Как найти основной период функции 10 класс — Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

24.05.2023
Разное

ВИДЕО УРОК

Периодические функции.

Функцию  у = f(х),  х ∈ Х, называют периодической,
если существует такое отличное от нуля число 
Т, что для любого  х  из области определения функции справедливо
равенство:

f(х + Т) = f(х) = f(х – Т).

Число  Т  называют периодом функции  у = f(х).

Из этого
определения сразу следует, что если  Т –
период функции 

у = f(х), то 

2Т, 3Т, 4Т, –Т, –2Т, –3Т,
–4Т

– также периоды
функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Если  Т – период функции, то число вида  kТ,
где  k – любое целое
число, также является периодом функции.

Чаще всего (но не
всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший.
Его называют основным периодом.

График периодической
функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

График каждой
периодической функции состоит из одинаковых линий повторяющихся и изолированных
друг от друга, как в рассматриваемом случае, или соединенных в одну общую линию
(синусоида и другие.)

Графики
периодических функций обладают следующей особенностью. Если  Т – основной период функции  у = f(х), то для построения её графика достаточно построить ветвь
графика на одном из промежутков оси  х  длиной 
Т, а затем осуществить параллельный перенос этой ветви по
оси  х  на

± Т, ±
2Т, ± 3Т, …

Чаще всего в
качестве такого промежутка длиной  Т  выбирают промежуток с концами в точках

(–Т/2; 0)  и  (Т/2; 0)  или

(0; 0)  и  (Т; 0).

ПРИМЕР:

Рассмотрим функцию

у = х – [х], где  [х] – целая часть числа. Если к
произвольному значение аргумента этой функции добавить 1, то значение функции от этого не изменится:

f(x + 1) = (x
+1) – [x + 1] = x + 1 – [x] – 1
= x – [x] = f (x).

Следовательно, при любом
значении  х

 f(x + 1) = f(x).  

А это значит, что рассматриваемая функция
периодическая, период которой равен 1. Любое целое число
также является периодом данной функции, но обычно рассматривают только
маленький положительный период функции.

График этой функции
приведен на рисунке. Он состоит из бесконечного множества равных отрезков, которые
повторяются.

Периодичность тригонометрических функций.

Возьмём произвольный угол  α  и построим
подвижной радиус  ОМ  единичной окружности такой, что угол,
составленный с осью  Ох  этим радиусом, равен  α.

Если мы к углу    прибавим 
2π  или  360° (то есть полный
оборот), то углу  α + 2π  или  α + 360°  будет соответствовать то же положение
подвижного радиуса  ОМ, что для угла  α.

Так как синус и косинус угла,
составленного с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной
окружности, по сути соответственно ордината 
у  и
абсцисса  х  точки  М, то

sin (α + 2π) = sin α  или 

sin (α + 360°) = sin α

и

cos (α + 2π)
= cos α  или 

cos (α + 360°) = cos α.

Таким образом, функции  sin α  и  cos α  от
прибавления к аргументу α   одного
полного оборота (2π  или  360°) не меняют своих значений.

Точно так же, прибавляя к
углу  α  любое целое
число полных оборотов, мы не изменим положения подвижного радиуса  ОМ, а потому:

sin (α + 2kπ) = sin α  или 

sin (α + 360°k) = sin α

и

cos (α + 2kπ) = cos α  или 

cos (α + 360°k) = cos α,

где  k – любое целое
число.

Функции, обладающие таким
свойством, что их значения не изменяются от прибавления к любому допустимому
значению аргумента определённого постоянного числа, называются периодическими.

Следовательно, функции  sin α  и  cos α – периодические.

Наименьшее положительное число,
от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется
значение функции, называется периодом функции.

Периодом функции  sin α  и  cos α 
является  2π  или  360°.

Функции  tg α  и  сtg α  также
периодические и их периодом является число 
π  или  180°.

