Как найти основание прямоугольной трапеции с диагональю

Как найти основания прямоугольной трапеции

Математическая фигура с четырьмя углами называется трапецией, если пара противоположных ее сторон параллельна, а другая пара – нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции, две другие – боковыми. В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне – прямой.

Инструкция

Задача 1.Найдите основания BC и AD прямоугольной трапеции, если известна длина диагонали AC = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = α.Решение:Рассмотрите прямоугольный треугольник CED. Известны гипотенуза c и угол между гипотенузой и катетом EDC. Найдите длины сторон CE и ED: по формуле угла CE = CD*sin(ADC); ED = CD*cos(ADC). Итак: CE = c*sinα; ED=c*cosα.

Рассмотрите прямоугольный треугольник ACE. Гипотенуза AC и катет CE вам известны, найдите сторону AE по правилу прямоугольного треугольника: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Итак: AE(2) = AC(2) – CE(2) = f(2) – c*sinα. Вычислите квадратный корень из правой части равенства. Вы нашли верхнее основание прямоугольной трапеции.

Длина основания AD является суммой длин двух отрезков AE и ED. AE = квадратный корень(f(2) – c*sinα); ED = c*cosα).Итак: AD = квадратный корень(f(2) – c*sinα) + c*cosα.Вы нашли нижнее основание прямоугольной трапеции.

Задача 2.Найдите основания BC и AD прямоугольной трапеции, если известна длина диагонали BD = f; длина боковой стороны CD = c и угол при ней ADC = α.Решение:Рассмотрите прямоугольный треугольник CED. Найдите длины сторон CE и ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sinα; ED = CD*cos(ADC) = c*cosα.

Рассмотрите прямоугольник ABCE. По свойству прямоугольника AB = CE = c*sinα.Рассмотрите прямоугольный треугольник ABD. По свойству прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Поэтому AD(2) = BD(2) – AB(2) = f(2) – c*sinα.Вы нашли нижнее основание прямоугольной трапеции AD = квадратный корень(f(2) – c*sinα).

По правилу прямоугольника BC = AE = AD – ED = квадратный корень(f(2) – c*sinα) – с*cosα.Вы нашли верхнее основание прямоугольной трапеции.

Задачи с трапецией не кажутся сложными в ряде фигур, которые изучены ранее. Как частный случай рассматривается прямоугольная трапеция. А при поиске ее площади иногда бывает удобнее разбить ее на две уже знакомые: прямоугольник и треугольник. Стоит только немного подумать, и решение обязательно найдется.

Определение прямоугольной трапеции и ее свойства

У произвольной трапеции основания параллельны, а боковые стороны могут иметь произвольное значение углов к ним. Если рассматривается прямоугольная трапеция, то в ней одна из сторон всегда перпендикулярна основаниям. То есть два угла в ней будут равны 90 градусам. Причем они всегда принадлежат смежным вершинам или, другими словами, одной боковой стороне.

Другие углы в прямоугольной трапеции − это всегда острый и тупой. Причем их сумма всегда будет равна 180 градусам.

Каждая диагональ образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, а другая − прямоугольный треугольник. Кстати, эта сторона всегда равна высоте трапеции.

Какие обозначения приняты в представленных формулах?

Все величины, используемые в разных выражениях, которые описывают трапецию, удобно сразу оговорить и представить в таблице:

Величина	Ее обозначение
a	большее основание
b	меньшее основание прямоугольной трапеции
c, h	перпендикулярная к основаниям боковая сторона, высота
d	наклонная боковая сторона
α	острый угол
β	тупой угол
м	средняя линия трапеции
д1	меньшая диагональ
д2	большая диагональ

Формулы, которые описывают элементы прямоугольной трапеции

Самая простая из них связывает высоту и меньшую боковую сторону:

c = h.

Еще несколько формул для этой стороны прямоугольной трапеции:

с = d *sinα;

c = (a – b) * tg α;

c = √ (d² – (a – b)²).

Первая вытекает из прямоугольного треугольника. И говорит о том, что катет к гипотенузе дает синус противолежащего угла.

В том же треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Поэтому справедливо утверждение, которое приравнивает тангенс угла к отношению катетов.

Из того же треугольника можно вывести формулу, основываясь на знании теоремы Пифагора. Это третье записанное выражение.

