Как найти остаток от деления в математике

Как найти остаток от деления в математике

Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом[1]. Пусть a и b — целые числа, причём bneq 0. Деление с остатком a («делимого») на b («делитель») означает нахождение таких целых чисел q и r, что выполняется равенство:

a=bcdot q+r

Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: q называется неполным частным от деления, а r — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: {displaystyle 0leqslant r<|b|,} то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения a=bcdot q+r при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что a нацело делится на b.

Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последний термин стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).

Примеры
Проверка: 78=33cdot 2+12.
Проверка: -78=33cdot (-3)+21.
Проверка: {displaystyle -9=1cdot (-13)+4.}
Проверка: {displaystyle 9=90cdot 0+9.}

Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.

Определение[править | править код]

Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль[2], либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше[1].

Для вычисления неполного частного от деления a на положительное число b следует разделить (в обычном смысле) a на b и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:

{displaystyle q=leftlfloor {frac {a}{b}}rightrfloor ,} когда b>0.

где полускобки {displaystyle leftlfloor cdot rightrfloor } обозначают взятие целой части. Значение неполного частного q позволяет вычислить значение остатка r по формуле:

{displaystyle r=a-bcdot q.}

Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:

{displaystyle q=leftlceil {frac {a}{b}}rightrceil ,} когда b<0.

Операция «mod» и связь со сравнениями[править | править код]


Величина остатка может быть получена бинарной операцией «взятия остатка» от деления a на b, обозначаемой mod:

{displaystyle r=a{bmod {b}}.}

Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю b. Формула для r влечёт выполнение сравнения:

{displaystyle requiv a{pmod {b}},}

однако обратная импликация, вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства 0leqslant r<|b|, необходимого для того, чтобы r было остатком.

В программировании[править | править код]

Операция вычисления неполного частного и остатка в различных языках программирования

Язык Неполное
частное		 Остаток Знак остатка
ActionScript % Делимое
Ada mod Делитель
rem Делимое
Бейсик MOD Не определено
Си (ISO 1990) / % Не определено
Си (ISO 1999) / % Делимое[3]
C++ (ISO 2003) / % Не определено[4]
C++ (ISO 2011) / % Делимое[5]
C# / % Делимое
ColdFusion MOD Делимое
Common Lisp mod Делитель
rem Делимое
D / % Делимое[6]
Delphi div mod Делимое
Eiffel // \ Делимое
Erlang div rem Делимое
Euphoria remainder Делимое
Microsoft Excel (англ.) QUOTIENT() MOD() Делитель
Microsoft Excel (рус.) ЧАСТНОЕ() ОСТАТ()
FileMaker Div() Mod() Делитель
Fortran mod Делимое
modulo Делитель
GML (Game Maker) div mod Делимое
Go / % Делимое
Haskell div mod Делитель
quot rem Делимое
J |~ Делитель
Java / % Делимое[7]
Math.floorDiv Math.floorMod Делитель (1.8+)
JavaScript .toFixed(0) % Делимое
Lua % Делитель
Mathematica Quotient Mod Делитель
MATLAB idivide(?, ?, 'floor') mod Делитель
idivide rem Делимое
MySQL DIV MOD
%		 Делимое
Oberon DIV MOD +
Objective Caml mod Не определено
Pascal div mod Делимое[8]
Perl Нет % Делитель
PHP Нет[9] % Делимое
PL/I mod Делитель (ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995) mod Делитель
PureBasic / Mod
%		 Делимое
Python // % Делитель
QBasic MOD Делимое
R %/% %% Делитель
RPG %REM Делимое
Ruby / % Делитель
Scheme modulo Делитель
SenseTalk modulo Делитель
rem Делимое
Tcl % Делитель
Verilog (2001) % Делимое
VHDL mod Делитель
rem Делимое
Visual Basic Mod Делимое

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается: 

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Знак остатка[править | править код]

Операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:

  • Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
  • Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к -infty .

Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.

Операция div в x86/x64 делит регистровую пару rdx:rax на любой другой регистр или число из памяти[10]. Неполное частное и остаток выходят по первому варианту — округляют к нулю.

Как запрограммировать, если такой операции нет?[править | править код]

Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: q=left[{frac {a}{b}}right], где [x], в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением. Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).

При отсутствии команды mod остаток программируется как a-qb.

Если b положительно, а знак r совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой r'=(b+(aoperatorname {mod}b))operatorname {mod}b.

Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки 2^{n} — это битовый сдвиг {displaystyle agg n} (для чисел со знаком — арифметический) и {displaystyle aoperatorname {&} (2^{n}-1)}.

Обобщения[править | править код]

Вещественные числа[править | править код]

Если два числа a и b (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, a может быть поделено на b без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если a,bin {mathbb {R}},bneq 0, то {displaystyle a=bq+r}, где 0leqslant r<|b|.
Пример

Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:

{displaystyle leftlfloor {frac {7{,}9}{2{,}1}}rightrfloor =3} (неполное частное);
{displaystyle 7{,}9-3cdot 2{,}1=1{,}6} (остаток).

Гауссовы целые числа[править | править код]

Гауссово число — это комплексное число вида a+bi, где a,b — целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число u можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число v, то есть представить в виде:

u=vq+r,

где частное q и остаток r — гауссовы числа, причём |r|<|v|.
Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, {displaystyle 7+2i} можно разделить на {displaystyle 3-i} тремя способами:

{displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i).}

Многочлены[править | править код]

При делении с остатком двух многочленов f(x) и g(x) для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:

{displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)}, причём {displaystyle deg(r)<deg(g)}.
Пример
{frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2 (остаток 3), так как: {displaystyle 2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3}.

См. также[править | править код]

  • Алгоритм Евклида
  • Делимость
  • Наибольший общий делитель
  • Непрерывная дробь
  • Сравнение по модулю

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
  2. ↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
  3. ↑ ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the / operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
  4. ↑ «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
  5. ↑ N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
  6. ↑ D language specification (англ.). dlang.org. Дата обращения: 29 октября 2017. Архивировано из оригинала 3 октября 2017 года.
  7. ↑ Арнолд, Кен, Гослинг, Дж., Холмс, Д. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
  8. ↑ Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
  9. ↑ PHP: Arithmetic Operators — Manual. Дата обращения: 27 ноября 2014. Архивировано 19 ноября 2014 года.
  10. ↑ DIV — Unsigned Divide
Источник

Бывает, он сопряжен с некоторыми неудобствами, но это лучше, чем ничего.

Именно в древней Греции зародилась теория делимости
Именно в древней Греции зародилась теория делимости

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу немного погрузиться в теорию делимости, а именно в вычисление остатков от деления. Эта задача является и практически важной, ведь такие операции применяются буквально повсюду: от криптографии до телекоммуникационных систем. Поехали!

Итак, начнем с определения:

Как найти остаток от деления ? Универсальный способ

Так же такие числа называются сравнимыми по модулю m.

Для равноостаточных чисел работает такая теорема:

  • Если при делении на m числа a1,a2,a3… an соответственно равноостаточны числам b1,b2.b3…bn, то равноостаточными будут суммы a1+a2+a3+…+an и b1+b2+b3+…bn, а также произведения a1a2a3…an и b1b2b3…bn.
  • Как следствие, если числа a и b равноостаточны, то такими же являются и числа a^n и b^n при любо натуральном n.

Формулировка весь запутанная, поэтому разберем два пример. Итак:

Как найти остаток от деления ? Универсальный способ

Теперь пример посложнее с многоступенчатым решением:

Как найти остаток от деления ? Универсальный способ

В итоге мы получаем хоть и меньшее, но всё равно трудно вычисляемое вручную число, поэтому продолжаем дальше:

Как найти остаток от деления ? Универсальный способ

На третьем шаге уже нет смысла вычислять все остатки, как прежде. Можно было и вычислить вручную. Получаем, что первоначальное число и число 56 равноостаточны при делении на 37. Ответ получен! Спасибо за внимание!

Читайте также:

Источник

В данном материале мы разберем, как разделить одно натуральное число на другое с остатком. Для начала сформируем общее представление о таком действии, определимся с терминами и обозначениями, а потом посмотрим, какие задачи можно решить с его помощью. В последнем пункте попробуем объяснить, какие связи существуют между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления.

Общее представление о делении с остатком

Ранее мы указывали, что сам процесс деления сводится к разъединению одного множества на два или несколько. Чаще всего мы встречаемся с делением на равные части, то есть множества, получившиеся в результате, будут одинаковыми. Но так разделить возможно далеко не всегда. К примеру, 8 конфет разделить поровну на троих детей не выйдет: у каждого будет по 2 конфеты, а две останутся лишними. В данном случае мы имеем остаток 2, то есть остались две конфеты. Этот пример отображает основной смысл деления с остатком. Запишем определение:

Определение 1

Разделить с остатком – значит представить исходное множество в виде некоторого числа равных множеств и еще одного дополнительного, элементов которого недостаточно для создания требуемого множества.  

