Как найти основание десятичного логарифма – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

График десятичного логарифма

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа $b$ есть решение уравнения ${displaystyle 10^{x}=b.}$

Вещественный десятичный логарифм числа $b$ существует, если $b>0$ (комплексный десятичный логарифм существует для всех $bneq 0$ ). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его $lg ,b$ . Примеры:

$lg ,1=0;,lg ,10=1;,lg ,100=2$

$lg ,1000000=6;,lg ,0{,}1=-1;,lg ,0{,}001=-3$

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: ${displaystyle operatorname {log} ,operatorname {Log} ,operatorname {Log10} }$ , причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства[править | править код]

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

	Формула	Пример
Произведение	${displaystyle lg(xy)=lg(x)+lg(y)}$	${displaystyle lg(10000)=lg(100cdot 100)=lg(100)+lg(100)=2+2=4}$
Частное от деления	${displaystyle lg !left({frac {x}{y}}right)=lg(x)-lg(y)}$	$lg left({frac {1}{1000}}right)=lg(1)-lg(1000)=0-3=-3$
Степень	${displaystyle lg(x^{p})=plg(x)}$	${displaystyle lg(10000000)=lg(10^{7})=7lg(10)=7}$
Корень	${displaystyle lg {sqrt[{p}]{x}}={frac {lg(x)}{p}}}$	$lg {sqrt {1000}}={frac {1}{2}}lg 1000={frac {3}{2}}=1{,}5$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

$lg |xy|=lg(|x|)+lg(|y|),$

$lg !left|{frac xy}right|=lg(|x|)-lg(|y|),$

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

$lg(x_{1}x_{2}dots x_{n})=lg(x_{1})+lg(x_{2})+dots +lg(x_{n})$

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел $x,y$ с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

Найти в таблицах логарифмы чисел $x,y$ .
Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения $xcdot y$ .
По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов^[2]:

$ln xapprox 2{,}30259 lg x;quad lg xapprox 0{,}43429 ln x$

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

$lg ,0{,}012=lg ,(10^{{-2}}times 1{,}2)=-2+lg ,1{,}2approx -2+0{,}079181=-1{,}920819$

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

$lg ,0{,}012approx -2+0{,}079181={bar {2}}{,}079181$

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма[править | править код]

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: ${displaystyle y=lg ,x.}$ Она определена при всех ${displaystyle x>0.}$ Область значений: $E(y)=(-infty ;+infty )$ . График этой кривой часто называется логарифмикой^[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

${frac {d}{dx}}lg ,x={frac {lg ,e}{x}}$

Ось ординат $(x=0)$ является вертикальной асимптотой, поскольку:

$lim _{{xto 0+0}}lg ,x=-infty$

Применение[править | править код]

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа $x$ (характеристику логарифма) ${displaystyle [lg x]}$ легко определить.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на $n$ разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на $n.$ Например:

$lg 8314{,}63=lg 8{,}31463+3$

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от $1$ до $10$ ^[4]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[5]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10^C

Число	Логарифм	Характеристика	Мантисса	Запись
n	lg(n)	C	M = lg(n) − C
5 000 000	6.698 970…	6	0.698 970…	6.698 970…
50	1.698 970…	1	0.698 970…	1.698 970…
5	0.698 970…	0	0.698 970…	0.698 970…
0.5	−0.301 029…	−1	0.698 970…	1.698 970…
0.000 005	−5.301 029…	−6	0.698 970…	6.698 970…

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел $n$ одна и та же мантисса $M$ , поскольку:

${displaystyle lg(n)=lg left(xtimes 10^{C}right)=lg(x)+lg left(10^{C}right)=lg(x)+C}$ ,

где ${displaystyle 1<x<10}$ — значащая часть числа $n$ .

История[править | править код]

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера)^[6].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[8]:

Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература[править | править код]

Теория логарифмов

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

История логарифмов

Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Ссылки[править | править код]

Десятичные (бригсовы) логарифмы. (англ.)

Примечания[править | править код]

↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187..
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189..
↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 94—100.
↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406..
↑ История математики, том II, 1970, с. 62..
↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
↑ Логарифмические таблицы // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Источник

Результатом вычисления логарифма числа является показатель степени, в которую необходимо возвести одно число для получения другого.

Определение десятичного логарифма
Свойства десятичного логарифма
Таблица десятичных логарифмов
График десятичного логарифма

Определение десятичного логарифма

Десятичный логарифм — это логарифм, основанием которого является число 10. Обозначается как lg и пишется следующим образом:

lg y = log₁₀ y = x, при y>0

lg y является решением уравнения y = 10^x. Другими словами, в какую степень (x) необходимо возвести число 10, чтобы получить y.

Связь с натуральным логарифмом

lg x ≈ 0,43429 ln x

Данное соотношение получено путем перехода к новому основанию:

Связь десятичного логарифма с натуральным

т.к. ln 10 ≈ 2,30259.

Свойства десятичного логарифма

Таблица десятичных логарифмов


x	lg x	x	lg x	x	lg x	x	lg x
1	0	26	1,41497	51	1,70757	76	1,88081
2	0,30103	27	1,43136	52	1,716	77	1,88649
3	0,47712	28	1,44716	53	1,72428	78	1,89209
4	0,60206	29	1,4624	54	1,73239	79	1,89763
5	0,69897	30	1,47712	55	1,74036	80	1,90309
6	0,77815	31	1,49136	56	1,74819	81	1,90849
7	0,8451	32	1,50515	57	1,75587	82	1,91381
8	0,90309	33	1,51851	58	1,76343	83	1,91908
9	0,95424	34	1,53148	59	1,77085	84	1,92428
10	1	35	1,54407	60	1,77815	85	1,92942
11	1,04139	36	1,5563	61	1,78533	86	1,9345
12	1,07918	37	1,5682	62	1,79239	87	1,93952
13	1,11394	38	1,57978	63	1,79934	88	1,94448
14	1,14613	39	1,59106	64	1,80618	89	1,94939
15	1,17609	40	1,60206	65	1,81291	90	1,95424
16	1,20412	41	1,61278	66	1,81954	91	1,95904
17	1,23045	42	1,62325	67	1,82607	92	1,96379
18	1,25527	43	1,63347	68	1,83251	93	1,96848
19	1,27875	44	1,64345	69	1,83885	94	1,97313
20	1,30103	45	1,65321	70	1,8451	95	1,97772
21	1,32222	46	1,66276	71	1,85126	96	1,98227
22	1,34242	47	1,6721	72	1,85733	97	1,98677
23	1,36173	48	1,68124	73	1,86332	98	1,99123
24	1,38021	49	1,6902	74	1,86923	99	1,99564
25	1,39794	50	1,69897	75	1,87506	100	2

microexcel.ru


lg x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	10	10²	10³	10⁴	10⁵	10⁶	10⁷	10⁸	10⁹	10¹⁰

microexcel.ru

График десятичного логарифма

Функция десятичного логарифма задается как y = lg x. Существует только при неотрицательных значениях переменной x. График выглядит так:

График десятичного логарифма

Источник

Десятичный логарифм

Навигация по странице:

Определение
Калькулятор
Свойства
Примеры

Определение. Логарифмом числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтоб получить число b.

Определение. Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

Другими словами, десятичный логарифм числа b является решением уравнения 10^x = b.

Обозначение. Десятичный логарифм обозначается lg x или log x.

Калькулятор десятичных логарифмов

lg 2

Свойства десятичного логарифмов

Для любых x > 0 и y > 0 выполняются следующие свойства десятичных логарифмов.

lg x = log₁₀ x – так как основание десятичного логарифма равно 10.
10^{lg b} = b.
lg 1 = 0
lg 10 = 1
lg 10ⁿ = n
lg(x · y) = lg x + lg y
lg xy = lg x – lg y
lg xⁿ = n lg x
График функции y = lg x
(lg x)′ = 1x ln 10
∫ lg x dx = x lg x – xln 10 + C

Пример 1. Найти значения десятичного логарифма от чисел 100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001.

lg 100 = lg 10² = 2

lg 1000 = lg 10³ = 3

lg 0.1 = lg 10^-1 = -1

lg 0.01 = lg 10^-2 = -2

lg 0.001 = lg 10^-3 = -3

Пример 2.

Доказать равенство: a ^{lg b} = b ^{lg a}.

Запишем очевидное равенство:

lg b · lg a = lg a · lg ab

Возведем 10 в соответствующие степени

10^{lg b · lg a} = 10^{lg a · lg b}

(10^{lg b})^{lg a} = (10^{lg a})^{lg b}

b^{lg a} = a^{lg b}

Равенство доказано.

Пример 3.

Зная, что lg 2 = a, lg 3 = b, lg 5 = c, выразить lg 6; lg 30; lg 16 через a, b, c.

Используем формулы логарифма произведения и степени получим:

lg 6 = lg (2·3)= lg 2 + lg 3 = a + b;

lg 30 = lg (5·2·3)= lg 5 + lg 2 + lg 3 = a + b + c;

lg 16 = lg 2⁴= 4 · lg 2 = 4a.

Пример 4.

Вычислить log₉ 5 · log₂₅ 27.

Перейдем к основе 10:

log₉ 5 · log₂₅ 27 = lg 5lg 9 · lg 27lg 25

Используем свойство логарифма степени lg xⁿ = n lg x:

lg 5lg 9 · lg 27lg 25 = lg 5lg 3² · lg 3³lg 5² = lg 52 lg 3 · 3 lg 32 lg 5 = 34

Пример 5.

Вычислить log₃₀ 8, если lg 5 = a, lg 3 = b.

Перейдем к основе 10:

log ₃₀ 8 = lg 8lg 30 = lg 2³lg (3 · 10) =

Используем свойство логарифма степени, произведения, частного и то что 2= 105:

= 3 lg 2lg 3 + lg 10 = 3 lg 2lg 3 + 1 = 3 lg 105lg 3 + 1 = 3(lg 10 – lg 5)lg 3 + 1 = 3(1 – lg 5)lg 3 + 1 =

Подставим lg 5 = a, lg 3 = b:

= 3(1 – a)b + 1

Ответ:

log₃₀ 8 = 3(1 – a)b + 1

Источник

Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичный логарифм и его свойства
Натуральный логарифм и его свойства
Примеры

п.1. Десятичный логарифм и его свойства

Логарифмы чисел по основанию 10 называют десятичными.
Для десятичных логарифмов принято специальное обозначение: begin{gather*} log_{10}xoverset{def}{=}lg x end{gather*}

Основание десятичных логарифмов (10gt 1), поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Но у десятичных логарифмов есть также целых ряд дополнительных свойств, благодаря которым в докомпьютерную эпоху они широко использовались для трудоемких вычислений. Роль калькулятора тогда выполняли логарифмическая таблица и логарифмическая линейка.

Целая часть десятичного логарифма ([lg x]) называется характеристикой, а дробная часть (left{lg xright}) – мантиссой.
Для числа (b), записанного в стандартном виде (b=acdot 10^n)
характеристика равна порядку числа ([lg b]=n), мантисса (left{lg bright}=lg a)

О стандартном виде числа, см. §41 справочника для 8 класса.

Например:

Число b	Стандартный вид	Характеристика	Мантисса b	Унифицированная запись	Логарифм числа (lg b)
420	4,2·10²	2	0,623	2,623	2,623
42	4,2·10¹	1	0,623	1,623	1,623
4,2	4,2	2	0	0,623	0,623
0,42	4,2·10^–1	–1	0,623	(overline{1},623)	–0,377
0,042	4,2·10^–2	–2	0,623	(overline{2},623)	–1,377

(lg 4,2approx 0.623)

Если использовать унифицированную запись, как в представленной таблице, то мантисса всегда лежит в промежутке (0lt lg alt 1). У чисел, отличающихся только порядком, мантисса одинакова. Можно составить таблицы мантисс и пользоваться ими для умножения и деления, «разбавляя» их несложным сложением и вычитанием целых характеристик по необходимости.

Первые таблицы логарифмов были изданы в 1617 году оксфордским математиком Бригсом. Таблицы пересчитывались, дополнялись и переиздавались вплоть до 70-х гг. ХХ века, когда на столах стали появляться калькуляторы.
Таблицы Брадиса, которыми по традиции пользуются наши школьники с 1921 года, издаются до сих пор и постепенно перекочевывают в Интернет.

Непосредственная связь десятичных логарифмов с десятичной системой исчисления делает их удобным инструментом для оценки порядка числа и сравнения чисел.

В практике приближенных вычислений используется следующая оценочная таблица:

(lg 1)

(lg 2)

(lg 3)

(lg 4)

(lg 5)

(lg 8)

Относительная погрешность этих приближений (кроме (lg 3)) (deltasim 0,5text{%})

Например:
Сравним (log_23) и (log_5⁡8)
Сравнивая с помощью оценки, получаем: begin{gather*} log_23=frac{lg 3}{lg 2}approxfrac{0,5}{0,3}=frac53, log_58=frac{lg 8}{lg 5}approxfrac{0,9}{0,7}=frac97\ frac{35}{21}gt frac{27}{21}Rightarrow frac53gt frac97Rightarrowlog_23gtlog_58 end{gather*}

п.2. Натуральный логарифм и его свойства

Логарифмы чисел по основанию e называют натуральными.
Для натуральных логарифмов принято специальное обозначение: begin{gather*} log_{e}xoverset{def}{=}ln x end{gather*}

Число e≈2,71828… – это математическая константа, число иррациональное и трансцендентное, которое появляется при описании моделей нашего мира ничуть не реже числа (pi). Мы познакомимся с ним подробней, изучая пределы и производные.

Основание натуральных логарифмов e>1, поэтому они обладают всеми свойствами логарифмов с основанием больше единицы (см. §30 данного справочника).

Для приближенного вычисления значения натурального логарифма используется «ряд Меркатора»:

$$ ln(1+x)=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}-frac{x^4}{4}+…, -1lt xleq 1 $$

Например:
С точностью до первого слагаемого: (ln 1,3=ln(1+0,3)approx 0,3)
До второго слагаемого: (ln 0,3approx 0,3-frac{0,3^2}{2}=0,255)
До третьего слагаемого: (ln 0,3approx 0,3-frac{0,3^2}{2}+frac{0,3^3}{3}=0,264) и т.д.

Натуральные логарифмы настолько распространены в различных областях научных исследований, что когда вообще речь заходит «логарифмах», по умолчанию подразумевают именно их. Если же у вас в работе какие-то другие «логарифмы» (по основанию 2 или 10, например), это нужно уточнять.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите (x):
a) ( lg x=2lg a+lg 7 )
(lg x=lg a^2+lg 7=lg(7a^2))
(x=7a^2)

б) ( lg x=2lg(a+c)-3lg(a-c) )
(lg x =lg(a+c)^2-lg(a-c)^3=lgfrac{(a+c)^2}{(a-c)^3})
(x=frac{(a+c)^2}{(a-c)^3})

в) ( lg x=frac13lg 54+lg 5-frac13lg 16 ) ( lg x=lg 54^{frac13}+lg 5-lg 16^{frac13}=lgfrac{54^{frac13}cdot 5}{16^3}= lgfrac{(27cdot 2)^{frac13}cdot 5}{(2^4)^{frac13}} = lgfrac{3cdot 2^{frac13}cdot 5}{2^{frac43}} = lgfrac{15}{2} =lg 7,5 )
(x=7,5)

г) ( lg x=lgsqrt[{3}]{2-sqrt{3}}+lgsqrt[6]{7+4sqrt{3}} )
(lgleft(sqrt[{3}]{2-sqrt{3}}cdot sqrt[6]{7+4sqrt{3}}right))
Преобразуем выражение в скобках: begin{gather*} sqrt[{3}]{2-sqrt{3}}cdot sqrt[6]{7+4sqrt{3}} = sqrt[6]{(2-sqrt{3})^2(7+4sqrt{3})} = sqrt[6]{(4-4sqrt{3}+3)(7+4sqrt{3})} = \ =sqrt[6]{(7-4sqrt{3})(7+4sqrt{3})} = sqrt[6]{7^2-(4sqrt{3})^2}=sqrt[6]{49-48}=1 end{gather*} (lg x=lg 1)
(x=1)

Пример 2. Прологарифмируйте по основанию 10:
a) (x=frac{3a^2sqrt[3]{b^7}}{c^5(a-b)}) begin{gather*} lg x=lgfrac{3a^2sqrt[3]{b^7}}{c^5(a-b)}=lg 3+lg a^2+lgsqrt[3]{b^7}-lg c^5-lg(a-b)=\ =lg 3+2lg a+frac73lg b-5lg c-lg(a-b) end{gather*}

б*) (x=frac{sqrt[3]{100sqrt{10asqrt[4]{0,1a^2}}}}{10sqrt{0,1a}}) begin{gather*} lg x=lgfrac{sqrt[3]{100sqrt{10asqrt[4]{0,1a^2}}}}{10sqrt{0,1a}} = lgsqrt[3]{100sqrt{10asqrt[4]{0,1a^2}}} – lg 10sqrt{0,1a}=\ =frac13lgleft(100sqrt{10asqrt[4]{0,1a^2}}right)-(lg 10+lgsqrt{0,1a})=frac13left(lg 100+lgsqrt{10asqrt[4]{0,1a^2}}right)-\ -left(1+frac12lg(0,1a)right)=frac13left(2+frac12lg(10asqrt[4]{0,1a^2})right)-left(1+frac12(lg 0,1+lg a)right)=\ =frac23+frac32left(lg 10+lg a+lgsqrt[4]{0,1a^2}right)-1-frac12cdot(-1)-frac12lg a=\ =left(frac23+frac32-1+frac12right)+left(frac32-frac12right)lg a+frac32cdot frac14(lg 0,1+lg a^2)=\ =frac53+lg a+frac38cdot(-1)+frac38cdot 2lg a=left(frac53-frac38right) + left(1+frac34right)lg a=frac{31}{24}+frac74lg a end{gather*} Заметим, что попутно мы получили упрощенное выражение для (x=10^{frac{31}{24}}cdot a^{frac74}.)
Логарифмирование удобно для ‘сборки» запутанных степеней.

Пример 3. Найдите значение выражения:
a) (log_{sqrt{sqrt{3}+2}}(4sqrt{3}+7)^{frac13})
Заметим, что ((sqrt{3}+2)^2=3+4sqrt{3}+4=4sqrt{3}+7)
Тогда (sqrt{sqrt{3}+2}=(sqrt{3}+2)^{frac12}=left(sqrt{4sqrt{3}+7}right)^{frac12}=(4sqrt{3}+7)^{frac14})
Перейдем к десятичному основанию: begin{gather*} log_{sqrt{sqrt{3}+2}}(4sqrt{3}+7)^{frac13} = frac{lg(4sqrt{3}+7)^{frac13}}{lgsqrt{sqrt{3}+2}} = frac{frac13lg(4sqrt{3}+7)}{lg(4sqrt{3}+7)^{frac14}} = frac{frac13lg(4sqrt{3}+7)}{frac14lg(4sqrt{3}+7)}=frac43 end{gather*} Ответ: (frac43)

б) (log_{sqrt{2}+1}(5sqrt{2}-7))
Заметим, что: ((sqrt{2}-1)^3=2sqrt{2}-3cdot 2+3sqrt{2}-1=5sqrt{2}-7) $$ (sqrt{2}+1)(sqrt{2}-1)=2-1=1Rightarrow sqrt{2}+1=frac{1}{sqrt{2}-1}=(sqrt{2}-1)^{-1} $$ Перейдем к десятичному основанию: $$ log_{sqrt{2}+1}(5sqrt{2}-7)=lgfrac{(5sqrt{2}-7)}{lg(sqrt{2}+1)}=frac{lg(sqrt{2}-1)^3}{lg(sqrt{2}-1)^{-1}}= frac{3lg(sqrt{2}-1)-1}{-lg(sqrt{2}-1)}=-3 $$ Ответ: -3
Заметим, что переход к десятичному основанию в этих примерах не обязателен.
Но он значительно упрощает запись и облегчает решение.

Пример 4*. Постройте (с помощью какого-либо математического приложения или собственной программы) в одной системе координат для (-1lt xleq 1) график (y=ln⁡(1+x)) и его приближения по ряду Меркатора: $$ y=x, y=x-frac{x^2}{2}, y=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3} $$ Сделайте выводы.
Пример 4
Чем больше слагаемых в ряду, тем ближе соответствующая кривая к графику логарифма, тем точнее результат. В данном случае ближе всего к кривой (y=ln⁡(1+x)) расположена кубическая парабола (y=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}).
Чем меньше модуль (|x|), тем точнее приближение. Визуально, уже в окрестности (|x|lt 0,2) квадратичная и кубическая парабола дают хорошую точность приближения.
Приближение 1-го порядка ((ln(1+x)approx x)) довольно грубое, но может использоваться для предварительной оценки.

Расчет относительной погрешности приближения на границах окрестностей (|x|lt 0,1) и (|x|lt 0,2) представлен в таблице:

	x=0,1	x=0,2
y(x)	δ, %	y(x)	δ, %
(y=x)	0,1	4,92%	0,2	9,70%
(y=x-frac{x^2}{2})	0,095	0,33%	0,18	1,27%
(y=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3})	0,095333	0,02%	0,182667	0,19%
(y=ln(1+x))	0,095310	0,182322

Источник

Десятичный логарифм

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Десятичный логарифм

Определение 1

Десятичным логарифмом называют логарифм, который имеет в основании число $10$.

Десятичный логарифм вматематике принято обозначать $lg$:

$lg ⁡a=log_{10}⁡a$.

Название десятичного логарифма происходит именно от его основания, которое равняется десяти.

Иногда можно встретить следующее обозначение десятичного логарифма:

$log ⁡a$.

Замечание 1

Согласно определению логарифма можно сделать вывод, что десятичный логарифм $lg ⁡a$ является решением показательного уравнения $10^b=a$.

Свойства десятичного логарифма

Т.к. логарифм по любому основанию от $1$ равен $0$, то и десятичный логарифм единицы равен $0$:

$lg ⁡1=0$.
Десятичный логарифм от числа $10$ равен единице:

$lg ⁡10=1$.
Десятичный логарифм произведения двух чисел равен сумме десятичных логарифмов от этих чисел:

$lg ⁡(ab)=lg ⁡a+lg ⁡b$.
Десятичный логарифм частного двух чисел равен разнице десятичных логарифмов этих чисел:

$lg frac{a}{b}=lg ⁡a-lg ⁡b$.
Десятичный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на десятичный логарифм подлогарифмического числа:

$lg⁡ a^s=s cdot lg ⁡a$.

Пример 1

Упростить выражение $frac{2 lg ⁡40-lg ⁡16}{lg ⁡50-frac{1}{2} lg ⁡25}$.

Решение.

Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:

$frac{2 lg ⁡40-lg ⁡16}{lg ⁡50-frac{1}{2} lg ⁡25}=frac{2(lg ⁡4+lg ⁡10 )-lg 4^2}{lg ⁡5+lg ⁡10-frac{1}{2} lg 5^2}=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $lg ⁡10=1$:

$=frac{2 lg ⁡4+2-2 lg ⁡4}{lg ⁡5+1-frac{1}{2} cdot 2 lg ⁡5}=frac{2}{lg ⁡5+1-lg ⁡5}=2$.

Ответ: $frac{2 lg ⁡40-lg ⁡16}{lg ⁡50-frac{1}{2} ln ⁡25}=2$.

Пример 2

Вычислить значение логарифмического выражения $lg ⁡200+lg frac{1}{20}$.

Решение.

Применим формулу суммы логарифмов:

$lg ⁡200+lg frac{1}{20}=lg ⁡(200 cdot frac{1}{20})=lg ⁡10=1$.

Ответ: $lg ⁡200+lg frac{1}{20}=1$.

«Десятичный логарифм» 👇

Пример 3

Вычислить значение логарифмического выражения $2 ln frac{1}{e^2}+3 lg ⁡10000$.

Решение.

Применим свойство логарифма степени:

$2 ln frac{1}{e^2}+3 lg ⁡10000=2 ln e^{-2}+3 lg 10^4=2 cdot (-2) ln ⁡e+3 cdot 4 lg ⁡10=-4 ln ⁡e+12 lg ⁡10=$

теперь применим свойство логарифма, у которого основание равно подлогарифмическому числу:

$=-4 cdot 1+12 cdot 1=8$.

Ответ: $2 ln frac{1}{e^2}+3 lg ⁡10000=8$.

Пример 4

Упростить логарифмическое выражение $lg frac{1}{8}-3 lg ⁡4$.

Решение.

Применим свойство логарифма степени:

$lg frac{1}{8}-3 lg ⁡4=lg 2^{-3}-3 lg⁡ 2^2=-3 lg ⁡2-3 cdot 2 lg ⁡2=-9 lg ⁡2$.

Ответ: $lg frac{1}{8}-3 lg ⁡4=-9 lg ⁡2$.

Пример 5

Вычислить значение логарифмического выражения $3 lg ⁡0,09-2 lg ⁡27$.

Решение.

Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:

$3 lg frac{9}{10^2}-2 lg ⁡27=3 lg (frac{3}{10})^2-2 lg 3^3=3 cdot 2 lg frac{3}{10}-2 cdot 3 lg ⁡3=6 lg frac{3}{10}-6 lg ⁡3=$

применим к первому логарифму свойство логарифма частного:

$=6(lg ⁡3-lg ⁡10 )-6 lg ⁡3=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$=6 lg ⁡3-6 lg ⁡10-6 lg ⁡3=-6$.

Ответ: $3 lg ⁡0,09-2 lg ⁡27=-6$.

Пример 6

Упростить логарифмическое выражение $lg ⁡0,81-2 lg ⁡9$.

Решение.

Применим ко второму логарифму свойство логарифма степени, внеся число $2$ под знак логарифма:

$lg ⁡0,81-lg 9^2=lg ⁡0,81-lg ⁡81=$

применим формулу разности логарифмов:

$=lg frac{0,81}{81}=lg ⁡0,01=$

запишем число под знаком логарифма как $10$ в степени:

$=lg 10^{-2}=$

применим формулу логарифма степени:

$=-2 lg ⁡10=-2$.

Ответ: $lg ⁡0,81-2 lg ⁡9=-2$.

Пример 7

Вычислить значение логарифмического выражения $frac{2 lg ⁡2-lg ⁡16}{lg 4+lg ⁡16}$.

Решение.

Внесем число $2$ в числителе под знак логарифма:

$frac{2 lg ⁡2-lg ⁡16}{lg 4+lg ⁡16}=frac{lg 2^2-lg ⁡16}{lg 4+lg ⁡16}=$

применим формулы разности и суммы логарифмов:

$=frac{lg frac{4}{16}}{lg⁡ (4 cdot 16)} =frac{lg frac{1}{4}}{lg ⁡64} =$

применим формулу логарифма степени, записав число под знаком логарифма как число $4$ в степени:

$=frac{lg 4^{-1}}{lg 4^3} =frac{-lg ⁡4}{3 lg ⁡4}=-frac{1}{3}$.

Ответ: $frac{2 lg ⁡2-lg ⁡16}{lg 4+lg ⁡16} =-frac{1}{3}$.

Пример 8

Преобразовать логарифмическое выражение $lg frac{100}{e}$.

Решение.

Применим формулу логарифма частного:

$lg frac{100}{e}=lg ⁡100-lg ⁡e=$

к первому логарифму применим формулу логарифма степени:

$=lg 10^2-lg ⁡e=2 lg ⁡10-lg ⁡e=$

применив свойство значения логарифма с одинаковым основанием и подлогарифмическим числом, получим:

$=2 cdot 1-lg ⁡e=2-lg ⁡e$.

Ответ: $lg frac{100}{e}=2-lg ⁡e$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 20.07.2022

Источник

Алгебраические свойства[править | править код]

Функция десятичного логарифма[править | править код]

Применение[править | править код]

История[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

Определение десятичного логарифма

Свойства десятичного логарифма

Таблица десятичных логарифмов

График десятичного логарифма

Десятичный логарифм

Калькулятор десятичных логарифмов

Свойства десятичного логарифмов

Десятичные и натуральные логарифмы

п.1. Десятичный логарифм и его свойства

п.2. Натуральный логарифм и его свойства

п.3. Примеры

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм

Свойства десятичного логарифма

Вам также может понравиться

Как найти антея геншин

Tvc как найти экономика

Как найти награды героя войны

Добавить комментарий Отменить ответ