Как найти остаток от деления теорема

Как найти остаток от деления теорема

Бывает, он сопряжен с некоторыми неудобствами, но это лучше, чем ничего.

Именно в древней Греции зародилась теория делимости
Именно в древней Греции зародилась теория делимости

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу немного погрузиться в теорию делимости, а именно в вычисление остатков от деления. Эта задача является и практически важной, ведь такие операции применяются буквально повсюду: от криптографии до телекоммуникационных систем. Поехали!

Итак, начнем с определения:

Как найти остаток от деления ? Универсальный способ

Так же такие числа называются сравнимыми по модулю m.

Для равноостаточных чисел работает такая теорема:

  • Если при делении на m числа a1,a2,a3… an соответственно равноостаточны числам b1,b2.b3…bn, то равноостаточными будут суммы a1+a2+a3+…+an и b1+b2+b3+…bn, а также произведения a1a2a3…an и b1b2b3…bn.
  • Как следствие, если числа a и b равноостаточны, то такими же являются и числа a^n и b^n при любо натуральном n.

Формулировка весь запутанная, поэтому разберем два пример. Итак:

Как найти остаток от деления ? Универсальный способ

Теперь пример посложнее с многоступенчатым решением:

Как найти остаток от деления ? Универсальный способ

В итоге мы получаем хоть и меньшее, но всё равно трудно вычисляемое вручную число, поэтому продолжаем дальше:

Как найти остаток от деления ? Универсальный способ

На третьем шаге уже нет смысла вычислять все остатки, как прежде. Можно было и вычислить вручную. Получаем, что первоначальное число и число 56 равноостаточны при делении на 37. Ответ получен! Спасибо за внимание!

Читайте также:

Источник

В данной публикации мы рассмотрим теорему Безу, с помощью которой можно найти остаток от деления многочлена на двучлен, а также, научимся применять ее на практике для решения примеров.

  • Формулировка теоремы Безу

  • Решение примеров

Формулировка теоремы Безу

Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x-a) равняется P(a).

Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an

Следствие из теоремы:

Число a является корнем многочлена P(x) исключительно в том случае, если многочлен P(x) без остатка делится на двучлен (x-a).

Из этого следствия вытекает следующее утверждение: множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения P(x)=0.

Решение примеров

Пример 1
Найдите остаток от деления многочлена 5x2 – 3x + 7 на двучлен (x – 2).

Решение
Чтобы найти остаток от деления, согласно теореме Безу, требуется найти значение многочлена в точке a (т.е. вместо x подставляем значение a, которое в нашем случае равняется числу 2).
5 ⋅ 22 – 3 ⋅ 2 + 7 = 21.

Т.е. остаток равен 21.

Пример 2
Используя теорему Безу выясните, делится ли многочлен 3x4 + 15x – 11 на двучлен (x + 3) без остатка.

Решение
В данном случае a = -3. Подставляем это число вместо x в многочлен и получаем:
3 ⋅ (-3)4 + 15 ⋅ (-3) – 11 = 187.

Это значит, что деление без остатка невозможно.

Пример 3
Выясните, при каком значении y, многочлен x23 + yx + 16 без остатка делится на двучлен (x + 1).

Решение
Применив теорему Безу, находим нулевой остаток от деления:
(-1)23 + y ⋅ (-1) + 16 = 0
-1 – y + 16 = 0
y = 15

Таким образом, при y, равном 15, остаток будет равен 0.

Источник

Статья разбирает понятие деления целых чисел с остатком. Докажем теорему о делимости целых чисел с остатком и просмотрим связи между делимыми и делителями, неполными частными и остатками. Рассмотрим правила, когда производится деление целых чисел с остатками, рассмотрев подробно на примерах. В конце решения выполним проверку.

Общее представление о делении целых чисел с остатками

Деление целых чисел с остатком  рассматривается как обобщенное деление с остатком натуральных чисел. Это выполняется потому, что натуральные числа – это составная часть целых.

Деление с остатком произвольного числа говорит о том, что целое число a делится на число b, отличное от нуля. Если b=0, тогда не производят деление с остатком.

Также как и деление натуральных чисел с остатком, производится деление целых чисел a и b, при b отличном от нуля, на c и d. В этом случае a и b называют делимым и делителем, а d – остатком деления, с – целое число или неполное частное.

Если считать, что остаток – это целое неотрицательное число, тогда его величина не больше модуля числа b. Запишем таким образом: 0≤d≤b. Данная цепочка неравенств используется при сравнении 3 и более количества чисел.

Если с – неполное частное, тогда d – остаток от деления целого числа a на b, кратко можно зафиксировать: a:b=c (ост. d).

Остаток при делении чисел a на b возможен нулевой, тогда говорят, что a делится на b нацело, то есть без остатка. Деление без остатка считается частным случаем деления.

Если делим ноль на некоторое число, получаем в результате ноль. Остаток деления также будет равен нулю. Это можно проследить из теории о делении нуля на целое число.

Теперь рассмотрим смысл деления целых чисел с остатком.

Известно, что целые положительные числа – натуральные, тогда при делении с остатком получится такой же смысл, как и при  делении натуральных чисел с остатком.

При делении целого отрицательного числа а на целое положительное b имеется смысл. Рассмотрим на примере. Представив ситуацию, когда имеем долг предметов в количестве a, которое необходимо погасить b человек. Для этого необходимо каждому внести одинаковый вклад. Чтобы определить величину долга для каждого, необходимо обратить внимание на величину  частного с.  Остаток d говорит о том, что известно количество предметов после расплаты с долгами.

Рассмотрим на примере с яблоками. Если 2 человека должны 7 яблок. В случае, если посчитать, что каждый должен вернуть по 4 яблока, после полного расчета  у них останется 1 яблоко. Запишем в виде равенства это: (−7):2=−4 (ост. 1).

Деление любого числа а на целое не имеет смысла, но возможно как вариант.

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Мы выявили, что а – это делимое, тогда b – это делитель, с – неполное частное, а d – остаток. Они между собой связаны. Эту связь покажем при помощи равенства a=b·c+d. Связь между ними характеризуется теоремой делимости с остатком.

Теорема

Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом: a=b·q+r, где q и r – это некоторые целые числа. Тут имеем 0≤r≤b.

Докажем возможность существования a=b·q+r.

Доказательство

Если существуют два числа a и b, причем a делится на b  без остатка, тогда  из определения следует, что имеется число q, что будет верно равенство a=b·q. Тогда равенство можно считать верным: a=b·q+r при r=0.

