Как найти острый прямой тупой угол

Виды углов

• Прилежащие углы

Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:

• Острый угол — это угол, который меньше прямого угла (<90°).
• Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол обозначается буквой  d  и равен  90°.

  Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым углом. Прямой угол обычно обозначается не дугой, а уголком:

  

  ∠AOC  и  ∠COB  — прямые углы. Общая сторона прямых углов  OC  называется перпендикуляром к прямой  AB, а точка  O  — основанием перпендикуляра.

  Сумма двух прямых углов равна развёрнутому углу, значит, прямой угол равен половине развёрнутого угла.

• Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развёрнутого:

  90° < тупой угол < 180°.

• Развёрнутый угол — это угол, образованный двумя дополнительными лучами.

  Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов или, короче, двум прямым углам. Следовательно, развёрнутый угол равен  180°  или  2d.

  Все развёрнутые углы равны между собой.

• Выпуклый угол — это угол, который больше развёрнутого угла, но меньше полного:

  180° < выпуклый угол < 360°.

• Полный угол — это угол, обе стороны которого совпадают с одним лучом.

  Полный угол равен сумме четырёх прямых углов, то есть  4d (360°).

Прилежащие углы

Прилежащие углы — это пара углов, имеющих общую вершину и общую сторону, другие стороны которых лежат по разные стороны от общей стороны.

∠AOB  и  ∠BOC  — прилежащие углы,  O  — общая вершина,  OB  — общая сторона.

Если из вершины любого угла провести луч, разделяющий угол на два угла, то образованные углы будут прилежащими.

Угол, разделённый лучом, будет называться суммой полученных углов, например угол  AOB  является суммой углов  AOC  и  COB:

∠AOB = ∠AOC + ∠COB.

Каждый из прилежащих углов,  ∠AOC  и  ∠COB, называется разностью углов  AOB  и другого прилежащего, то есть:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,

∠COB = ∠AOB – ∠AOC.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике для начальной школы
4. Основы геометрии
5. Угол. Виды углов

Советуем посмотреть:

Круг. Шар. Овал

Треугольники

Многоугольники

Обозначение геометрических фигур буквами

Периметр многоугольника

Площадь фигуры

Окружность

Основы геометрии

Правило встречается в следующих упражнениях:

2 класс

Страница 32,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 34,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 76,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 78,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 19. Урок 6,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 25. Урок 9,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 35. Урок 14,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 89. Урок 37,
Петерсон, Учебник, часть 2

Страница 45. Урок 15,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 109. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3

3 класс

Страница 16,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 55,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 85,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 15,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 27,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 35,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 82,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 85,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 102,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 75. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3

4 класс

Страница 8,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 34,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 93,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 18,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 24,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 56. ПР 1. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 17,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 50,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 96,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 15. Урок 5,
Петерсон, Учебник, часть 1

---

Математика, 2 класс

Урок № 33. Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

– Какие бывают углы?

– Как распознавать углы?

Глоссарий по теме:

Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя разными лучами с общим началом.

Острый угол – это угол, который меньше прямого.

Тупой угол – это угол, который больше прямого.

Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):

1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.2/ М. И. Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – с.8-9.
2. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.2/ М. И. Моро, М.А.Бантова – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – с.3.
3. Для тех, кто любит математику. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций. М. И. Моро, С. И. Волкова – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – с.16.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрите фигуры и выберите лишнюю.

Лишняя фигура под номером 2. Она образована незамкнутой линией.

Она называется угол.

Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя разными лучами с общим началом.

Посмотрите на рисунки: по-разному открытый веер, образует разные углы.

У каждого угла есть две стороны и вершина. Углы бывают прямые, острые и тупые. Углы определить можно помощью чертежного угольника.

Прямой угол определяем с помощью чертежного угольника.

Угол, который меньше прямого угла называется острым углом.

Угол, который больше прямого угла называется тупым углом.

Посмотрите, как из обычного листа бумаги можно сделать модель прямого угла. Моделью можно воспользоваться, если у вас нет чертежного угольника. Возьмите лист бумаги и перегните его 2 раза, как показано на рисунках 1 и 2. И получите модель прямого угла.

Разверните лист. Линии сгиба образовали 4 прямых угла.

Чтобы определить, какой угол начерчен, на него накладывают угольник или модель прямого угла.

Вывод: Углы могут быть прямыми и непрямыми. Чтобы определить прямой угол или нет, нужно взять особый инструмент – угольник. Если, приложив угольник к углу, вершиной к вершине, стороны совпадут, то угол – прямой. Не совпадут – непрямой. Непрямые углы делятся на: тупые и острые. Угол, величина которого меньше величины прямого – острый, а, если величина угла больше величины прямого – тупой.

Тренировочные задания.

1.Посмотрите на крыши домов и домиков. Какие углы ты видишь на рисунке? Соотнесите вид угла с изображением домика.

Правильные ответы:

2. Выберите цифры, в записи которых присутствуют только прямые углы.

Правильные ответы:

План урока:

Угол. Виды углов: прямой, тупой, острый

Прямоугольник. Свойство противоположных сторон прямоугольника

Квадрат

Построение прямого угла, прямоугольника, квадрата на бумаге в клетку

Здравствуйте, дорогие ребята!

Приглашаем вас в сказочную страну Геометрию.

Жил-был король Луч. Была у короля маленькая, смешная и забавная дочка Точка. Отец очень любил и баловал принцессу и никогда не наказывал: не ставил в угол за ее шалости.

Угол. Виды углов: прямой, тупой, острый

Ребята, а вы знаете, что такое угол? Какие бывают углы?

Давайте вместе начертим угол. Сначала поставим точку. Затем проведем из этой точки 2 луча. Например, так:

Лучи – это стороны угла. А точка, из которой мы проводили лучи – вершина угла.

Углы бывают прямые, острые и тупые. Острым углом назовем тот, который меньше прямого, а тупым углом – тот, который больше прямого угла.

Изготовим модель прямого угла из кусочка бумаги.

Можно в качестве модели прямого угла использовать угольник. У него обязательно есть один прямой угол.

Ребята, помогите принцессе Точке определить, какие углы являются прямыми, а какие тупыми и острыми! Сосчитайте, сколько на этом чертеже прямых, острых, тупых углов.

Проверь себя!

Прямых – 6 углов, острых – 4 угла, тупых – 2 угла.

Король Луч решил построить для принцессы Точки игровую площадку. Он долго размышлял, чертил на песке разные фигуры. Посмотрите, после дождя остались лишь очертания. Назовите одним словом, что это?

Верно, это углы. Запишите номера углов в 3 столбика: острые, тупые, прямые.

Проверь себя.

Прямоугольник. Свойства противоположных сторон прямоугольника

Ребята, посмотрите на дворец короля и принцессы. Из каких геометрических фигур он состоит?

Давайте сосчитаем все прямоугольники, квадраты, треугольники и круги.

Прямоугольники – 3.

Квадраты – 5.

Треугольники – 3.

Круги – 5.

Найдите среди этих фигур четырехугольники, у которых все углы прямые. Воспользуйтесь моделью прямого угла, которую мы с вами изготовили.

Проверь себя.

Прямоугольники: 1, 3, 5.

Ребята, у принцессы Точки есть для вас вопросы о прямоугольнике. Попробуйте на них ответить.

Вопрос 1. Равны ли у прямоугольника противоположные стороны (они лежат напротив друг друга)?

На чертеже противоположные стороны обозначены одинаковым цветом.

Вопрос 2. Все ли углы прямые у прямоугольника?

Вопрос 3. Могут ли все стороны прямоугольника, а не только противоположные, быть одинаковыми? Например, так:

Подумайте! Возьмите любой прямоугольник, измерьте линейкой стороны фигуры, с помощью модели прямого угла или угольника проверьте углы.

Сравните свои выводы с правильными ответами.

Ответ 1. Противоположные стороны равны.

Ответ 2. Все углы прямые.

Ответ 3.Все стороны прямоугольника могут быть одинаковыми.

Молодцы! Не огорчайтесь, если не все выводы совпали с правильными ответами. Давайте еще раз повторим о прямоугольнике все, что узнали.

 

Квадрат

Ребята, отвечая на вопрос принцессы Точки, мы сделали вывод о том, что у прямоугольника все стороны могут быть одинаковой длины. Такой прямоугольник будет называться квадратом.

Задача на смекалку от короля. Помогите принцессе Точке ее решить.

Начерти прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см. Сделай из него квадрат! Подсказка: «Можно сделать двумя способами: добавить, убрать».

Проверь себя.

Принцесса отлично справилась с задачей. А теперь попробуйте вы самостоятельно выполнить следующее задание.

Найдите среди этих прямоугольников квадраты. Запишите их номера.

Проверь себя.

Квадраты: 1,3.

Поиграем вместе с принцессой Точкой. Она выложила из счетных палочек такую фигуру:

Сколько квадратов вы видите? Уберите одну палочку так, чтобы осталось два квадрата. Сделать это можно разными способами. Какие еще фигуры, кроме двух квадратов, у вас получились?

Проверь себя.

Кроме двух квадратов, на каждом рисунке есть прямоугольник.

Построение прямого угла, прямоугольника, квадрата на клетчатой бумаге

Как вы заметили, король Луч и принцесса Точка любят чертить. Они приглашают нас, ребята, поучаствовать в этом увлекательном занятии. Вооружитесь тетрадью в клеточку, простым карандашом, угольником.

Задание: построить на бумаге в клеточку прямой угол, прямоугольник со сторонами 6 см и 3 см, квадрат со стороной 7 см.

Посмотрите, как получилось у принцессы. Сравните со своими чертежами. 

Ставим точку. Откладываем два луча при помощи угольника или линейки.

Ставим точку. Вверх – 3 см, вправо – 6 см. Помним, что противоположные прямоугольника стороны равны. Чертим их – 6 см и 3 см.

Квадрат

А это тетрадь короля. Он чертил квадрат. Сравните со своим чертежом.

Ставим точку. Помним, что у квадрата все стороны равны. Откладываем вверх 7 см, вправо – 7 см. Чертим противоположные стороны по 7 см.

Молодцы, здорово получилось! Если такое занятие было для вас интересным и увлекательным, попробуйте начертить прямой угол, прямоугольник и квадрат на нелинованной бумаге. Сделать это будет гораздо сложнее. Здесь на помощь придет угольник: проверять прямой угол. Можно воспользоваться моделью прямого угла, которую мы изготовили.

Посмотрите, как это получилось у короля и Точки.

После нелегкого занятия король Луч и его дочка присели отдохнуть. Принцесса попросила рассказать интересную сказку. Давайте и мы послушаем!

Сказка

Жил-был на свете Прямоугольник. Фигура важная, спору нет! Люди ценили и уважали Прямоугольника, потому что при изготовлении многих вещей использовали эту фигуру. Всё хорошо у Прямоугольника, но одиноко как-то. Решил он найти своих родственников. Думает: «Если встречу родственников, сразу узнаю, потому что на меня должны быть похожи!».

Однажды встретил Прямоугольник Квадрата и говорит: «Как тебя зовут? Очень ты, брат, на меня похож!». Отвечает Квадрат: «Если найдем  не меньше четырех общих признака, значит, родственники». Стали они друг друга рассматривать и обнаружили четыре сходства:

У каждого было по 4 угла, да все прямые, по 4 стороны, да стороны, которые одна напротив другой – одинаковой длины.

Обрадовались родственники, что нашли друг друга. Поспешили вместе отправиться дальше. Встретили однажды Четырехугольника и спрашивают: «Похож ты на нас. Уж не родня ли?».

Говорит им Четырехугольник: «Я был бы очень рад! Если найдем хотя бы два сходства, значит, родственники». Стали опять внимательно друг к другу приглядываться и увидели два общих признака:

1. 4 угла.
2. 4 стороны.

Обрадовались фигуры и решили не терять друг друга, держаться всегда рядом.

Понравилась вам сказка? Давайте повторим о фигурах все, что узнали. 

В сказочное королевство Геометрия мы вернемся еще не раз. А этот урок подошел к концу. Выберите смайлик вашего настроения.

До скорой встречи в королевстве Геометрия! А сейчас проверьте свои знания. Принцесса Точка справилась с заданиями хорошо, допустила одну небольшую ошибку. Будьте внимательны, не спешите!

У этого термина существуют и другие значения, см. Угол (значения).