В самом деле, пусть  α – произвольный угол, составленный с осью  Ох  подвижным
радиусом  ОМ  единичной окружности.

Построим точку  М‘,

симметричную точке  М  относительно
начала координат. Один из углов, образованных с осью  Ох  подвижным
радиусом  ОМ‘, будет равен  α + π.

Если  х  и  у – координаты точки 
М, то точки  М‘  будут  –х  и  –у. Поэтому

sin α = у, cos α = х,

sin (α + π) = –у,

cos (α + π) = –х.

Отсюда

и, следовательно,

tg (α + π) = tg α,

сtg (α + π)
= сtg α.

отсюда следует, что значения  tg α  и  сtg α  не
изменяются, если к углу  α  прибавить любое число полуоборотов:

tg (α + kπ) = tg α,

сtg (α + kπ) = сtg α.

где  k – любое целое
число.

Периоды функций

y = A sin (ωx + φ)  и

y = A cos (ωx + φ) 

вычисляются по формуле

T = 2π/ω,

а период функции

y = A tg (ωx + φ)

по формуле

T = π/ω.

Если период функции  y = f(x)  равен  T1, а период функции  y = g(x)  равен  T2, то период функций

y = f(x) + g(x)  и

y = f(x) – g(x)

равен наименьшему числу, при делении которого
на  T1  и  T2  получаются целые числа.

ПРИМЕР:

Найти
период функции

y = 3 sin (x – 2) + 7 соs πx.

РЕШЕНИЕ:

Период
функции

y = 3 sin (x – 2)

равен

T1 = 2π/1 = 2π.

Период
функции

y = 7 соs πx

равен

T2 = 2π/π = 2.

Периода
у функции

y = 3 sin (x – 2) + 7 соs πx

не
существует, так как такого числа, при делении которого на  2π  и 
на  2  получались бы целые числа, нет.

ОТВЕТ:

Периода
не существует.

ПРИМЕР:

Доказать
следующее утверждение:

tg
3850° = tg 250°.

РЕШЕНИЕ:

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным
периодом  20 ∙ 180°, то получим:

tg
3850° = tg (20 ∙ 180° + 250°) = tg 250°.

ПРИМЕР:

Доказать
следующее утверждение:

сos (–13π) = –1.

РЕШЕНИЕ:

Так как косинус – чётная и периодическая функция с
минимальным периодом  2π, то получим:

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

ПРИМЕР:

Доказать
следующее утверждение:

sin (–7210°) = – sin 10°.

РЕШЕНИЕ:

Так как синус – нечётная и периодическая функция с
минимальным периодом  20 ∙ 360°, то получим:

sin (–7210°) = –sin 7210° = –sin (20 ∙ 360° + 10°) – sin 10°.

ПРИМЕР:

Найти основной период функции

sin 7х.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  Т  основной период функции, тогда:

sin 7х = sin 7(х + t) = sin (7х + 7t)

так как   2πk   период синуса, то получим:

sin (7х + 7t) = sin (7х + 2πk),

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти основной период функции

соs 0,3х.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  Т  основной период функции, тогда:

соs 0,3х = соs 0,3(х + t)
= соs (0,3х + 0,3t)

так как   2πk   период косинуса, то получим:

соs (0,3х + 0,3t) = соs (0,3х + 2πk),

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 5sin 2x + 2ctg 3х.

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = 5sin 2x

равен  Т1 = 2𝜋/2 = π,

а период функции

y = 2ctg 3х

равен  Т2 = 𝜋/3.

Наименьшее число, при делении которого на

Т1 = π  и  Т2 = 𝜋/3

– получаются целые числа будет число  π.
Следовательно, период заданной функции равен  Т = π.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 9sin (5x + π/3) – 4cоs (7х + 2).

