечений стандартных профилей (швеллеров, уголков, тавров, двутавров) приведены в справочных таблицах в размерности «см⁴». При необходимости, данную в таблице величину можно представить в другой единице измерения. Обычно при решении задач возникает необходимость перевода этой величины в «мм⁴». Обозначается момент инерции сечения буквой I с нижним индексом, который указывает, относительно какой оси вычислена данная характеристика (например, I_x, I_y). Момент сопротивления сечения обозначается буквой W, также с нижним индексом, указывающим на ось, относительно которой дана эта величина (например, W_x, W_y). 

Что такое главные оси

Главные оси инерции – оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

Главные центральные оси — главные оси, проходящие через центр тяжести сечения.

Как найти момент инерции сечения

При вычислении момента инерции сечения можно воспользоваться непосредственно определением момента инерции и вычислить эту характеристику сечения путём нахождения интеграла по площади. Так и поступают при нахождении момента инерции треугольника, круга, прямоугольника, кругового сектора и других простых фигур.

Обозначив характерные размеры сечения через параметры (т.е. буквами) и выполнив соответствующее интегрирование по площади, получают формулы для определения моментов инерции этих сечений. Ход решения показан, например, в учебнике по сопромату Г.С. Писаренко на примере вывода формул для определения момента инерции прямоугольника, треугольника, кругового сектора и эллипса. Такие формулы приведены во многих справочниках по сопромату (например, в книге Писаренко Г.С., Яковлев А.П. Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – К: Наукова думка, 1975, на страницах 24 — 77) для многих типов сечений (квадрат, полый квадрат, прямоугольник, полый прямоугольник, прямоугольник с круглым отверстием, прямоугольник с двумя отверстиями, прямоугольник с полукруглыми вырезами, повернутый прямоугольник, крестовина, корытное сечение, треугольник, трапеция, круг, кольцо, круговое незамкнутое тонкостенное кольцо, полукруг, четверть круга, круговой сектор, круговой сегмент, полукольцо, сектор кольца, круг с лыской, правильный шестиугольник, правильный многоугольник, круговое сечение с одной или с двумя шпоночными канавками, эллипс, полуэллипс, четверть эллипса, полый эллипс, параболический сегмент, параболический полусегмент, круговой треугольник, сечение железнодорожного рельса). Готовыми формулами из справочника пользоваться намного проще, чем выводить каждый раз нужную формулу самостоятельно путём интегрирования.

В этом же справочнике приведены и формулы для приближенного вычисления геометрических характеристик (F, I, W) сечений стандартных прокатных профилей: уголков (равнобокого и неравнобокого), швеллера, тавра, двутавра, однако на практике этими формулами пользуются весьма редко, т.к. все необходимые характеристики стандартных сечений уже вычислены и приведены в соответствующих нормативных документах (см. ГОСТ 8240-97 для швеллеров, ГОСТ 8509-93 для равнополочных уголков, ГОСТ 8510-86 для неравнополочных уголков, ГОСТ 26020-83 и ГОСТ 8239-89 для двутавров). Выдержки из перечисленных выше стандартов приведены во многих справочниках, учебниках и решебниках по сопромату.

Скачать примеры решения задач, касающиеся того, как найти момент инерции и момент сопротивления, можно здесь (бесплатно, без регистрации):

При вычислении моментов инерции сложных сечений их разбивают на отдельные простые части, моменты инерции которых известны.

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту инерции относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

При повороте прямоугольных осей сумма осевых моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции.

Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки поперечного сечения.

Размерность моментов сопротивления – единица длины в кубе (например, см³, м³, мм³).

Практическое значение имеют моменты сопротивления относительно главных центральных осей, которые обычно называются просто моментами сопротивления. Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения.

Источники:

• Н.М. Беляев. Сопротивление материалов.
•  Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. Справочник по сопротивлению материалов.
• А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. Сопротивление материалов.
• reshusam.ucoz.ru — Примеры определения моментов инерции сечений.

Дополнительно на Геноне:

• Что такое сопромат

К решению задачи
рекомендуется приступить после
выполне­ния самостоятельной работы
5 (гл. 1). Порядок решения задачи остается
таким же.

Пример
29. Определить
моменты инерции сечения, составлен­ного
из прокатных профилей, относительно
главных централь­ных осей (рис. 44).
Сечение состоит из двутавра № 33, швеллера
№ 27, двух уголков 90 х 56 х 6 и листа сечением
12 х 180 мм.

Решение.
1.
Положение центра тяжести определено в
приме­ре 25: у_с
= 2,33
см, если ось проходит через центр тяжести
дву­тавра.

2.
Проводим
центральные оси для каждого профиля
проката х_1
ъ

x
₂
, x₃,
x₄
и х₅.

3.
Проводим
главные центральные оси. Вертикальную
ось v
со­вмещаем с осью симметрии, а
горизонтальную и
проводим
через центр тяжести сечения С
перпендикулярно
оси v.

4.
Определим
момент инерции сечения относительно
оси «:

Учитывая,
что уголки одинаковые и расположены на
одинако­вом расстоянии от оси и,
получим:

Определим
величину каждого слагаемого. Момент
инерции швеллера № 27 относительно оси
и

Момент инерции
уголка 90 х 56 х 6 относительно оси «

Момент
инерции двутавра № 33 относительно оси
и:

140

Момент
инерции листа 12×180 мм относительно оси
и:

Подставим полученное
значение в формулу (а):

5.
Определим
момент инерции сечения относительно
оси v:

Момент
инерции швеллера № 27 относительно оси
v:

141

Момент
инерции уголка 90 х 56 х 6 относительно
оси v:

Ответ:
J_u
= 24652 см⁴;
J_v
= 9926
см⁴.

Пример
30. Определить
моменты инерции сечения, состав­ленного
из простых геометрических фигур,
относительно глав­ных центральных
осей по условию примера 25 (см. рис. 37).

Решение.
1.
Положение центра тяжести определено:
у_с
= = 9,84
см.

2. Для
каждой фигуры проводим центральные оси
х_{,
х₂,
х₃,
х₄
и
х₅,
причем
оси х₃
и x₄
совпали (рис. 45).

3.
Проводим
главные центральные оси. Вертикальную
ось v
со­вместим с осью симметрии, а
горизонтальную ось и
проведем
че­рез центр тяжести сечения С
перпендикулярно оси v.

4.
Момент
инерции сечения относительно оси и

Определим значение
каждого слагаемого. Момент инерции;’
первого прямоугольника

Момент инерции
второго прямоугольника

142

143

Подставим
числовые значения в формулу для
определения /_v:

Задание для
расчетно-графической работы 5.

Задача
1. Определить
моменты инерции сечения, составленного
из профилей прокатной стали, относительно
главных центральных осей по данным
одного из вариантов, приведенных на
рис. 38.

Задача
2.
Определить моменты инерции сечения,
составленного из простых геометрических
фигур, относительно главных центральных
осей по данным одного из вариантов,
приведенных на рис. 39.

5.3. Подбор сечения балки из прокатного двутавра

1.
Строят
эпюры Q_x
и М_х
(см.
самостоятельную работу 6, гл. I).

2.
Подбирают
сечение стальной балки в
следующем порядке: а) определяют
требуемый момент сопротивления
сечения балки:

б) по
ГОСТам прил. I
подбираем номер двутавровой стальной
балки, которая должна иметь момент
сопротивления W_x,
наибо­лее
близкий по значению к требуемому моменту
сопротивления W_x^тр

3.
Проверяют
прочность принятой двутавровой балки
по
нор­мальным напряжениям. Такую проверку
выполняют для сечения с наибольшим
изгибающим моментом:

144

Если условие
удовлетворено, прочность балки по
нормальным сечениям считается
обеспеченной, и наоборот.

4.
Строят
эпюру нормальных напряжений о.
Для этого вычер­чивают крупно поперечное
сечение балки и проводят на отдель­ном
рисунке нулевую линию перпендикулярно
нейтральной оси. Затем на уровне крайних
точек сечения (верхней и нижней)
от­кладывают найденные ранее значения
Q_тах
и Q_min
и соединяют эти значения прямой линией.
Полученный график называется эпюрой
а. Значения Q_тах
и Q_min
откладывают по разные стороны от нулевой
линии.