Можно записать формулы для другой боковой стороны. Их тоже три:

d = (a – b) /cosα;

d = c / sin α;

d = √ (c² + (а – b)²).

Первые две опять получаются из соотношения сторон в том же прямоугольном треугольнике, а вторая выводится из теоремы Пифагора.

Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади?

Той, что дана для произвольной трапеции. Только нужно учесть, что высотой является сторона, перпендикулярная к основаниям.

S = (a + b) * h / 2.

Эти величины не всегда даны явно. Поэтому чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции, потребуется выполнить некоторые математические выкладки.

Как быть, если нужно вычислить диагонали?

В этом случае нужно увидеть, что они образуют два прямоугольных треугольника. Значит, всегда можно воспользоваться теоремой Пифагора. Тогда первая диагональ будет выражаться так:

_d1 = √ (с² + b²)

или по-другому, заменив «с» на «h»:

_d1 = √ (h² + b²).

Аналогичным образом получаются формулы для второй диагонали:

_d2 = √ (с² + b²) или d₂ = √ (h² + а²).

Задача №1

Условие. Площадь прямоугольной трапеции известна и равна 120 дм². Ее высота имеет длину 8 дм. Необходимо вычислить все стороны трапеции. Дополнительным условием является то, что одно основание меньше другого на 6 дм.

Решение. Поскольку дана прямоугольная трапеция, в которой известна высота, то сразу же можно сказать о том, что одна из сторон равна 8 дм, то есть меньшая боковая сторона.

Теперь можно сосчитать другую: d = √ (с² + (а – b)²). Причем здесь сразу даны и сторона с, и разность оснований. Последнее равно 6 дм, это известно из условия. Тогда d будет равняться квадратному корню из (64 + 36), то есть из 100. Так найдена еще одна боковая сторона, равная 10 дм.

Сумму оснований можно найти из формулы для площади. Она будет равна удвоенному значению площади, разделенному на высоту. Если считать, то получается 240 / 8. Значит, сумма оснований — это 30 дм. С другой стороны, их разность равна 6 дм. Объединив эти уравнения, можно сосчитать оба основания:

а + b = 30 и а – b = 6.

Можно выразить а как (b + 6), подставить его в первое равенство. Тогда получится, что 2b будет равняться 24. Поэтому просто b окажется 12 дм.

Тогда последняя сторона а равна 18 дм.

Ответ. Стороны прямоугольной трапеции: а = 18 дм, b = 12 дм, с = 8 дм, d = 10 дм.

Задача №2

Условие. Дана прямоугольная трапеция. Ее большая боковая сторона равняется сумме оснований. Ее высота имеет длину 12 см. Построен прямоугольник, стороны которого равны основаниям трапеции. Необходимо вычислить площадь этого прямоугольника.

Решение. Начать нужно с искомого. Нужная площадь определится как произведение a и b. Обе эти величины не известны.

Потребуется использовать дополнительные равенства. Одно из них построено на утверждении из условия: d = а + b. Необходимо воспользоваться третьей формулой для этой стороны, которая дана выше. Получится: d² = с² + (a – b)² или (a + b)² = с² + (a – b)².

Необходимо сделать преобразования, подставив вместо с его значение из условия – 12. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается, что 144 = 4 ab.

В начале решения шла речь о том, что а*b дает искомую площадь. Поэтому в последнем выражении можно заменить это произведение на S. Простой расчет даст значение площади. S = 36 см².

Ответ. Искомая площадь 36 см².

Задача №3

Условие. Площадь прямоугольной трапеции 150√3 см². Острый угол равняется 60 градусам. Такое же значение имеет угол между маленьким основанием и меньшей диагональю. Нужно вычислить меньшую диагональ.

Решение. Из свойства углов трапеции получается, что ее тупой угол равен 120º. Тогда диагональ делит его на равные, потому что одна его часть уже 60 градусов. Тогда и угол между этой диагональю и вторым основанием тоже 60 градусов. То есть треугольник, образованный большим основанием, наклонной боковой стороной и меньшей диагональю, является равносторонним. Таким образом, искомая диагональ будет равна а, как и боковая сторона d = а.