В чем состоит смысл деления с остатком?

В случае натуральных чисел деление с остатком имеет следующий смысл. Мы уже знаем, что понятие натурального числа тесно связано с количеством чего-либо. Допустим, у нас есть некое число предметов (обозначим его a), а после его деления образуется остаток, условно d. У нас остались числа b и c. Есть два основных подхода к их обозначению:

1) если b –количество элементов в каждом равном множестве, полученном после деления, то c – это количество множеств, которое у нас получилось.

2) если  b – это количество множеств, то c – это число предметов в каждом из них.

Поясним нашу мысль на конкретных числах. Допустим, натуральное число 13 было разделено на 4. В итоге мы имеем два числа – 3 и 1. Мы можем рассмотреть эту ситуацию с двух сторон:

1) тринадцать предметов были сгруппированы по 4. У нас получилось 3 группы, а в исходном множестве остался всего 1 предмет;

2) тринадцать предметов разложили по 4 группам. У нас получилось, что в каждой группе по 3 предмета, а остаток равен 1.

Если натуральное число a всегда можно разделить с остатком на любое натуральное b, то можно выделить следующие ситуации:

1. A можно разделить на b без остатка, то есть все предметы можно разделить на равные множества. При этом «лишних» у нас не останется, тогда d будет равно 0. Получается, что деление без остатка – это частный случай деления с остатком.

2. A может быть меньше b. Тогда ни одного требуемого множества мы из него составить не можем, и число c будет равно нулю, а остаток равен a (то есть числу предметов в исходном множестве).

3.  A может делиться на b с остатком. Тогдазначения a, b, c и d будут натуральными числами.

Подводим итог:

Определение 2

Результат деления натуральных чисел a и b с остатком – это два числа c и d, которые либо оба являются натуральными, либо одно из них равно нулю.

Основные понятия, используемые при делении с остатком

Здесь мы определимся с основными терминами, которые будем использовать, если речь идет о делении с остатком.

То натуральное число, которое делят на части, принято называть делимым, а то, на которое делят – делителем. Получившиеся в результате два числа мы называем соответственно остатком и неполным частным.  К примеру, если мы разделим 8 на 3, то в итоге неполным частным будет 2, и остатком тоже 2.

Знак деления, используемый при решении примеров с остатком, аналогичен тому же знаку «разделить» (две точки, расположенные вертикально), что и при делении нацело. В некоторых источниках можно встретить обозначение «÷», смысл которого тот же самый. Так, числовое выражение 16:3 означает деление одного натурального числа на другое с остатком.

Обозначим неполное частное буквой с, остаток – d, исходное число – a, а делитель – b. Тогда суть процесса деления в буквенном виде мы можем выразить как a:b=c (ост. d).

Также можно записать это в виде схемы: делимое: делитель = неполное частное (ост. остаток).

Из самого понятия о делении с остатком следует, что в любом случае остаток будет меньше делителя. Если бы он был равен ему или был нулевым, то это уже было бы деление нацело, поскольку у нас в итоге вышло бы несколько равных множеств.

Задачи, в которых используется деление с остатком

В результате процесса деления, описываемого в этой статье, всегда получаются два числа, одно из которых является остатком, а другое – неполным частным. Поэтому оно будет полезно для решения двух разных типов задач:

1. Нахождение количества необходимых равных множеств, которые можно составить из заданного количества предметов, или же количества предметов в равных множествах, полученных в результате деления.

Например:

Пример 1

У нас есть 67 шаров, которыми мы будем наряжать елки. Если на каждую елку нужно 15 шаров, сколько всего елок можно нарядить? Результат мы получим после деления с остатком.

Другой пример:

Пример 2

У нас есть 162 книги, которые нужно упаковать в 40 ящиков. Число книг, которое мы будем класть в каждую коробку, можно определить в результате деления 162 на 40.

Вычислять мы можем не только количество предметов, но и изменения величин (массы, времени, длины и др.)

