Как найти основание полукруга

Содержание

• Элементы и меры полукруга
• Периметр полукруга
• Площадь полукруга
• Центроид полукруга
• Момент инерции полукруга
• Вписанный угол
• Решенные упражнения
• Упражнение 1
• Решение
• Упражнение 2.
• Решение
• Упражнение 3.
• Решение
• Упражнение 4.
• Решение
• Упражнение 5.
• Решение
• Ссылки

В полукруг это плоская фигура, ограниченная диаметром окружности и одной из двух плоских дуг окружности, определяемых указанным диаметром.

Таким образом, полукруг окаймлен полуокружность, который состоит из плоской дуги окружности и прямого сегмента, соединяющего концы плоской дуги окружности. Полукруг охватывает полукруг и все точки внутри него.

Мы можем видеть это на рисунке 1, где показан полукруг радиуса R, размер которого вдвое меньше диаметра AB. Обратите внимание, что в отличие от круга, в котором есть бесконечные диаметры, в полукруге только один диаметр.

Как мы видим на следующем изображении, полукруг – это геометрическая фигура, которая широко используется в архитектуре и дизайне:

Элементы и меры полукруга

Элементами полукруга являются:

1.- Плоская дуга окружности A⌒B

2.- Отрезок [AB]

3.- Внутренняя часть указывает на полукруг, составленный из дуги A⌒B и отрезка [AB].

Периметр полукруга

Периметр – это сумма контура дуги и прямого сегмента, поэтому:

Периметр = длина дуги A⌒B + длина сегмента [AB]

В случае полукруга радиуса R его периметр P будет задан формулой:

P = π⋅R + 2⋅R = (π + 2) ⋅R

Первый член представляет собой половину периметра окружности радиуса R, а второй – длину диаметра, который в два раза больше радиуса.

Площадь полукруга

Поскольку полукруг – это один из плоских угловых секторов, которые остаются при проведении диаметра по окружности, его площадь A будет равна половине площади круга, содержащего полукруг радиуса R:

A = (π⋅R²) / 2 = ½ π⋅R²

Центроид полукруга

Центр тяжести полукруга находится на его оси симметрии на высоте, измеренной от его диаметра, умноженного на 4 / (3π) радиуса R.

Это соответствует приблизительно 0,424⋅R, измеренному от центра полукруга и на его оси симметрии, как показано на рисунке 3.

Момент инерции полукруга

Момент инерции плоской фигуры относительно оси, например оси x, определяется как:

Интеграл от квадрата расстояния между точками, принадлежащими фигуре, до оси, дифференциал интегрирования является бесконечно малым элементом площади, взятой в положении каждой точки. 

На рисунке 4 показано определение момента инерции I_Икс полукруга радиуса R относительно оси X, проходящей через его диагональ:

Момент инерции относительно оси x определяется выражением:

я_Икс = (π⋅R⁴) / 8

А момент инерции относительно оси симметрии y равен:

Iy = (π⋅R⁴) / 8

Следует отметить, что оба момента инерции совпадают в своей формуле, но важно отметить, что они относятся к разным осям.

Вписанный угол

Угол, вписанный в полукруг, всегда равен 90 °. Независимо от того, где находится точка на дуге, угол между сторонами AB и BC фигуры всегда правильный.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Определите периметр полукруга радиусом 10 см.

Решение

Помните, что периметр как функция радиуса определяется формулой, которую мы видели ранее:

P = (2 + π) ⋅R

P = (2 + 3,14) ⋅ 10 см = 5,14 ⋅ 10 см = 51,4 см.

Упражнение 2.

Найдите площадь полукруга радиусом 10 см.

Решение

Формула площади полукруга:

А = ½ π⋅R² = ½ π⋅ (10 см)² = 50π см² = 50 х 3,14 см² = 157 см².

Упражнение 3.

Определите высоту h центра тяжести полукруга радиусом R = 10 см, измеренную от его основания, при том же диаметре полукруга.

Решение

Центроид – это точка равновесия полукруга, и его положение находится на оси симметрии на высоте h от основания (диаметр полукруга):

h = (4⋅R) / (3π) = (4⋅10 см) / (3 x 3,14) = 4,246 см

Упражнение 4.

Найдите момент инерции полукруга относительно оси, совпадающей с его диаметром, зная, что полукруг состоит из тонкого листа. Его радиус 10 см, а масса 100 грамм.

Решение

Формула, которая дает момент инерции полукруга:

я_Икс = (π⋅R⁴) / 8

Но поскольку задача говорит нам, что это материальный полукруг, то предыдущее соотношение необходимо умножить на поверхностную плотность массы полукруга, которую мы будем обозначать σ.

я_Икс = σ (π⋅R⁴) / 8

Затем мы переходим к определению σ, которое представляет собой не что иное, как массу полукруга, деленную на его площадь.

Площадь была определена в упражнении 2, и результат составил 157 см.². Тогда поверхностная плотность этого полукруга будет:

σ = 100 грамм / 157 см² = 0,637 г / см²

Тогда момент инерции по отношению к диаметру будет рассчитываться следующим образом:

я_Икс = (0,637 г / см²) [3,1416 ⋅ (10 см)⁴] / 8

Результат:

я_Икс = 2502 г⋅см²

Упражнение 5.

Определить момент инерции полукруга радиусом 10 см из листа материала с поверхностной плотностью 0,637 г / см.² вдоль оси, проходящей через его центр тяжести и параллельной его диаметру.

Решение

Чтобы решить это упражнение, необходимо вспомнить теорему Штейнера о моментах инерции параллельных осей, которая гласит:

Момент инерции I относительно оси, находящейся на расстоянии h от центроида, равен сумме момента инерции I_c относительно оси, которая проходит через центроид и параллельна первой, плюс произведение массы на квадрат расстояния между двумя осями.

Я = Я_c+ М ч²

В нашем случае I известен как момент инерции по отношению к диаметру, который уже был вычислен в упражнении 4. Также известно расстояние h между диаметром и центроидом, которое было вычислено в упражнении 3.

Нам нужно только очистить Ic:

я_c = Я – М ч²

я_c= 2502 г⋅см² – 100 г ⋅ (4,246 см)² в результате чего момент инерции по оси, параллельной диаметру и проходящей через центроид, равен:

я_c = 699,15 г⋅см²

Ссылки

1. Александр, Д. 2013. Геометрия. 5-е. Издание. Cengage Learning.
2. Открытый справочник по математике. Полукруг. Получено с: mathopenref.com.
3. Полукруг формул Вселенной. Получено с: universaloformulas.com.
4. Формулы Вселенной. Площадь полукруга. Получено с: universaloformulas.com.
5. Википедия. Полукруг. Получено с: en.wikipedia.com.

Use our free online area of a semicircle calculator to find the area of a semi-circle using its radius. A semi-circle is half of a circle.

Use our free online area of a semicircle calculator to find the area of a semi-circle using its radius. A semi-circle is half of a circle.

Just enter the value of radius in the area of a semicircle calculator to compute the semicircle area within a blink of an eye.

Area of a Semi-Circle:
A semi-circle is half of a circle. Area of semi-circle formula is derived from the formula of a circle. Hence the area of a semi-circle is just the half of the area of a circle.

How to Find the Area of a Semicircle
To find the area of a semi-circle, you need to know the formula for the area of a circle. This is because, a semi-circle is just the half of a circle and hence the area of a semi-circle is the area of a circle divided by 2. The area of a semi-circle with radius r, is (πr²)/2. π is a constant which is approximately 3.14 or 22/7.

Была ли эта статья полезной?

Copied!