РЕШЕНИЕ:

Находим периоды слагаемых. Период функции

y = 9sin (5x + π/3)

равен  Т1 = 2𝜋/5,

а период функции

y = 4cоs (7х + 2)

равен   Т2 = 2𝜋/7.

Очевидно, что период заданной функции равен

Т = 2π.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 3sin πx + 8tg (х + 5).

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = 3sin πx

равен  Т1 = 2π/π = 2,

а период функции

y = 8tg (х + 5)

равен   Т2 = 𝜋/1 = π.

Периода у заданной функции не существует, так как нет
такого числа, при делении которого на  2  и на  π  одновременно получались бы целые числа.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = sin 3x + соs 5х.

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = sin 3x

равен  Т1 = 2π/3,

а период функции

y = соs 5х

равен   Т2 = 2π/5.

Приведём к общему знаменателю периоды:

Т1 = 10π/15,  Т2 = 6π/15.

Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет:

НОК (10π; 6π)
= 30π.

Теперь найдём период заданной функции:

Т = 30π/15 = 2π.

Задания к уроку 5

  • Задание 1
  • Задание 2
  • Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

  • Урок 1. Градусное измерение угловых величин
  • Урок 2. Радианное измерение угловых величин
  • Урок 3. Основные тригонометрические функции
  • Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
  • Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
  • Урок 7. Знаки тригонометрических функций
  • Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
  • Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
  • Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
  • Урок 11. Основные тригонометрические тождества
  • Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
  • Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
  • Урок 14. Теорема синусов
  • Урок 15. Теорема косинусов
  • Урок 16. Решение косоугольных треугольников
  • Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
  • Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
  • Урок 19. Формулы приведения (1)
  • Урок 20. Формулы приведения (2)
  • Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
  • Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
  • Урок 23. Формулы половинного аргумента
  • Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
  • Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
  • Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
  • Урок 27. Обратные тригонометрические функции
  • Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
  • Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
  • Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
  • Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований

Источник

Как найти период функции вида y=Af(kx+b), где A, k и b — некоторые числа? Поможет формула периода функции

   

где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.

Найти период функции:

1) y=5sin(3x-п/8).

Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции

   

   

А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то

   

   

А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции

   

   

А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть

   

Источник

Цель: продолжить изучение основных
свойств функций, способствующих   развитию
навыков построения графиков функций.

Ход урока

Комментарии

I. Организационный момент

Целевые
установки, сообщение плана работы на уроке.

 

Учитель. Сегодня на уроке
продолжим изучение свойств функций.
Задаётся вопрос: «Какие свойства изучили на
предыдущих уроках»?
II. Проверка опорных знаний учащихся

Предлагается небольшой тест с
самопроверкой по следующим свойствам функции:

  • D(y)
  • E(y)
  • чётность/нечётность функции.
  

Слайды №2-5.
III. Актуализация знаний

Учащиеся
предлагают ответы на вопрос.

  

Вопрос: «Для чего изучаем свойства
функций»?
«Достаточно ли изученных свойств, для построения
графика функции?»
IV. Объяснение нового материала  
1) Новое свойство, хорошо
просматриваемое на графиках функций y = sinx  и y =
cosx.		  
Обсуждается способ построения
синусоиды через одну волну и её сдвиг по оси х
вправо или влево на Т.		 Слайд № 6.
2) Связь темы с жизнью. Вопрос: «Где в жизни, на практике, мы
встречаемся с повторяющимися процессами и
явлениями»?
  • Взаимное расположение Солнца и Земли
    повторяется через год.
 Слайд № 7.
  • В музыкальном произведении повторение
    какой-либо части – реприза.
 Слайд № 8.
  • Положение качающего маятника.
 Слайд № 9.
  • Периодическая печать (устар. – повременная).
 Слайд № 10.
3) Ученики записывают в тетрадь
определение.		 Вводится понятие периода.
Слайд № 11.
4) Обсуждается правило нахождения
периода для функции, заданной графиком.		 Учащиеся находят период функций (устная
работа)
Слайды № 12-14. Обратить внимание, что не все
функции периодические.
5) Работа в группах (выдаются карточки с
заготовкой задания, где ученики и выполняют
задание)		 Ученики выполняют задание: достроить
графики периодических функции на промежутке,
если изображена часть  графиков этих функций,
имеющих период Т. Слайды № 15-16.
6) Ученики записывают определение
периодической функции.
Записывают:
2π – основной период функций y = sinx и y = cosx,
π – основной  период  функций y = tgx и y = ctgx.		 Определение периодической функции.

