Как найти от дроби степень числа - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Возведение дроби в степень

Поддержать сайт

Запомните!

При возведении в степень дроби нужно
возвести в степень и числитель, и знаменатель.

Данное свойство соответствует другой записи свойства № 5
«Степень частного», расмотренного на предыдущей странице.

Примеры возведения в степень дроби.

()² =

=

=

Как возвести в степень смешанное число

Чтобы возвести в степень смешанное число, сначала избавляемся от целой
части, превращая смешанное число в неправильную дробь. После этого
возводим в степень и числитель, и знаменатель.

Пример.

Формулу возведения в степень дроби применяют как
слева направо, так и справа налево, то есть, чтобы
разделить друг на друга степени
одинаковыми показателями, можно разделить одно основание на другое,
а показатель степени оставить неизменным.

Пример. Найти значение выражения рациональным способом.

На нашем сайте вы также можете проверить свои вычисления и
возвести число в степень онлайн.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

Дробная степень

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Определение.

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

$[r = frac{m}{n},]$

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

$[{a^{frac{m}{n}}} = sqrt[n]{{{a^m}}}]$

2) При a=0 и r>0

$[{0^r} = 0.]$

В частности,

$[{a^{frac{1}{2}}} = sqrt a ]$

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

$[sqrt[n]{{{a^m}}} = {(sqrt[n]{a})^m}]$

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

$[1){81^{frac{1}{4}}} = sqrt[4]{{81}} = 3;]$

$[2){128^{frac{5}{7}}} = sqrt[7]{{{{128}^5}}} = {(sqrt[7]{{128}})^5} = {2^5} = 32;]$

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

$[3){625^{0,75}} = {625^{frac{3}{4}}} = sqrt[4]{{{{625}^3}}} = {(sqrt[4]{{625}})^3} = ]$

$[ = {5^3} = 125;]$

$[4){243^{0,4}} = {243^{frac{2}{5}}} = sqrt[5]{{{{243}^2}}} = {left( {sqrt[5]{{243}}} right)^2} = ]$

$[ = {3^2} = 9.]$

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

$[5){(15frac{5}{8})^{frac{2}{3}}} = {(frac{{125}}{8})^{frac{2}{3}}} = sqrt[3]{{{{(frac{{125}}{8})}^2}}} = {(sqrt[3]{{frac{{125}}{8}}})^2} = ]$

$[ = {(frac{5}{2})^2} = frac{{25}}{4} = 6frac{1}{4};]$

$[6){(12frac{1}{4})^{1,5}} = {(frac{{49}}{4})^{frac{3}{2}}} = sqrt {{{(frac{{49}}{4})}^3}} = {(sqrt {frac{{49}}{4}} )^3} = ]$

$[ = {(frac{7}{2})^3} = frac{{343}}{8} = 42frac{7}{8}.]$

А как вычисляется отрицательная дробная степень?

Степень с отрицательным рациональным показателем также определена только для a>0:

$[ a^{ - frac{m}{n}} = frac{1}{{a^{frac{m}{n}} }} = frac{1}{{sqrt[n]{{a^m }}}} = frac{1}{{(sqrt[n]{a})^m }} ]$

При возведении обыкновенной дроби в степень с отрицательным показателем удобно использовать формулу:

$[ (frac{a}{b})^{ - n} = (frac{b}{a})^n ]$

Примеры.

Выполнить возведение в степень с отрицательным рациональным показателем:

$[ 1)625^{ - frac{3}{4}} = frac{1}{{625^{frac{3}{4}} }} = frac{1}{{(sqrt[4]{{625}})^3 }} = frac{1}{{5^3 }} = frac{1}{{125}}; ]$

$[ 2)0,0004^{ - 1,5} = frac{1}{{0,0004^{frac{3}{2}} }} = frac{1}{{(sqrt {0,0004} )^3 }} = ]$

$[ = frac{1}{{0,02^3 }} = (frac{1}{{0,02}})^3 = (frac{{100}}{2})^3 = ]$

$[ 3)(1frac{{61}}{{64}})^{ - frac{2}{3}} = (frac{{125}}{{64}})^{ - frac{2}{3}} = (frac{{64}}{{125}})^{frac{2}{3}} = (sqrt[3]{{frac{{64}}{{125}}}})^2 = ]$

$[ = (frac{4}{5})^2 = frac{{16}}{{25}} = 0,64. ]$

Источник

Дробная степень числа

Дробный показатель степени
Действия над степенями с дробными показателями

Дробный показатель

Число с дробным показателем степени равно корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю.

Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:

Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:

Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:

Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении дробных степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:

При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести степень в другую степень, в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

Источник

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя – как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.

Определение 1

Возвести число в степень – это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова “вычисление значение степени” и “возведение в степень” означают одно и то же. Так, если в задаче стоит “Возведите число 0,5 в пятую степень”, это следует понимать как “вычислите значение степени (0,5)5.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите -2 в степень 4.

Решение

Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3272

Как будем решать

Данную запись можно перевести или переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π.

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.

Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

a1=a

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно 73.

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени – целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.

Пример 5

Примеры:

50=1, (-2,56)0=1230=1

00- не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а – любое число, а z – целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.

Пример 6

Выполните возведение 2 в степень -3.

Решение

Используя определение выше, запишем: 2-3=123

Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 23=2·2·2=8.

Тогда ответ таков: 2-3=123=18

Пример 7

Возведите 1,43 в степень -2.

Решение

Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2

Вычисляем квадрат (квадратный показатель) в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1,43)-2=1000020449

Отдельный случай – возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.

Пример 8

Пример: 3−1=1/3

913-1=13964-1=164 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.

У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.

Проиллюстрируем на примере.

Пример 9

Вычислите 8-23.

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8-23=1643=133643=133433=14

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2

После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадратик: 2-2=122=14

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.

Пример 10

Возведите 44,89 в степень 2,5.

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107

Ответ: 13 501,25107.

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями – довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную – значения не имеет: 0-43.

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367….

Решение

Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,17≈2,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367…≈21,1743≈2,256833.

Возведение степени в степень

Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.

Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: (aᵑ)ᵐ = aᵑ*ᵐ.

Здесь а – это любое число, а n и m – натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.

Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.

Источник

Как посчитать дробную степень

Операции возведения числа в степень и извлечения из него корня – противоположные друг другу математические действия. Однако они могут быть совмещены в одной записи, если показатель степени числа представить в формате обыкновенной или десятичной дроби. При осуществлении записанной таким способом операции придется проделать последовательно оба этих математических действия.

Инструкция

Если в исходных условиях степень дана в формате обыкновенной дроби, то операцию нужно производить в два шага. Последовательность их на полученном результате никак не скажется – начните, например, с извлечения из числа корня той степени, которая указана в знаменателе дроби. К примеру, чтобы возвести в степень ⅔ число 64 на этом шаге из него надо извлечь кубический корень: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Возведите полученное на первом шаге значение в степень, равную числу, стоящему в числителе дроби. Результат этой операции и будет результатом возведения числа в дробную степень. Для примера из предыдущего шага полностью описанный ход вычислений можно записать так: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Исходите из простоты расчетов при определении последовательности описанных выше операций извлечения корня и возведения в степень. Например, если бы требовалось в ту же самую степень ⅔ возвести число 8, то начинать с извлечения кубического корня из восьмерки было бы нецелесообразно, так как результат был бы дробным числом. В этом случае лучше начать с возведения 8 в квадрат, а затем извлечь корень третьей степени из 64 и таким образом обойтись без дробных промежуточных значений: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Если показатель степени в исходных данных приведен в формате десятичной дроби, то начните с преобразования его в обыкновенную дробь, а затем действуйте по описанному выше алгоритму. Например, для возведения числа в степень 0,75 трансформируйте этот показатель в обыкновенную дробь ¾, затем извлеките корень четвертой степени и возведите полученный результат в куб.

Используйте любой калькулятор, если ход вычислений значения не имеет, а важен лишь результат. Это может быть и скрипт, встроенный в поисковик Google – с его помощью найти нужное значение даже проще, чем с использованием стандартного калькулятора ОС Windows. Например, для возведения числа 15 в степень ⅗ перейдите на главную страницу сайта и введите в поле поискового запроса 15^(3/5). Результат вычислений с точностью до 8 знаков Google отобразит даже без нажатия кнопки отправки запроса: 15^(3 / 5) = 5,07755639.

Источники:

как возводить в дробную степень

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Возведение дроби в степень

Как возвести в степень смешанное число

Ваши комментарии

Дробная степень числа

Дробный показатель

Действия над степенями с дробными показателями

Понятие возведения в степень

Как возвести число в натуральную степень

Как возвести число в целую степень

Как возвести число в дробную степень

Как возвести число в иррациональную степень

Возведение степени в степень

Как посчитать дробную степень

Вам также может понравиться

Как найти радиус описанной окружности через площадь

Как найти подстроку в строке с конца

Как найти салон для пирсинга

Добавить комментарий Отменить ответ