Как найти осевые моменты инерции двутавра

Зачем нужен момент инерции сечения

Несмотря на то, что наука о прочности давно уже шагнула вперёд, и давно уже развиваются многие её направления (строительная механика, механика разрушения, теория упругости и другие), а также несмотря на то, что всё чаще расчеты сложных конструкций выполняются при помощи метода конечного элемента посредством специализированных программных комплексов, прикидочные расчеты на основе методов сопромата не утратили своей актуальности. Ведь именно они, во-первых, позволяют дать оценку прочности конструкции «в полевых условиях» (без трудоёмкого построения конечно-элементной модели, без сложных математических выкладок), а во-вторых — позволяют это сделать достаточно быстро.

В основном, расчеты в сопротивлении материалов имеют целью проверить общую (а не местную) прочность балок. Поэтому расчетная схема принимается упрощенной, и многими конструктивными элементами, даже являющимися концентраторами напряжений, в ней пренебрегают. Тем не менее, несмотря на ряд упрощений в схеме и принятые допущения (гипотезы, принятые для построения теории сопротивления материалов), в этой науке разработаны методы, позволяющие с довольно большой точностью определить опасные сечения и напряжения, возникающие в них.

Вообще, поперечное сечение балки может представлять собой тавр, швеллер, двутавр, круг, прямоугольник, кольцо, полый прямоугольник и т.п. или может быть составным, т.е. составленным из нескольких однотипных или различных профилей. От его формы и размеров зависит прочность и жесткость балки. Площадь поперечного сечения является важной характеристикой, но знать только лишь её достаточно разве что для задач на центральное растяжение. Если же балка испытывает изгиб или кручение, то знать только лишь площадь поперечного сечения оказывается недостаточно. Балка может «проходить» (т.е. обладать достаточной прочностью и жесткостью) с одним типом сечения и «не проходить» с другим типом сечения такой же площади. В процессе решения задач по сопромату, касающихся определения напряжений в балке при её изгибе или кручении, проверке устойчивости сжатых стержней, а также при решении некоторых других задач требуется знать не только площадь, но и другие геометрические характеристики сечения (момент инерции площади сечения, момент сопротивления площади сечения, полярный момент инерции площади сечения). Во-первых, они требуются для решения конкретной задачи об определении напряжений в данной балке с заданными размерами поперечного сечения. Во-вторых, они нужны для выполнения сравнительного анализа разных типов сечений (например, выбора среди нескольких различных сечений с одинаковой площадью именно того сечения, которое будет лучше сопротивляться изгибу или кручению), для подбора оптимального сечения для балки, работающей в конкретно заданных условиях. Поскольку нахождение геометрических характеристик сечения требует определенных знаний и практических навыков, в любом учебнике или справочнике по сопромату выделен раздел, посвященный определению этих характеристик, а в любом задачнике по сопромату приведены задачи по нахождению момента инерции или момента сопротивления сечения.

Что такое момент инерции сечения

Обычно, когда речь идёт о геометрических характеристиках сечения, слово «площадь» опускают, чтобы не было нагромождения слов, и говорят не «момент инерции площади сечения», «момент сопротивления площади сечения», а просто «момент инерции сечения», «момент сопротивления сечения» или даже просто «момент инерции», «момент сопротивления». При этом различают осевой, полярный и центробежный момент инерции площади сечения.

Осевой момент инерции площади фигуры (сечения) — это интеграл произведений элементарных площадок данного сечения на квадраты их расстояний от рассматриваемой оси. Другое, менее распространенное его название – экваториальный момент инерции. Величина осевого момента инерции всегда положительна.

Полярный момент инерции площади фигуры (сечения) относительно данной точки (полюса) — это интеграл произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от полюса. Величина полярного момента инерции всегда положительна.

Центробежный момент инерции площади фигуры — это интеграл произведений элементарных площадок на их расстояния от координатных осей. В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. При повороте осей вокруг начала координат на 90 градусов знак центробежного момента инерции меняется на обратный.