Слайд
№ 17.
7) Переход на нахождение периода
функции, заданной аналитически, т. е. в виде
формулы. 		Слайд № 18. Используя определение
выполнить задания на нахождения периодов
функций. Объясняет учитель:
Пример: y = sin3x. Пусть Т – основной период функции y
= sin3x. Положим f(x) = sin3x. Тогда
f(x + T) = sin3(x + T) = sin(3x + 3T).
Чтобы число Т было периодом функции, должно
выполняться тождество sin(3x + 3T) = sin3x. Значит, 3Т = 2πn.
Но, поскольку речь идёт об отыскании основного
периода, получаем 3Т = 2π, Т = 2π/3.
(Остальные примеры объясняются аналогично).
Стараемся заметить закономерность нахождения
основного периода, и затем слайд № 19.
Как обобщение – слайд № 20.
Записывается формула для нахождения
основного периода функции.		  
V. Закрепление изученного материала

Закрепление
формулы для нахождения периода.

 Учащиеся выполняют задание слайда № 21.
Проверяют себя.
VI. Рефлексия

Итог урока

Цель на следующий урок. Нахождение периода
функции, которая состоит из нескольких
слагаемых.

 Вопросы:

1) «Чему был посвящён наш
урок?»
2) «Сможете ли вы найти период  функции,
заданной графиком и в виде формулы?»
Слайд № 22. (Мостик на следующий урок)
VII. Задание на дом

Учебник
«Алгебра и начала анализа» под ред. Колмогорова
А.Н.

 Домашнее задание:

  1. Для всех:  §2, п.4.2; № 66 (б, г); 67
  2. Для любителей математики № 72 и №73
  3. Для отсутствующих на уроке – презентация к
    уроку, выполнение заданий по ней + п.4.2

Источник

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Урок и презентация на тему: “Периодичность тригонометрических функций. Определение. Примеры решения задач”

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Словить:
Периодичность тригонометрических функций (PPTX)

Что будем изучать:
1. Определение.
2. Период функции.
3. Основной период функции.
4. Примеры.

Определение периодичности

Ребята, рассмотрим подробно одно из свойств тригонометрических функций – периодичность. Так что же это такое?

Определение
Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что выполняется тождество:

f(x-T)=f(x)=f(x+T)

Число Т называется периодом функции.

Из формул привидения мы знаем:

sin(x-2π)=sin(x)= sin(x+ 2π)

cos(x-2π)=cos(x)= cos(x+ 2π),

Таким образом мы доказали периодичность функций sin(x) и cos(x), причем стоит заметить, что число 2π – период наших функций.

Свойства периодичности

Рассмотрим конкретный пример.

Если функция y=f(x) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить ветвь (волну, часть) графика налюбом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту ветвь по оси абсцисс влево и вправо на Т, 2Т, 3Т и так далее.
У периодической функции бесконечно много периодов, если Т период, то и 2Т и 3Т и 10Т тоже периоды, вообще любое число вида: kT, где k- целое число.
Наименьший положительный период называется основным периодом.


Построение графика функции.
Любое число вида 2πk, где k – целое число, является периодом функции y=sin(x)=sin(x+ 2πk), y=cos(x)=cos(x+ 2πk)
2π – основной период этих функций.


Основной период функций вида sin(kx), cos(kx) равен |2π/k |

Пример №1

Найти основной период функции sin(7x)

Решение:
Пусть Т основной период нашей функции, тогда: sin(7x)=sin(7(x+t))=sin(7x+7t).
мы знаем что 2πk период синуса, найдем решение нашей задачи:
sin(7x+7t)= sin(7x+ 2πk)

7t = 2πk

t = 2πk/7

Ответ: T = 2πk/7

Пример №2

Найти основной период функции cos(0.3x)br />
Решение: 
Пусть Т основной период нашей функции, тогда: cos(0.3x)=cos(0.3(x+t))=cos(0.3x+0.3t).

мы знаем что 2πk период косинуса, найдем решение нашей задачи:

cos(0.3x+0.3t)= cos (0.3x+ 2πk)

0.3t = 2πk

t = 2πk/0.3=2πk ×10/3=20πk/3

Ответ: T = 20πk/3
Задачи для самостоятельного решения
Найти основной период функции cos(0.7x), sin(5x), sin(0.4x), cos(8x).

Источник

Словить материал

Словить материал

  • Сейчас обучается 21 человек из 16 регионов

  • Сейчас обучается 84 человека из 35 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • 1 слайд

    ПЕРИОДИЧНОСТЬ
    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
    ФУНКЦИЙ
    11 класс
    Каклюгина Тамара Викторовна
    учитель математики МБОУ СОШ№3
    г. Сальска Ростовской области

  • 2 слайд

    Цели урока
    Знать: определение периодичности тригонометрических функций.
    Уметь: находить период тригонометрических функций.

  • 3 слайд

    Толкование в словаре

    Периодичность — это повторяемость  (цикличность) явления через определенные промежутки времени. 
    Смену дня и ночи, времён года, фаз Луны мы 
    видим в повседневной жизни. 
    Свет, звук, тепло, радиоволны, переменный 
    электрический ток представляют собой 
    колебательные, периодические процессы.
    Точно повторяющиеся движения называются периодическими.

  • 4 слайд

    Определение периодической функции
    Функция периодическая, если она повторяется. Есть понятие периода функции – длина интервала повторения..

  • 6 слайд

    Определение

    Функция у=f(x) называется периодической , если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из области определения этой функции значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется двойное равенство
    f ( x – T) = f(x) = f(x + T)
    Т – период функции у=f(x) 

  • 7 слайд

    У периодической функции бесконечно много периодов, если Т период, то и 2Т и 3Т и 10Т тоже периоды, вообще любое число вида: kT, где k- целое число.
    Наименьший положительный период называется основным периодом.

  • 8 слайд

    sin(x+2kπ)=sinx, k∈Z.
    cos(x+2kπ)=cosx,k∈Z.
    у=sinx, у=cosx — периодические функции с наименьшим положительным периодом 2π
    tg(x+kπ)=tgx, k∈Z
    ctg(x+kπ)=ctgx,k∈Z
    у = tgx, у=ctgx— периодические функции с наименьшим положительным периодом π

  • 9 слайд

    Пример №1

    Найти основной период функции у = sin(7x)
    Решение:
    Пусть Т основной период нашей функции, тогда: sin(7x)=sin(7(x+Т))=sin(7x+7Т).
    мы знаем что 2πk период синуса, найдем решение нашей задачи: 
    sin(7x+7Т)= sin(7x+ 2πk)
    7t = 2πk
    t = 2πk/7
    Ответ: T = 2πk/7

  • 10 слайд

    Свойство 1.
    Период функции вида y=A f(kx + b), где A, k и b — некоторые числа можно найти по формуле Т1 = Т 𝑘 ,где T — период функции y=f(x).

  • 11 слайд

    Пример №2.
    Найти наименьший положительный период функций
    а) f(x) =cos(3x+1); б) f(x) =ctg(6x+5);
    в) f(x) =sin( 𝟑 𝟒 x+3);

    Решение.

