Как найти отклонение в статистике 7 класс

Урок по теории вероятностей и статистике в 7 классе

Тема “Отклонения. Дисперсия”. 7-й класс

Цель: сформировать у учащихся представление о понятиях “отклонение” и “дисперсия” и навыки их применения в реальных статистических исследованиях

Задачи урока:

• образовательные – показать, что окружающий нас изменчивый мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями;
• развивающие– формировать современное мировоззрение и умение ориентироваться в изменчивом информационном мире;
• воспитательные – учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, применять вводимые понятия в практической жизни.

Планируемые результаты:

• знать, что такое отклонение от среднего арифметического и дисперсия;
• уметь вычислять отклонения, квадраты отклонений и дисперсию на коротких наборах;
• уметь применять понятия квадратов отклонений и дисперсии при анализе реальных ситуаций;

Оборудование:

• мультимедийный проектор, экран.

Дидактические материалы:

• карточки с таблицами.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока. (Слайд 1).

II. Актуализация знаний учащихся

На предыдущих уроках мы рассмотрели так называемые средние характеристики числового ряда, позволяющие оценить его поведение “в среднем”. Повторим их определения и способы нахождения.

Слайд 2 – задание на повторение (комментарии учителя, проверка ответов учеников с помощью слайда).

Задание. Дан числовой набор.

Х

1

2

3

5

8

100

Найти среднее арифметическое и медиану, определить, какая из характеристик лучше характеризует числовой набор и почему?

III. Изучение нового материала, формирование знаний, умений и навыков

Слайд 3 – характеристики числового ряда (комментарии учителя).

Средние характеристики числового ряда (среднее арифметическое, медиана), позволяют оценить поведение ряда “в среднем”. Но это не всегда наиболее полно характеризуют выборку. Чтобы получить полное представление о поведении числового ряда, помимо средних характеристик надо знать характеристики разброса, показывающие, насколько сильно значения ряда отличаются друг от друга, как сильно они разбросаны вокруг средних.

Рассмотрим следующий пример ( раздать карточки с таблицами, которых нужно заполнять по ходу урока)

Слайд 4-5 – задание 1 (комментарий учителя).

   Международные спортивные игры “Дети Азии” получили свое начало в 1996 г. по инициативе первого Президента Республики Саха (Якутия) М.Е.Николаева и были посвящены 100-летию олимпийского движения. С тех пор они проводятся совместно с Олимпийским комитетом России, Росспортом, Министерством иностранных дел Министерством образования и науки Российской Федерации. Летом 2012 года будет V международная спортивная игра «Дети Азии».

     Для участия в V международных спортивных играх «Дети Азии» нужно выбрать лучших футболистов республики. На одно место футболиста претендуют двое. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были участвовать в отборных играх. Результаты спортсменов представлены в таблице

Вопрос: кого из футболистов предпочтительнее взять на спортивные игры?

Номер сезона
1-й футболист (Х)	2-й футболист (Y)
(кол-во голов)	(кол-во голов)
1	18	19
2	23	16
3	19	22
4	17	23
5	23	20

Рассчитаем, сколько голов забил каждый из футболистов за 5 сезонов.

Номер сезона
1-й футболист (Х)	2-й футболист (Y)
(кол-во голов)	(кол-во голов)
1	18	19
2	23	16
3	19	22
4	17	23
5	23	20
Итого:	100	100

Вывод: количество голов одинаково.

Рассчитаем, сколько голов в сезон забивал в среднем каждый футболист. Для этого найдём среднее арифметическое числовых наборов Х и Y.

Номер сезона
1-й футболист (Х)	2-й футболист (Y)
(кол-во голов)	(кол-во голов)
1	18	19
2	23	16
3	19	22
4	17	23
5	23	20
Итого:	100	100
Среднее арифметическое	20	20

Среднее арифметическое у обоих футболистов тоже одинаковое.

На данном примере мы увидели, что с помощью средних характеристик сравнение выполнить не всегда возможно.

Как поступить?

В данном случае критерием сравнения может выступать стабильность игры– у какого футболиста количество забитых им голов в сезон менее отличается друг от друга, тот играет стабильнее.