Угол
∠
Размерность	безразмерная
Единицы измерения
СИ	радиан
Другие единицы	градус, минута, секунда, град, тысячная

У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла)^[1].

Общие сведения[править | править код]

Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области. Каждая из этих областей, объединённая со сторонами угла, называется плоским углом (или просто углом, если это не вызывает разночтений). Один из плоских углов (обычно меньший из двух) иногда условно называют внутренним, а другой — внешним. Точки плоского угла, не принадлежащие его сторонам, образуют внутреннюю область плоского угла.

В другом, эквивалентном варианте определения плоским углом называется часть плоскости, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую лежащую в этой плоскости линию (которая называется линией, стягивающей данный плоский угол).

Часто для краткости углом называют также угловую меру, то есть число, определяющее величину угла.

Кроме наиболее часто встречающихся плоских углов, в качестве углов могут рассматриваться и более общие объекты — фигуры, образованные пересекающимися дугами, полуплоскостями и другими фигурами как в евклидовой, так и в других типах геометрии в метрических пространствах различной размерности.

Обозначение углов[править | править код]

Для обозначения угла имеется общепринятый символ: предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Символ содержится в Юникоде (U+2220 ∠ angle).

В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ, θ, φ и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ π, как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω.

Также часто угол обозначают тремя символами точек, например В такой записи  — вершина, а и  — точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться.
См. вариации и обобщения.

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например,  — здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника , α, который надо было бы обозначить .

Так, для рисунка справа записи γ, и означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

Угловая мера[править | править код]

Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещён полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго. Назовём прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовём сложенным из этих углов. Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что:

• равным углам соответствует равная угловая мера;
• меньшему углу соответствует меньшая угловая мера;
• у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю (то же справедливо и для угла между параллельными прямыми);
• каждый ненулевой угол имеет определённую угловую меру, большую нуля;
• (аддитивность) угловая мера угла равна сумме угловых мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение а для величины меры измерения этого угла — обозначение

Угол измеряют:

• в градусах, минутах, секундах;
• в радианах;
• в оборотах;
• в градах, минутах, секундах;
• в часах, минутах и секундах;
• в тысячных и делениях угломера;
• в румбах.

Наиболее распространённая градусная мера — градус, минута, секунда, в которой за 1° принимается 1/180 от развёрнутого угла (см. ниже), одна минута , и одна секунда . Градусная мера применяется в элементарной геометрии (измерение углов на чертежах транспортиром), в геодезии по карте и на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор — универсал/теодолит).

Радианная мера угла — отношение длины s стягивающей дуги к её радиусу r. Радианная мера используется в математическом анализе (например, как числовой аргумент тригонометрических функций и при определении числовых (табличных и графических) значений обратных аркфункций), в планиметрии и механике (при рассмотрении вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью тригонометрических функций, — колебаний, волн и так далее).

Углы можно измерять также в оборотах. Один оборот — это полный угол (то есть угол в 360 градусов). Про произвольный угол говорят, что он составляет x оборотов, если x — отношение длины s дуги, стягивающей угол, к длине L окружности, содержащей эту дугу.

Градовая мера измерения углов была предложена к применению исторически, в настоящее время почти нигде не используется, поскольку не вытеснила более распространённую шестидесятеричную градусную.

Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону, где использовалась шестидесятеричная система счисления, следы которой сохранились у нас в делении времени и углов. Один градус (1/360 полного угла) делится на 60 угловых минут (или минут дуги), в свою очередь минута делится на 60 угловых секунд (секунд дуги). Меньшие углы измеряются в дольных единицах секунды, образуемыми с помощью приставок СИ (угловая миллисекунда, угловая микросекунда и т.д.).

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ основной единицей измерения угла является радиан.

В морской терминологии углы измеряются в румбах. 1 румб равен ¹⁄₃₂ от полной окружности (360 градусов) компаса, то есть 11,25 градуса, или 11°15′.

В астрономии угол прямого восхождения и часовой угол в экваториальной системе координат измеряются в часах, минутах и секундах (составляющих соответственно ¹⁄₂₄, ¹⁄₁₄₄₀ и ¹⁄_86 400 полной окружности); это связано с угловой скоростью осевого вращения Земли, составляющей приблизительно 1 оборот за 24 часа^[2]. Таким образом, за один час (минуту, секунду) времени небесная сфера «поворачивается» примерно на 1 час (минуту, секунду) в угловой мере. Остальные угловые величины в астрономии выражаются обычно в градусах, минутах и секундах дуги. Одна секунда (минута) прямого восхождения равна 15 секундам (минутам) дуги.

В артиллерии и оружейном деле используются также тысячные и деления угломера.

В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015° (= 15° + 360°×1000). В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.

Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения (радиан, румб, градус и тому подобное), к ним относятся:

• квадрант (прямой угол, ¹⁄₄ окружности);
• секстант (¹⁄₆ окружности);
• октант (¹⁄₈ окружности; кроме того, в стереометрии октантом называется трёхгранный угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными плоскостями),

Иногда углы (например, угол уклона поверхности) измеряют не собственно угловой мерой, а её тангенсом (или синусом), то есть отношением подъёма по наклонной плоскости к проекции на горизонталь пройденного по ней пути (или к самому этому пути). Для обычного случая малых углов уклона это отношение примерно равно углу, выраженному в радианах (tg α ≈ sin α ≈ α, при α < 0,1 разница между этими величинами менее 1 %). При этом отношение выражается обычно в процентах или промилле. Например, уклон дороги в 10 % означает, что на каждые 100 метров пути (в проекции на горизонталь) дорога поднимается на 10 м; угол к горизонту равен arctg(10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 радиана.
Такой способ измерения углов не является, строго говоря, угловой мерой, так как не обладает свойством аддитивности (см. выше).
См. также приближения для малых углов^[en].

Направление отсчёта углов[править | править код]

В математике и физике, обычно, положительным направлением отсчёта углов считается направление против часовой стрелки. Обычно, угол начинают измерять от луча, начало которого совпадает с центром системы координат (СК), а направление совпадает с положительным направлением оси абсцисс (в полярной СК, цилиндрической СК, сферической СК, СК на тригонометрической окружности и других).

В географии и геодезии за начало отсчёта углов по азимуту принято направление «на север»; угол отсчитывается по часовой стрелке.
Таким образом, направлению «на восток» соответствует азимутальный угол 90°, «на юг» — 180°, «на запад» — 270°. В артиллерии предпочитают направление полярной оси «на юг» и соответствующий полярный угол называют также азимутом (направление «на запад» соответствует азимутальному углу 90°).

Типы углов[править | править код]

• 

  Выпуклый угол

• 

  Прямой угол

• 

  Полный угол

• 

  Острый угол

• 

  Тупой угол

• 

  Развёрнутый угол

В зависимости от величины углы называются следующим образом.

• Нулевой угол (0°); стороны нулевого угла совпадают, его внутренняя область — пустое множество.
• Острый угол (от 0° до 90°, не включая граничные значения).
• Прямой угол (90°); стороны прямого угла перпендикулярны друг другу.
• Тупой угол (от 90° до 180°, не включая граничные значения).
• Косой угол (любой, не равный 0°, 90°, 180° или 270°).
• Развёрнутый угол (180°); сторонами развёрнутого угла являются две полупрямые одной прямой, то есть два луча, направленных в противоположные стороны.
• Невыпуклый угол (от 0° до 180° включительно).
• Выпуклый угол (от 180° до 360°, не включая граничные значения).
• Полный угол (360°) — см. оборот (единица измерения).

Биссектриса[править | править код]

Биссектрисой (от лат. bi- «двойное» и sectio «разрезание») угла называется луч, выходящий из вершины угла и проходящий через его внутреннюю область, который образует с его сторонами два равных угла. Расстояние любой точки биссектрисы от сторон угла одинаково (и, обратно, любая точка внутренней области угла, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе).

Плоские углы[править | править код]

Термин плоский угол употребляется как синоним термина угол, определённого в начале статьи, для отличия его от употребляемого в стереометрии понятия телесного угла (в том числе двугранного, трёхгранного или многогранного угла).

Под свойствами плоских углов нередко понимают соотношения величин углов (смежных, дополнительных, прилегающих, вертикальных — см. ниже) в случае, когда углы лежат в одной плоскости (для планиметрии это подразумевается само собой, однако для стереометрии уточнение необходимо, иначе перечисленные ниже соотношения не имеют места, а сами углы, если не лежат в одной плоскости, не называются смежными или прилегающими (вертикальные всегда лежат в одной плоскости автоматически).

Вертикальные и прилежащие углы[править | править код]

• 

  Вертикальные углы. Две пары углов (A и B, C и D) попарно равны

• 

  Прилежащие углы. Величина угла, образованного внешними (не общими) их сторонами, равна сумме величин их самих (α + β)

• 

  Дополнительные углы a и b (взаимно дополняют друг друга до прямого угла). Оба дополнительных угла являются острыми

• 

  Смежные углы — на этом рисунке острый (α) и тупой (β) — образуют развёрнутый угол (α + β)

• 

  Сопряжённые углы — образуют полный угол (360°); на этом рисунке частный пример: 150° + 210° = 360°

• Вертикальные углы — 2 угла на плоскости, которые образуются при пересечении 2 непараллельных прямых. Эти 2 угла не имеют общих сторон (то есть, стороны одного угла являются продолжением сторон другого). Их основное свойство: вертикальные углы равны.
• Прилежащие углы — 2 угла на 1 плоскости, имеющие общими по 1 вершине и по 1 из 2 сторон, но не пересекающиеся внутренними областями. Величина угла, образованного 2 внешними (не общими) сторонами прилежащих углов, равна сумме величин самих прилежащих углов (на рисунке α + β).

Частные случаи прилежащих углов.

• Если прилежащие углы равны, то их общая сторона — биссектриса.

• Дополнительные углы — два угла с общей вершиной на плоскости, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны составляют прямой угол. Сумма дополнительных углов равна 90°. Синус, тангенс и секанс угла равны соответственно косинусу, котангенсу и косекансу дополнительного угла.

• Смежные углы — 2 угла с 1 общей вершиной на плоскости, 1 из 2 сторон которых — общая, а оставшиеся 2 стороны лежат на 1 прямой (не совпадая). Сумма 2 смежных углов равна 180°. То есть, 2 смежных угла на плоскости это — 2 прилежащих угла, дающих в сумме 180°.

• Сопряжённые углы — 2 угла на плоскости, имеющие общими 1 вершину и 2 стороны, по которым они примыкают (граничат) друг к другу, но различаются внутренними областями; объединение таких 2 углов представляет собой всю плоскость, а, как прилежащие углы, они образуют в сумме полный угол; сумма их величин равна 360°.

Плоские углы с (анти)параллельными сторонами[править | править код]

Углы, стороны которых попарно параллельны и сонаправлены (или попарно параллельны и противоположно направлены), равны друг другу. Пара углов, у которых одна пара сторон параллельна и сонаправлена друг другу, а вторая пара сторон параллельна и противоположно направлена, составляют в сумме по величине развёрнутый угол, то 180° (см. рисунок) — поскольку их можно параллельным переносом превратить в смежные углы («склеив» сонаправленные стороны).

Углы со взаимно перпендикулярными сторонами[править | править код]

• Два угла со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если оба они острые или оба тупые.

Внешний угол треугольника[править | править код]

• Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с внешним углом.

Углы многоугольника[править | править код]

Сумма внутренних углов α_i произвольного n-угольника без самопересечений равна

Так,

• сумма внутренних углов треугольника равна 180°,
• четырёхугольника — 360°,
• пятиугольника — 540° и так далее.

Следствие[править | править код]

Назовём внешним углом β_i (внимание, это не обычное определение внешнего угла) угол, дополняющий внутренний угол α_i до полного угла: β_i = 360° − α_i.

Сумма внешних углов произвольного n-угольника без самопересечений равна

Центральный и вписанный угол[править | править код]

Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.

• 

  Центральный угол

• 

  Вписанный угол

• Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, заключённой между сторонами этого угла.
• Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, ограниченной его сторонами. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося у основания на окружности на ту же самую дугу (см. рис.).

Вариации и обобщения[править | править код]

Величиной ориентированного угла между прямыми и (обозначение: ) называют величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую так, чтобы она стала параллельна прямой При этом углы, отличающиеся на n·180° (n — целое число), считаются равными. Ориентированный угол между прямыми и не равен ориентированному углу между прямыми и (они составляют в сумме 180° или, что по соглашению то же самое, 0°). Ориентированные углы обладают следующими свойствами: а)
б) в) точки не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла, расширив его область определения на всю числовую прямую : вводятся углы, большие 360°, в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается на рассматриваемый в стереометрии телесный угол.

Телесный угол[править | править код]

Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).

Телесные углы измеряются в стерадианах (одна из основных единиц СИ), а также во внесистемных единицах — в частях полной сферы (то есть полного телесного угла, составляющего 4π стерадиан), в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.

Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:

• двугранный угол — часть пространства, ограниченная двумя пересекающимися плоскостями;
• трёхгранный угол — часть пространства, ограниченная тремя пересекающимися плоскостями;
• многогранный угол — часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке.

Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом (углом между образующими его плоскостями), так и телесным углом (в качестве вершины может быть выбрана любая точка на его ребре — прямой пересечения его граней). Если линейный угол двугранного угла (в радианах) равен φ, то его телесный угол (в стерадианах) равен 2φ.

Угол между кривыми[править | править код]

Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.

Угол и скалярное произведение[править | править код]

Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение между двумя элементами пространства и Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши — Буняковского (Коши — Шварца) для скалярного произведения: откуда следует, что величина принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда, когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически — их направления совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение как косинус угла между элементами и В частности, элементы называют ортогональными, если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.

В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале функциями, если ввести стандартное скалярное произведение тогда нормы функций определяются как Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными, если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.

В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора Скалярное произведение касательных векторов и в тензорной записи будет иметь вид: соответственно нормы векторов — и Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов:

Угол в метрическом пространстве[править | править код]

Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.

Пусть  — метрическое пространство. Пусть далее,  — элементы этого пространства.

К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами и с вершиной в точке как неотрицательное число , которое удовлетворяет трём аксиомам:

В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:

Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.

Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами и в смысле евклидова пространства.

Измерение углов[править | править код]

Одним из самых распространённых инструментов для построения и измерения углов является транспортир (а также линейка — см. ниже); как правило, он используется для построения угла определённой величины. Для более или менее точного измерения углов разработано много инструментов:

• угломер;
• гониометр — прибор для лабораторного измерения углов;
• кипрегель — геодезический угломерный инструмент.

Угловым расстоянием (или просто углом) между двумя объектами для наблюдателя называется мера угла, в вершине которого находится наблюдатель, а объекты лежат на сторонах. Для грубой оценки углов между двумя удалёнными предметами можно использовать кисть руки. На расстоянии вытянутой руки угловому расстоянию в 1 градус (1°) соответствует ширина мизинца (см. также ниже; угловая ширина среднего пальца на расстоянии вытянутой руки составляет около 2°), углу в 10 градусов — ширина сжатого кулака, расположенного горизонтально (либо поперечник ладони), углу в 20 градусов (или около 15°÷17°÷20°) — расстояние между кончиками разведённых большого и указательного пальца (пядь), а угловое расстояние от конца мизинца до конца большого пальца равно примерно четверти прямого угла. Это усреднённые данные. Рекомендуется уточнить их для своей собственной руки.

Различные методы и устройства для измерения углов характеризуются угловым разрешением, то есть минимальным углом, который может быть измерен с помощью данного метода. Наилучшим угловым разрешением обладают различные интерферометрические методы, позволяющие измерить в некоторых случаях углы в несколько микросекунд дуги (~10⁻¹¹ радиана).

Примеры практических тригонометрических измерений[править | править код]

Решение задач простым способом

Как измерить угол (например, на карте) с помощью сторон треугольника (например, при отсутствии инженерного/тригонометрического калькулятора (и таблиц) и отсутствии ПК (MS Office Excel) для вычисления cos) и подручными средствами — линейки с миллиметровыми делениями?
По сторонам угла отложите отрезки по 60 мм и концы соедините прямой линией. Длина этой линии в миллиметрах покажет примерно величину угла в градусах. Таким способом можно с достаточной (приемлемой) точностью измерять острые углы до 60°. Если угол больше 60°, измеряют его дополнение до 90°, 180, 270° или 360°. Для измерения дополнения до 90° или 270° из вершины угла строится с помощью треугольника перпендикуляр к одной из сторон (в равнобедренном треугольнике — медиана-биссектриса, она же является высотой).

Как измерить угол линейкой (при визуальном ориентировании на местности …и сравнить угол по карте — см. пункт 1)?
Поместите линейку с миллиметровыми делениями перед собой на расстоянии 57 см (не более 60 см) от глаза. В этом случае деление, равное 1 см, будет соответствовать углу визирования в 1°. В справедливости данного способа вы легко убедитесь, если помните, что дуга центрального угла в 1° составляет примерно 1/57 часть радиуса. Точность измерения углов с помощью линейки (также как и с помощью пальцев; см. ниже) зависит от точности положения линейки (или пальцев) на необходимом расстоянии от глаза. В этом можно быстро натренироваться с помощью нитки, длина которой соответствует расстоянию от глаза до пальцев вытянутой руки.

Как можно измерять и откладывать на местности углы без применения угломерных приборов?
Наиболее просто это можно сделать сравнением измеряемого угла с прямым. Прямой угол вы можете отложить направлениями рук, одна из которых вытянута вдоль плеч, а вторая с поднятым большим пальцем направлена так, чтобы палец правой руки был перед правым глазом (соответственно палец левой руки — перед левым глазом). Прямой угол можно глазомерно поделить на две или три равные части, каждая из которых будет соответствовать 45° или 30°.
Меньшие значения углов можно отложить или измерить на местности следующим приёмом. Прежде всего измерьте линейкой ширину трёх сомкнутых пальцев своей руки: указательного, среднего и безымянного. Если она у вас будет равна 6 см, то при вытянутой на 60 см руке угол визирования на них составит примерно 6°. Соответственно угол визирования на каждый из этих трёх пальцев будет равен в среднем 2°. Если же ширина трёх пальцев получится у вас, например, 5 см, то, чтобы углы визирования были такими же, руку надо вытягивать на 50 см.

При вытянутой руке угол визирования на большой и указательный пальцы, раздвинутые под прямым углом, составляет примерно 15°. Как это проверить и уточнить?
Прежде всего заметьте на местности ориентир и от него отложите угол 90°. Это можно сделать приёмом, описанным в предыдущей задаче. Затем от ориентира отложите шесть углов по 15° визированием на большой и указательный пальцы, раздвинутые под прямым углом. Последнее отложение угла должно составить на местности прямой угол. Если этого точно не получилось, нужно повторить отложения, держа вытянутую руку немного ближе или дальше от глаза (порядка 60 см). Этим самым вы определите расстояние, на которое нужно вытягивать руку для отложения угла 15°^[3].

Углы также можно вычислить (рассчитать) с помощью различных измерительных приборов и приспособлений — посредством тригонометрии на счётной линейке, инженерном калькуляторе (в том числе калькулятор (Windows)), с помощью функций таблицы MS Office Excel: (1) cos, (2) затем arccos, и (3) перевести, также функциями, значение радианов в градусы (°) (при наличии ПК; существуют и on-line-вычисление углов треугольника по заданным сторонам);
Существуют также специальные тригонометрические таблицы: sin, cos, а также arccos, arcsin, последние, кстати, могут быть (в том числе и чаще всего) с перерасчётом в градусы.

В аналитической геометрии угол между прямыми в координатной плоскости, например, задаётся уравнением:

(см. Линейная функция; см. также #Угол и скалярное произведение)

Примечания[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

• Барабанов О. О. Начала истории прямого угла // История науки и техники. — 2015. — № 1. — С. 16—27.‘
• Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7—11 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1992. — 383 с. — ISBN 9785090038546.
• Сидоров Л. А. Угол // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — Стб. 467‒468. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Двугранный угол // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — Стб. 50. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30‒31. — ISBN 5-94057-170-0.
• Угломерные приборы/Угол (плоский) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / Гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. XXVI. — С. 459‒460. — 624 с.
• Weisstein, Eric W. Line Bisector (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Angle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• K. Menger. New Fondations of Euclidean Geometry (англ.) // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53 : журнал. — 1931. — P. 721‒745.
• W. A. Wilson. On angles in certain metric spaces (англ.) // Bulletin of American Mathematical Society 39. — 1932. — P. 580‒588.