Например, на заводе произведено 6 113 л молока. Его нужно разлить в бутылки по 2 л. Мы можем вычислить неполное частное и понять, сколько бутылок будет в итоге. Или же если на производство какого-то изделия тратится 3 часа, то мы можем найти, сколько можно их выпустить за один восьмичасовой рабочий день.

2. Задачи второго типа направлены на вычисление количества предметов в исходном множестве, которые остались после деления. Это могут быть не только предметы, но и величины.

Например: 

Пример 3

У нас есть 197 конфет, которые раскладываются по коробкам. Мы знаем число этих коробок – оно равно 20. Деление 197 на 20 подскажет нам, сколько конфет остались неупакованными.

Пример 4

Чтобы изготовить бетонную плиту, надо израсходовать 750 кг цемента. Если мы закупили 12 900 кг, на сколько плит нам хватит? Результат мы вычислим в результате деления с остатком.

Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления

Для установления этих связей сразу разберем конкретный пример.

У нас есть некоторое множество предметов, обозначим его буквой a. Распределим его по кучкам, количество которых равно b. Всего в каждой кучке у нас будет c предметов. Остаток обозначим d. В буквенном виде это выражение можно записать как a:b=c (ост. d). Теперь проанализируем связи, которые есть в этом равенстве.

Если у нас есть значения делителя, неполного частного и остатка, мы можем найти делимое. Если мы объединим все имеющиеся кучки и добавим к ним остаток, то получим множество из исходного количества предметов.

Учитывая смысл умножения и сложения натуральных чисел, мы можем записать это в виде равенства c·b+d=a. А наличие у умножения и сложения переместительных свойств позволяет нам переформулировать его как a=b·c+d. Получается следующее правило:

Определение 3

Чтобы найти делимое, нужно сложить остаток с произведением делителя на неполное частное.

Верное равенство, полученное в итоге, будет полезно для решения задач с неизвестным делимым, то есть таких, где нужно найти исходное число предметов. Приведем пример:

Пример 5

Вычислите делимое, если неполное частное равно одиннадцати, остаток двум, а делитель семи.

Решение

Имеем b=7, c=11 и d=2. Это все данные, которые нам нужны для вычислений. Подставим нужные значения: b·c+d=7·11+2. Следуя правильному порядку выполнения математических действий, получим в итоге 7·11+2=77+2=79 (если нужно, повторите основы умножения и сложения натуральных чисел).

Ответ: делимое будет равно 79.

Если нужно проверить верность результата действия деления с остатком, то для этого мы также проверяем справедливость равенства a=b·c+d.

Если нам известны значения делимого, делителя и неполного частного, то мы можем найти остаток.

Вспомним, что остаток от деления, который мы выше договорились обозначить буквой d, представляет собой число элементов, оставшееся в исходном множестве после его разделения на равные части. Значит, d=a−b·c. Записать это равенство мы можем благодаря свойствам умножения и вычитания натуральных чисел. Сформулируем определение:

Определение 4

Чтобы найти остаток от деления одного натурального числа на другое, нужно вычесть из делимого произведение делителя на неполное частное.

У нас получилось буквенное выражение d=a−b·c, которое будет нам полезно при нахождении остатка от деления. Разберем такую задачу.

Пример 6

Мы разделили 67 на 15 и получили неполное частное 4. Вычислите остаток от деления.

Решение 

Имеем a=67, b=15, c=4. Если мы подставим в выражение a−b·c исходные значения, то сможем подсчитать остаток: 67−15·4. Поскольку 15·4=60, то 67−15·4=67−60=7.

Ответ: остаток от деления равен 7.

Мы также можем найти неполное частное, если знаем значение делимого, делителя и остатка. Исключим из исходного множества те элементы, которые образуют остаток. Благодаря свойствам вычитания натуральных чисел количество элементов в множестве мы теперь можем записать как a−d. После этого уже можно произвести деление без остатка, в результате которого получится b множеств по c элементов в каждом. Мы получили равенство (a−d):b=c. Его также можно записать в виде c=(a−d):b.

Определение 5

Если нужно найти неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток и результат разделить на делитель.

Пример 7

Мы разделили 221 на 52 и получили остаток 13. Вычислите неполное частное.

Решение

Отнимем остаток от делимого и результат разделим на делитель. Считаем: (221−13):52=208:52=4 (для подсчета мы использовали метод подбора частного).

Ответ: неполное частное равно 4.