Если количество забитых в сезон голов сильно разнится, то в какой-то сезон футболист играет не в полную силу, забивает меньше голов, а в какой-то сезон навёрстывает упущенное, а это всегда сказывается на качестве игры.

Стабильность можно оценивать с помощью отклонений элементов числового набора от среднего значения (отклонение – это разность между числом из данного набора и средним арифметическим этого набора)

Слайд 6 – пример вычисления отклонений (комментарии учителя).

Отклонение – разность между средним значением и числом набора

Набор отклонений:

X – X

-2

-4

0

2

4

Логично предположить, что чем меньше будет разброс (отклонения от среднего значения) – тем стабильнее играет футболист.

Но когда набор чисел велик, рассматривать отклонения практически неудобно, нужно описать разнообразие чисел в наборе одним числом.

Попробуем найти сумму отклонений.

Слайд 6 – пример вычисления суммы отклонений (комментарии учителя, вывод).

-2-4+0+2+4=0

В сумме получилось 0 (т.к. при вычислении “среднего разброса” часть отклонений входит в сумму со знаком “+”, часть со знаком “-” и в сумме всегда получается 0). Следовательно сумма отклонений не может нести информацию о разбросе.

Какой же выход?

Можно суммировать квадраты отклонений (они всегда неотрицательны).

Слайд 7 – пример вычисления квадратов отклонений (комментарии учителя)

Набор квадратов отклонений:

(X – X)²

4

16

0

4

16

Сумма квадратов отклонений:

4+16+0+4+16 = 40

Чем меньше сумма квадратов отклонений, тем меньше разброс чисел относительно среднего значения, тем более стабилен набор.

Итак, рассчитаем сумму квадратов отклонений для нашего примера.

Номер сезона
1-й футболист (Х)	2-й футболист (Y)
(кол-во голов)	(кол-во голов)
1	18	19
2	23	16
3	19	22
4	17	23
5	23	20
Итого:	100	100
Среднее арифметическое	20	20
Сумма квадратов отклонений	32	30

Вывод: второй футболист играет более стабильно, у него меньше сумма квадратов отклонений. Вероятно, тренер предпочтёт взять на соревнование его.

В данном примере футболисты играли одинаковое количество сезонов. А если они количество сезонов неодинаково?

Тогда стабильность игры каждого можно было бы оценить по величине среднего арифметического квадратов отклонений от среднего значения – дисперсии.

Слайд 8 – пример вычисления дисперсии (комментарии учителя).

Дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений:

Dx= (4+16+0+4+16)/5 = 40/5 = 8

Дисперсия – характеристика разброса, мера стабильности.

Чем больше дисперсия, тем ниже стабильность

Рассмотрим следующий пример.

Слайд 9 – задание 2 (комментарии учителя).

(Ученикам открыть лист “Задание 2” файла с заданиями).

Номер сезона
1-й футболист (Х)	2-й футболист (Y)
(кол-во голов)	(кол-во голов)
1	17	–
2	21	17
3	20	20
4	16	18
5	15	21
6	19	14

Аналогично заданию 1 рассчитаем, сколько голов забил каждый футболист и сумму квадратов отклонений.

Номер сезона
1-й футболист (Х)	2-й футболист (Y)
(кол-во голов)	(кол-во голов)
1	17	–
2	21	17
3	20	20
4	16	18
5	15	21
6	19	14
Итого:	108	90
Среднее арифметическое	18	18
Сумма квадратов отклонений	28	30

Т.к. футболисты играли разное количество сезонов, рассчитаем и сравним дисперсии числовых наборов X и Y.

Номер сезона
1-й футболист (Х)	2-й футболист (Y)
(кол-во голов)	(кол-во голов)
1	17	–
2	21	17
3	20	20
4	16	18
6	19	14
Итого:	108	90
Среднее арифметическое	18	18
Сумма квадратов отклонений	28	30
Дисперсия	4,6	6

Вывод: первый футболист играет стабильнее второго.

3. Самостоятельная практическая работа.

Слайд 10 – задание 3.

