Как найти основания трапеции если известен периметр

Как узнать оба основания у равнобедренной трапеции, зная только периметр, площадь и боковую сторону

Владислав Кашицын



Знаток

(307),
на голосовании



7 лет назад

У меня в задаче написано Р=32см, S=44 см. кв., боковая сторона 5 см, найти высоту трапеции. Помогите пожалуйста

Голосование за лучший ответ

hugo

Искусственный Интеллект

(193169)


7 лет назад

элементарно)
боковые стороны одинаковые если трапеция равнобедренная? одинаковые… значит сумма оснований=32-5*2=32-10=22 см
полусумма оснований (средняя линия) =22/2=11 см
высота трапеции=44/11=4 см

не надо искать каждое основание достаточно их сумму знать)

Владислав КашицынЗнаток (307)

7 лет назад

А высота же по-моему расчитывается 2S/(a+b)

hugo
Искусственный Интеллект
(193169)
ну так какая разница?) подставь h=2*44/22=88/22=4 )))
тем более что полусумма оснований (a+b)/2 = средний линии трапеции =m
есть другая формула S=m*h отсюда h=S/m=44/11=4 андэстенд?

Татьяна Шадрина

Гуру

(3292)


7 лет назад

В предыдущем ответе нужно решение довести до конца, когда нашли высоту.
Опусти две высоты из верхнего основания на нижнее, они от вершин нижнего основания отсекут равные отрезки.
Рассмотрев один из прямоугольных треугольников (по бокам) и используя теорему Пифагора найдём длину этого отрезка, он будет равен 3.А теперь верхнее основание обозначь за х, нижнее будет (3+х+3), сумма оснований уже найдена (см. предыдущее решение)
Составим уравнение
х+3+х+3=22
2х=16
х=8 – верхнее основание трапеции
8+6=14 – нижнее основание. Ответ: 8 и 14

hugoИскусственный Интеллект (193169)

7 лет назад

и вообще использовать понятие верхнее нижнее основание некорректно))) правильно писать большее и меньшее основание..
какие отрезки высоты от нижнего основания отсекают?! их просто нет… они на верхнем основании почему то получились)))

Татьяна Шадрина
Гуру
(3292)
Замечание принимаю.

Владислав КашицынЗнаток (307)

7 лет назад

Мне по задаче, в принципе, нужно было найти только высоту, но сразу ее не найдешь. Нужно найти основания. Я на основаниях в ступор и зашел

Татьяна Шадрина
Гуру
(3292)
Вопрос ваш сформулирован так, что я подумала, что в задаче нужно найти основания. Ну, а если нужно найти только высоту, то нет необходимости искать основания.

Трапеция — это выпуклый четырехугольник с двумя параллельными основами и двумя непараллельными
боковыми сторонами.

Иногда фигура определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна,
поэтому параллелограмм и прямоугольник являются частными случаями трапеции. Также это
четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а остальные стороны не
равны между собой.
Параллельные стороны называются основами, а остальные боковыми.

Вычисление стороны необходимо для нахождения периметра, площади трапеции, ее диагоналей и других
значимых параметров.

  • Длина основания через среднию линию и другое известное
    основание
  • Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при
    нижнем основании
  • Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при
    нижнем основании
  • Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и
    углы при нижнем основании
  • Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и
    углы при нижнем основании
  • Боковую сторону через высоту и угол при нижнем
    основании

Длина основания через среднюю линию и известное основание

Рис 1

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон фигуры. Через её значение
вычисляется одна из основ. Нужно умножить ее на два и вычесть известную:

a = 2m – b

Цифр после
запятой:

Результат в:

Например, средняя линия MN равна 6, а основание а – 9. Соответственно, значения, подставленные в
формулу, показывают, что b = 2*6 – 9 = 3.

Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Рис 2

Высота h или BK – перпендикуляр, проведенный от одной основы к другой. Высота проводится в любой их
точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшей основе. Чтобы найти нижнее
основание, надо к верхнему прибавить произведение высоты на сумму котангенсов углов при нижнем:

a = b + h*(ctga + ctgb)

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дано верхнее основание 10, высота 6 и углы 30 и 45. По формуле а = 10 + 6*(3+1) = 10 + 63 + 6 = 16+63.
Для равнобедренного четырёхугольника выведены две формулы. В первой (a = 2S/h – b) основа выражена с
помощью формулы площади. Пример: Площадь равнобедренной трапеции ABCD = 18, высота = 6, а AD = 5.
Найти BC. BC = 2*18/6 – 5 = 6 – 5 = 1

Второе выражение сформулировано следующим образом: (a = b + 2h*ctga). Высота АН в трапеции ADEF =
10, DE = 4, а DAF = 45 градусам. Найти AF: AF = 4 + 10*2*1 = 24

Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Рис 3

Чтобы найти верхнюю основу, надо из нижней вычесть произведение высоты на сумму котангенсов углов при
ней:

b = a – h*(ctg α + ctg β)

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана трапеция с нижним основанием 15, высотой 8 и углами в 45 градусов. По формуле а = 15 + 8*(1+1) =
15 + 16 = 31

Формулы для равнобедренного четырёхугольника: b = 2S/h – a и b = a – 2h*ctga.

  • Площадь трапеции KLMN = 44, KL=MN, высота равна 8, KN = 5. Найти LM: LM = 44*2/8 – 5 = 6
  • Высота трапеции DEFG = 15, DG= 5, а EDG = 45 градусам. Найти EF: EF = 5 + 15*2*1 = 35

Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании

Рис 4

Для нахождения основы а нужно к основе b прибавить произведение одной и другой стороны и косинусов
углов при них

a = b + c * cos α + d * cos β

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана равнобокая трапеция с верхним основанием 6, боковыми сторонами 5 и 11 и углами в 45 градусов.
Найти нижнее основание: а = 6 + 5*2/2 + 11*2/2 = 6 + 162/2 = 6 + 82

Отдельно для подобного типа фигур было выведено два выражения: a = (d1^2 – c^2)/b и a = b +
2c*cosa
.

  • трапеции ABCD AB = CD = 8, диагональ AC = 12, а BC = 4. Вычислить AD: AD = (12*12 – 8*8)/4
    = (144 – 64)/4 = 20
  • В трапеции KLMN KL = MN = 4, LM = 7, а LKN равен 30 градусам. Вычислить KN: KN = 7 +
    4*2*3/2 = 7 + 43

Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нем

Рис 5

Для нахождения основы b нужно из основы а вычесть произведение одной и другой боковой стороны и углов
при них

b = a – c * cos α – d * cos β

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана трапеция с нижним основанием 27, боковыми сторонами 20 и 14 и углами в 30 и 60 градусов. Найти
верхнее основание: b = 27 — 20*3/2 — 14*1/2 = 27 — 103 — 7 = 20 —
103
. Формулы для равнобедренного типа: b = (d1^2 — c^2)/a и b = a — 2c*cosa.

  • В трапеции DEFG DE и FG = 11, диагональ АС = 13, а EF = 12. Вычислить DG: DG = (13*13 –
    11*11)/12= (169 – 121)/12 = 4
  • Боковые стороны трапеции BCDE BC и DE = 25, BE = 10, а CBE равен 60 градусам. Вычислить CD:
    CD = 25 – 10*2*1/2 = 15

Боковая сторона через высоту и угол при нижнем основании

Рис 6

Чтобы найти боковую сторону, надо разделить высоту на синус угла при ней

d = h / sin α

Цифр после
запятой:

Результат в:

Дана трапеция с высотой 12 и углами в 30 и 60 градусов. Найти боковые стороны: c = 12/0,5 =
24, d = 12/3/2 = 243

Для прямоугольного типа формулы несколько отличаются. Самая простая из них связывает высоту и меньшую
боковую сторону: c = h.
Для нее существует еще несколько формул: с = d*sina; c = (a – b)*tga; c
= (d^2 – (a – b)^2)

  • В прямоугольной трапеции CDEF сторона EF равна 22, а прилежащий угол = 45. Найти CD. CD =
    22*2/2 = 112
  • Прямоугольная трапеция MNOP имеет основания MP и NO, равные 32 и 19 соответственно. NMP равен 60
    градусам. Найти MP: MP = (32 – 19)*3 = 133
  • В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC равны 35 и 15 соответственно. Диагональ АС = 26. Найти AB.
    AB = (26^2 – (35 – 15)^2) = 676 – 400 = 276 = 269

Первая вытекает из прямоугольного треугольника и свидетельствует о том, что отношение катета к
гипотенузе равно синусу противолежащего угла. В этом треугольнике второй катет равен разности двух
оснований. Отсюда возникает утверждение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов. Третья
формула выведена на основании теоремы Пифагора.

Для второй боковой стороны выведено и записано три выражения: d = (a — b)/cosa; d = c/sina; d =
(c^2 — (a — b)^2)
. Первое и второе получаются из соотношения сторон в прямоугольном
треугольнике, а третье выводится из теоремы Пифагора.