Задавая вопросы «в чем измеряется момент инерции», «какова единица измерения момента инерции», «как обозначается момент инерции» необходимо четко представлять, что именно имеется в виду: момент инерции сечения (о котором идёт речь в сопромате и, в частности, в настоящей статье) или же момент инерции тела (который упоминается в физике и в теории механизмов и машин). Размерность момента инерции сечения – это размерность длины в четвертой степени (например, см⁴, м⁴, мм⁴). Моменты инерции сечений стандартных профилей (швеллеров, уголков, тавров, двутавров) приведены в справочных таблицах в размерности «см⁴». При необходимости, данную в таблице величину можно представить в другой единице измерения. Обычно при решении задач возникает необходимость перевода этой величины в «мм⁴». Обозначается момент инерции сечения буквой I с нижним индексом, который указывает, относительно какой оси вычислена данная характеристика (например, I_x, I_y). Момент сопротивления сечения обозначается буквой W, также с нижним индексом, указывающим на ось, относительно которой дана эта величина (например, W_x, W_y). 

Что такое главные оси

Главные оси инерции – оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

Главные центральные оси — главные оси, проходящие через центр тяжести сечения.

Как найти момент инерции сечения

При вычислении момента инерции сечения можно воспользоваться непосредственно определением момента инерции и вычислить эту характеристику сечения путём нахождения интеграла по площади. Так и поступают при нахождении момента инерции треугольника, круга, прямоугольника, кругового сектора и других простых фигур.

Обозначив характерные размеры сечения через параметры (т.е. буквами) и выполнив соответствующее интегрирование по площади, получают формулы для определения моментов инерции этих сечений. Ход решения показан, например, в учебнике по сопромату Г.С. Писаренко на примере вывода формул для определения момента инерции прямоугольника, треугольника, кругового сектора и эллипса. Такие формулы приведены во многих справочниках по сопромату (например, в книге Писаренко Г.С., Яковлев А.П. Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – К: Наукова думка, 1975, на страницах 24 — 77) для многих типов сечений (квадрат, полый квадрат, прямоугольник, полый прямоугольник, прямоугольник с круглым отверстием, прямоугольник с двумя отверстиями, прямоугольник с полукруглыми вырезами, повернутый прямоугольник, крестовина, корытное сечение, треугольник, трапеция, круг, кольцо, круговое незамкнутое тонкостенное кольцо, полукруг, четверть круга, круговой сектор, круговой сегмент, полукольцо, сектор кольца, круг с лыской, правильный шестиугольник, правильный многоугольник, круговое сечение с одной или с двумя шпоночными канавками, эллипс, полуэллипс, четверть эллипса, полый эллипс, параболический сегмент, параболический полусегмент, круговой треугольник, сечение железнодорожного рельса). Готовыми формулами из справочника пользоваться намного проще, чем выводить каждый раз нужную формулу самостоятельно путём интегрирования.

В этом же справочнике приведены и формулы для приближенного вычисления геометрических характеристик (F, I, W) сечений стандартных прокатных профилей: уголков (равнобокого и неравнобокого), швеллера, тавра, двутавра, однако на практике этими формулами пользуются весьма редко, т.к. все необходимые характеристики стандартных сечений уже вычислены и приведены в соответствующих нормативных документах (см. ГОСТ 8240-97 для швеллеров, ГОСТ 8509-93 для равнополочных уголков, ГОСТ 8510-86 для неравнополочных уголков, ГОСТ 26020-83 и ГОСТ 8239-89 для двутавров). Выдержки из перечисленных выше стандартов приведены во многих справочниках, учебниках и решебниках по сопромату.

Скачать примеры решения задач, касающиеся того, как найти момент инерции и момент сопротивления, можно здесь (бесплатно, без регистрации):

При вычислении моментов инерции сложных сечений их разбивают на отдельные простые части, моменты инерции которых известны.

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту инерции относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

При повороте прямоугольных осей сумма осевых моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции.

Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки поперечного сечения.

Размерность моментов сопротивления – единица длины в кубе (например, см³, м³, мм³).

Практическое значение имеют моменты сопротивления относительно главных центральных осей, которые обычно называются просто моментами сопротивления. Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения.