С 28 марта по 2 апреля в Южной Якутии пройдёт II Спартакиада зимних видов спорта Республики Саха (Якутия). Примут её опять Алдан и Нерюнгри.

     Для участия в II Спартакиаде зимних видов спорта Республики Саха (Якутия)нужно выбрать лучших лыжников района. На одно место претендуют двое. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были участвовать в отборных соревнованиях. Результаты спортсменов на 10 км.представлены в таблице

Вопрос: кого из спортсменов предпочтительнее взять на спартакиаду?

Номер сезона
1-й спортсмен (Х)	2-й спортсмен(Y)
(время в мин.)	(время в мин.)
1	26,5	26,4
2	26,6	26,6
3	27	26,5
4	26	26,3
5	26,1	26,4

Подвести итог самостоятельной работы.

4. Итог урока.

Слайд 11 – выводы (комментарии учителя).

Слайд 12 – вопросы (ответы учеников).

Алгебра 7 класс. Что такое отклонение? например: 2,7,3,5,11,15

Дисперсией числового ряда называется среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего арифметического.
Пусть есть некий ряд (значения некоторой случайной величины — скажем, возраст детей в семье): 2,7,3,5,11,15.

1) находим среднее арифметическое: (2+7+3+5+11+15) / 6= 7,17
2) находим среднее арифметическое квадратов отклонений:
(2-7,17)^2+(7-7,17)^2+(3-7,17)^2+(5-7,17)^2+(11-7,17)^2+(15-7,17)^2/6=

Дисперсия характеризует разброс — чем больше дисперсия, тем сильнее «разбросан» (варьируется) признак относительно центрального значения.

Как посчитать среднее значение, квадратическое отклонение и погрешность

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 24 человек(а).

Количество просмотров этой статьи: 62 795.

После сбора данных их нужно проанализировать. Обычно нужно найти среднее значение, квадратичное отклонение и погрешность. Мы расскажем вам, как это сделать.

Например, 5 школьникам был предложен письменный тест. Их результаты (в баллах по 100 бальной системе): 12, 55, 74, 79 и 90 баллов.

Среднее значение (μ) = Σ/N, где Σ сумма всех числовых значений, а N количество значений.

Для вышеуказанного примера это квадратный корень из [((12-62)^2 + (55-62)^2 + (74-62)^2 + (79-62)^2 + (90-62)^2)/(5)] = 27,4. (Обратите внимание, что если это выборочное среднеквадратическое отклонение, то делить нужно на N-1, где N количество значений.)

Если в нашем примере 5 школьников, а всего в классе 50 школьников, и среднее отклонение, посчитанное для 50 школьников равно 17 (σ = 21), средняя погрешность = 17/кв. корень(5) = 7.6.

Метод вычисления отклонений каждого значения от среднего арифметического

Для вычисления отклонений всех чисел выполним следующие действия:

. Находим среднее арифметическое;

2. Для вычисления отклонение из данного набора чисел вычитаем среднее арифметическое.

Среднее арифметическое нескольких величин — это отношение суммы величин к их количеству.

Среднее арифметическое находится по формуле

(2)

(3)

Найти отклонений всех чисел от среднего арифметического.

Сумма чисел в массиве (2):

Вычисление отклонения (3):

Блок схема 2 — Вычисление отклонений каждого значения от среднего арифметического

Описание методов создания, уничтожения и синхронизации потоков, примененных в программе

Создание потоков

Для создания многопоточных приложений в C++Builder реализован абстрактный класс TThread.- абстрактный класс, который допускает создание отдельных потоков выполняющихся в приложении.

Создайте потомка класса TThread, чтобы представить выполняемый поток в многопоточном приложении.

Каждый новый экземпляр потомка TThread — новый поток выполнения.

Множество экземпляров, полученные от класса TThread, делает C++Builder многопоточным приложением.

