Как найти основание равнобедренного треугольника зная высоту

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны – это рёбра, а 3 сторона – основание. Вариант 1 Если известно, чему равна боковая сторона, а также высота, опущенная на основание. Как известно, высота перпендикулярна основанию, а в случае с равнобедренным треугольником она разбивает его на 2 равных прямоугольных треугольника. Можно по теореме Пифагора найти половину основания, а затем это значение умножить на 2. Вот формула: b = 2√(a² – h²) Вариант 2 Если известно, чему равна боковая сторона и один из углов. Нужно воспользоваться теоремой синусов: a/sinα = b/sinβ = c/sinγ. c = (a*sinγ)/sinα. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то легко можно найти 2 оставшихся угла, исходя из того, что сумма 3 углов равна 180 градусов. система выбрала этот ответ лучшим Алиса в Стран­е [363K] 5 лет назад  К сожалению у нас нет условия задачи, из которой было бы ясно – на основании каких данных мы должны искать основание нашего равнобедренного треугольника (две стороны боковые которого равны между собой, а основание – это нижняя сторона, которая как раз двум другим не равна). Поэтому рассмотрим несколько вариантов. 1.) Допустим, мы знаем, чему равна боковая сторона и угол треугольника (любой из трех). Тогда мы сначала легко вычисляем два других угла треугольника, помня, что их сумма всегда равна 180 градусам, а затем применяем теорему синусов: следовательно с (основание) будет равно: 2.) Допустим, мы знаем чему равна боковая сторона и высота нашего треугольника. Тогда мы сначала находим половину его основания (она является катетом треугольника, полученного делением исходного равнобедренного треугольника его высотой на два прямоугольных треугольника), применив теорему Пифагора. где с – основание треугольника, которое мы ищем, h – его высота. Марин­а Волог­да [295K] 5 лет назад  Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, необходимо вспомнить геометрию. Что такое равнобедренный треугольник – это треугольник, в котором две из трех сторон равны. Теперь вспомним что такое основание треугольника – это как раз третья сторона, которая не равна остальным двум. Так как у нас нет никаких данных задачи, значит следует указать только формулы, по которым можно найти основание. Основание можно найти применив теорему Пифагора по формуле: b = 2√(a² – h²) где h – это высота опущенная на основание; а -сторона треугольника. Чтобы понять, как правильно решать, вот примерная задача: А вот решение для задачи: JuliG­or [3.2K] 9 лет назад  Для того, чтобы найти основание равнобедренного треугольника? нам необходимо знать или один из углов, или же высоту треугольника, которая проводится к его основанию. Основание можно вычислить по следующей, вполне легкой формуле: где b – длина основания треугольника; a – длина стороны треугольника; B – это угол, который противоположен основанию. Alen4­uk [161K] 5 лет назад  Для начала вспомним, какой треугольник называется равнобедренным и из этих его свойств будем уже находить величину основания. Как видим из рисунка, равнобедренный треугольник- это треугольник, у которого две стороны равны и они называются боковыми. Третья же сторона является основанием этого треугольника. Равные стороны называются боковыми. Какие же свойства имеет равнобедренный треугольник, которые помогут нам найти его основание? Углы при основании у равнобедренного треугольника равны между собой. Высота, которую мы опускаем с верхнего угла на основание одновременно является и биссектрисой и медианой. Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника нужно разделить на 2 произведение основания на высоту, проведенную к этому основанию. К сожалению, нам не даны условия задачи, поэтому можно использовать несколько формул. Все будет зависеть от данных задачи. Используя эти свойства, мы для нахождения основания можем использовать следующие формулы: Так же нам может помочь в решении теорема синусов. Бекки Шарп [71.2K] 5 лет назад  При решении задач с равнобедренным треугольником нужно использовать свойства как равнобедренного треугольника, так и прямоугольного, поскольку высота равнобедренного треугольника делит его на 2 одинаковых прямоугольных. Основание равнобедренного треугольника ищется, когда есть какие-то исходные данные. Например известны сторона и угол. Тогда поступаем следующим образом: Находим третий угол ( 180 градусов минус сумму двух углов) и используем теорему косинусов: где АС -основание, АВ и ВС – стороны. Рассмотри задачу, когда известны стороны равнобедренного треугольника. Тогда основание ищется, используя теорему Пифагора. Вот здесь нам и понадобится разделить равнобедренный треугольник на два прямоугольных. В итоге основание АС будет равно – 2 квадратных корня из разности квадратов стороны АВ и высоты ВН. 12777­1 [272K] 5 лет назад  Для начала нужно понять, что такое равнобедренный треугольник, таким треугольником называют треугольник у которого две стороны равны. Ниже рисунок такого треугольника: К сожалению нет данных в вопросе. Например, если задана площадь и высота ВH. Тогда основание (на рисунке выше сторона АС) будет равна площадь разделить на высоту BH и умножить на 0,5. Если же нам известна одна сторона и высота треугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Ниже представлена формула, по которой можно вычислить основание: b = 2√(a² – h²). Возможно и другие варианты, например, если известна сторона и угол, тогда можно воспользоваться теоремой косинусов или синусов. Nelli­4ka [114K] 5 лет назад  Можно найти для начала значение половины основания, а затем умножить это значение на два. Смысл в том, что мы опускаем на основание из противоположного угла высоту (она в равнобедренном треугольнике совпадает с биссектрисой и медианой), получается два прямоугольных треугольника. Вспоминаем теорему Пифагора, вычисляем разницу между гипотенузой и высотой, извлекаем корень. Конечно, в этом случае по условиям задачи нам должно быть известно значение высоты. Если же известно значение боковой стороны и противоположного основанию угла, то легче всего пойти через формулу синусов: Также можно воспользоваться формулой косинусов: Барха­тные лапки [382K] 5 лет назад  Равнобедренный треугольник – это треугольник у которого две стороны одинаковые, они боковыми, а третья сторона – это основание. Чему равняется основание возможно узнать, если у нас есть данные чему равна одна боковая сторона (а вторая боковая будет равняться также) и высота. В этом случае воспользуемся такой формулой: b = 2(a – h). Как уже видно, для этого нам нужно знать значение боковой стороны и высоты (которая в равнобедренном треугольнике будет такая же как медиана и биссектриса). Но также можно решить эту задачку и другим способом, для этого должны знать чему равняется боковая сторона и один из углов. kkkar­atist­tt [7.7K] 5 лет назад  В задачах такого типа всегда даётся вариант, где у вас известен один угол, если вы знаете одну сторону угла равнобедренного треугольника. То вы умножаете значения на два угла и высоту равнобедренного треугольника. Таким образом вы получите чему равно основание этого треугольника. Бисектриса тоже может вам помоч. Знаете ответ?