Если посчитать, что b – целое положительное число, тогда, следует выбрать целое q так, чтобы произведение b·q не было больше значения числа а, а произведение b·(q+1) было больше, чем a. 

Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b·q<a<b·(q+1) было верным. Необходимо вычесть b·q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0<a−b·q<b.

Имеем, что значение выражения a−b·q больше нуля и не больше значения числа b, отсюда следует, что  r=a−b·q. Получим, что число а можем представить в виде a=b·q+r.

Теперь необходимо рассмотреть возможность представления a=b·q+r для отрицательных значений b.

Модуль числа получается положительным, тогда получим a=b·q1+r, где значение q1 – некоторое целое число, r – целое число, которое подходит условию 0≤r<b.  Принимаем q=−q1, получим, что a=b·q+r для отрицательных b.

Доказательство единственности

Допустим, что a=b·q+r, q и r являются целыми числами с верным условием 0≤r<b, имеется еще одна форма записи в виде a=b·q1+r1, где q1 и r1 являются некоторыми числами, где q1≠q , 0≤r1<b.

Когда из левой и правых частей вычитается неравенство, тогда получаем 0=b·(q−q1)+r−r1, которое равносильно r-r1=b·q1-q. Так как используется модуль, получим равенство r-r1=b·q1-q.

Заданное условие говорит о том, что 0≤r<b и 0≤r1<b запишется в виде r-r1<b. Имеем, что  q и q1 – целые, причем  q≠q1, тогда q1-q≥1. Отсюда имеем, что b·q1-q≥b. Полученные неравенства r-r1<b и b·q1-q≥b указывают на то, что такое равенство  в виде r-r1=b·q1-q невозможно в данном случае.

Отсюда следует, что по-другому число a быть представлено не может, кроме как такой записью a=b·q+r.

Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком

При помощи равенства a=b·c+d можно находить неизвестное делимое a, когда известен делитель b  с неполным частным c и остатком d.

Пример 1

Определить делимое, если при деление получим -21, неполное частное 5 и остаток 12.

Решение

Необходимо вычислить делимое a при известном делителе b=−21, неполным частным с=5 и остатком d=12. Нужно обратиться к равенству a=b·c+d, отсюда получим a=(−21)·5+12. При соблюдении порядка выполнения действий умножим -21 на 5, после этого получаем (−21)·5+12=−105+12=−93.

Ответ: -93.

Связь между делителем и неполным частным и остатком можно выразить при помощи равенств: b=(a−d):c, c=(a−d):b и  d=a−b·c. С их помощью мы можем вычислить делитель, неполное частное и остаток. Это сводится к постоянному нахождению остатка от деления целого целых чисел a на b с известным делимым, делителем и неполным частным. Применяется формула d=a−b·c. Рассмотрим решение подробно.

Пример 2

Найти остаток от деления целого числа -19 на целое 3 при известном неполном частном равном -7.

Решение

Чтобы вычислить остаток от деления, применим формулу вида d=a−b·c. По условию имеются все данные a=−19, b=3, c=−7.  Отсюда получим d=a−b·c=−19−3·(−7)=−19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21). Данный пример вычислен по правилу вычитания целого отрицательного числа.

Ответ: 2.

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления  с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.

Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.

Пример 3

Произвести деление 14671 на 54.

Решение

Данное деление необходимо выполнять столбиком:

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

То есть неполное частное получается равным 271, а остаток – 37.

Ответ: 14 671:54=271. (ост. 37)

Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

Чтобы выполнить деление с остатком  положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.

Определение 1

Неполное частное от деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно неполному частному  от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток  равен остатку при делении a на b.

Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число  считают целым неположительным числом.

Получим алгоритм:

  • найти модули делимого и делителя;
  • делить модуль делимого на модуль делителя, тогда получим неполное частное  и
  • остаток;
  • запишем число противоположное полученному.

Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Пример 4

Выполнить деление с остатком 17 на  -5.

Решение

Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное. Необходимо разделить 17 на -5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.

Получим, что искомое число от деления 17 на -5 =-3 с остатком равным 2.

Ответ: 17:(−5)=−3 (ост. 2).

Пример 5

Необходимо разделить 45 на -15.

Решение

Необходимо разделить числа по модулю. Число 45 делим на 15, получим частное 3 без остатка. Значит, число 45 делится на 15 без остатка. В ответе получаем -3, так как деление производилось по модулю.

45:(-15)=45:-15=-45:15=-3

Ответ: 45:(−15)=−3.

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры

Формулировка правила деления с остатком выглядит следующим образом.

Определение 2

Для того, чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного  a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1, тогда остаток d будет вычисляться по формуле: d=a−b·c.

Исходя из правила можно сделать вывод, что при делении получим целое неотрицательное число. Для точности решения применяют алгоритм деления а на b с остатком:

  • найти модули делимого и делителя;
  • делить по модулю;
  • записать противоположное данному число и вычесть 1;
  • использовать формулу для остатка d=a−b·c.

Рассмотрим на примере решения, где применяется данный алгоритм.

Пример 6

Найти неполное частное и остаток от деления -17 на 5.

Решение

Делим заданные числа по модулю. Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2. Так как получили 3, противоположное -3. Необходимо отнять 1.

−3−1=−4.

Искомое значение полчаем равное -4.

Чтобы вычислить остаток, необходимо a=−17, b=5, c=−4, тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)=−17−(−20)=−17+20=3.

Значит, неполным частным от деления является число -4 с остатком равным 3.

Ответ: (−17):5=−4 (ост. 3).

Пример 7

Разделить целое отрицательное число -1404 на положительное 26.

Решение

Необходимо произвести деление столбиком и по мудулю.

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры

Мы получили деление модулей чисел без остатка. Это значит, что деление выполняется без остатка, а искомое частное =-54.

Ответ: (−1 404):26=−54.

Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

Определение 3

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, необходимо произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1, тогда сможем произвести вычисления по формуле d=a−b·c.

Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.

Сформулируем данное правило в виде алгоритма:

  • найти модули делимого и делителя;
  • разделить модуль делимого на модуль делителя  с получением неполного частного с
  • остатком;
  • прибавление 1 к неполному частному;
  • вычисление остатка, исходя из формулы d=a−b·c.

Данный алгоритм рассмотрим на примере.

Пример 8

Найти неполное частное и остаток при делении -17 на -5.

Решение

Для правильности решения применим алгоритм для деления с остатком. Для начала раздели числа по модулю. Отсюда получим, что неполное частное =3, а остаток равен 2. По правилу необходимо сложить неполное частное и 1. Получим, что 3+1=4. Отсюда получим, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.