__fastcall TMyThread:: TMyThread (bool CreateSuspended)

// B метод объекта Execute (), вставьте код, который должен выполняться, когда поток выполняется.

void __fastcall TMyThread:: Execute ()

// — — Place thread code here — —

Для получения безопасного доступа куправлению свойствами и методами VCL-объектов в потоке предусмотрен метод Synchronize ()

ResetEvent (FMain->g_BusyEvent [1]); // запрещаем переформирование массива(FMain->g_BusyEvent [0]); // запрещаем переформирование массива

>++;(Terminated) break; // прекратить извне поток

Synchronize (&Mon); // блокирует одновременный доступ к компоненту нескольких потоков

SetEvent (FMain->g_BusyEvent [0]); // разрешаем параллельную обработку(FMain->g_BusyEvent [1]); // разрешаем параллельную обработку

Синхронизация потоков

Синхронизации потоков основывается на использовании событий (event). Объект типа событие может принимать одно из двух состояний: активное или пассивное. Когда событие находится в активном состоянии, его видят многие потоки одновременно. В результате такой объект можно использовать для управления работой сразу многих потоков. В библиотеке VCL события представлены классом TEvent.

Метод CreatEvents (): Создает объект класса TEvent, представляющий объект события.

Метод ResetEvent (): Переводит объект события в пассивное состояние.

Метод SetEvent (): Переводит объект события в активное состояние.

WaitForSingleObject (): Заставляет ждать, пока другой поток или процесс не пошлют сигнал об активизации объекта событие.

Завершение потоков

Потоки могут быть запущены и остановлены сколько угодно раз в процессе их выполнения. Для временной остановки запущенного потока можно обратиться к методу потока suspend. Для продолжения выполнения приостановленного потока вызовите метод потока Resume. Вы можете использовать вложенные вызовы вышеперечисленных методов, т.к. метод Suspend увеличивает внутренний счетчик потока, a Resume уменьшает. Поток не будет выполняться до тех пор, пока счетчик не обратиться в ноль, т.е., если вы вызвали пять раз метод Suspend, а затем четыре раза Resume, вам понадобится еще один (пятый) вызов метода Resume для продолжения выполнения потока.

Выполнение потока автоматически завершается после завершения функции Execute () или закрытии приложения.

Чтобы занятая потоком память освобождалась при завершении потока надо установить FreeOnTerminate=false.

Цель: познакомить учащихся с понятиями
“отклонение” и “дисперсия” и их применением в
реальных статистических исследованиях с
использованием средств табличного процессора
Excel.

Планируемые результаты:

• знать, что такое отклонение от среднего
  арифметического и дисперсия;
• уметь вычислять отклонения, квадраты
  отклонений и дисперсию на коротких наборах;
• уметь применять понятия квадратов отклонений и
  дисперсии при анализе реальных ситуаций;
• уметь использовать для вычисления
  характеристик числовых наборов статистические
  функции табличного процессора Excel.

Оборудование:

• компьютеры, мультимедийный проектор, экран;
• презентация <приложение 1>;
• файл Excel с заданиями к уроку и технологией их
  выполнения <приложение 2>
• файл Word с домашним заданием <приложение
  3>

Программное обеспечение: табличный
процессор Excel.

Подготовительный этап:

• скопировать на компьютеры учеников файл с
  заданиями;
• подготовить распечатки домашнего задания.

Ход урока

Слайд 1 – тема и цели урока.

1. Актуализация знаний.

На предыдущих уроках мы рассмотрели так
называемые средние характеристики числового
ряда, позволяющие оценить его поведение “в
среднем”. Повторим их определения и способы
нахождения.

Слайд 2 – задание на повторение (комментарии
учителя, проверка ответов учеников с помощью
слайда).

2. Объяснение нового материала, практикум.

Слайд 3 – характеристики числового ряда
(комментарии учителя).

Средние характеристики числового ряда (среднее
арифметическое, медиана), позволяют оценить
поведение ряда “в среднем”. Но это не всегда
наиболее полно характеризуют выборку. Чтобы
получить полное представление о поведении
числового ряда, помимо средних характеристик
надо знать характеристики разброса,
показывающие, насколько сильно значения ряда
отличаются друг от друга, как сильно они
разбросаны вокруг средних.

Рассмотрим следующий пример.

Слайд 4 – задание 1 (комментарий учителя).

(Ученикам открыть файл с заданиями (приложение
2) и выбрать лист “Задание 1”).