Как посчитать высоту равнобедренного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить высоту равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)
• длину двух равных сторон (a) и угол α
• длину двух равных сторон (a) и угол β
• длину основания (b) и угол α
• длину основания (b) и угол β

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Если известны длина стороны а и основания b

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон , а длина основания

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и длина основания b?

Формула

h = √ a 2 – ( b /₂) 2

Пример

Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:

h = √ 10 2 – ( 5 /₂) 2 = √ 100 – 6.25 ≈ 9.68 см

Если известны длина стороны а и угол α

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон , а угол

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?

Формула

Пример

Если сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:

h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см

Если известны длина стороны а и угол β

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон , а угол

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?

Формула

Пример

Если сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:

Если известны длина стороны b и угол α

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол α?

Формула

Пример

Если сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:

Если известны длина стороны b и угол β

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол β?

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Высота и сторона “A” равнобедренного треугольника

Свойства

Так как высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является одновременно и биссектрисой и медианой, следовательно, она делит основание и угол при вершине на две равные части, образуя прямоугольный треугольник со сторонами a и b/2. Из теоремы Пифагора в таком треугольнике можно найти само основание, а затем рассчитать все остальные возможные данные. (рис.88.2) h^2+(b/2)^2=a^2 b=√(a^2-h^2 )/2

Чтобы вычислить периметр равнобедренного треугольника, надо к двум боковым сторонам прибавить основание или приведенный выше радикал через высоту. P=2a+b=2a+√(a^2-h^2 )/2

Площадь равнобедренного треугольника через высоту и основание по определению вычисляется как половина их произведения. Заменив основание на соответствующее ему выражение, получаем площадь через высоту и боковую сторону равнобедренного треугольника. S=hb/2=(h√(a^2-h^2 ))/4

В равнобедренном треугольнике равны не только боковые стороны, но и углы при основании, а так как в сумме они дают всегда 180 градусов, то любой из углов можно найти, зная другой. Первый угол вычисляется по теореме косинусов, приведенной для равных боковых сторон, а второй можно найти через разность от 180. (рис.88.1) cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 ) α=(180°-β)/2 β=180°-2α

