Как найти основание равнобокой трапеции формула

Все формулы сторон равнобедренной трапеции

1. Формула длины основания равнобедренной трапеции через среднюю линию

a – нижнее основание

b – верхнее основание

m – средняя линия

Формулы длины основания :

2. Формулы длины сторон через высоту и угол при нижнем основании

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – равные боковые стороны

α – угол при основании трапеции

h – высота трапеции

Формулы всех четырех сторон трапеции :

3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – равные боковые стороны

d – диагонали

α , β – углы между диагоналями

h – высота трапеции

Формулы длины сторон трапеции:

справедливо для данной ситуации:

4. Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – равные боковые стороны

α , β – углы при основаниях

m – средняя линия

h – средняя линия

Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь :

Формулы трапеции

Для расчёта всех основных параметров трапеции воспользуйтесь калькулятором.

Виды трапеции

  1. Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
  2. Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
  3. Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне

Свойства трапеции

  1. Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме $$ FE = $$
  2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
    Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD
  3. Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
  4. Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
  5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
  6. Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е. $$ KL = $$
  7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
  8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

  1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
  2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
  3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
  4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
  5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований

Формулы площади произвольной трапеции

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через четыре стороны

Формулы площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции через стороны

Площадь трапеции через стороны и угол

$$ S = AD * sin(∠ADC) * (DC – AD * cos(∠ADC)) $$ $$ S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC)) $$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

$$ S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB) $$

Площадь трапеции если в нее вписана окружность

Формулы сторон произвольной трапеции

Основание через другое основание и среднюю линию

$$ AB = 2 * FE – DC $$ $$ DC = 2 * FE – AB $$

Основание через другое основание, диагонали и угол между ними

$$ DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ AB = DC – AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD) $$ $$ AB = DC – AD * cos(∠ADC) – BC * cos(∠BCD) $$ $$ AD = $$ $$ BC = $$

Формулы сторон равнобедренной трапеции

$$ AD = $$ $$ AD = $$ $$ DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC) $$ $$ AB = DC – 2 * AG * ctg(∠ADC) $$ $$ DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC) $$ $$ AB = DC – 2 * AB * cos(∠ADC) $$

Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание

Длина боковой стороны через диагональ и основания

Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними

Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции

Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании

Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании

Формулы сторон прямоугольной трапеции

$$ DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD) $$ $$ AB = DC – BC * cos(∠BCD) = DC – AD * ctg(∠BCD) $$ $$ DC = AB + sqrt $$ $$ AB = DC – sqrt $$

Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними

Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту

Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG) $$ DC = <2 * S over AD>- AB $$ $$ AB = <2 * S over AD>- DC $$

Формулы диагоналей произвольной трапеции

Длина диагоналей через четыре стороны

Длина диагоналей по теореме косинусов

Длина диагоналей через высоту

Длина диагоналей через стороны и другую диагональ

Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей

Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей

Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей

Формулы диагоналей равнобедренной трапеции

Длина диагоналей через стороны

Длина диагоналей по теореме косинусов

Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании

Длина диагоналей через сторону и высоту

Формулы диагоналей прямоугольной трапеции

Формулы средней линии произвольной трапеции

Длина средней линии через основания

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина средней линии через площадь и высоту

Формулы средней линии равнобедренной трапеции

Длина средней линии через основания

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$ FE = DC – AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC) $$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина средней линии через площадь и боковую сторону

Формулы средней линии прямоугольной трапеции

Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании

Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании

Длина средней линии через основания и боковые стороны

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Формулы высоты произвольной трапеции

Длина высоты через четыре стороны

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$ AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD) $$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними

Длина высоты через площадь и основания

Длина высоты через площадь и среднюю линию

Формулы высоты равнобедренной трапеции

Длина высоты через по сторонам

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию

Длина высоты через диагонали и углы между ними

Длина высоты через площадь и основания

Длина высоты через площадь и среднюю линию

Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции

Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.