Рассчитаем, сколько деталей изготовил каждый
из рабочих за 5 дней.

(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 1
“Подсчёт итога”).

Вывод: количество деталей одинаково.

Рассчитаем, сколько деталей в день производил в
среднем каждый рабочий (среднюю
производительность труда). Для этого найдём среднее
арифметическое числовых наборов Х и Y.

(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 2
“Расчёт среднего арифметического”).

Производительность труда за день у обоих
рабочих тоже одинаковая.

Найдём медианы числовых наборов X и Y.

(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 3
“Расчёт медианы”).

Медианы тоже получились одинаковые.

На данном примере мы увидели, что с помощью
средних характеристик сравнение выполнить не
всегда возможно.

Как поступить?

В данном случае критерием сравнения может
выступать стабильность работы токарей –
у какого токаря количество произведённых им
деталей в день менее отличается друг от друга,
тот работает стабильнее.

Если количество производимых в день деталей
сильно разнится, то в какие-то дни токарь
работает не в полную силу, производит меньше
деталей, а в какие-то дни навёрстывает упущенное,
а это всегда сказывается на качестве продукции.

Стабильность можно оценивать с помощью отклонений
элементов числового набора от среднего значения
(отклонение – это разность между числом из
данного набора и средним арифметическим этого
набора)

Слайд 5 – пример вычисления отклонений
(комментарии учителя).

Логично предположить, что чем меньше будет
разброс (отклонения от среднего значения) – тем стабильнее
работает токарь.

Но когда набор чисел велик, рассматривать
отклонения практически неудобно, нужно
описать разнообразие чисел в наборе одним
числом.

Попробуем найти сумму отклонений.

Слайд 5 – пример вычисления суммы отклонений
(комментарии учителя, вывод).

В сумме получилось 0 (т.к. при вычислении
“среднего разброса” часть отклонений входит в
сумму со знаком “+”, часть со знаком “-” и в
сумме всегда получается 0). Следовательно сумма
отклонений не может нести информацию о разбросе.

Какой же выход?

Можно суммировать квадраты отклонений (они
всегда неотрицательны).

Слайд 6 – пример вычисления квадратов
отклонений (комментарии учителя)

Чем меньше сумма квадратов отклонений, тем
меньше разброс чисел относительно среднего
значения, тем более стабилен набор.

Итак, рассчитаем сумму квадратов отклонений
для нашего примера.

(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 4
“Расчёт суммы квадратов отклонений”).

Вывод: первый токарь работает более стабильно,
у него меньше сумма квадратов отклонений.
Вероятно, работодатель предпочтёт взять на
работу его.

В данном примере рабочие работали одинаковое
количество дней. А если они количество дней неодинаково?

Тогда стабильность работы каждого можно было
бы оценить по величине среднего
арифметического квадратов отклонений от
среднего значения – дисперсии.

Слайд 7 – пример вычисления дисперсии
(комментарии учителя).

Рассмотрим следующий пример.

Слайд 8 – задание 2 (комментарии учителя).

(Ученикам открыть лист “Задание 2” файла с
заданиями).

Аналогично заданию 1 рассчитаем, сколько
деталей произвёл каждый рабочий и сумму
квадратов отклонений.

(Ученики выполняют задание, руководствуясь п.
1-2).

Т.к. токари работали разное количество дней,
рассчитаем и сравним дисперсии числовых наборов
X и Y.

(Ученики выполняют задание, руководствуясь п. 3).

Вывод: второй токарь работает стабильнее
первого.

3. Самостоятельная практическая работа (при
наличии времени).

Слайд 9 – задание 3.

(Ученикам открыть лист “Задание 3” файла
заданий и выполнить самостоятельную работу).

Подвести итог самостоятельной работы.

4. Итог урока.

Слайд 10 – выводы (комментарии учителя).

Слайд 11 – вопросы (ответы учеников).

5. Домашнее задание (§§ 13, 14 учебник Ю.Н. Тюрина,
А.А. Макарова, И.Р. Высоцкого, И.В. Ященко “Теория
вероятностей и статистика”, приложение 3).

Список использованной литературы

1. М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова “Элементы статистики
   и вероятность. 7-9”, Москва, “Просвещение”, 2005 г.
2. Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко
   “Теория вероятностей и статистика”, Москва,
   “Просвещение”, 2008 г.
3. Е.А. Бунимович, В.А. Булычёв “Основы статистики и
   вероятность 5-9”, Москва, “Дрофа”, 2004 г.
4. А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов “События.
   Вероятности. Статистическая обработка данных.
   7-9”, Москва, “Мнемозина”, 2008 г.

Скачать материал

без ожидания

Выберите документ из архива для просмотра:

Статистика.pptx

Выбранный для просмотра документ Статистика.pptx

Скачать материал

без ожидания

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Муниципальное казенное образовательное учреждение
  «Малокрасноярская основная общеобразовательная школа»
  Кыштовского района Новосибирской области

  Изучение статистических характеристик в курсе школьной математики

  Урок математики в 7 классе 

  Автор: Еланцева Светлана Викторовна,
  учитель математики

• 

  2 слайд

  Среднее арифметическое

  Определение: Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

• 

  3 слайд

  Пример: Средняя оценка успеваемости за 1 четверть:
  Среднее арифметическое:
  (3  4 + 4  8 + 5  2):14 ≈3,85.
  Получаем, что средняя оценка составляет приблизительно 3,85

• 

  4 слайд

  Мода (Мо)

  Модой называется то число, которое в данном числовом ряду встречается чаще всего. В числовом ряду может быть одна мода или несколько.

  Например: Найти моду ряда чисел: 2,2,3,3,3,4,4,5,5,5,5,6,6,7. Чаще всего встречается число 5, значит Мо = 5.

• 

  5 слайд

  Пример нахождения моды:
  В отделе мужской обуви универмага в течение дня производился учет размеров купленной обуви.
  Были получены следующие результаты: 42, 40, 43, 39, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 42, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 42, 44, 41, 42.  
  Какой размер обуви наиболее распространен, т.е. найти моду.
  Чаще всего встречается 42 размер, значит Мо = 42

• 

  6 слайд

  Наибольшее и наименьшее значение. Размах (А).
  Определение: Разность между наибольшим и наименьшим числом называется размахом набора чисел.
  Урожай картофеля в сёлах А и В:
  Самый большой урожай в селе А:180ц/га, самый маленький – 50 ц/га.
  В селе В: самый большой – 130 ц/га, самый маленький – 100 ц/га. Размах производства картофеля в селе А: 180 – 50 = 130,
  в селе В: 130 – 100 = 30.

• 

  7 слайд

  Медиана (Ме)

  Определение: Медианой набора чисел называют такое число, которое разделяет набор на две равные по численности части.

  Прежде чем искать медиану ряда, нужно упорядочить ряд чисел.

• 

  8 слайд

  Примеры нахождения медианы

  Пример 1. Возьмём какой-нибудь набор различных чисел, например 1,4,7,9,11 – чётный ряд
  Медианой в этом случае оказывается число, стоящее в точности посередине, m=7.

  Пример 2. Рассмотрим набор 1,3,6,11. – нечётный ряд Медианой этого набора служит число, равное полусумме чисел, стоящих посередине:
  (3+6):2=4,5
  Медианой этого набора считают число 4,5.

• 

  9 слайд

  Среднее геометрическое
  Определение. Средним геометрическим нескольких чисел называется квадратный корень из произведения этих чисел.

  Например: Даны числа: 2; 5; 10.

  Ср. геометрическое =  2*5*10 =10

• 

  10 слайд

  Отклонения
  Определение: отклонение – это разница между каждым числом набора и средним арифметическим ряда чисел.
  Пример:
  Возьмём набор чисел 1,6,7,9,12.
  Вычислим среднее арифметическое: (1+6+7+9+12):5=7. Найдём отклонение каждого числа от среднего арифметического:
  1-7=-6, 6-7=-1, 7-7=0, 9-7=2, 12-7=5.

  Сумма отклонений чисел от среднего арифметического этих чисел равна нулю.

• 

  11 слайд

  Дисперсия

  Определение: среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения называется в статистике дисперсией набора чисел.

• 

  12 слайд

  Производство картофеля ( ц/га)
  Среднее арифметическое = 118,5 ц/га
  Для расчета дисперсии следует сложить все значения в столбце «Квадрат отклонения» и разделить на количество слагаемых:

  (3721+4692,25+342,25+812,25+2,25+72,25+3782,25):7=1917,78.

• 

  13 слайд

  Упражнения
  1. Записан вес (в кг) семи учащихся:
  42, 59, 48, 52, 61, 45, 64. Насколько среднее арифметическое этого набора чисел больше его медианы?
  Решение. Упорядочим ряд чисел:
  42,45,48, 52, 59, 61, 64.
  Среднее арифметическое: (42+45+48+52+59+61+64):7=53
  Медиана: 52
  Разница: 53 – 52 = 1

• 

  14 слайд

  Упражнения
  2. Записан примерный пробег (в тыс.км) шести автомобилей: 70, 127, 70, 60, 53, 70. Насколько отличается мода этого набора чисел от его среднего арифметического?
  Решение.
  Среднее арифметическое ряда:
  ( 70 + 127 + 70 + 60 + 53 + 70) : 6 = 75
  Мода: 70
  Разница: 75 – 70 = 5

• 

  15 слайд

  Упражнения
  3. Даны числа: 18, 125, и 12. Найти разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел.
  Решение.
  Среднее арифметическое:
  (18 + 125 + 12) : 3 = 51,6
  Среднее геометрическое:
  18  125  12 = 164,3
  Разность: 164,3 – 51,6 = 112,7

• 

  16 слайд

  Упражнения
  4. Записан вес (в кг) шести учащихся:
  55, 54, 61, 58, 55, 59. Насколько максимальное значение этого набора чисел отличается от его среднего арифметического?

  Решение: Максимальное значение = 61
  Среднее арифметическое = (55+54+61+58+55+59) : 6 = 57
  Разница: 61 – 57 = 4

• 

  17 слайд

  Упражнения
  5. В таблице приведены данные о пяти лучших результатах прыжков в длину с места учащихся старших классов:

  Определить дисперсию результатов прыжков, представленных в таблице. (Ответ округлить до сотых).
  Решение. Среднее арифметическое:(183+185+180+186+185):5=183,8
  Отклонения:(- 0,8; 1,2; – 3,8; 2,2; 1,2) (Проверка: Сумма = 0)
  Квадрат отклонений: 0,64; 1,44; 14,44, 4,84; 1,44.
  Дисперсия = (0,64 + 1,44 + 14,44 + 4,84 + 1,44) : 5 = 4,56.

• 

  18 слайд

  Упражнения
  6. В таблице приведены данные книжного магазина о количестве проданных книг шести авторов в течение месяца:

  Определить, насколько отличается размах от медианы ряда количества проданных книг этих авторов.
  Решение.
  Упорядочим ряд: 30, 35, 38, 40, 42, 45. Размах = (45 – 30) = 15
  Медиана = (38 + 40) : 2 = 36.
  Разница: 36 – 15 = 21

Краткое описание документа:

Презентация “Изучение статистических характеристик  по алгебре в 7 классе” окажет помощь учителю в изучении раздела “Статистические характеристики” по алгебре в 7 классе.

Материал презентации выходит за рамки учебника. Кроме тех характеристик, которые рассматриваются  по программе:среднее арифметическое, размах, мода и медиана, в содержание презентации добавлены такие характеристики, как: среднее геометрическое, наибольшее и наименьшее значение, отклонение, дисперсия.

На каждую характеристику подобраны упражнения, которые будут полезны учащимся с высоким уровнем обучаемости при изучении высшей математики. 

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 258 038 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Стандартное отклонение (англ. Standard Deviation) — простыми словами это мера того, насколько разбросан набор данных.

Вычисляя его, можно узнать, являются ли числа близкими к среднему значению или далеки от него. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, то в наборе данных имеется большое отклонение; таким образом, чем больше разброс данных, тем выше стандартное отклонение.

Стандартное отклонение обозначается буквой σ (греческая буква сигма).

