Как найти остаток от деления мод

Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом^[1]. Пусть и — целые числа, причём bneq 0. Деление с остатком («делимого») на («делитель») означает нахождение таких целых чисел и , что выполняется равенство:

Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: называется неполным частным от деления, а — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что нацело делится на

Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последний термин стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).

Примеры

Проверка:

Проверка:

Проверка:

Проверка:

Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.

Определение[править | править код]

Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль^[2], либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше^[1].

Для вычисления неполного частного от деления на положительное число следует разделить (в обычном смысле) на и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:

${displaystyle q=leftlfloor {frac {a}{b}}rightrfloor ,}$

когда

где полускобки обозначают взятие целой части. Значение неполного частного позволяет вычислить значение остатка по формуле:

Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:

${displaystyle q=leftlceil {frac {a}{b}}rightrceil ,}$

когда

Операция «mod» и связь со сравнениями[править | править код]

Величина остатка может быть получена бинарной операцией «взятия остатка» от деления на , обозначаемой mod:

Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю . Формула для влечёт выполнение сравнения:

однако обратная импликация, вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства , необходимого для того, чтобы было остатком.

В программировании[править | править код]

Операция вычисления неполного частного и остатка в различных языках программирования

Язык	Неполное частное	Остаток	Знак остатка
ActionScript		`%`	Делимое
Ada		`mod`	Делитель
`rem`	Делимое
Бейсик		`MOD`	Не определено
Си (ISO 1990)	`/`	`%`	Не определено
Си (ISO 1999)	`/`	`%`	Делимое^[3]
C++ (ISO 2003)	`/`	`%`	Не определено^[4]
C++ (ISO 2011)	`/`	`%`	Делимое^[5]
C#	`/`	`%`	Делимое
ColdFusion		`MOD`	Делимое
Common Lisp		`mod`	Делитель
	`rem`	Делимое
D	`/`	`%`	Делимое^[6]
Delphi	`div`	`mod`	Делимое
Eiffel	`//`	`\`	Делимое
Erlang	`div`	`rem`	Делимое
Euphoria		`remainder`	Делимое
Microsoft Excel (англ.)	`QUOTIENT()`	`MOD()`	Делитель
Microsoft Excel (рус.)	`ЧАСТНОЕ()`	`ОСТАТ()`
FileMaker	`Div()`	`Mod()`	Делитель
Fortran		`mod`	Делимое
	`modulo`	Делитель
GML (Game Maker)	`div`	`mod`	Делимое
Go	`/`	`%`	Делимое
Haskell	`div`	`mod`	Делитель
`quot`	`rem`	Делимое
J		`\|~`	Делитель
Java	`/`	`%`	Делимое^[7]
`Math.floorDiv`	`Math.floorMod`	Делитель (1.8+)
JavaScript	.toFixed(0)	`%`	Делимое
Lua		`%`	Делитель
Mathematica	`Quotient`	`Mod`	Делитель
MATLAB	`idivide(?, ?, 'floor')`	`mod`	Делитель
`idivide`	`rem`	Делимое
MySQL	`DIV`	`MOD` `%`	Делимое
Oberon	`DIV`	`MOD`	+
Objective Caml		`mod`	Не определено
Pascal	`div`	`mod`	Делимое^[8]
Perl	Нет	`%`	Делитель
PHP	Нет^[9]	`%`	Делимое
PL/I		`mod`	Делитель (ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995)		`mod`	Делитель
PureBasic	`/`	`Mod` `%`	Делимое
Python	`//`	`%`	Делитель
QBasic		`MOD`	Делимое
R	%/%	`%%`	Делитель
RPG		`%REM`	Делимое
Ruby	`/`	`%`	Делитель
Scheme		`modulo`	Делитель
SenseTalk		`modulo`	Делитель
`rem`	Делимое
Tcl		`%`	Делитель
Verilog (2001)		`%`	Делимое
VHDL		`mod`	Делитель
`rem`	Делимое
Visual Basic		`Mod`	Делимое

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Знак остатка[править | править код]

Операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:

Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к .

Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.

Операция div в x86/x64 делит регистровую пару rdx:rax на любой другой регистр или число из памяти^[10]. Неполное частное и остаток выходят по первому варианту — округляют к нулю.

Как запрограммировать, если такой операции нет?[править | править код]

Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: $q=left[{frac {a}{b}}right]$ , где [x] , в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением. Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).

При отсутствии команды mod остаток программируется как a-qb .

Если положительно, а знак совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой .

Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки $2^{n}$ — это битовый сдвиг (для чисел со знаком — арифметический) и ${displaystyle aoperatorname {&} (2^{n}-1)}$ .

Обобщения[править | править код]

Вещественные числа[править | править код]

Если два числа и (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, может быть поделено на без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если

, то

, где

Пример

Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:

${displaystyle leftlfloor {frac {7{,}9}{2{,}1}}rightrfloor =3}$

(неполное частное);

(остаток).

Гауссовы целые числа[править | править код]

Гауссово число — это комплексное число вида a+bi , где a,b — целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число , то есть представить в виде:

где частное и остаток — гауссовы числа, причём
Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, можно разделить на тремя способами:

{displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i).}

Многочлены[править | править код]

При делении с остатком двух многочленов f(x) и g(x) для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:

, причём

Пример: ${frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2$ (остаток 3), так как: ${displaystyle 2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3}$ .

См. также[править | править код]

Алгоритм Евклида
Делимость
Наибольший общий делитель
Непрерывная дробь
Сравнение по модулю

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
↑ ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the / operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
↑ «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
↑ N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
↑ D language specification (англ.). dlang.org. Дата обращения: 29 октября 2017. Архивировано из оригинала 3 октября 2017 года.
↑ Арнолд, Кен, Гослинг, Дж., Холмс, Д. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
↑ Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
↑ PHP: Arithmetic Operators — Manual. Дата обращения: 27 ноября 2014. Архивировано 19 ноября 2014 года.
↑ DIV — Unsigned Divide

Источник

Теги: sql, java, оператор, mod, запросы, таблицы, деление, operator, остаток

Оператор mod обозначается символом % и является оператором деления по модулю. Он возвращает остаток от деления 1-го операнда на 2-й и широко используется в разных языках программирования для решения ряда задач.

Оператор mod в Java

В Java operator mod может работать как с целыми числами (byte/int/short/long), так и с плавающей точкой (byte/int/short/long). Давайте приведём пример работы оператора mod при делении:

class Modulus { 
public static void main (String args []) { 
int x = 42; 
double у = 42.3; 
System.out.print("x mod 10 = " + x % 10); 
System.out.println("y mod 10 = " + у % 10); 
} 
}


После выполнения этой программы вы получите результат следующего вида:
х mod 10 = 2 у mod 10 = 2.3


Как видим, оператор mod — это прекрасный способ найти остаток от деления. Зачем это может понадобиться на практике? Например, при нахождении кратности числа и определении, является ли некоторое число, введённое с клавиатуры, чётным. Также с помощью оператора mod можно узнать, делится ли одно число на другое без остатка или определить последнюю цифру числа. В общем, оператор mod очень полезен при решении различных задач по программированию. 
Оператор mod в SQL
Не менее интересно использование mod в базах данных. Аналогично, mod находит остаток от деления. При этом вместо mod можно задействовать операцию %, делающую то же самое. Синтаксис в SQL следующий:



  


                       
  




SELECT MOD(что_делить, на_что_делить) FROM имя_таблицы WHERE условие


Но можно написать и иначе, используя %:
SELECT что_делить % на_что_делить FROM имя_таблицы WHERE условие


Давайте приведём пример использования mod в базах данных. Вот, например, таблица numbers:

Найдём остаток от деления столбца number на три:
SELECT *, MOD(number, 3) as mod FROM numbers


В результате запрос SQL выберет следующие строки:

Но, как мы уже говорили выше, этот же запрос можно без проблем переписать:



  


                       
  




SELECT id, number % 3 as mod FROM numbers


Идём дальше. Теперь возьмём таблицу посложнее:

Здесь найдём остаток от деления столбца number1 на number2:
SELECT *, MOD(number1, number2) as mod FROM numbers


Получим следующие строки:

Опять же, этот же самый запрос можно оформить иначе:
SELECT *, number1 % number2 as mod FROM numbers


А где вы используете mod? Пишите в комментариях!

Источник

Функция MOD находит остаток от деления
одного числа на другое. Вместо MOD можно
использовать операцию %, которая делает то
же самое.

Синтаксис

Функция MOD:

SELECT MOD(что_делить, на_что_делить) FROM имя_таблицы WHERE условие

Альтернативный синтаксис с %:

SELECT что_делить % на_что_делить FROM имя_таблицы WHERE условие

Таблицы для примеров

таблица numbers

id айди	number число
1	10
2	8
3	11

Пример

В данном примере находится остаток от деления
столбца number на 3:

SELECT *, MOD(number, 3) as mod FROM numbers

Результат выполнения кода:

id айди	number число	mod остаток от деления
1	10	1
2	8	2
3	11	2

Запрос можно переписать следующим образом:

SELECT id, number % 3 as mod FROM numbers

Меняем таблицу для примеров

таблица numbers

id айди	number1 число1	number2 число2
1	10	3
2	8	5
3	14	4

Пример

В данном примере находится остаток от деления
столбца number1 на number2:

SELECT *, MOD(number1, number2) as mod FROM numbers

Результат выполнения кода:

id айди	number1 число1	number2 число2	mod остаток от деления
1	10	3	1
2	8	5	3
3	14	4	2

Запрос можно переписать следующим образом:

SELECT *, number1 % number2 as mod FROM numbers

Пример

Давайте выберем только те записи, в которых
остаток от деления первого числа на второе
меньше или равен двум (это будут 1-я
и 3-я записи):

SELECT * FROM numbers WHERE MOD(number1, number2)<=2

Результат выполнения кода:

id айди	number1 число1	number2 число2
1	10	3
3	14	4

Запрос можно переписать следующим образом:

SELECT * FROM numbers WHERE number1 % number2 <= 2

Источник

Модулярная арифметика

Калькулятор выполняет арифметические операции по заданному модулю.

Калькулятор решает заданное математическое выражение по модулю с отображением пошагового решения. Можно просто ввести целое число – калькулятор вычислит его остаток от деления по модулю. Также можно использовать следующие операции:

+ сложение по модулю
– вычитание по модулю
* умножение по модулю
/ деление по модулю ( операция доступна для всех чисел только тогда, когда модуль – простое число )
^ возведение в степень
() группировка выражений

Вычисления по модулю

Симметричное представление

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Ссылка скопирована в буфер обмена

Смотрите также

Источник

Определение[править | править код]

Операция «mod» и связь со сравнениями[править | править код]