Сторона BC по трём сторонам

Сторона BC через основания и угол ∠BCD

Сторона BC через Сторону AD

Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD

Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

Основные свойства равнобедренной трапеции

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) – равен полуразности оснований:

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

b = a – 2 h ctg α = a – 2 c cos α

c = h = a – b
sin α 2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a = d 1 2 – c 2 b = d 1 2 – c 2 c = √ d 1 2 – ab
b a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a = 2S – b b = 2S – a
h h

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

m = a – h ctg α = b + h ctg α = a – √ c 2 – h 2 = b + √ c 2 – h 2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

h = 1 √ 4 c 2 – ( a – b ) 2
2

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h = a – b tg β = c sin β
2

Диагонали равнобедренной трапеции

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

d 1 = √ a 2 + c 2 – 2 ac cos α

d 1 = √ b 2 + c 2 – 2 bc cos β

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

d 1 = 1 √ 4 h 2 + ( a + b ) 2
2

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S = a + b √ 4 c 2 – ( a – b ) 2
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = ( b + c cos α ) c sin α = ( a – c cos α ) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S = 4 r 2 = 4 r 2
sin α sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S = d 1 2 · sin γ = d 1 2 · sin δ
2 2

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R = a·c·d 1
4√ p ( p – a )( p – c )( p – d 1)

где

a – большее основание

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

[spoiler title=”источники:”]

http://calc-online24.ru/formula/trapez

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium_isosceles/

[/spoiler]

Как найти основание равнобедренной трапеции

Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на двух параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).

Как найти основание равнобедренной трапеции

Инструкция

У равнобедренной (или равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.

Трапеция имеет два основания, и чтобы их найти, нужно сначала обозначить фигуру. Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. При этом известны все параметры, кроме оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.

Для решения задачи об основании трапеции проще всего будет составить систему уравнений, чтобы через взаимосвязанные величины найти нужные основания.

Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, чтобы в дальнейшем было удобно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, можно запутаться.

Выпишите все формулы, которые пригодятся при решении поставленной задачи, используя известные данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .

Вспомните свойство равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании. Отсюда следует, что два основания можно связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH или y=x+2AH

Найдите катет AH, следуя теореме Пифагора, которую вы уже записали. Пусть он будет равен некому числу k. Тогда формула, вытекающая из свойства равнобедренной трапеции будет выглядеть так: y=x+2k.

Выразите через площадь трапеции неизвестную величину. У вас должно получиться: AD=2*S/h-BC или y=2*S/h-x.

После этого подставьте данные числовые значения в полученную систему уравнений и решите ее. Решение любой системы уравнений можно найти автоматически в программе MathCAD.

Полезный совет

Старайтесь всегда при решении задач максимально упростить обозначения и формулы. Так решение найдется гораздо быстрее.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Определение.

Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.

На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.

Изображение равнобедренной трапеции с обозначениями
Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:

1. Углы при основе равны:

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны:

AC = BD

3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описати окружность

Основные свойства равнобедренной трапеции

1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:

AB = CD = m

3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность

4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):

h = m

5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:

SABCD = h2

6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:

h2 = BC · AD

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:

AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD

8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:

HF BC, HF AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) – равен полуразности оснований:

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a – 2h ctg α = a – 2c cos α

c =  h  =  ab
sin α 2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =  d12c2        b =  d12c2        c = √d12ab
b a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a =  2S b      b =  2S a
h h

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:

m = ah ctg α = b + h ctg α = a – √c2h2 = b + √c2h2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =  ab tg β  = c sin β
2

Диагонали равнобедренной трапеции

Диагонали равнобедренной трапеции равны:

d1 = d2

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

1. Формула длины диагонали через стороны:

d1 = √с2 + ab

2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:

d1 = √a2 + c2 – 2ac cos α

d1 = √b2 + c2 – 2bc cos β

3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:

d1 = √h2 + m2

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S =  a + b 4c2 – (ab)2
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = (b + c cos α) c sin α = (ac cos α) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =  4 r 2  =  4 r 2
sin α sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =  d12 · sin γ  =  d12 · sin δ
2 2

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =  a·c·d1
4√p(pa)(pc)(pd1)

где

a – большее основание

Как найти основания трапеции

Основания трапеции можно найти несколькими способами, в зависимости от заданных параметров. При известной площади, высоте и боковой стороне равнобокой трапеции последовательность расчетов сводится к вычислениям стороны равнобедренного треугольника. А также к использованию свойства равнобокой трапеции.Как найти основания трапеции

Начертите равнобокую трапецию. Дана площадь трапеции – S, высота трапеции – h и боковая сторона – a. Опустите высоту трапеции на большее основание. Большее основание будет разделено на отрезки m и n.Как найти основания трапеции

Для определения длины обоих оснований (х, y) примените свойство равнобокой трапеции и формулу расчета площади трапеции.

Согласно свойству равнобокой трапеции отрезок n равен полуразности оснований х и y. Следовательно, меньшее основание трапеции y можно представить в виде разности большего основания и отрезка n, помноженного на два: y = x – 2*n.Как найти основания трапеции

Найдите неизвестный меньший отрезок n. Для этого вычислите одну их сторон получившегося прямоугольного треугольника. Треугольник образован высотой – h (катет), боковой стороной – a (гипотенуза) и отрезком – n (катет). Согласно теореме Пифагора неизвестный катет n² = a² – h². Подставьте известные числовые значения и высчитайте квадрат катета n. Возьмите корень квадратный из полученного значения – это и будет длина отрезка n.Как найти основания трапеции

Подставьте полученное значение в первое уравнение для вычисления y. Площадь трапеции высчитывается по формуле S = ((х + y)*h)/2. Выразите неизвестную переменную: y = 2*S/h – х.Как найти основания трапеции

Запишите оба полученных уравнения в систему. Подставляя известные значения, найдите две искомые величины в системе двух уравнений. Полученное решение системы х представляет собой длину большего основания, а y – меньшего основания.Как найти основания трапеции

Трапеция — это выпуклый четырехугольник с двумя параллельными основами и двумя непараллельными
боковыми сторонами.

Иногда фигура определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна,
поэтому параллелограмм и прямоугольник являются частными случаями трапеции. Также это
четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а остальные стороны не
равны между собой.
Параллельные стороны называются основами, а остальные боковыми.

Вычисление стороны необходимо для нахождения периметра, площади трапеции, ее диагоналей и других
значимых параметров.

  • Длина основания через среднию линию и другое известное
    основание
  • Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при
    нижнем основании
  • Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при
    нижнем основании
  • Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и
    углы при нижнем основании
  • Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и
    углы при нижнем основании
  • Боковую сторону через высоту и угол при нижнем
    основании

Длина основания через среднюю линию и известное основание

Рис 1

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон фигуры. Через её значение
вычисляется одна из основ. Нужно умножить ее на два и вычесть известную:

a = 2m – b

Цифр после
запятой:

Результат в:

Например, средняя линия MN равна 6, а основание а – 9. Соответственно, значения, подставленные в
формулу, показывают, что b = 2*6 – 9 = 3.

Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Рис 2

Высота h или BK – перпендикуляр, проведенный от одной основы к другой. Высота проводится в любой их
точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшей основе. Чтобы найти нижнее
основание, надо к верхнему прибавить произведение высоты на сумму котангенсов углов при нижнем:

a = b + h*(ctga + ctgb)

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дано верхнее основание 10, высота 6 и углы 30 и 45. По формуле а = 10 + 6*(3+1) = 10 + 63 + 6 = 16+63.
Для равнобедренного четырёхугольника выведены две формулы. В первой (a = 2S/h – b) основа выражена с
помощью формулы площади. Пример: Площадь равнобедренной трапеции ABCD = 18, высота = 6, а AD = 5.
Найти BC. BC = 2*18/6 – 5 = 6 – 5 = 1