Стандартное отклонение также называется:

• среднеквадратическое отклонение,
• среднее квадратическое отклонение,
• среднеквадратичное отклонение,
• квадратичное отклонение,
• стандартный разброс.

Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Стандартное отклонение используется:

• в финансах в качестве меры волатильности,
• в социологии в опросах общественного мнения — оно помогает в расчёте погрешности.

Пример:

Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.

	День 1	День 2	День 3	День 4
Пред.А	19	21	19	21
Пред.Б	15	26	15	24

В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:

• А -> (19 + 21 + 19+ 21) / 4 = 20
• Б -> (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

Однако, глядя на цифры, можно заметить:

• в компании A количество товара всех четырёх дней очень близко находится к этому среднему значению 20 (колеблется лишь между 19 ед. и 21 ед.),
• в компании Б существует большая разница со средним количеством товара (колеблется между 15 ед. и 26 ед.).

Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что

• стандартное отклонение компании A = 1,
• стандартное отклонение компании Б ≈ 5.

Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).

Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения

Формулы вычисления стандартного отклонения

Разница между формулами S и σ (“n” и “n–1”)

Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:

• только её часть – используется формула S (с “n–1”),
• полностью все данные – используется формула σ (с “n”).

Как рассчитать стандартное отклонение?

Пример 1 (с σ)

Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.

	День 1	День 2	День 3	День 4
Пред.Б	15	26	15	24

Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:

Применяем эти шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

x1 – μ = 15 – 20 = -5

x2 – μ = 26 – 20 = 6

x3 – μ = 15 – 20 = -5

x4 – μ = 24 – 20 = 4

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(x1 – μ)² = (-5)² = 25

(x2 – μ)² = 6² = 36

(x3 – μ)² = (-5)² = 25

(x4 – μ)² = 4² = 16

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (xi – μ)² = 25 + 36+ 25+ 16 = 102

5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):

(Σ (xi – μ)²)/n = 102 / 4 = 25,5

6. Найти квадратный корень:

√((Σ (xi – μ)²)/n) = √ 25,5 ≈ 5,0498

Пример 2 (с S)

Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.

У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.

Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.

Яблоня 1	Яблоня 2	Яблоня 3	Яблоня 4	Яблоня 5	Яблоня 6
9	2	5	4	12	7

Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:

Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.

Применяем практически те же шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5

X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5

X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5

X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5

X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5

X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(X1 – Xср)² = (2,5)² = 6,25

(X2 – Xср)² = (–4,5)² = 20,25

(X3 – Xср)² = (–1,5)² = 2,25

(X4 – Xср)² = (–2,5)² = 6,25

(X5 – Xср)² = 5,5² = 30,25

(X6 – Xср)² = 0,5² = 0,25

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5

5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):

(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1

6. Найти квадратный корень:

S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193

Дисперсия и стандартное отклонение

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).

Дисперсия — в статистике это “среднее квадратов отклонений от среднего”. Чтобы её вычислить нужно:

1. Вычесть среднее значение из каждого числа
2. Возвести каждый результат в квадрат (так получатся квадраты разностей)
3. Найти среднее значение квадратов разностей.

Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:

Правило трёх сигм

Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.

Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:

• одного среднеквадратического отклонения заключаются 68,26% значений (Xср ± 1σ или μ ± 1σ),
• двух стандартных отклонений — 95,44% (Xср ± 2σ или μ ± 2σ),
• трёх стандартных отклонений — 99,72% (Xср ± 3σ или μ ± 3σ).

Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.

Стандартное отклонение в excel

Вычисление стандартного отклонения с “n – 1” в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):

1. Занесите все данные в документ Excel.

2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.

3. Введите в этом поле “=СТАНДОТКЛОНА(“

4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.

5. Нажмите Ввод (Enter).

В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.

Стандартное отклонение делится на среднее и умножается на 100%.

Можно классифицировать вариабельность выборки по коэффициенту вариации:

• при <10% выборка слабо вариабельна,
• при 10% – 20 % — средне вариабельна,
• при >20 % — выборка сильно вариабельна.

Узнайте также про:

• Корреляции,
• Метод Крамера,
• Метод наименьших квадратов,
• Теорию вероятностей
• Интегралы.