  • В прямоугольной трапеции KLMN KN = 28, LM = 13 а прилежащий угол = 30. Найти KL: KL = (28 –
    13)/3/2 = 103
  • В прямоугольной трапеции EFGH EF равна 45. FEH равен 30 градусам. Найти GH: GH = 45/0,5 =
    90
  • В прямоугольной трапеции NOPQ NQ и OP =.36 и 17. Диагональ равна 29. Найти NO: NO = (29^2 –
    (36 – 17)^2) = 841 – 361= 480 = 430

Для равнобокой трапеции существуют формулы c = d1^2 – ab; c = (a – b)/2cosa; c = S/m*sina; c =
2S/(a+b)*sina
.

  • В трапеции LMNO LM = NO. LO = 16, MN = 6, диагональ равна 10. Найти LM: LM = 10^2 – 16*6 =
    100 – 96 = 4
  • Трапеция ABCD – равнобокая, AB = CD. AD = 18, BC = 4, а прилежащий угол равен 45 градусам. Найти
    AB: AB = (18 – 4)/2/2 = 14/2/2 = 14/2
  • В трапеции BCDE BC=DE. Площадь фигуры равна 48, BE = 17, CD = 7, а CBE равен 30 градусам.
    Вычислить BC: m = (17 – 7)/2 = 5, BC = 48/5*1/2 = 96/5 = 19,2
  • Площадь равнобедренной трапеции KLMN = 90, основания KN и LM = 32 и 18 соответственно, а LKN =
    60 градусов. Вычислить KL: KL = 2*90/(32 + 18)*3/2 = 360/503 = 129600/7500 = 17,28

Виды трапеций

Существуют следующие виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция — фигура, у которой боковые стороны и углы при основании равны.
    Диагонали также равны. Треугольники, образованные диагоналями и основой, являются
    равнобедренными. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна квадрату высоты. Если
    разделить обе основы пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью геометрической
    фигуры. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон, образуют ромб.
  • Прямоугольная трапеция — фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
    и равна высоте. Два угла будут равны 90 градусам, и они всегда принадлежат смежным вершинам, а
    другие всегда острый и тупой, их сумма всегда будет равна 180 градусам. Каждая диагональ
    образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из
    вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, другая прямоугольный
    треугольник.
  • Разносторонняя трапеция — фигура, боковые стороны которой не равны и углы при основании не
    являются прямыми. Ее диагонали делят фигуру на четыре треугольника, два из которых подобны, а
    остальные — равновелики, то есть имеют одинаковые площади. Сумма углов при боковой стороне 180
    градусов.

Свойства трапеции

  1. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
  2. Любая биссектриса, выведенная из угла четырёхугольника, отсекает на основании (продолжении)
    отрезок с длиной боковой стороны.
  3. Треугольники AOD и COD, образованные отрезками диагоналей и основами, подобны.
    Коэффициент
    подобия – k = AD/BC.
    Отношение площадей треугольников — k^2.
  4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую
    площадь.
  5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равняется сумме её боковых сторон.
  6. Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений
    боковых сторон лежат на одной прямой.
  7. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равняется половине разности основ и лежит на средней
    линии.

Как найти основания трапеции

Основания трапеции можно найти несколькими способами, в зависимости от заданных параметров. При известной площади, высоте и боковой стороне равнобокой трапеции последовательность расчетов сводится к вычислениям стороны равнобедренного треугольника. А также к использованию свойства равнобокой трапеции.

Как найти основания трапеции

Инструкция

Начертите равнобокую трапецию. Дана площадь трапеции – S, высота трапеции – h и боковая сторона – a. Опустите высоту трапеции на большее основание. Большее основание будет разделено на отрезки m и n.

Как найти основания трапеции

Для определения длины обоих оснований (х, y) примените свойство равнобокой трапеции и формулу расчета площади трапеции.

Согласно свойству равнобокой трапеции отрезок n равен полуразности оснований х и y. Следовательно, меньшее основание трапеции y можно представить в виде разности большего основания и отрезка n, помноженного на два: y = x – 2*n.

Как найти основания трапеции

Найдите неизвестный меньший отрезок n. Для этого вычислите одну их сторон получившегося прямоугольного треугольника. Треугольник образован высотой – h (катет), боковой стороной – a (гипотенуза) и отрезком – n (катет). Согласно теореме Пифагора неизвестный катет n² = a² – h². Подставьте известные числовые значения и высчитайте квадрат катета n. Возьмите корень квадратный из полученного значения – это и будет длина отрезка n.

Как найти основания трапеции

Подставьте полученное значение в первое уравнение для вычисления y. Площадь трапеции высчитывается по формуле S = ((х + y)*h)/2. Выразите неизвестную переменную: y = 2*S/h – х.

Как найти основания трапеции

Запишите оба полученных уравнения в систему. Подставляя известные значения, найдите две искомые величины в системе двух уравнений. Полученное решение системы х представляет собой длину большего основания, а y – меньшего основания.

Как найти основания трапеции

Источники:

  • высота равнобокой трапеции


1. Формула длины оснований прямоугольной трапеции через среднюю линию

длина оснований прямоугольной трапеции через среднюю линию

a – нижнее основание

b – верхнее основание

m – средняя линия

Формулы длины оснований :

2. Формулы длины оснований через боковые стороны и угол при нижнем основании

длина оснований через боковые стороны и угол при нижнем основании

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c , d – боковые стороны

α – угол при нижнем основании

Формулы длины оснований :


3. Формулы длины оснований трапеции через диагонали  и угол между ними

длина оснований трапеции через диагонали  и угол между ними

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – боковая сторона под прямым углом к основаниям

d1 , d2 – диагонали трапеции

α , β – углы между диагоналями

Формулы длины оснований :


4. Формулы длины оснований трапеции через площадь

длина оснований трапеции через площадь

a – нижнее основание

b – верхнее основание

c – боковая сторона под прямым углом к основаниям

h – высота трапеции

Формулы длины оснований :



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 15 октября 2013

Обновлено: 13 августа 2021

Как найти периметр трапеции

Содержание:

  • Основные свойства трапеции
  • Способы нахождений периметра

    • По всем сторонам
    • По сторонам равнобедренной трапеции
    • Через среднюю линию
  • Примеры решения задач

Определения

​Трапеция — это четырехугольник, у которого лишь одна пара противолежащих сторон параллельна.

Периметр трапеции — это сумма длин всех его сторон.

Основные свойства трапеции

  • средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна половине их суммы;

Свойство 1

 
  • биссектриса любого угла данного четырехугольника отсекает на его основании отрезок, равный боковой стороне;

Свойство 2

 
  • треугольники ABO и DCO (на картинке), образованные диагоналями фигуры и ее основаниями, подобны;

Свойство 3

 
  • треугольники OAB и OCD, образованные диагоналями трапеции и ее боковыми сторонами, имеют одинаковую площадь;

Свойство 4

 
  • если сумма длин оснований четырехугольника равна сумме его боковых ребер, то в фигуру можно вписать окружность;

Свойство 5

 
  • точки M и N середины диагоналей лежат на одной прямой со средней линией фигуры. Также отрезок MN равен полуразность оснований четырехугольника;

Свойство 6

 
  • середины оснований фигуры, точка пересечения ее диагоналей, а также точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой;

Свойство 7

 

Свойства равнобедренной трапеции

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  • в равнобедренной трапеции углы при обоих ее основаниях одинаковы;
  • диагонали равны;
  • равнобедренную трапецию всегда можно вписать в окружность или описать окружность вокруг;
  • если диагонали перпендикулярны, то высота фигуры равна полусумме ее оснований.

Способы нахождений периметра

Рассмотрим способы, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон данного четырехугольника.

По всем сторонам

Периметр по всем сторон

 

Формула для нахождения периметра выглядит так:

P=a+b+c+d

где a, b, c, d — стороны трапеции.

По сторонам равнобедренной трапеции

Периметр по сторон 2

 

Если нам известны ребра этого четырехугольника с одинаковыми боковыми сторонами, то находить ее P можно по следующей формуле:

(P=2times a+b+c)

или

(P=2times c+a+b)

Через среднюю линию

Через среднюю линию

 

Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то формулу P можно выразить так:

(P=2times l+AB+CD)

где l — средняя линия фигуры.

Примеры решения задач

Давайте рассмотрим наглядные примеры решения задач на нахождение суммы длин всех ребер этой фигуры.

Задача 1

Дана трапеция с боковыми сторонами 4 см и 5 см, а ее основания равны 7 см и 10 см. Найти периметр данного многоугольника.

Решение:

Нам пригодится самая первая формула для расчета:

P=a+b+c+d.

Подставляем значения и получаем:

P=4+7+5+10=26;см.

Ответ: 26 см.

Задача 2

Известно, что у трапеции две боковые стороны равны 7 см, а ее основания равны 5 см и 8 см. Нужно найти P четырехугольника.

Решение:

Так как трапеция равнобедренная, удобнее всего будет использовать формулу:

(P=2times a+b+c)

Таким образом, получается:

(P=2times 7+5+8=27) см.

Ответ: 27 см.

Задача 3

Средняя линия l трапеции равна 6 см, а боковые стороны 5 см и 9 см. Вычислить P фигуры.

Решение:

Считать будем по формуле

(P=2times l+a+c)

(P=2times 6+5+9=26) см.

Ответ: 26 см.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.82 (Голосов: 11)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Добавить комментарий