Второе выражение сформулировано следующим образом: (a = b + 2h*ctga). Высота АН в трапеции ADEF =
10, DE = 4, а DAF = 45 градусам. Найти AF: AF = 4 + 10*2*1 = 24

Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Рис 3

Чтобы найти верхнюю основу, надо из нижней вычесть произведение высоты на сумму котангенсов углов при
ней:

b = a – h*(ctg α + ctg β)

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана трапеция с нижним основанием 15, высотой 8 и углами в 45 градусов. По формуле а = 15 + 8*(1+1) =
15 + 16 = 31

Формулы для равнобедренного четырёхугольника: b = 2S/h – a и b = a – 2h*ctga.

  • Площадь трапеции KLMN = 44, KL=MN, высота равна 8, KN = 5. Найти LM: LM = 44*2/8 – 5 = 6
  • Высота трапеции DEFG = 15, DG= 5, а EDG = 45 градусам. Найти EF: EF = 5 + 15*2*1 = 35

Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании

Рис 4

Для нахождения основы а нужно к основе b прибавить произведение одной и другой стороны и косинусов
углов при них

a = b + c * cos α + d * cos β

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана равнобокая трапеция с верхним основанием 6, боковыми сторонами 5 и 11 и углами в 45 градусов.
Найти нижнее основание: а = 6 + 5*2/2 + 11*2/2 = 6 + 162/2 = 6 + 82

Отдельно для подобного типа фигур было выведено два выражения: a = (d1^2 – c^2)/b и a = b +
2c*cosa
.

  • трапеции ABCD AB = CD = 8, диагональ AC = 12, а BC = 4. Вычислить AD: AD = (12*12 – 8*8)/4
    = (144 – 64)/4 = 20
  • В трапеции KLMN KL = MN = 4, LM = 7, а LKN равен 30 градусам. Вычислить KN: KN = 7 +
    4*2*3/2 = 7 + 43

Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нем

Рис 5

Для нахождения основы b нужно из основы а вычесть произведение одной и другой боковой стороны и углов
при них

b = a – c * cos α – d * cos β

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана трапеция с нижним основанием 27, боковыми сторонами 20 и 14 и углами в 30 и 60 градусов. Найти
верхнее основание: b = 27 — 20*3/2 — 14*1/2 = 27 — 103 — 7 = 20 —
103
. Формулы для равнобедренного типа: b = (d1^2 — c^2)/a и b = a — 2c*cosa.

  • В трапеции DEFG DE и FG = 11, диагональ АС = 13, а EF = 12. Вычислить DG: DG = (13*13 –
    11*11)/12= (169 – 121)/12 = 4
  • Боковые стороны трапеции BCDE BC и DE = 25, BE = 10, а CBE равен 60 градусам. Вычислить CD:
    CD = 25 – 10*2*1/2 = 15

Боковая сторона через высоту и угол при нижнем основании

Рис 6

Чтобы найти боковую сторону, надо разделить высоту на синус угла при ней

d = h / sin α

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана трапеция с высотой 12 и углами в 30 и 60 градусов. Найти боковые стороны: c = 12/0,5 =
24, d = 12/3/2 = 243

Для прямоугольного типа формулы несколько отличаются. Самая простая из них связывает высоту и меньшую
боковую сторону: c = h.
Для нее существует еще несколько формул: с = d*sina; c = (a – b)*tga; c
= (d^2 – (a – b)^2)

  • В прямоугольной трапеции CDEF сторона EF равна 22, а прилежащий угол = 45. Найти CD. CD =
    22*2/2 = 112
  • Прямоугольная трапеция MNOP имеет основания MP и NO, равные 32 и 19 соответственно. NMP равен 60
    градусам. Найти MP: MP = (32 – 19)*3 = 133
  • В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC равны 35 и 15 соответственно. Диагональ АС = 26. Найти AB.
    AB = (26^2 – (35 – 15)^2) = 676 – 400 = 276 = 269

Первая вытекает из прямоугольного треугольника и свидетельствует о том, что отношение катета к
гипотенузе равно синусу противолежащего угла. В этом треугольнике второй катет равен разности двух
оснований. Отсюда возникает утверждение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов. Третья
формула выведена на основании теоремы Пифагора.

Для второй боковой стороны выведено и записано три выражения: d = (a — b)/cosa; d = c/sina; d =
(c^2 — (a — b)^2)
. Первое и второе получаются из соотношения сторон в прямоугольном
треугольнике, а третье выводится из теоремы Пифагора.

  • В прямоугольной трапеции KLMN KN = 28, LM = 13 а прилежащий угол = 30. Найти KL: KL = (28 –
    13)/3/2 = 103
  • В прямоугольной трапеции EFGH EF равна 45. FEH равен 30 градусам. Найти GH: GH = 45/0,5 =
    90
  • В прямоугольной трапеции NOPQ NQ и OP =.36 и 17. Диагональ равна 29. Найти NO: NO = (29^2 –
    (36 – 17)^2) = 841 – 361= 480 = 430

Для равнобокой трапеции существуют формулы c = d1^2 – ab; c = (a – b)/2cosa; c = S/m*sina; c =
2S/(a+b)*sina
.

  • В трапеции LMNO LM = NO. LO = 16, MN = 6, диагональ равна 10. Найти LM: LM = 10^2 – 16*6 =
    100 – 96 = 4
  • Трапеция ABCD – равнобокая, AB = CD. AD = 18, BC = 4, а прилежащий угол равен 45 градусам. Найти
    AB: AB = (18 – 4)/2/2 = 14/2/2 = 14/2
  • В трапеции BCDE BC=DE. Площадь фигуры равна 48, BE = 17, CD = 7, а CBE равен 30 градусам.
    Вычислить BC: m = (17 – 7)/2 = 5, BC = 48/5*1/2 = 96/5 = 19,2
  • Площадь равнобедренной трапеции KLMN = 90, основания KN и LM = 32 и 18 соответственно, а LKN =
    60 градусов. Вычислить KL: KL = 2*90/(32 + 18)*3/2 = 360/503 = 129600/7500 = 17,28

Виды трапеций

Существуют следующие виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция — фигура, у которой боковые стороны и углы при основании равны.
    Диагонали также равны. Треугольники, образованные диагоналями и основой, являются
    равнобедренными. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна квадрату высоты. Если
    разделить обе основы пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью геометрической
    фигуры. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон, образуют ромб.
  • Прямоугольная трапеция — фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
    и равна высоте. Два угла будут равны 90 градусам, и они всегда принадлежат смежным вершинам, а
    другие всегда острый и тупой, их сумма всегда будет равна 180 градусам. Каждая диагональ
    образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из
    вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, другая прямоугольный
    треугольник.
  • Разносторонняя трапеция — фигура, боковые стороны которой не равны и углы при основании не
    являются прямыми. Ее диагонали делят фигуру на четыре треугольника, два из которых подобны, а
    остальные — равновелики, то есть имеют одинаковые площади. Сумма углов при боковой стороне 180
    градусов.

Свойства трапеции

  1. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
  2. Любая биссектриса, выведенная из угла четырёхугольника, отсекает на основании (продолжении)
    отрезок с длиной боковой стороны.
  3. Треугольники AOD и COD, образованные отрезками диагоналей и основами, подобны.
    Коэффициент
    подобия – k = AD/BC.
    Отношение площадей треугольников — k^2.
  4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую
    площадь.
  5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равняется сумме её боковых сторон.
  6. Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений
    боковых сторон лежат на одной прямой.
  7. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равняется половине разности основ и лежит на средней
    линии.

Добавить комментарий