Для вычисления остатка мы применим формулу. По условию имеем, что a=−17, b=−5, c=4, тогда, используя формулу, получим d=a−b·c=−17−(−5)·4=−17−(−20)=−17+20=3. Искомый ответ, то есть остаток, равен 3, а неполное частное равно 4.

Ответ: (−17):(−5)=4 (ост. 3).

Проверка результата деления целых чисел с остатком

После выполнение деления чисел с остатком необходимо выполнять проверку. Данная проверка подразумевает 2 этапа. Вначале идет проверка остатка d на неотрицательность, выполнение условия 0≤d<b. При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап  не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a=b·c+d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Рассмотрим на примерах.

Пример 9

Произведено деление -521 на -12. Частное равно 44, остаток 7. Выполнить проверку.

Решение

Так как остаток – это число положительное, то его величина является меньше, чем модуль делителя. Делитель равен -12, значит, его модуль равен 12. Можно переходить к следующему пункту проверки.

По условию имеем, что a=−521, b=−12, c=44, d=7. Отсюда вычислим b·c+d, где b·c+d=−12·44+7=−528+7=−521. Отсюда следует, что равенство верное. Проверка пройдена.

Пример 10

Выполнить проверку деления (−17):5=−3 (ост. −2). Верно ли равенство?

Решение

Смысл первого этапа заключается в том, что необходимо проверить деление целых чисел с остатком. Отсюда видно, что действие произведено неверно, так как дан остаток, равный -2. Остаток не является отрицательным числом.

Имеем, что второе условие выполненное, но недостаточное для данного случая.

Ответ: нет.

Пример 11

Число -19 разделили на -3. Неполное частное равно 7, а остаток 1. Проверить, верно ли выполнено данное вычисление.

Решение

Дан остаток, равный 1. Он положительный. По величине меньше модуля делителя, значит, первый этап выполняется. Перейдем ко второму этапу.

Вычислим значение выражения b·c+d. По условию имеем, что b=−3, c=7, d=1, значит, подставив числовые значения, получим b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20.  Следует, что a=b·c+d равенство не выполняется, так как в условии дано а=-19.

Отсюда следует вывод, что деление произведено с ошибкой.

Ответ: нет.

Источник

Определение.

Пусть а
– целое
неотрицательное число , а b
– число
натуральное. Разделить а
на b
с остатком – это значит найти такие
целые неотри­цательные числа q
и r,
что а=
bq
+ r,
причем r
больше или равно нулю, но меньше b.

Теорема.

Для любого целого
неотрицательного числа а
и натурального
числа b
существуют
целые неотрицательные числа q
и r,
такие что а=
bq
+ r,
причем r
больше или равно нулю, но меньше b.
И эта пара q
и r
единственная для заданных а и b.

Доказательство
существования.

Обозначим через Ь
множество целых неотрицательных чисел,
крат­ных b
и не
превосходящих
а :

М = {x|x=by,
x
меньше или равен
a}.

Так как для всех
чисел из этого множества выплняется
неравенство х<а+1,
то в множестве М есть наибольше число,
которое обозначим через х0. Это число
имеет вид х0=bq,
причем число b(q+1)
уже не принадлежит множеству М и поэтому
b(q+1)
>a.
Итак, найдено число q
, такое что a
больше или
равно bq,
но меньше bq+b.
Из этих неравенств следует, что a–bq
больше или равно 0, но меньше b.
Если обозначить a–bq
через r
, то имеем a–bq
=r,
т.е. r
+bq
=a
и r
больше или равно нулю .Это означает, что
q-
неполное частное, а r
– остаток при делении.

Доказательство
единственности.

Предположим, что
а=
bq
+ r,
где r
больше или равно нулю, но мень­ше b
и а=
bq1
+ r1,
r1
больше или равно нулю, но меньше b,
причем, например, r>
r1
. Тогда имеем bq
+ r=bq1
+ r1,
r–r1=
bq1
–bq=b(q1
-q).
Поскольку 0 меньше или равен r1<r<
b,
то r–r1<b
. Но
с другой стороны r–r1=b(q1
-q),и
потому делится на b.
Это противоре­чие
и доказывает, что другой пары чисел с
требуемыми свойствами не существует.

.3.Методика
изучения деления с остатком в начальной
школе.

В начальных классах
обычно рассматриваются те случаи,
которые сводятся к табличному делению.
Особенностью деления с остатком
является то,
что находятся два числа (частное и
остаток). Сначала надо раскрыть конкретный
смысл действия деления с остатком (по
решать задачи, пр: 10 яблок – 3 девочки;
сделать наглядную интер­претацию).
Далее следует раскрыть отношение м/у
делителем и остатком (если при делении
получается остаток, то он всегда будет
меньше делителя). Для этого нужно по
решать примеры на деление последовательных
чисел на 2, на 3 и т.д. пр: 10:2=5, 11:2=5 ост.1,
12:2=6, 13:2=6 ост.1, 14:2=7 (здесь будет только
один остаток – 1(единица)); 9:3=3, 10:3=3 ост.1,
11:3=3 ост.2, 12:3=4 (при делении на 3 будет
всегда только 2 остатка – 1 или 2).

При раскрытии
общего смысла сначала лучше брать пары
приме­ров, один на деление с остатком,
другой – без остатка, пр:16:5, 15:5
(пример-помощник), а потом можно брать
примеры без примера-помощника.

При делении с
остатком рассуждаем так: пр: 37:8, 37 на 8
не делит­ся. Самое большое число,
которое делится без остатка на 8 – 32,
32:8=4, из 37 вычитаем 32, получаем остаток
– 5. Следовательно, при делении 37 на 8
получаем 4 с ост.5.

Билеьт 4. 1.
Древнерусское государство

Христианство пришло
на Русь, в кот уже существовали
воспитательные идеалы: общинные ценности,
этнический характер, языческие
представления Главные воспитатели –
семья и община, а воспитательные средства
– участие в труде семьи и общины. С
принятием христианства было положено
книжное просвещение. Независимость от
Византии, кот князь Владимир поставил
непременным условием принятия
христианства, государственная
самостоятельность – все это предопределило
особый путь развития на его просвещение
(несмотря на безусловное влияние визант
культуры). С укреплением гос-ва на Руси
возникает потребность в грамотных
людях. В Киеве князь Владимир открывает
«школы учения книжного», куда повелевает
отдавать детей дворцовой знати. Главным
носителем просвещения на Руси, как и во
всем средневековом мире, было духовное
сословие. Греческое духовенство сразу
после крещения Руси привнесло византийские
культурные традиции. Постепенно
воспитывается и собственное духовенство.
В отличии от Зап Европы, в организации
церковных школ для мирян с целью
подготовки будущих священников не было
нужды, т к священнические места
передавались от отца к сыну. Это до 17 в.
Определило характер воспитания как
семейный и домашний. Домашний порядок
сущ-л и в обучении. Приходское обучение
велось на дому у свящ-ка или дьякона,
было бесплатным и всесословным. Содержание
обучения составляло: 1)чтение книг Свящ.
Писания и дух. Содержания 2)обучение
письму и счету 3)до монголо-татарск
нашествия греч духовенство учило
риторике, философии, греч яз Знания
белого духовенства на первых порах было
ограничено: основы вероучения и
грамотность. Наиболее образованными
людьми в Древней Руси были представители
монашества. Монашеский образ жизни и
мел большое влияние: аскетическая
жизнь давала пример победы духа над
житейской приземленностью, корыстолюбием
и страстями, дух
труды монахов сочетались с владениями
навыка чтения и письма,
монахи изучали труды Отцов Церкви,
богословов, философов, занимались
переводом греч книг, писали
летописи и составляли сборники
нравоучений, несли обширное соц служение.
Просвещение на Руси особенно широко
распространилось в период правления
Ярослава Мудрого (1019-1054): огромные
киевские храмы становились центрами
просвещения, создавались библиотеки и
разворачивалась переводческая
деятельность, князь заботился о
поставлении в священники грамотных
людей, был принят новый свод законов
-Ярославский устав, в кот присутствовал
в христ духе брачный кодекс, исключалось
принуждение при вступлении в брак,
многоженство, повышалась ответственность
родителей за детей, школы возникают не
только при великокняжеском дворе, но и
при дворах князей Переславля, Владимира.
Чернигова, Ростова, Турова и др городах,
в Киеве строились многочисленные
монастыри. Особенно возросло значение
Киево-Печ монастыря, кот стал центром
книжного знания, летописания и обучени,
в общественном сознании возрастает
уважение к книжному человеку, умеющему
не просто читать, но и толковать дух
лит-ру, обладающему дух мудростью, в
Киево-Печ м-ре переписывались и изучались
греч книги и составлялись оригинальные
произведения, в кот осмысливалось
своеобразие развития Руси как православного
гос-ва. Развитие его культуры как
продолжение культуры Византии и христ
Рима. Именно в Киево-Печ м-ре начал свою
деятельность митр. Илларион, автор
«Слова о законе и благодати», в кот он
показал эту преемственность Руси с
христ миром. Сравнивал князя Владимира
с апп. Петром и Павлом. Вторым крупным
ценром просвещения был Вел Новгород. В
1960-х годов под рук Янина было найдено
большое количество берестяных грамот
– свидетельство о широком распространении
грамотности среди разных слоев населения
(учились чтению, счету, письму, навыкам
ремесла и торговли). Известно соборное
поучение новг еп Иоанна – изложение
свода правил о повседневном поведении.
Наставления такого плана восходили к
поучениям греч отцов 4в., как важный
способ педагогич воздействия Церкви
на мирян и духовенство. Кроме Киева и
Новгорода стали возвышаться Владимир,
Суздаль, Ростов. Известно наставление
детям киевского князя Константина
Всеволодовича (12в.) – наказ опекуну
княжеских детей о необходимости найти
для детй доброго дух наставника. Т.о.
главное условие доброй жизни для детей
было наличие перед глазами воспитателя
высокого образца мыслей и дел. Очень
важна была роль духовников. Их насталения
были даже более действенными, чем
родительские, т.к. за ними сотял авторитет
Церкви. Т.о.
в связи с особенностями общественного
развития и Церк устроения Древн Руси:
не возникло
массовой потребности в общественной
школе 1)стремление к обучению удовлетворялось
в частном порядке и велось дома у
священников, на приходах, в монастырях,
в процессе чтения дух книг, окормления
у духовников.2)Обучение мирян и духовенства
было примерно одинаковым по содержанию.
Включало вероучение, грамоту, счет,
письмо, церк пение 3)В больших городах
(торговых и ремесленных центрах)
создавались училища. При архиерейских
домах учили греч яз, риторике, диалектике
– тривиум. 4)При несовершенстве
средневекового учения оно отличалось
целостностью, стройностью идеалов,
системностью, доступностью. 5)Рус
просвещение всецело осоновывалось на
истине Свящ Писания, а само учение
представлялось дух возрастанием человека
через просвещение его ума и сердца
светом христианства. 6)В правосл культуре
дух возрастание всегда шло под рук-ом
Ц. Исходя из этого и Др Рус просвещение
носило искл-но церковн хар-р. 7)Письменные
источники о воспитании в Др Руси:
Произведения фолклора, Былинный эпос,
основывающ-ся на христ идеалах, Жития
святых, Летописи, сказания

2.Понятие
«величина». Термин
«величина» вначале появился в философской
литературе. Scalar – число. Скалярные
величины характеризуются только числовым
значением. Существуют разные подходы
к понятию скалярной величины, наиболее
распространенный из них – аксиоматический.
Пусть имеется непустое множество М,
состоящее из элементов любой природы,
на котором задано бинарное отношение
«меньше» и определена операция сложения.
Тогда это множество называется системой
однородных положительных скалярных
величин, а его элементы – однородными
положительными скалярными величинами,
если выполняются следующие аксиомы:
А1. ¥
a,
b
€ М:
а=b,
a<b, b<a.т
A2. ¥ a,
b, c € M:
a<b
и b<c =>
a<c
(транзитивность отношения «меньше»).
A3. ¥
a,
b
€ М:
Э!
(существует
единственно) c
€ M:
c = a+b
(однозначность суммы).

А4. ¥ a,
b € М:
a+b = b+a
(коммутативность сложения). A5. ¥ a,
b, c € M:
a + (b+c) = (a+b) + c
(ассоциативность сложения). А6. ¥ a,
b € М:
а < a+b
(монотонность сложения). A7. ¥ a,
b € M:
a<b,
Э! c
€ M
: b = a+c
(возможность вычитания). А8. ¥ a
€ М,
¥ n
€ N,
Э! b
€ M:
a = n*b
(возможность умножения). A9.
¥ a,
b
€ М,
Э
n
€ N:
a<nb
(аксиома
Архимеда).

А10.