Источники:

• Н.М. Беляев. Сопротивление материалов.
•  Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. Справочник по сопротивлению материалов.
• А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. Сопротивление материалов.
• reshusam.ucoz.ru — Примеры определения моментов инерции сечений.

Дополнительно на Геноне:

• Что такое сопромат

Для
сечения изображённого на (рисунок
5.5),
определить положение
главные и
центральные моменты инерции

6.5
– рисунок

Решение:

3.2.1. Находим по таблице сортамента из приложений I, II, III, IV площадь, моменты инерции и координаты центра тяжести каждой фигуры (рисунок 6.6).

№20
швеллер үшін
№20 қоставр үшін

Для
швеллера №20. Для двутавра
№20.

Рисунок
6.6

2)
Определяем статические моменты швеллера
и двутавра относительно этих осей.
Статические моменты швеллера относительно
своих центральных осей равны нулю, а
статические моменты двутавра относительно
осей

;

;

;

.

Площадь
всего составного сечения:

.

Тогда
координаты центра тяжести составного
сечения (рисунок 6.6):

,

.

Определяем
осевые и центробежные моменты инерции
составного сечения относительно
центральных осей
:

Для
швеллера:

;

.

Для
двутавра:

;

.

Найдём
осевые моменты инерции относительно
осей для швеллера и двутавра:

Найдём
осевые моменты инерции относительно
осей
для всего сечения.

;

.

Найдём
центробежный момент инерции швеллера
и двутавра относительно осей
.

Центробежный
момент инерции всего сечения:

.

Найдём
положение главных центральных осей
инерции сечения

;

,

.

Главные
центральные оси u
и v
будут повернуты относительно осей х_с
и у_с
на
угол 
против часовой стрелки (рисунок 5.7).

Значение
главных центральных моментов инерции
сечения определим по формуле (5.12).

,

,

.

Главные
центральные моменты инерции можно
найти и по следующим формулам:

;

.

.

Вычислим
главные радиусы инерции:

,

.

Проверим
точность вычислений.

;

Рисунок
6.7

7. Кручение

7.1. Общие сведения

Кручением называется такой вид
деформации, при котором в поперечных
сечениях бруса возникает только один
внутренний силовой фактор – крутящий
момент Мк.

Если прямой брус находится в состоянии
покоя или равномерного вращения, то
алгебраическая сумма всех внешних
скручивающих моментов, приложенных к
брусу, равна нулю.

Внутренние крутящие моменты
определяются по внешним скручивающим
моментам с помощью метода сечений
(рисунок 7.1а).

Крутящий момент в поперечном сечении
бруса равен сумме внешних скручивающих
моментов, приложенных к брусу по одну
сторону от рассматриваемого сечения
(рисунок 7.1б).

Крутящий момент считается положительным,
если при взгляде в торец отсеченной
части бруса внутренний момент
представляется направленным по движению
часовой стрелки (рисунок 7.1б).

Рисунок 7.1- Метод сечений

График изменения крутящих моментов
по длине бруса называют эпюрой крутящих
моментов.

В сечении, в котором к брусу приложен
внешний скручивающий момент, ордината
эпюры изменяется скачкообразно на
величину, равную значению этого момента.

При кручении брусьев, имеющих круглое
сплошное или кольцевое поперечное
сечение, принимаются следующие гипотезы:

1. Поперечные
   сечения бруса, плоские и нормальные к
   его оси до деформации остаются плоскими
   и нормальными к ней и после деформации.

2. Радиусы
   поперечных сечений не искривляются и
   сохраняют свою длину.

3. Расстояние
   между поперечными сечениями не
   изменяются.

Кроме того, предполагается, что при
кручении остается справедливым закон
Гука при сдвиге:

τ
= G·γ
,(7.1)

где τ – касательное напряжение;

G
– модуль сдвига;

γ
– угол сдвига.

Если крутящий момент во всех поперечных
сечениях бруса имеет одно и то же
значение, а размеры сечения постоянны
по всей его длине, то угол закручивания
определяется по формуле:

, (7.2)

где l
– длина участка (м),

Jp
– полярный момент инерций (м⁴).

Касательное напряжение в произвольной
точке поперечного сечения круглого
бруса определяется по формуле:

,(7.3)

где r– расстояние от оси бруса до точки;

Jp– полярный момент инерций.

Рисунок 7.2. Эпюра касательных напряжений

В центре (при r =0 ) касательные
напряжения равны нулю (рисунок 7.2.).
Наибольшее значение касательного
напряжения приr_max
= D/2:

, (7.4)

где Wp
-полярный момент сопротивления :

.
(7.5)

Для круглого сечения диаметром Dполярные момент инерции и момент
сопротивления определяются по формулам:

;
(7.6)

. (7.7)

Для кольцевого сечения:

;
(7.8)

,
(7.9)

где – β = d /D;d– внутренний диаметр
кольца.

Относительный угол закручивания
(угол закручивания на единицу длины)
определяется по формуле:

,
(7.10)

где GJ_p– жесткость стержня при кручении.

Условие жесткости при кручении имеет
вид:

, (7.11)

где [θ]– допускаемый относительный
угол закручивания.

Условие прочности при кручении:

, (7.12)

где [τ ] – допускаемое касательное
напряжение.

Задача подбора сечения производится
по условию жесткости и условию прочности.

Для сплошного сечения:

;
(7.13)

.
(7.14)

Для кольцевого сечения:

;
(7.15)

.
(7.16)

За окончательный результат принимается
большее значение диаметра.

7.2.
Задание РГР-М 7
Расчет на прочность и жесткость при
кручении

Пусть
к валу (рис. 7) передается через ведущий
шкив вращение со скоростью n₀
об/мин и снимается мощности P₁
и P₂
с рабочих шкивов. Необходимо построить
эпюру крутящих моментов. Из условия
прочности и жесткости определить диаметр
вала. Построить эпюру касательных
напряжений 
в опасном сечении и эпюру угла закручивания
по длине. Как изменится внешний диаметр
вала, если взять вал кольцевого сечения
(
= d₀/d
= 0,5), G
= 8 
10⁴
МПа. Данные взять из рисунка 7.3. и таблицы
7.

1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Рисунок
7.3

Таблица
М 7

№ задания	P1 кВт	P2 кВт	а м	в м	с м	n0 об/мин	Q рад/м	 МПа
0	100	120	1,2	1	1,1	1000	5	140
1	110	110	1,1	1,2	1	1000	5	145
2	120	120	1	1,1	1,2	1000	5	145
3	130	100	0,9	1	1,1	1500	4	140
4	125	110	1,3	0,9	1	1500	4	150
5	115	115	1,1	1,3	0,9	1500	4	150
6	95	100	1	1,1	1,3	1200	6	150
7	100	150	1,2	1	1,1	1200	6	160
8	105	120	0,9	1,2	1	1200	6	160
9	120	130	1	0,9	1,2	1400	5	160

Пример:
Пусть N₁
= N₂
= 100 к Вт, а
= 1,2 м, в
= 1,4 м, с
= 1,6 м. ₀
= 1000 об/мин, Q
= 5 рад/м, 
= 150 МПа, G
= 8 
10⁴
МПа.

Решение.
По мощности находим крутящие моменты

Предварительно
составим уравнения равновесия вала
(рис. 7.4).

Рисунок
7.4

 М_z
= 0: М₂
+ М₁
– М_В
= 0.

Отсюда
М_В
= М₁
+ М₂
= 1,911 (кН
м). По найденным моментам строим эпюру
моментов. Максимальный крутящий момент
равен М_к
тах
= М_В
= 1,911 кНм. Из условия прочности находим.

Из
условия жесткости получим

Окончательно
примем d
= 4,5 см.

Угол
закручивания определим по формуле
,
закрепив одного из сечений, например
прикрепление ведущего шкива. Тогда₁
в зоне прикрепления первого ведомого
шкива будет

Угол
закручивания в месте прикрепления
второго шкива будет равен

Эпюра
углов закручивания приведена на рисунке
7.4.

Определим
диаметр кольцевого сечения (
= 0,5).

Из
формул

Оказывается
d
= 4,09см, что в 1,02 раза больше, чем для
сплошного сечения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #