Как найти острый угол между двумя прямыми

Определение угла между прямыми

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Угол между прямыми в пространстве

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку “Решить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и

где q₁=(m₁, p₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ (рис.1).

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (1.3) получим:

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ₁. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 4), а прямая (1.6) − q₂=(m₂, p₂)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m₁, p₁, m₂, p₂ в (1.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Ответ.

Угол между прямыми равен:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Таким образом условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид (1.8). Если m₂≠0 и p₂≠0, то (1.8) можно записать так:

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 3), а прямая (1.11) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, −2). Тогда

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁)=(3, 1), а прямая (1.15) − q₂=(m₂, p₂)=(−2, 6). Тогда

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

и

Так как нормальным вектором прямой L₁ является n₁=(A₁, B₁), а нормальным вектором прямой L₂ является n₂=(A₂, B₂), то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла φ между векторами n₁ и n₂ (Рис.2).

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

где |n₁| и |n₂| модули нормальных векторов n₁ и n₂ соответственно, φ -угол между векторами n₁ и n₂.

Из уравнения (19) получим

Пример 4. Найти угол между прямыми

и

Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(5, −2), а прямая (1.22) − n₂=(A₂, B₂)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла между векторами n₁ и n₂. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n₁,n₂)=|n₁||n₂|cosφ. Тогда

Подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.23), получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

С другой стороны условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности векторов n₁ и n₂ и можно представить так:

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A₂≠0 и B₂≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, 2), а прямая (1.27) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 1). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (1.24), получим

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n₁,n₂)=0. Откуда

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n₁=(A₁, B₁)=(4, −1), а прямая (1.30) − n₂=(A₂, B₂)=(2, 8). Тогда подставляя значения A₁, B₁, A₂, B₂ в (28), получим

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

и

где q₁=(m₁, p₁, l₁) направляющий вектор прямой L₁, а q₂=(m₂, p₂, l₂) направляющий вектор прямой L₂.

Задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q₁ и q₂ .

Из определения скалярного произведения:

где |q₁| и |q₂| модули направляющих векторов q₁ и q₂ соответственно, φ -угол между векторами q₁ и q₂.

Из выражения (2.3) получим:

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L₁ и L₂. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L₁ и L₂: φ₁=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

и

Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.4):

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Ответ.

Угол между прямыми равен:

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q₁ и q₂, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q₁ и q₂ пропорциональны, и, следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(6, 4, 8). Тогда

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(2, 4, 0). Подставляя значения m₁, p₁, l₁, m₂, p₂, l₂ в (2.8), получим

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L₁ и L₂ были перпендикулярны , должно выполняться условие

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

и

Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q₁=(m₁, p₁, l₁)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q₂=(m₂, p₂, l₂)=(4, −6, 0). Тогда

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Угол между прямыми на плоскости

Определение.
Углом между прямыми называется наименьший
из двух смежных углов, образованных
этими прямыми.

Для
решения вопроса о нахождении угла между
прямыми достаточно заменить прямые их
направляющими векторами и находить
острый угол между векторами.

Пусть
прямые ℓ₁
и ℓ₂

заданы общими уравнениями в прямоугольной
декартовой системе координат О
:

ℓ_1:

= 0,

ℓ_2:

= 0.

Направляющие
векторы этих прямых имеют координаты

₁(В₁,
– А₁)
и

₂(В₂,
– А₂).
Пусть угол между прямыми равен .
Тогда

cos
=

или

cos
=

.
(7)

При
решении задач часто сталкиваемся с
нахождением угла между прямыми, когда
прямые ℓ₁
и ℓ₂

задаются
уравнениями с угловым коэффициентом
(не забываем, что прямые ℓ₁
и ℓ₂

не параллельны оси Оу):

ℓ_1:


,

ℓ_2:


.

Если
переписать эти уравнения в общем виде,
то получим

ℓ_1:

= 0,

ℓ_2:

= 0.

Соответственно,
их направляющие векторы

₁(1,
k₁)
и

₂(1,
k₂),
и формула (7) принимает вид:

cos
=

.

Более
интересна формула для угла между прямыми
ℓ₁
и ℓ₂
:

=

.

Действительно,

,

(см. рисунок). Тогда
один из углов между прямыми ℓ₁
и ℓ₂
:

= |
|.
Так как

=
|

|
= |
|,

то

=

.

Замечание.
Если ℓ₁
ℓ₂,
то

– не существует и

= –1.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть
прямые ℓ₁
и ℓ₂

заданы общими уравнениями в О


:

ℓ_1:

= 0,

ℓ_2:

= 0.

Вопрос
о взаимном расположении двух прямых
можно решить алгебраическим путем, а
именно, исследуя решение системы линейных
уравнений

Как
известно, система имеет единственное
решение только в единственно случае,
когда коэффициенты при неизвестных не
пропорциональны

.
Следовательно,

1.
ℓ₁

ℓ₂




ℓ₁

ℓ₂



.

2.
ℓ₁||ℓ₂

ℓ₁

ℓ₂



(


).

3.
ℓ₁
=
ℓ₂



=

( прямые совпадают).

Расстояние от точки до прямой

Пусть
прямая ℓ задана общим уравнением в О
:

ℓ:

= 0.

Нормальный
вектор прямой имеет координаты:

.
Выберем произвольно точку М₀(
)
и найдем расстояние от точки М₀
до прямой ℓ.

Из
точки М₀
опустим
перпендикуляр на прямую ℓ
и обозначим
основание
перпендикуляра
М₁(
).
Так как М₁

ℓ, то

= 0 и

С
= – (
).
(8)

Искомое
расстояние равно |М₁М₀|.
С другой стороны

||

и, следовательно, угол 
между ними равен или 0, или .

Поэтому:

(
,

)
= |
|
|
|cos
= 
|
|
|
|
= 
|
|
.

Запишем
полученное равенство в координатной
форме.

Имеем:

(
.

Поэтому,
учитывая (8) получим:

(
,

)
=

=

=

.

Учитывая,
что скалярное произведение векторов
может быть отрицательным, будем
рассматривать его по абсолютной величине
и находим

|
|

= |
|,

|М₁М₀|
=

.
(9)

Знак
трехчлена Ах
+ Ву + С

Пусть
прямая ℓ задана общим уравнением в О
:

ℓ:

= 0.

Нормальный
вектор прямой имеет координаты:

.
От произвольной точки

прямой
ℓ откладываем представитель

вектора

.

Как
известно прямая ℓ разбивает плоскость
на две открытые полуплоскости, которые
обозначим 
и ,
причем полуплоскость 
содержит отрезок

.

Тогда,
как нетрудно заметить, если точка М(
)
расположена в полуплоскости ,
то угол между векторами

и

будет острый. Если точка М
расположена в полуплоскости ,
то угол между векторами

и

будет тупой. Рассматривая скалярные
произведения этих векторов, получим:

1. Если
   точка М
   расположена в полуплоскости ,
   то (
   ,
   
   )
   > 0.

2. Если
   точка М
   расположена
   в полуплоскости ,
   то (
   ,

   )
   < 0.

Записывая
1 и 2 в координатной форме, получим:

М



>
0,

М



<
0.

Учитывая,
что точка


ℓ, (см (8)) получим:

М




> 0, (10)

М




< 0. (11)

Таким
образом, строгие неравенства (10), (11)
являются уравнениями открытых
полуплоскостей. Если неравенства
нестрогие, т.е.

≥ 0,
(12)

 0.
(13),

то
они являются уравнениями полуплоскостей
(вместе с граничной прямой ℓ).

Пример.
В прямоугольной декартовой системе
координат на плоскости заданы точки:
А(2; −1), В(−1;
3), С(4; −5).

1)
Составить уравнения прямой АВ
в канонической,
параметрической и общей формах. Определить
координаты ее нормального вектора.

2)
Определить угловой коэффициент прямой
(АС)
и отрезки, отсекаемые ею на осях координат.

3)
Найти косинус угла между прямыми (АВ)
и (АС).

4)
Найти длину высоты треугольника АВС,
проведенной из вершины С и составить
уравнение прямой, содержащей этот
отрезок.