{ai}

a1<a2<…<an<…
ai<bj
Э!
c
€ М

{bj}

b1<b2<…<bm<…
an<c<bm

(Пусть дана
последовательность {ai}
(а
ите) элементов множества М,
которая обладает свойством a1<a2<….<an<…
и последовательность {bj}
(b
жите),
обладающая свойством b1<b2<….<bm<…;
причем ai
< bj
для любых i и j. Тогда существует
единственный элемент c
€ M
такой, что an<c<bm).В
основе измерения величин лежит один
принцип: измеряемый объект сравнивается
с эталоном, то есть с предметом или
явлением, величина которого принята за
единицу измерения. В результате сравнения
получается число, характеризующее
измеряемую величину. Пусть дана
величина a
€ M,
которую нужно измерить и эталон, единица
измерения c
€ M.
Тогда мерой величины а
при единице измерения е
называется такое положительное
действительное число х,
что а = х*е.
При этом х
называют числовым значением величины
а.
Пишут: me (a) =
x. Системой
измерения положительных скалярных
величин называется отображение множества
М
в множество положительных действительных
чисел R+
(f: M→R+), согласно которому каждой величине
ставится в соответствие положительное
действительное число. Это отображение
удовлетворяет следующим условиям: В
множестве М
существует величина е,
мера которой равна единице. Э е € М;
m(е) = 1 (существование единицы измерения).
1)Инвариантность меры: равные величины
имеют равные меры. 2)
¥ a, b € М;
a = b => me(a) = me(b).3)Аддитивность
меры.
Если величина
равна сумме нескольких величин, то ее
мера равна сумме мер слагаемых. В процессе
измерения величин необходимо различать:
1.Объект или явление, к которому относится
величина. 2.Саму величину как свойство
объекта или явления. 3.Числовое значение
величины. Для каждого рода величин
существует несколько стандартных единиц
измерения. Различают основные и
производные единицы величины. В СССР
1-го января 1963 года была введена
международная система единиц (СЕ). В ней
основными единицами являются: для длины
– метр, для времени – секунда, для массы
– килограмм. Аксиоматический подход
неприемлем в НШ. В практике преподавания
в НШ используются следующие свойства
положительных скалярных величин:
Скалярные величины могут быть однородными
и разнородными. Однородными называются
величины, выражающие одно и то же свойство
объектов или явлений, Любые две величины
одного рода сравнимы, Величины одного
рода можно складывать и вычитать, в
результате получается величина того
же рода. Если обе величины выражены в
одних и тех же единицах, то сложение и
вычитание величин сводится к соответствующим
операциям над их числовыми значениями.
Сложение разнородных величин не имеет
смысла, Величину можно умножать на
положительное число и нуль. В результате
получается величина того же рода, Если
числовые значения величин me(a) = x, mе(b) =
y, то отношение xy называют отношением
величины а к b.

Некоторые разнородные
величины умножают и делят, в результате
получаются величины третьего рода, В
курсе математики НШ рассматриваются
следующие виды величин: Геометрические
величины (длина отрезка, площадь плоской
фигуры, объем тела), Масса. Время. Задача:
Основание одного прямоугольника – 6
см., а высота на 2 см меньше; основание
второго прямоугольника – 2 см, а высота
– в три раза больше. Во сколько раз
площадь первого прямоугольника больше
площади второго? Какие операции над
величинами выполняются в процессе
решения задачи? – вычитание из длины
равной 6 см длины равной 2 см. – умножение
величины на натуральное число. – умножение
величин (длины на длину), в результате
получается площадь. – деление площади
на площадь. В результате получается
положительное действительное число.
Различные свойства объектов и явлений
окружающего мира взаимосвязаны. Эти
связи выражаются в определенных
зависимостях между соответствующими
величинами. Применение математических
методов позволяет выражать зависимости
между величинами в виде формул. Рассмотрим
тройку величин, связанных с равномерным
прямолинейным движением: u, t, s. S = v*t.
Исследуем эту формулу. Для этого положим
в формуле u = k, где k – некое постоянное
число. Тогда, подставляя это значение
в формулу, получим: S = k*t. Отсюда зависимость
между расстоянием и временем прямо
пропорциональная. Положим t = k = const t. S =
k*v. Зависимость между S и u также
прямо-пропорциональна.

S – k; k –
const S; k = vt или
v = kt. Зависимость
между скоростью и временем
обратно-пропорциональна. Знание этих
зависимостей помогает решать текстовые
задачи различной сложности. Задача1:
За два часа велосипедист проехал 30 км.
Какой путь проделает велосипедист за
оставшиеся 6 часов, если будет двигаться
с той же скоростью? 1 способ: 6:2 = 3; 30*3 = 90
Основан на прямо-пропорциональном
соотношении между временем и расстоянием.
2 способ: 302 = 15; 15*6 = 90 Основан на основной
формуле. Задача
2: Скорый
поезд, двигаясь со скоростью 80 кмчас,
проходит расстояние между a и b за 3 часа.
За какое время можно проехать это
расстояние на электричке, если она идет
со скоростью 40 кмчас. 1 способ: 80:40 = 2;
3*2 = 6 Основан на обратно-пропорциональной
зависимости между скоростью и расстоянием.

2 способ: 80*3 = 240;
240:40 = 6; Основан на основном правиле.
Аналогичные зависимости существуют
между другими тройками величин: 1) Цена,
стоимость, количество. Задача:
Из 80 м ткани сшили 10 одинаковых
пододеяльников. Сколько наволочек можно
было сшить из этой ткани, если на каждую
наволочку расходуется в 4 раза меньше
ткани, чем на пододеяльник. 1 способ:
8010 = 8; 84 = 2; 80/2 = 40. Основан на расходе на
одну наволочку и формуле. 2 способ: 10*4 =
40. На обратно-пропорциональной зависимости
между расходом и количеством. 2) Работа
(A), время (t), производительность(k). A =
k*t. Встречаются и другие зависимости
между величинами. 3) Стальной брусок
Объемом 60 см3 имеет массу 468 гр. Какова
масса стального бруска объемом 25 см3?
Зависимость между массой и объемом: m =
k*v; k – масса одного см3. 1 способ: 468 60
*25 = 195 гр. Основано на основной формуле.
2 способ: 60 : 25 = 2,4; 468 : 2,4 = 195. На прямой
пропорциональности между массой и
объемом. 4) Для перевозки груза нужно 15
трехтонных машин. Сколько потребуется
для этого же груза пятитонных машин? 3
величины: грузоподъемность машин,
количество машин, масса груза. 1 способ:
15*3 = 45; 455 = 9. По формуле. 2 способ: 5:3 = 53;
15 : 53 = 9. Основан на обратной пропорциональности
между количеством и грузоподъемностью.

3
Величины в методике. Понятие
величины (В,) широко применяется не
только в математике, но и в других науках.
В естественных науках под величинами
понимают определенные свойства физических
тел и некоторые из величин(объем, масса,
время, скорость, цены) изучают в курсе
математики начальной школы. В математике
теория величин строится с помощью
исходных свойств, характеризующих
величины. Например, в первом классе
отрезки сравнивают сначала с помощью
наложения. Это приводит к пониманию
длины. Два отрезка имеют одну и ту же
длину, если один совпадает с другим при
наложении, если же какой-то из сравниваемых
отрезков при наложении накладывается
только на часть другого, не покрывая
его целиком, то говорят, что второй
отрезок длиннее первого. В ходе такой
практической работы дети обнаруживают
свойство длины отрезков, устанавливается
отношение прядка. Общими для введения
понятия величины являются следующие
этапы: 1)Задается некоторое множество
А, которое является областью определений
величины. 2. из данного рода величин
выбирается нужная величина (е), которая
называется единицей измерения.
3. Осуществляется процесс измерения.
Данная величина сравнивается с выбранной
единицей измерения. Результатом чего
является некоторое значение величины.
Изучение величин в начальном курсе
математики имеет прикладной характер:
учащиеся учатся определять длины
отрезков, массу тел, время по часам, дату
по календарю и т. п. Ученики, оканчивающие
начальную школу, должны знать, что на
множестве изученных величин определены
отношения равенства и неравенства и
эти отношения устанавливаются как
практически, так и косвенно. Все величины
можно измерить, причем для каждой есть
свой способ измерения, сущность которого
заключается в сравнении данного объекта
с единицей его измерения. Величины
одного и того же рода можно складывать,
вычитать, а также умножать и делить на
отвлеченные числа, можно находить часть
от величины. Между величинами одного и
того же рода существует определенная
зависимость. Её необходимо знать для
преобразования величин. Обучение
измерению различных величин строится
по одной схеме: дети сравнивают величины
на глаз, вводится единица измерения
величины и устанавливается отношение
между ними и ранее рассмотренными,
величины преобразуются, величины
сравниваются путем измерения, учащиеся
производят операции над величинами,
Величины не выделяется как особая тема
и изучаются с другими темами; могут
иллюстрировать арифметические темы, а
геометрический материал может служить
средством наглядности при изучении
величин и их измерений, Обучение
учащихся измерению длины. С
любыми объектами, для которых можно
установить отношения длиннее, короче,
шире, уже учащиеся знакомятся до
поступления в школу. В первом классе
эти отношения уточняются, расширяется
множество объектов к которым они могут
быть отнесены.Сначала сравнивают объекты
на глаз, затем – путем наложения.
Накладывают выбранную единицу измерения
на объект. Единицы измерения могут быть
разными. Чтобы не было разных результатов,
детям сообщают , что существует единая
единица измерения – сантиметр. Учитель
должен обратить внимание на то, что не
все предметы можно сравнивать путем
наложения. Их нужно измерить одной и
той же меркой, а полученные числа
сравнить. Вводятся стандартные единицы
измерения. Сантиметр = изготовляют
модель. Измерять ей трудно, линейкой с
делениями удобней. Линейка – первая
счетная машин. Измерительные навыки
учащихся закрепляют при решении простых
задач на увеличение или уменьшение на
несколько единиц, сравнение длин
отрезков. Понятие дм формируется на
основе уже знакомого понятия см. Учащиеся
должны убедиться, что легче большие
предмеды измерять с помощью дм, а не см.
Они учатся измерять в см и дм, преобразовывать
см в дм. Можно изготовить модель дм, а
также модель- мерку , длиной в 10дм и
поработать с ней на занятиях, посвященных
метру. Вводится отношение 1 м=10дм=100см.
Учащиеся преобразуют 327см=3м2дм7см=3м27см.
Вводится мм. Учащиеся чертят в тетрадях
1см, на глаз делят на 10 частей-1/10см.
Вводится отношение1см=10мм. На изучение
1 км возможна экскурсия на местность.
На последнем этапе составляется всводная
таблица. 1км=1000м, 1м=10дм, 1дм=10см, 1см=10мм,
1м=100см, 1дм=100см. таким образом понятие
длины отрезка формируется в процессе
математической деятельности детей.
Собирается эмпирический материал,
обрабатывается, возникает потребность
в измерении длины. Обучение
учащихся измерению массы Многие
предметы тяжелее, легче, одинаковы.
Сравнивая на глаз можно ошибиться. Таким
способом обосновывается использование
весов. Сначала рычажные весы, кг и гр
–показывает гиря, циферблатные весы –
отклонение на 1 деление – 1гр. Возможна
экскурсия в магазин, на рынок, если
брольшие массы – на предприятие. В конце
– таблица: 1т=1000кг,1ц=100кг, 1т=10ц,1кг =100гр.
Обучение
учащихся измерению площади Подготовка
– с первых уроков. Сравнивают площади
наложением , выполняют упражнения, в
которых следует установить, из скольких
треугольников, квадратов и прямоугольников
состоит фигура. Затем учитель показывает,
как измерит площадь с помощью палетки.
До этого вводится единица площади –
1см2.
Можно в тетради начертить квадрат со
стороной в 1см, потом в см2
измеряется площадь прямоугольников и
квадратов. Потом – палетка: сколько
полных сколько неполных, складываем.
Затем знакомимся с формулами. Также по
палетке можно показать соотнесение
1дм2=10см2.
можно изготовить модель квадратного
метра. В конце – таблица:1м2=100дм2,
1м2=10000см2,1дм2=100см2.
Обучение
учащихся измерению времени В
начальной школе учитель обобщает знания
детей о понятиях: старше/моложе,
раньше/позже, вчера/сегодня. Устанавливаются
отношения между мерами времени.
Составляются задачи на нахождение
конца, начала и продолжительности
события. В качестве наглядности можно
использовать: Песочные часы, Цифровые
часы, Календарь, Координатный луч, Нужно
научить ребенка называть время по часам.
Учитель должен объяснить устройство
(назначение стрелок).Вводится понятия
часов, минут, затем суток, календарь:
число, месяц в году, число дней в месяце,
недель в году и т.д.Затем – век ( о
долгожителях /деревья, люди, животные/).
Луч – исчисление времени от РХ. Таблица:
1ч=60мин. 1мин.=60сек. 1век=100лет.

Билет 6.
Педколлесктив

Специфической
особенностью педагогического коллектива
является его преимущественно женский
состав, что не может не влиять на характер
взаимоотношений, возникающих в нем.
Женские коллективы более эмоциональны,
более подвержены смене настроений,
более конфликтны. Однако нужно иметь в
виду, что в то же время женщины по своей
природе более предрасположены к
воспитательной деятельности, более
гибки в выборе приемов и способов
педагогического воздействия. Необходимое
представительство обоих полов в
педагогическом коллективе обеспечивает
его гармоничность и целостность.
Недостаток мужского представительства
в школе должен быть компенсирован за
счет привлечения родителей-отцов к
воспитательной деятельности во внеурочное
время. Неотъемлемой функцией пед.
коллектива является педагогизация
окружающей среды – формирование
педагогической культуры его членов.
Еще одна особенность состоит в высокой
степени самоупровляемости.

При
социально-психологическом анализе
коллектива выделяют формальную
(официальную) и неформальную (неофициальную)
организационные структуры.

Формальная
структура коллектива
обусловлена официальным разделением
труда, правами и обязанностями его
членов. Каждый учитель находится в
официальных, деловых отношениях с
коллегами, руководителями школы.
Отношения между учителями и администрацией
школы – директором и завучами –
регламентируются должностными
инструкциями и распоряжениями.

Неформальная
организационная структура
педагогического коллектива возникает
на основе действительных, а не только
предписанных функций. Неформальная
структура коллектива представляет
собой сеть реально сложившихся отношений
между его членами. Такие отношения
возникают на основе симпатий и антипатий,
уважения, любви, доверия или недоверия,
желания или нежелания сотрудничества.
Такая структура отражает внутреннее,
порой скрытое, незримое состояние
коллектива.

В современной
психолого-педагогической литературе
отмечается, что настроение и эмоциональный
тонус, уровень взаимоотношений в
коллективе определяются сложившимся
в нем социально-психологическим климатом.
По аналогии с климатом географическим
благоприятный социально-психологический
климат означает, что человеку в коллективе
с таким климатом более уютно, комфортно,
здесь он может проявить себя в
профессиональном отношении.

Называют следующие
основные функции социально-психологического
климата:

консолидирующая
– заключается в сплочении членов
коллектива, в объединении коллективных
усилий на решение учебно-воспита- тельных
задач;

стимулирующая –
состоит в создании «эмоциональных
потенциалов» коллектива, его жизненной
энергии, которая затем реализуется в
педагогической деятельности;

стабилизирующая
– обеспечивает устойчивость внутриколлектив-
ных отношений, создает необходимые
предпосылки для успешного вхождения в
коллектив новых педагогов;

регулирующая –
проявляется в утверждении норм
взаимоотношений. В психологии выделяют
основные показатели положительного
социально-психологического климата:

– удовлетворенность
членов коллектива своим пребыванием в
коллективе, процессом и результатами
труда;

-признание
авторитета руководителей, совмещающих
признаки формальных и неформальных
лидеров;

высокая степень
участия членов коллектива в управлении
и самоуправлении коллективом;

организованность
членов коллектива, дисциплина;

продуктивность
работы;

практическое
отсутствие текучести кадров.

К числу факторов,
препятствующих формированию положительного
психологического климата в коллективе,
относятся конфликты – резкое обострение
противоречий, возникающих в сфере
непосредственного общения людей.

В педагогическом
коллективе выделяют три основные группы
конфликтов. Первая группа – профессиональные
конфликты. Они возникают как реакция
на препятствия к достижению целей
профес- сионально-педагогической
деятельности. Вторая группа – конфликты
ожиданий, возникают в тех случаях, когда
поведение педагога не соответствует
нормам взаимоотношений, принятым в
педагогическом коллективе. Третья
группа – конфликты личностной
несовместимости.

Методическая
работа в школе

Профессиональная
подготовка учителя не заканчивается в
стенах педагогического учебного
заведения, она продолжается на протяжении
всего периода профессиональной
деятельности.

В соответствии с
планами повышения квалификации учителей
один раз в пять лет они проходят
специальное обучение на курсах повышения
квалификации. Кроме того, в каждой школе
существует специально организованная
система методической работы, которая
призвана совершенствовать научно-методическую
подготовку учителей. В общем виде задачи
методической работы можно сформулировать
следующим образом:

систематическое
изучение, обобщение и распространение
педагогического опыта и внедрение
достижений педагогической науки;

повышение уровня
предметной подготовки учителей;

организация работы
по изучению новых образовательных
программ, учебных планов, образовательных
государственных стандартов;

овладение новыми
формами и методами обучения и воспитания;

организация работы
по изучению новых нормативных документов
и инструктивно-методических материалов;

оказание
научно-методической помощи учителям;

Повышение общего
уровня профессионально-педагогической
культуры.

В большинстве школ
создаются координационные органы
методической работы –
методические советы

Наиболее
распространенной формой методической
работы в школе является
предметное методическое объединение
учителей.

Эффективной формой
методической работы является проведение
единого
методического дня
(например, один раз в четверть). По мере
необходимости может быть организована
и такая форма методической работы как
школа молодого учитея. Одной
из коллективных форм методической
работы в школе является
деятельность педагогического коллектива
по избранной научно-методической теме.

Профессиональный
рост учителя

Для выполнения
своих сложных педагогических обязанностей
учитель должен обладать
профессиональной пригодностью,
то есть комплексом способностей,
нравственных, физических, нервно-психических
качеств. Это, прежде всего, любовь к
детям. Также педагог должен обладать
коммуникабельностью, наблюдательностью,
тактичностью, развитым воображением,
организаторскими способностями и
высокой требовательностью к себе.

В современной
психолого-педагогической литературе
выделяют следующие уровни в профессиональном
росте учителя:

Педагогическая
умелость.

Это обстоятельное
знание своего учебного предмета, владение
психолого-педагогической теорией,
системой учебно-воспитательных умений
и навыков.

Педагогическое
мастерство – это
уровень совершенного владения
педагогической деятельностью. Это
«отшлифованность» методов и приемов
применения психолого-педагогической
теории на практике. Основой мастерства
являются прежде всего фундаментальные
знания и выработанные на их основе
умения, выступающие в тесном единении
с личностными качествами учителя и его
способностями к творчеству.

Педагогическое
творчество.

Оно выражается во
внесении в учебно-воспитательную
деятельность каких-либо методических
усовершенствований. Творчество –
появление чего-то нового. К условиям,
стимулирующим творческий процесс, можно
отнести: создание особого микроклимата
в педагогических коллективах,
ориентированного на доброжелательность,
взаимоподдержку, взаимообучение;
альтернативность, вариативность и
разумную свободу

в педагогической
деятельности; самообразование; оказание
необходимой научно-методической помощи
и др.

4. Педагогическое
новаторство. Это высший уровень
профессионализма учителя. Оно включает
в себя внесение и реализацию существенно
новых, прогрессивные теоретических
идей, принципов и методов в процессе
обучения и воспитания. Новаторство –
прогрессивные нововведения, совершенствующие
практику, а не отрицание существующей
теории и практики с некоторой относительной
новизной.

Источник

Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом[1]. Пусть a и b — целые числа, причём bneq 0. Деление с остатком a («делимого») на b («делитель») означает нахождение таких целых чисел q и r, что выполняется равенство:

a=bcdot q+r

Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: q называется неполным частным от деления, а r — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: {displaystyle 0leqslant r<|b|,} то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения a=bcdot q+r при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что a нацело делится на b.

Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последний термин стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).

Примеры
Проверка: 78=33cdot 2+12.
Проверка: -78=33cdot (-3)+21.
Проверка: {displaystyle -9=1cdot (-13)+4.}
Проверка: {displaystyle 9=90cdot 0+9.}

Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.

Определение[править | править код]

Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль[2], либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше[1].

Для вычисления неполного частного от деления a на положительное число b следует разделить (в обычном смысле) a на b и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:

{displaystyle q=leftlfloor {frac {a}{b}}rightrfloor ,} когда b>0.

где полускобки {displaystyle leftlfloor cdot rightrfloor } обозначают взятие целой части. Значение неполного частного q позволяет вычислить значение остатка r по формуле:

{displaystyle r=a-bcdot q.}

Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:

{displaystyle q=leftlceil {frac {a}{b}}rightrceil ,} когда b<0.

Операция «mod» и связь со сравнениями[править | править код]


Величина остатка может быть получена бинарной операцией «взятия остатка» от деления a на b, обозначаемой mod:

{displaystyle r=a{bmod {b}}.}

Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю b. Формула для r влечёт выполнение сравнения:

{displaystyle requiv a{pmod {b}},}

однако обратная импликация, вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства 0leqslant r<|b|, необходимого для того, чтобы r было остатком.

В программировании[править | править код]

Операция вычисления неполного частного и остатка в различных языках программирования

Язык Неполное
частное		 Остаток Знак остатка
ActionScript % Делимое
Ada mod Делитель
rem Делимое
Бейсик MOD Не определено
Си (ISO 1990) / % Не определено
Си (ISO 1999) / % Делимое[3]
C++ (ISO 2003) / % Не определено[4]
C++ (ISO 2011) / % Делимое[5]
C# / % Делимое
ColdFusion MOD Делимое
Common Lisp mod Делитель
rem Делимое
D / % Делимое[6]
Delphi div mod Делимое
Eiffel // \ Делимое
Erlang div rem Делимое
Euphoria remainder Делимое
Microsoft Excel (англ.) QUOTIENT() MOD() Делитель
Microsoft Excel (рус.) ЧАСТНОЕ() ОСТАТ()
FileMaker Div() Mod() Делитель
Fortran mod Делимое
modulo Делитель
GML (Game Maker) div mod Делимое
Go / % Делимое
Haskell div mod Делитель
quot rem Делимое
J |~ Делитель
Java / % Делимое[7]
Math.floorDiv Math.floorMod Делитель (1.8+)
JavaScript .toFixed(0) % Делимое
Lua % Делитель
Mathematica Quotient Mod Делитель
MATLAB idivide(?, ?, 'floor') mod Делитель
idivide rem Делимое
MySQL DIV MOD
%		 Делимое
Oberon DIV MOD +
Objective Caml mod Не определено
Pascal div mod Делимое[8]
Perl Нет % Делитель
PHP Нет[9] % Делимое
PL/I mod Делитель (ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995) mod Делитель
PureBasic / Mod
%		 Делимое
Python // % Делитель
QBasic MOD Делимое
R %/% %% Делитель
RPG %REM Делимое
Ruby / % Делитель
Scheme modulo Делитель
SenseTalk modulo Делитель
rem Делимое
Tcl % Делитель
Verilog (2001) % Делимое
VHDL mod Делитель
rem Делимое
Visual Basic Mod Делимое

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается: 

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Знак остатка[править | править код]

Операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:

  • Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
  • Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к -infty .

Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.

Операция div в x86/x64 делит регистровую пару rdx:rax на любой другой регистр или число из памяти[10]. Неполное частное и остаток выходят по первому варианту — округляют к нулю.

Как запрограммировать, если такой операции нет?[править | править код]

Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: q=left[{frac {a}{b}}right], где [x], в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением. Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).

При отсутствии команды mod остаток программируется как a-qb.

Если b положительно, а знак r совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой r'=(b+(aoperatorname {mod}b))operatorname {mod}b.

Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки 2^{n} — это битовый сдвиг {displaystyle agg n} (для чисел со знаком — арифметический) и {displaystyle aoperatorname {&} (2^{n}-1)}.

Обобщения[править | править код]

Вещественные числа[править | править код]

Если два числа a и b (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, a может быть поделено на b без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если a,bin {mathbb {R}},bneq 0, то {displaystyle a=bq+r}, где 0leqslant r<|b|.
Пример

Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:

{displaystyle leftlfloor {frac {7{,}9}{2{,}1}}rightrfloor =3} (неполное частное);
{displaystyle 7{,}9-3cdot 2{,}1=1{,}6} (остаток).

Гауссовы целые числа[править | править код]

Гауссово число — это комплексное число вида a+bi, где a,b — целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число u можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число v, то есть представить в виде:

u=vq+r,

где частное q и остаток r — гауссовы числа, причём |r|<|v|.
Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, {displaystyle 7+2i} можно разделить на {displaystyle 3-i} тремя способами:

{displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i).}

Многочлены[править | править код]

При делении с остатком двух многочленов f(x) и g(x) для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:

{displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)}, причём {displaystyle deg(r)<deg(g)}.
Пример
{frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2 (остаток 3), так как: {displaystyle 2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3}.

См. также[править | править код]

  • Алгоритм Евклида
  • Делимость
  • Наибольший общий делитель
  • Непрерывная дробь
  • Сравнение по модулю

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
  2. ↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
  3. ↑ ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the / operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
  4. ↑ «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
  5. ↑ N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
  6. ↑ D language specification (англ.). dlang.org. Дата обращения: 29 октября 2017. Архивировано из оригинала 3 октября 2017 года.
  7. ↑ Арнолд, Кен, Гослинг, Дж., Холмс, Д. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
  8. ↑ Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
  9. ↑ PHP: Arithmetic Operators — Manual. Дата обращения: 27 ноября 2014. Архивировано 19 ноября 2014 года.
  10. ↑ DIV — Unsigned Divide
Источник

Добавить комментарий