    а) f(x) =cos(3x+1); k = 3, следовательно Т = 2𝜋 3
    б) f(x) =ctg(6x+5); k = 5, следовательно Т = 𝜋 5
    в) f(x) =sin( 3 4 x+3); k = 3 4 , следовательно Т = 2𝜋 3 4 = 8𝜋 3

  • 12 слайд

    Свойство 2.
    Пусть функции f 1 , f 2 , f 3 , …… f 𝑘 – периодические с периодами соответственно T1, T2, T3, …..Tk. Если каждый период можно представить в виде
    T1= 𝑛 1 𝑚 1 𝜋 , T2= 𝑛 2 𝑚 2 𝜋;…….., Tk= 𝑛 𝑘 𝑚 𝑘 𝜋,
    то общий период всех данных функций вычисляется по формуле:

    T = НОК ( 𝑛 1 , 𝑛 2 ,…….., 𝑛 𝑘 ) НОД ( 𝑚 1 , 𝑚 2 ,…….., 𝑚 𝑘 ) 𝜋

  • 13 слайд

    Пример №3. Найти период функции
    f(x) =sin2х – 3cos( 3 2 x+ 𝜋 4 )+4tg х 2

    Решение.
    1) f1(x) =sin2x; k = 2, следовательно Т1 = 2𝜋 2 =𝜋
    2) f2(x) = -3cos( 3 2 x+ 𝜋 4 ); k = 3 2 , следовательно
    Т2 = 2𝜋 3 2 = 4𝜋 3
    3) f3(x) =tg 𝑥 2 ; k = 1 2 , следовательно Т3 = 𝜋 1 2 = 2𝜋 1 =2𝜋
    4) Период функции f(x) равен
    Т = НОК (1, 4,2) НОД (1,3, 1)) 𝜋=4𝜋

  • 14 слайд

    Проверь себя !
    Стр. 12 №18, №19

  • 15 слайд

    Итог урока:
    Что нового вы узнали на уроке?
    Какие моменты урока для вас были
    наиболее интересными?
    Кто доволен своей работой на уроке?

  • 16 слайд

    п. 2, стр.11 ; № 14- 15
    стр.39; №111.
    Домашнее задание:

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 261 969 материалов в базе

  • Выберите категорию:
  • Выберите учебник и тему
  • Выберите класс:
  • Тип материала:

    • Все материалы

    • Статьи

    • Научные работы

    • Видеоуроки

    • Презентации

    • Конспекты

    • Тесты

    • Рабочие программы

    • Другие методич. материалы

Найти материалы

Материал подходит для УМК

  • «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

    Тема

    § 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций

    Больше материалов по этой теме

Другие материалы

Рейтинг:
5 из 5

  • 30.09.2016
  • 31257
  • 9

Рейтинг:
2 из 5

  • 30.09.2016
  • 12990
  • 6

Рейтинг:
4 из 5

  • 30.09.2016
  • 9267
  • 0

Рейтинг:
5 из 5

  • 30.09.2016
  • 3210
  • 0
  • 29.09.2016
  • 1522
  • 6
  • 29.09.2016
  • 454
  • 0

Рейтинг:
3 из 5

  • 29.09.2016
  • 1235
  • 3

Вам будут интересны эти курсы:

  • Курс повышения квалификации «Подростковый возраст – важнейшая фаза становления личности»

  • Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

  • Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс повышения квалификации «Основы туризма и гостеприимства»

  • Курс профессиональной переподготовки «Организация и предоставление туристских услуг»

  • Курс повышения квалификации «Экономика предприятия: оценка эффективности деятельности»

  • Курс повышения квалификации «Экономика: инструменты контроллинга»

  • Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

  • Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

  • Курс профессиональной переподготовки «Управление сервисами информационных технологий»

  • Курс профессиональной переподготовки «Риск-менеджмент организации: организация эффективной работы системы управления рисками»

Источник