Решение.
1. Прямую (АВ)
можно задать точкой А(2;
−1) и вектором

,
тогда каноническое и параметрическое
задания данной прямой будут выглядеть
следующим образом:

(1)

и

где

R.
(2)

Из
канонического уравнения (1) равносильными
переходами получим ее общее уравнение:

,

.
(3)

Из
уравнения (3) найдем координаты нормального
вектора этой прямой:

.

2.
Аналогично пункту (1) можно получить
общее уравнение прямой (АС):
2x
+ y
− 3 = 0.

Откуда

y
= −2x
+ 3.

Следовательно,
угловой коэффициент этой прямой k
= − 2.

Уравнение
прямой (АС)
запишем в виде: 2x
+ y
= 3 и, разделив
обе части уравнения на 3, получим

.

Мы
получили уравнение прямой в отрезках.
Отсюда находим точки пересечения прямой
с осями координат:

,
B(0;3)

3.
Для нахождения косинуса угла между
прямыми (АВ)
и (АС)
используем следующую формулу:

,

где

–угл между прямыми,
k₁,
k₂
– угловые коэффициенты данных прямых.
Во второй части задания мы нашли k₂
= −2.

Общее
уравнение прямой (АВ)
получено в первой части задания:

4x
+ 3y
− 5 = 0, откуда

и k₁=

.

Следовательно,

.

Итак,

.

4
.

Длину
высоты

можно рассматривать как расстояние от
точки С(4;−5).до прямой (АВ):

.

Т

H

аким образом,

.
Формула расстояния от точки до прямой
известна:

.

Следовательно,

.

Итак,
|CH|=0,8.

Прямую
(CH)
можно задать точкой С(4;
-5) и нормальным
вектором

.
Поэтому −3
∙(x
− 4) + 4 ∙(y
+5)=0,

3x
– 4y
– 32 = 0 –
уравнение прямой (CH).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Данный материал посвящен такому понятию, как угол между двумя пересекающимися прямыми. В первом пункте мы поясним, что он из себя представляет, и покажем его на иллюстрациях. Потом разберем, какими способами можно найти синус, косинус этого угла и сам угол (отдельно рассмотрим случаи с плоскостью и трехмерным пространством), приведем нужные формулы и покажем на примерах, как именно они применяются на практике.

Что такое угол между пересекающимися прямыми

Для того чтобы понять, что такое угол, образующийся при пересечении двух прямых, нам потребуется вспомнить само определение угла, перпендикулярности и точки пересечения.

Мы называем две прямые пересекающимися, если у них есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения двух прямых.

Каждая прямая разделяется точкой пересечения на лучи. Обе прямые при этом образуют 4 угла, из которых два – вертикальные, а два – смежные. Если мы знаем меру одного из них, то можем определить и другие оставшиеся.

Допустим, нам известно, что один из углов равен α. В таком случае угол, который является вертикальным по отношению к нему, тоже будет равен α. Чтобы найти оставшиеся углы, нам надо вычислить разность 180°-α. Если α будет равно 90 градусам, то все углы будут прямыми. Пересекающиеся под прямым углом линии называются перпендикулярными (понятию перпендикулярности посвящена отдельная статья).

Взгляните на рисунок:

Перейдем к формулированию основного определения.

Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из 4-х углов, которые образуют две эти прямые.

Из определения нужно сделать важный вывод: размер угла в этом случае будет выражен любым действительным числом в интервале (0, 90]. Если прямые являются перпендикулярными, то угол между ними в любом случае будет равен 90 градусам.

Как найти угол между пересекающимися прямыми на плоскости

Умение находить меру угла между двумя пересекающимися прямыми полезно для решения многих практических задач. Метод решения можно выбрать из нескольких вариантов.

Для начала мы можем взять геометрические методы. Если нам известно что-то о дополнительных углах, то можно связать их с нужным нам углом, используя свойства равных или подобных фигур. Например, если мы знаем стороны треугольника и нужно вычислить угол между прямыми, на которых эти стороны расположены, то для решения нам подойдет теорема косинусов. Если у нас в условии есть прямоугольный треугольник, то для подсчетов нам также пригодится знание синуса, косинуса и тангенса угла.

Координатный метод тоже весьма удобен для решения задач такого типа. Поясним, как правильно его использовать.

У нас есть прямоугольная (декартова) система координат Oxy, в которой заданы две прямые. Обозначим их буквами a и b. Прямые при этом можно описать с помощью каких-либо уравнений. Исходные прямые имеют точку пересечения M. Как определить искомый угол (обозначим его α) между этими прямыми?

Начнем с формулировки основного принципа нахождения угла в заданных условиях.

Нам известно, что с понятием прямой линии тесно связаны такие понятия, как направляющий и нормальный вектор. Если у нас есть уравнение некоторой прямой, из него можно взять координаты этих векторов. Мы можем сделать это сразу для двух пересекающихся прямых.

Угол, образуемый двумя пересекающимися прямыми, можно найти с помощью:

• угла между направляющими векторами;
• ­угла между нормальными векторами;
• угла между нормальным вектором одной прямой и направляющим вектором другой.

Теперь рассмотрим каждый способ отдельно.

1. Допустим, что у нас есть прямая a с направляющим вектором a→=(ax, ay) и прямая b с направляющим вектором b→(bx, by). Теперь отложим два вектора a→ и b→ от точки пересечения. После этого мы увидим, что они будут располагаться каждый на своей прямой. Тогда у нас есть четыре варианта их взаимного расположения. См. иллюстрацию:

Если угол между двумя векторами не является тупым, то он и будет нужным нам углом между пересекающимися прямыми a и b. Если же он тупой, то искомый угол будет равен углу, смежному с углом a→, b→^. Таким образом, α=a→, b→^ в том случае, если a→, b→^≤90° , и α=180°-a→, b→^, если a→, b→^>90°.

Исходя из того, что косинусы равных углов равны, мы можем переписать получившиеся равенства так: cos α=cos a→, b→^, если a→, b→^≤90°; cos α=cos180°-a→, b→^=-cosa→, b→^, если a→, b→^>90°.

Во втором случае были использованы формулы приведения. Таким образом,

cos αcosa→, b→^, cosa→, b→^≥0-cosa→, b→^, cosa→, b→^<0⇔cos α=cosa→, b→^

Запишем последнюю формулу словами:

Косинус угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, будет равен модулю косинуса угла между его направляющими векторами.

Общий вид формулы косинуса угла между двумя векторами a→=(ax, ay) и b→=(bx, by) выглядит так:

cosa→, b→^=a→, b→^a→·b→=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2

Из нее мы можем вывести формулу косинуса угла между двумя заданными прямыми:

cos α=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2

Тогда сам угол можно найти по следующей формуле:

α=arccosax·bx+ay+byax2+ay2·bx2+by2

Здесь a→=(ax, ay) и b→=(bx, by) – это направляющие векторы заданных прямых.

Приведем пример решения задачи.

Мы можем решить подобную задачу с помощью нахождения угла между нормальными векторами. Если у нас есть прямая a с нормальным вектором na→=(nax, nay) и прямая b с нормальным вектором nb→=(nbx, nby), то угол между ними будет равен углу между na→ и nb→ либо углу, который будет смежным с na→, nb→^. Этот способ показан на картинке:

Формулы для вычисления косинуса угла между пересекающимися прямыми и самого этого угла с помощью координат нормальных векторов выглядят так:

cos α=cosna→, nb→^=nax·nbx+nay+nbynax2+nay2·nbx2+nby2α=arccosnax·nbx+nay+nbynax2+nay2·nbx2+nby2

Здесь na→ и nb→ обозначают нормальные векторы двух заданных прямых.

Разберем последний случай – нахождение угла между прямыми, если нам известны координаты направляющего вектора одной прямой и нормального вектора другой.

Допустим, что прямая a имеет направляющий вектор a→=(ax, ay), а прямая b – нормальный вектор nb→=(nbx, nby). Нам надо отложить эти векторы от точки пересечения и рассмотреть все варианты их взаимного расположения. См. на картинке:

Если величина угла между заданными векторами не более 90 градусов, получается, что он будет дополнять угол между a и b до прямого угла.

a→, nb→^=90°-α в том случае, если a→, nb→^≤90°.