Теперь нужно рассмотреть прямоугольный треугольник. В нем третий угол равен 30 градусам. Значит катет, лежащий против него, равен половине гипотенузы. То есть меньшее основание трапеции равно половине искомой диагонали: b = a/2. Из него же нужно найти высоту, равную боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Сторона с здесь катет. Из теоремы Пифагора:

с = (a/2) * √3.

Теперь осталось только подставить все величины в формулу площади:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Решение этого уравнения дает корень 20

Ответ. Меньшая диагональ имеет длину 20 см.

Диагональ прямоугольной трапеции перпендикулярна боковой стороне и имеет длину 1. Сумма длин боковых сторон равна 1. Чему равны длины оснований трапеции? P.S. Очень простая, можно сказать, устная задача. бонус за лучший ответ (выдан): 7 кредитов Пусть AD=x, ВС=у. Проведём высоту СН из вершины прямого угла к нижнему основанию. По Пифагору получаем: АН=sqrt(1-a^2); HD=sqr((1-a^2)-a^2)=sqr(1-2a); Из подобия треугольников sqr(1-a^2)*sqr(1-2a)=a^2 Возведём последнее выражение в квадрат (1-a^2)*(1-2a)=a^4. Получаем уравнение четвёртой степени относительно а : a^4-2a^3+a^2+2a-1=0 К сожалению, не нашёл способ выразить величину а в радикалах. Но Excel позволяет легко и быстро решить уравнение методом подбора. Уравнение имеет два корня: а=-0,883 и а=0,469. Естественно, нас устраивает только положительный. Итак, а=0,469. Выразим площадь треугольника АСD двумя способами и приравняем их: 1*(1-а)=x*a. Отсюда х=(1-а)/а=1/а-1=1/0,469-1=2,132-1=1,132 Из пропорции получаем: 1/х=у/1, у=1/х=0,883. Итак, х=1,132, у=0,883, а=0,469. система выбрала этот ответ лучшим Ленив­ыйЖир­ныйКо­т [52.4K] 3 года назад  Получаем BC=√(1-a^2); AD=√(1+(1-a)^2)=√(2-2a+a^2); BC+AD=√(1-a^2)+√(2-2a+a^2); ЗЫ. Пораскинув мозгами на все четыре стороны, продолжим. Записываем тождество: BC/AC=AC/AD→DC*AD=1; Подставим значения: BC=√(1-a^2); AD=√(2-2a+a^2)→√(1-a^2)*√(2-2a+a^2)=1, обе части возводятся в квадрат, (1-a^2)*(2-2a+a^2)=1→а*(2+а)+a^­3*(2+a)-1=0; a=0,37 →0,37*2,37+0,37^3*2,­37-1=0,003 BC=√0,8631=0,93; AD=√1,3969=1,18 По моему так. Ведру­сс58 [24.5K] 3 года назад  Продолжим решение задачи. Проведём высоту из т. C (CH) Тогда HD”2=(1-a)”2-a=1-a”2-a”2=1-2a”2, откуда HD=кор кв (1-2a”2) Соответственно, AH”2=1″2-a”2=1-a”2, откуда AH=кор кв (1-a”2) Далее AD=AH+HD AD=кор кв(2-a”2)= кор кв (1-a”2)+ кор кв (1-2a”2), откуда кор кв (1-2a”2)=0, a”2=0,5 Тогда AD=кор кв (2-0,5)=кор кв 1,5=1,23 приблизительно. BC=кор кв (1-0.5)=кор кв 0,5=0,71 приблизительно. Ведру­сс58 [24.5K] 3 года назад  Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. AD”2=AC”2+CD”2=1″2+(­1-a)”2=1+1-a”2=2-a”2 AD=кор кв(2-a”2) AB”2+BC”2=AC”2 BC”2=AC”2-AB”2=1″2+a”2 BC=кор кв (1+a”2) Ответ: BC=кор кв(1=a”2) AD=кор кв (2-a”2) Из △ABC ∾ △DCA => x = a/(1 − a) <=> x − a = xa <=> 1 − 2ax = (ax)². Откуда ax = √2 − 1. Из a/(1 − a) − a = √2 − 1 находим a, затем из △DCA — b: a = ½·( √2 − 1 + √(2√2 − 1) ). b = ½·( 1 − √2 + √(2√2 − 1) ). Знаете ответ?