Центральные медиана и биссектриса, опущенные на основание совпадают с высотой, а боковые медианы, высоты и биссектрисы можно найти по следующим формулам для равнобедренных треугольников. Чтобы вычислить их через высоту и боковую сторону, нужно заменить основание на эквивалентное ему выражение. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

Высота, опущенная на боковую сторону, через высоту, опущенную на основание и боковую сторону равнобедренного треугольника. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(√(a^2-h^2 ) √((4a^2-a^2+h^2)))/2a=√((a^2-h^2)(3a^2+h^2))/2

Биссектрисы, направленные в боковые стороны, также могут быть выражены через боковую сторону и центральную высоту треугольника . (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=√(a(a^2-h^2)(2a+√(a^2-h^2 )) )/(a+√(a^2-h^2 ))

Средняя линия проводится параллельно любой стороне треугольника, соединяя середины боковых в ее отношении сторон. Таким образом, она всегда оказывается равна половине параллельной ей стороны. Вместо неизвестного основания в формулу можно подставить используемый радикал, чтобы найти среднюю линию через высоту и боковую сторону равнобедренного треугольника(рис. 88.5) M_b=b/2=√(a^2-h^2 )/2 M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, начинается от точки на пересечении биссектрис и уходит перпендикулярно в любую из сторон. Чтобы его найти через высоту и боковую сторону треугольника, надо заменить основание в формуле на радикал. (рис. 88.6) r=1/2 √(((a^2-h^2)(2a-√(a^2-h^2 )))/(2a+√(a^2-h^2 )))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы путем подстановки радикала через высоту и боковую сторону вместо основания. (рис. 88.7) R=a^2/√(3a^2-h^2 )

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-ravnobedrennyj-treugolnik

http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/triangle/isosceles_triangle_height_and_sides_a

[/spoiler]

Как найти длину основания равнобедренного треугольника

Треугольник – это часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых, имеющими попарно по одному общему концу. Отрезки прямых в данном определении называются сторонами треугольника, а их общие концы – вершинами треугольника. Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным.

Инструкция

Основанием треугольника называется третья его сторона AC (см. рисунок), возможно отличная от боковых равных сторон AB и BC. Приведем несколько способов вычисления длины основания равнобедренного треугольника. Во-первых, можно воспользоваться теоремой синусов. Она гласит, что стороны треугольника прямо пропорциональны значению синусов противолежащих углов: a / sin α = c / sin β. Откуда получаем, что c = a * sin β / sin α.

Приведем пример вычисления основания треугольника по теореме синусов. Пусть a = b = 5, α = 30°. Тогда по теореме о сумме углов треугольника β = 180° – 2 * 30° = 120°. с = 5 * sin 120° / sin 30° = 5 * sin 60° / sin 30° = 5 * √3 * 2 / 2 = 5 * √3. Здесь для вычисления значения синуса угла β = 120° мы воспользовались формулой приведения, согласно которой sin (180° – α) = sin α.

Второй способ найти основание треугольника – при помощи теоремы косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла, заключенного между ними. Получаем, что квадрат основания c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos β. Далее находим длину основании c, извлекая квадратный корень из данного выражения.

Рассмотрим пример. Пусть нам заданы такие же параметры, как в предыдущей задаче (см. пункт 2). a = b = 5, α = 30°. β = 120°. с^2 = 25 + 25 – 2 * 25 * cos 120° = 50 – 50 * (- cos 60°) = 50 + 50 * ½ = 75. В данном вычислении мы также применили формулу приведения для нахождения cos 120°: cos (180° – α) = – cos α. Извлекаем квадратный корень и получаем значение c = 5 * √3.

Рассмотрим частный случай равнобедренного треугольника – прямоугольный равнобедренный треугольник. Тогда по теореме Пифагора мы сразу же находим основание c = √(a^2 + b^2).

Видео по теме

Обратите внимание

При вычислении легко ошибиться в значениях синуса или косинуса угла, или просто в арифметических действиях. Для проверки разультата полезно вычислить длину основания двумя способами.

Полезный совет

При вычислении угла, противолежащего к основанию, будет удобно использовать следующие формулы приведения: sin (180° – α) = sin α; cos (180° – α) = – cos α.

Источники:

• как найти длину стороны в равнобедренном треугольнике
• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?