Осталось разобрать последний случай: как быть, если нужно найти делитель при известных значениях делимого, остатка и неполного частного? Начнем опять же с исключения остатка из делимого, то есть запишем a-d. Вспомнив смысл деления одного натурального числа на другое, запишем следующее равенство: (a−d):c=b. Также будет верно b=(a−d):c. Сформулируем правило:

Определение 6

Найти делитель можно, если вычесть из делимого остаток и получившуюся разность разделить на неполное частное.

Возьмем пример решения такой задачи.

Пример 8

Было выполнено деление 877 на некоторое число с остатком 2, неполное частное при этом составило 35. Найдите значение делителя.

Решение

Вычтем остаток из делимого и получим 875. Результат нужно разделить на известное нам неполное частное 35. В итоге получится нужное нам значение делителя. Вычислим столбиком:

Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления

Ответ: делитель равен 25.

Источник
  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике для начальной школы
  4. Деление
  5. Деление с остатком

Начнём рассмотрение новой темы с решения задачи.

Мама принесла 8 конфет и разделила их поровну между двумя детьми. Сколько конфет получил каждый?

8 : 2 = 4 (к.)

Каждый ребёнок получил по 4 конфеты.

На следующий день мама опять принесла 8 конфет, но в гостях у её детей была ещё одна подружка. Мама опять разделила конфеты поровну, но уже между тремя детьми. Сколько конфет получил каждый ребёнок?

Каждый получил по 2 конфеты и 2 конфеты остались лишними.

Как это записать?

8 : 3 = 2 (ост. 2)

Как сделать проверку?

2 • 3 + 2 = 8

Правило 1

Деление с остатком — это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

16 : 7 = 2 (ост. 2)

23 : 8 = 2 (ост. 7)

Правило 2

При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.

43 : 8 = 5 (ост. 3)

остаток 3 < делимого 5

34 : 4 = 8 (ост. 2)

остаток 2 < делимого 4

Правило 3

Если делимое меньше делителя, в частном получается ноль, а остаток равен делимому.

7 : 10 = 0 (ост. 7)

6 : 9 = 0 (ост. 6)

Порядок решения

14 : 5 = 2 (ост. 4)

1. Нахожу наибольшее число до 14, которое делится на 5 без остатка. Это число 10.

10 : 5 = 2

2. Вычитаю из делимого найденное число: 14 − 10 = 4

3. Сравниваю остаток с делителем

4 < 5

Решение верно.

Проверка деления с остатком

1. Умножаю неполное частное на делитель.

2. Прибавляю остаток к полученному результату.

3. Сравниваю полученный результат с делимым, он должен быть МЕНЬШЕ.

Деление в столбик

В 23 содержится 5 раз по 4, и ещё остаётся 3.

Решение записывают так:

23 : 4 = 5 (ост. 3) или так:

, где 23 – делимое, 4 – делитель, 5 – неполное частное, а 3  – остаток.

Советуем посмотреть:

Табличное деление

Внетабличное деление

Деление суммы на число

Деление на однозначное число

Деление чисел, оканчивающихся нулями

Свойства деления

Деление


Правило встречается в следующих упражнениях:

2 класс

Страница 76. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 77. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 79. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 80. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 81. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 82. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 84. Урок 32,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 87. Урок 33,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 108. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3

3 класс

Страница 35,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 68,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 100,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 15. Урок 5,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 24. Урок 8,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 92. Урок 34,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 5. Урок 2,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 15. Урок 7,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 35. Урок 16,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 49. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 3

4 класс

Страница 46,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 54,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 99,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 18,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 11. ПР 3. Вариант 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 62. ПР 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 20,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 29,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 55,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 28,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

5 класс

Задание 531,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 766,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1091,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1131,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1167,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 6,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

Номер 767,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 769,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1222,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 8,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 38,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 349,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 364,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 514,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 515,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 913,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1005,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1150,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 999,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 384,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 421,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 423,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 556,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 573,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 583,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 602,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 606,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 784,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1040,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 46,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 47,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 138,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 193,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 207,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 302,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 304,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 306,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 307,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Источник

Онлайн калькулятор поможет вам быстро вычислить остаток от деления двух чисел. Этот инструмент очень полезен для проверки решений в задачах по математике и арифметике. Это очень важная арифметическая операция, которую нужно знать для решения многих задач.

Онлайн калькулятор деление с остатком

Деление с остатком

Деление с остатком — это когда вы делите одно натуральное число на другое, и получаете остаток, который не равен нулю.

Деление с остатком целых положительных чисел

Это операция, при которой одно целое положительное число (делимое) делится на другое целое положительное число (делитель), и остается некоторое число, которое нельзя разделить на делитель без остатка.

Формула
a=b⋅q+ra = b cdot q + r

Деление с остатком может быть полезно при решении математических задач, например, для определения четности или нечетности числа. Если остаток от деления на 2 равен 0, то число четное, иначе — нечетное.

Пример
При делении 1010 на 33 с остатком получится результат 33 и остаток 11, так как 3⋅3=93 cdot3=9, и оставшаяся единица не может быть разделена на 33.

Деление с остатком целых отрицательных чисел

Деление с остатком для целых отрицательных чисел работает по тем же правилам, что и для целых положительных чисел.

Формула
r=a−b⋅qr = a − b cdot q

Вот простой алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:

  1. Найдите модуль делимого и делителя, то есть возьмите их положительные значения;
  2. Разделите модуль делимого на модуль делителя, так же как при обычном делении с остатком;
  3. Получите неполное частное и остаток;
  4. Если делимое и делитель имеют разные знаки, то прибавьте 1 к неполному частному;
  5. Вычислите остаток, используя формулу r=a−b⋅qr = a – b cdot q.

Пример
Если мы делим −7-7 на 33, мы получим неполное частное −2-2 и остаток −1-1. А если мы делим −7-7 на −3-3, то неполное частное будет равно 22, а остаток будет 11.

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное выполняется так же, как и деление с остатком двух положительных чисел, но с некоторыми отличиями.

Первым шагом необходимо найти модули делимого и делителя, то есть их значения без учета знака. Затем выполнить обычное деление модуля делимого на модуль делителя и получить неполное частное и остаток. Далее, если знаки делимого и делителя различны, необходимо к неполному частному прибавить 1. Если же знаки одинаковы, то ничего добавлять не нужно. Наконец, вычислить окончательный остаток, используя формулу r=a−b⋅qr = a – b cdot q, где rr – остаток, aa – делимое, bb – делитель, qq – неполное частное.

Пример
Если нужно выполнить деление 2727 на −5-5, то сначала найдем модули: ∣27∣=27|27| = 27 и ∣−5∣=5|-5| = 5. Затем выполним обычное деление: 275=5frac{27}{5} = 5 (остаток 22). Так как знаки чисел различны, добавляем 11 к неполному частному и получаем 66. Наконец, вычисляем окончательный остаток: 27−(−5)⋅6=727 – (-5) cdot 6 = 7. Итак, 27:−5=−627:-5 = -6 (остаток 77).

Деление с остатком отрицательного числа на положительное

Деление с остатком отрицательного числа на положительное выполняется аналогично делению с остатком положительного числа на положительное. Нужно выполнить деление столбиком, а затем проверить правильность ответа, умножив неполное частное на делитель и добавив к произведению остаток. Если результат равен делимому, то деление с остатком выполнено верно.

Пример
Рассмотрим выражение: (−15):4=(−3)(-15) : 4 = (-3) (остаток −3-3). В этом выражении −15-15 — это делимое, 44 — делитель, −3-3 — остаток, а −3-3 — неполное частное. Чтобы проверить правильность ответа, нужно умножить неполное частное (−3)(-3) на делитель (4)(4) и добавить к произведению остаток (−3)(-3). Получим: (−3)⋅4+(−3)=−15(-3) cdot 4 + (-3) = -15. Результат равен делимому, значит, деление с остатком выполнено верно.

Как проверить деление с остатком

Чтобы проверить деление с остатком, необходимо выполнить два шага:
Выполнить деление с остатком, как это делается обычно.
Проверить правильность результата, используя формулу: делимое == делитель ⋅cdot частное ++ остаток.

Формула
a=b⋅c+da = b cdot c + d, где aa — делимое, bb — делитель, cc — неполное частное, dd — остаток.

Если формула выполняется, то результат деления с остатком верный. Если нет, значит, была допущена ошибка при делении.

Пример
Задача: 274=6frac{27}{4} = 6 и остаток 33:

  • Делимое равно 2727.
  • Делитель равен 44.
  • Частное равно 66.
  • Остаток равен 33.
    Проверяем формулу: 27=4⋅6+327 = 4 cdot 6 + 3. Формула выполняется, поэтому результат верный.
Источник

Добавить комментарий