5.
Проверяют
прочность принятой двутавровой балки
по каса­тельным, напряжениям. Наибольшие
касательные напряжения возникают в том
сечении по длине балки, в котором
действует наибольшая поперечная сила
(по абсолютному значению), а по высоте
сечения — на уровне нейтрального слоя.

Для
определения этих напряжений действительное
сечение двутавровой балки упрощают:
полка и стенка принимаются пря­моугольными:
полка с размерами b
и
/, а стенка — d
и
(h
— 2f).
Размеры
b,
t
и
h
берутся
по ГОСТу (прил. I).
Таким образом, се­чение двутавровой
балки теперь состоит из трех
прямоугольни­ков.

Касательные
напряжения на уровне нейтрального слоя
опре­деляют по формуле Журавского:

6.
Строим
эпюру касательных напряжении, касательные
напря­жения изменяются по высоте
балки по криволинейному закону и имеют
скачок в месте соединения полки и стенки.
Поэтому эпю­ру т строят по значениям,
найденным в пяти точках сечения:

145

крайних точках,
на уровне нейтральной оси и на уровне
сопря­жения стенки и полки — чуть
ниже и чуть выше этого сопряже­ния.

Напряжение
в этих точках определяется по формуле
Журав-ского. При этом статический момент
S_x
и
ширина сечения Ь
оп­ределяются
для каждой точки сечения. Касательные
напряжения в крайних точках сечения
равны нулю.

Пример
31.
По условию примера 11 подобрать сечение
сталь­ной двутавровой балки (рис. 46,
а). Проверить прочность приня­того
сечения по нормальным напряжениям в
сечении с наиболь­шим изгибающим
моментом и по касательным напряжениям
в сечении с наибольшей поперечной силой.
Материал — сталь марки С-235.

Решение.
1.
Строим
эпюры Q_x
и
М_х
(см.
пример 11). Наиболь­шее значение
поперечной силы Q_max
= 73,6
кН, изгибающего мо­мента M_тах
=95,4кН-м (см. рис. 15).

2.
Подберем
сечение стальной двутавровой балки по
наибольше­му изгибающему моменту

3.
Проверим
прочность принятого сечения:

Прочность сечения
по нормальным напряжениям обеспечена.

4.
Строим
эпюру нормальных напряжений. Отложим
от нулевой линии 0—0 (рис. 46, б)
значение
q_тах
=
202,1 МПа и c
q_min
= = 202,1 МПа и соединим полученные точки.
Верхняя часть испы­тывает сжатие,
нижняя — растяжение, так как по эпюре
М_х
вид­но,
что балка прогибается (обращена
выпуклостью) вниз.

5.
Проверим
прочность балки по касательным
напряжениям. За­меним
действительное сечение упрощенным
(рис. 46, в).
Разме­ры
d=
6,5
мм; t=
10,2
мм; b
=
135 мм приняты по табл. 3 прил. I.

Определим наибольшее
касательное напряжение

146

В прокатных балках,
которые не несут больших сосредоточен­ных
сил в приопорных участках, это условие
обычно соблюдается с большим запасом.

6.
Построим
эпюру т.
Напряжение в сечении 2 — 2

147

Напряжение в
сечении 3 — 3

Напряжение
в сечении 4 — 4 равно нулю, так как S_x
= 0. По
найденным значениям строим эпюру r
_y
(рис.
46, г).

Задание
для расчетно-графической работы 6.
Подобрать
сечение стальной двутавровой балки,
проверить принятое сечение по нормаль­ным
(для сечения с наибольшим изгибающим
моментом) и по касатель­ным (для сечения
с наибольшей поперечной силой) напряжениям
и по­строить эпюры q
и r
для соответствующих сечений. Материал
— сталь С-245. Остальные данные принять
по одному из вариантов, показанных на
рис. 7.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #