Как найти основание пирамиды через угол

Сторона основания пирамиды является стороной правильного многоугольника, исходя из этого, можно найти все параметры пирамиды, связанные с основанием, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников.
P=n(a+b)
S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1)
r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла. (рис.34.2)
R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3)
γ=180°(n-2)/n

Зная боковое ребро в совокупности со стороной основания, можно вычислить высоту пирамиды и ее апофему из прямоугольных треугольников, которые они образуют. (рис.34.5, 35.1)
h=√(b^2-R^2 )=√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 )
l=√(b^2-a^2/4)

Косинус угла между боковым ребром и основанием будет равен отношению радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру пирамиды, а косинус угла между апофемой и основанием – отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме. (рис.34.4,34.5)
cos⁡α=R/b=a/(2b sin⁡〖(180°)/n〗 )
cos⁡β=r/l=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 √(b^2-a^2/4))

Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей треугольников, являющихся ее гранями, каждая из которых равна половине произведения апофемы на сторону основания, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания.
S_(б.п.)=lan/2=(√(b^2-a^2/4) an)/2
S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))=an(√(b^2-a^2/4)/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Чтобы найти объем пирамиды, необходимо вычислить треть от произведения ее высоты на площадь основания, последовательно подставив выражения для площади и высоты в формулу.
V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус сферы, которая может быть вписана в пирамиду, равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а радиус сферы, описанной вокруг пирамиды – квадрату бокового ребра, деленному на две высоты. (рис.34.6,34.7)
r_1=3V/S_(п.п.) =(a√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(tan⁡〖(180°)/n〗 (2√(b^2-a^2/4)+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) )
R_1=b^2/2h=b^2/(2√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник – равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды – это площадь этой плоской фигуры.

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

• треугольная,
• четырехугольная,
• шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание – равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание – квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник – находим его площадь:

, где – сторона треугольника.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где – сторона квадрата.

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды – это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье “Площадь треугольника”.

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: . Нам дана сторона , тогда

Ответ:

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м². Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Решение:

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: . Подставим в нее значение стороны . Получим: м².

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: .

Ответ: 108 досок.

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами – нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой – высотой. Определяем площадь по формуле:

.

Ответ: 8

Как найти сторону основания пирамиды

Задачи на вычисление стороны основания пирамиды составляют в задачнике по геометрии довольно большой раздел. Очень многое зависит от того, какая гемоетрическая фигура лежит в основании, а также от того, что дано в условиях задачи.

Вам понадобится

• – чертежные принадлежности;
• – тетрадь в клетку;
• – теорема синусов;
• – теорема Пифагора;
• – калькулятор.

Инструкция

В школьном курсе геометрии рассматриваются главным образом пирамиды, в основании которых лежит правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны равны. Проекция вершины пирамиды совпадает с центром ее основания. Начертите пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник. В условиях могут быть даны:
– длина бокового ребра пирамиды и угол его с ребром между боковой гранью и основанием;
– длина бокового ребра и высота боковой грани;
– длина бокового ребра и высота пирамиды.

Если известны боковое ребро и угол, задача решается несколько иначе. Вспомните, что собой представляет каждая боковая грань пирамиды, в основании которой лежит равносторонний многоугольник. Это равнобедренный треугольник. Проведите его высоту, которая одновременно является биссектрисой и медианой. То есть половина стороны основания a/2=L*cosA, где а – сторона основания пирамиды, L – длина ребра. Чтобы найти размер стороны основания, достаточно полученный результат умножить на 2.

Если в задаче даны высота боковой грани и длина ребра, найдите сторону основания по теореме Пифагора. Боковая грань в данном случае будет гипотенузой, известная высота –з одним из катетов. Чтобы найти длину второго катета, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат второго катета, то есть (a/2)2=L2-h2, где а – сторона основания, L – длина боковой грани, h – высота боковой грани.

В этом случае нужно выполнить дополнительное построение, чтобы можно было оперировать тригонометрическими функциями. Вам даны боковое ребро L и высота пирамиды H, которая соединяет вершину пирамиды с центром основания. Из точки пересечения высоты с плоскостью основания проведите отрезок, соединив эту точку с одним из углов основания. У вас получился прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковое ребро, одним из катетов – высота пирамиды. По этим данным легко найти второй катет треугольника, для этого достаточно из квадрата бокового ребра L вычесть квадрат высоты H. Дальнейшие действия зависят от того, какая именно фигура лежит в основании.

Вспомните свойства равностороннего треугольника. У него высоты одновременно являются биссектрисами и медианами. В точке пересечения они делятся пополам. То есть получается, что вы нашли половину высоты основания. Для удобства вычислений проведите все три высоты. Вы увидите, что отрезок, квадрат длины которого вы уже нашли, является гипотенузой прямоугольного треугольника. Извлеките квадратный корень. Вам известен и острый угол – 30°, так что найти половину стороны основания не составит особого труда, применив теорему косинусов.

Для пирамиды, в основании которой лежит правильный четырехугольник, алгоритм будет тем же самым. Если вы вычтите из квадрата бокового ребра квадрат высоты пирамиды, получите возведенную в квадрат половину диагонали основания. Извлеките корень, найдите размер диагонали, которая одновременно является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. Размер любого из катетов найдите по теореме Пифагора, синусов или косинусов.

Пирамидой называют многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Многоугольник называют основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями. 

Высотой пирамиды называют перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания. 

На рисунке 9.53 изображена четырехугольная пирамида  с вершиной в точке  . Четырехугольник  – основание пирамиды, треугольники  ,  ,  и  – ее боковые грани. Отрезки  ,  ,  и  – боковые ребра пирамиды. Отрезок  – высота пирамиды. 

1. Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды.

2. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

3. Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то боковое ребро, содержащее эти грани, является высотой пирамиды. 

Объем пирамиды высоты  находят по формуле: 

 , (9.11)

Площадь поверхности пирамиды находят по формуле:

   . (9.12)

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды (или описанной около основания пирамиды, так как центры этих окружностей совпадают). 

На рисунке 9.54 изображена правильная четырехугольная пирамида, а на рисунке 9.55 – правильная треугольная.

Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой. На рисунке 9.54 отрезок  – апофема правильной четырехугольной пирамиды. 

Любую треугольную пирамиду называют тетраэдром. 

Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны. 

На рисунке 9.56 изображен правильный тетраэдр.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле: 

 , (9.13)

где   – апофема пирамиды.

Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. 

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники.

Высотой усеченной пирамиды называют перпендикуляр, заключенный между плоскостями ее оснований. 

На рисунке 9.57 изображена треугольная усеченная пирамида, а на рисунке 9.58 – правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды находят по формуле:

 , (9.14)

где  и  – площади оснований,  – высота усеченной пирамиды.

Пример 1. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной  дм, а две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания (рис. 9.59). Найдите объем пирамиды, зная, что ее высота равна  дм. 

Решение. Так как две боковые грани  и  пирамиды перпендикулярны плоскости ее основания, то их общее ребро  является высотой пирамиды. Площадь основания пирамиды найдем по формуле   . Получим:  (). 

Объем пирамиды найдем по формуле  9.11 . Получим:  ().

Ответ:  .

Пример 2. Вычислите объем правильного тетраэдра с ребром, равным   .

Решение. Так как тетраэдр правильный (рис. 9.60), то его высота опускается в центр треугольника  : точку  , точку пересечения высот, биссектрис и медиан этого треугольника. 

Тогда  – радиус окружности, описанной около  ;   – высота тетраэдра. 

Найдем высоту тетраэдра. Рассмотрим треугольник . Из теоремы Пифагора:   ,   ,   . 

Объем тетраэдра вычислим по формуле 9.11 , где   . Запишем:   .

Ответ:   .

Пример 3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной , и острым углом  . Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом  . Найдите объем пирамиды. 

Решение. Основанием пирамиды является треугольник  :  ;   (рис. 9.61). Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около этого треугольника (на рисунке 9.61 точка  ). Тогда   и высота пирамиды   . 

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Угол  является углом наклона бокового ребра к плоскости основания, так как отрезок  – проекция ребра  на плоскость основания и  . Тогда   и   . 

Рассмотрим прямоугольный треугольник :   по свойству катета, лежащего против угла  ;   . 

Найдем площадь треугольника:

 ,   ,   . 

По формуле 9.11 найдем объем пирамиды:  .

Ответ:   .

Пример 4. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами  см,  см и  см. Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные двугранные углы, содержащие по   . Определите объем пирамиды.

Решение. Основанием пирамиды (рис. 9.62) служит равнобедренный треугольник : см, см. Так как боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то высота пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в треугольник  , то есть в точку   , лежащую на высоте   этого треугольника.

Тогда  см;   , где  – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды и  .

Площадь треугольника  найдем по формуле Герона   , где  (см) и  (). Следовательно,  (см).

Угол  – линейный угол двугранного угла , так как  и  , и согласно условию задачи  . Значит, треугольник  равнобедренный и (см).

Согласно формуле  9.11 найдем объем пирамиды:

 ().

Ответ:  .

Пример 5. Апофема правильной четырехугольной пирамиды (рис. 9.63) равна  и образует с высотой пирамиды угол  . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 

Решение. Так как пирамида правильная, то четырехугольник  – квадрат, а ее боковые грани – равнобедренные треугольники. 

Точка  – центр окружности, вписанной в основание пирамиды, следовательно,   . 

Поскольку  , а   , то  , тогда  . 

По формуле 9.13 найдем площадь боковой поверхности пирамиды:    .

Ответ:  .

Пример 6. Основание пирамиды – ромб с острым углом   и стороной, равной . Найдите объем пирамиды, если известно, что ее вершина удалена от всех сторон основания на расстояние, равное  .

Решение. Так как вершина пирамиды равноудалена от всех сторон ромба, то основание высоты пирамиды (точка ) совпадает с центром окружности, вписанной в ромб (рис. 9.64). По формуле   найдем площадь ромба:   . 

С другой стороны, площадь ромба можем найти и по формуле , откуда  ,   .Тогда  . 

Из теоремы Пифагора  ,   . 

По формуле 9.11 найдем объем пирамиды: 

 .

Ответ:   .

Пример 7. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом   , а длины ребер оснований соответственно равны см и см (рис. 9.65). Найдите объем пирамиды. 

Решение. Так как основания усеченной пирамиды – квадраты со сторонами  и  см, то их площади соответственно равны: 

  ,    .

По теореме Пифагора найдем диагонали квадратов: 

 (см),  (см).

Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то  см, а   см. 

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды – трапецию . Так как , то имеем прямоугольник  , в котором   , а . Поскольку треугольник  равнобедренный, то   (см) и  см. Следовательно, высота усеченной пирамиды  см. 

По формуле 9.14 найдем объем пирамиды: 

 ().

Ответ:    . 

1. Решение задач, связанных с пирамидой, необходимо начинать с построения высоты пирамиды. 

2. Различайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр: 

1) у правильной треугольной пирамиды основание – правильный треугольник, а боковые ребра хоть и равны между собой, но не обязательно, что они равны ребрам основания пирамиды; 

2) правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.