Если он менее 90 градусов, то мы получим следующее:

a→, nb→^>90° , тогда a→, nb→^=90°+α

Используя правило равенства косинусов равных углов, запишем:

cosa→, nb→^=cos(90°-α)=sin α при a→, nb→^≤90°.

cosa→, nb→^=cos90°+α=-sin α при a→, nb→^>90°.

Таким образом,

sin α=cosa→, nb→^, a→, nb→^≤90°-cosa→, nb→^, a→, nb→^>90°⇔sin α=cosa→, nb→^, a→, nb→^>0-cosa→, nb→^, a→, nb→^<0⇔⇔sin α=cosa→, nb→^

Сформулируем вывод.

Чтобы найти синус угла между двумя прямыми, пересекающимися на плоскости, нужно вычислить модуль косинуса угла между направляющим вектором первой прямой и нормальным вектором второй.

Запишем необходимые формулы. Нахождение синуса угла:

sin α=cosa→, nb→^=ax·nbx+ay·nbyax2+ay2·nbx2+nby2

Нахождение самого угла:

 α=arcsin=ax·nbx+ay·nbyax2+ay2·nbx2+nby2

Здесь a→ является направляющим вектором первой прямой, а nb→ – нормальным вектором второй.

Приведем еще один способ нахождения нужного угла с помощью угловых коэффициентов заданных прямых.

У нас есть прямая a, которая задана в прямоугольной системе координат с помощью уравнения y=k1·x+b1, и прямая b, заданная как y=k2·x+b2. Это уравнения прямых с угловым коэффициентом. Чтобы найти угол пересечения, используем формулу:

α=arccosk1·k2+1k12+1·k22+1, гдеk1 и k2 являются угловыми коэффициентами заданных прямых. Для получения этой записи были использованы формулы определения угла через координаты нормальных векторов.

В выводах этого пункта следует отметить, что приведенные здесь формулы нахождения угла не обязательно учить наизусть. Для этого достаточно знать координаты направляющих и/или нормальных векторов заданных прямых и уметь определять их по разным типам уравнений. А вот формулы для вычисления косинуса угла лучше запомнить или записать.

Как вычислить угол между пересекающимися прямыми в пространстве

Вычисление такого угла можно свести к вычислению координат направляющих векторов и определению величины угла, образованного этими векторами. Для таких примеров используются такие же рассуждения, которые мы приводили до этого.

Допустим, что у нас есть прямоугольная система координат, расположенная в трехмерном пространстве. В ней заданы две прямые a и b с точкой пересечения M. Чтобы вычислить координаты направляющих векторов, нам нужно знать уравнения этих прямых. Обозначим направляющие векторы a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz). Для вычисления косинуса угла между ними воспользуемся формулой:

cos α=cosa→, b→^=a→, b→a→·b→=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2

Для нахождения самого угла нам понадобится эта формула:

α=arccosax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2

Данный калькулятор предназначен для вычисления угла между двумя прямыми онлайн.

Две прямые могут иметь три варианта взаимного расположения друг к другу. Они могут совпадать, быть параллельны или же пересекаться. Для определения угла между прямыми наиболее интересным случаем является угол между скрещивающимися (или пересекающимися) прямыми.

Если две прямые имеют одну общую точку, то такие прямые называются пересекающимися. Точка пересечения делит каждую из прямых на два луча. Между лучами пересекающихся прямых образовываются четыре угла (два острых и два тупых). Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми – это наименьший угол (острый), образованный при пересечении этих прямых. Следует отметить, что, если известно значение одного из углов, можно легко найти значения остальных трех углов благодаря свойствам вертикальных и смежных углов.

Для того чтобы найти угол между двумя прямыми с помощью данного калькулятора, необходимо ввести коэффициенты в уравнения прямых и нажать кнопку «Вычислить».

Если прямые заданы следующими уравнениями:

A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0

тогда направляющие векторы этих прямых будут равны:

a₁ = (- B₁ ; A₁) и a₂ = (- B₂ ; A₂)

Воспользуемся формулой скалярного произведения двух векторов:

из этой формулы получим:

Выразим угол φ :

Из последней формулы получим: