Как найти отношение периметров двух подобных треугольников

Подобные треугольники

3 октября 2022

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.

Подобные треугольники — ключевая тема геометрии 8 класса. Они будут преследовать нас до самого конца школы. И сегодня мы разберём всё, что нужно знать о них.

План такой:

1. Основное определение
2. Лемма о подобных треугольниках
3. Свойства подобных треугольников
4. Разбор задач

1. Основное определение

Определение. Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNK$:

У них есть равные углы: $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. И пропорциональные стороны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}= frac{AC}{MK}= frac{color{red}{3}}{color{red}{2}}]

Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны. Записывается это так:

[Delta ABCsim Delta MNK]

Число $k={color{red}{3}}/{color{red}{2}};$ называется коэффициентом подобия. К нему мы ещё вернёмся.

Пропорциональные стороны подобных треугольников (например, $AB$ и $MN$, либо $BC$ и $NK$) в некоторых учебниках называют сходственными. На практике этот термин применяется редко. Мы будем говорить просто «соответственные стороны».

Дальше идёт очень важное замечание.

1.1. Обозначение подобных треугольников

В геометрии один и тот же треугольник можно называть по-разному. Например, $Delta ABC$, $Delta BCA$ или $Delta CAB$ — это всё один и тот же треугольник. То же самое касается и углов.

Но в подобных треугольниках есть негласное правило:

При обозначении подобных треугольников порядок букв выбирают так, чтобы равные углы перечислялись в одной и той же последовательности.

Вернёмся к нашим треугольникам $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $anglecolor{red}{A}=anglecolor{red}{M}$ и $anglecolor{blue}{B}=anglecolor{blue}{N}$, можно записать $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Deltacolor{red}{M}color{blue}{N}K$. Или $Delta Ccolor{red}{A}color{blue}{B}sim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$. Но никак не $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$.

Да, это негласное правило. И если вы нарушите последовательность букв, это не ошибка. Никто не снизит вам за это баллы. А если снизит — добро пожаловать на апелляцию.

Правильная запись позволяет быстро и безошибочно выписывать пропорциональные стороны треугольников. Рассмотрим два подобных треугольника:

[Delta ABCsim Delta MNK]

Берём две первые буквы из каждого треугольника: ${AB}/{MN};$. Затем две последние буквы: ${BC}/{NK};$. Наконец, вычёркиваем «центральную» букву: ${AC}/{MK};$.

Приравниваем полученные три дроби:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]

Вот и всё! Даже рисунок не нужен! Этот приём настолько прост и эффективен, что его в обязательном порядке изучают на моих занятиях, курсах и вебинарах.

В будущем мы увидим, что подобные треугольники чаще всего ищут как раз для составления таких пропорций.

2. Лемма о подобных треугольниках

Подобные треугольники появляются всякий раз, когда прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает его стороны.

Теорема 1. Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей стороне, отсекает треугольник, подобный исходному.

Доказательство. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть прямая $MNparallel AB$ отсекает треугольник $MNC$:

Докажем, что $Delta ABCsim Delta MNC$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNC$. У них есть общий угол $ACB$.

Углы $ABC$ и $MNC$ — соответственными при $MNparallel AB$ и секущей $BC$. Следовательно, они равны: $angle ABC=angle MNC$.

Аналогично равны углы $BAC$ и $NMC$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNC$ имеют три соответственно равных угла.

Докажем теперь, что соответственные стороны пропорциональны. Т.е. докажем пропорцию

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]

Рассмотрим угол $ACB$. Параллельные прямые $AB$ и $MN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

[frac{AC}{MC}=frac{BC}{NC}]

Это равенство — второе в искомом:

[frac{AB}{MN}= color{red}{frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}}]

Осталось доказать первое равенство. Дополнительное построение: прямая $KNparallel AC$:

Поскольку $AMparallel KN$ (по построению) и $AKparallel MN$ (по условию), четырёхугольник $AKNM$ — параллелограмм. Поэтому $AK=MN$.

Рассмотрим угол $ABC$. Параллельные прямые $AC$ и $KN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

[frac{AB}{AK}=frac{BC}{NC}]

Учитывая, что $AK=MN$, получаем

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]

Итак, соответственные углы треугольников $ABC$ и $MNC$ равны, а их стороны пропорциональны. Следовательно, по определению подобных треугольников

[Delta ABCsim Delta MNC]

Что и требовалось доказать.

Эта лемма — не признак подобия. Это самостоятельная теорема, которая ускоряет решение многих задач.

Признаки подобия разобраны в отдельном уроке — см. «Признаки подобия треугольников».

Частный случай этой леммы — средняя линия. Она отсекает треугольник со сторонами в два раза меньше, чем у исходного:

Оформляется это так. Поскольку $AM=MC$ и $BN=NC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ параллельны, откуда

[Delta ABCsim Delta MNC]

3. Свойства подобных треугольников

Два важнейших свойства: связь периметров и связь площадей.

3.1. Периметры подобных треугольников

Теорема 2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство. Рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Запишем равенство из определения подобия. Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, стороны этих треугольников пропорциональны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

Здесь число $color{red}{k}$ — коэффициент подобия. Полученное тройное равенство можно переписать так:

[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}; frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

Или, что то же самое:

[begin{align}AB&=color{red}{k}cdot MN \ BC &=color{red}{k}cdot NK \ AC &=color{red}{k}cdot MK \ end{align}]

Периметр треугольника $MNK$:

[{{P}_{Delta MNK}}=MN+NK+MK]

Периметр треугольника $ABC$:

[begin{align}{{P}_{Delta ABC}} &=AB+BC+CD= \ &=color{red}{k}cdot MN+color{red}{k}cdot NK+color{red}{k}cdot MK= \ &=color{red}{k}cdot left( MN+NK+MK right)= \ &=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}} end{align}]

Итого получаем равенство

[{{P}_{Delta ABC}}=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}}]

Обычно именно в таком виде это равенство и применяют. Но можно записать его и как отношение:

[frac{{{P}_{Delta ABC}}}{{{P}_{Delta MNK}}}=color{red}{k}]

В любом случае, мы получили отношение, которое и требовалось доказать.

3.2. Площади подобных треугольников

Теорема 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Первые шаги очень похожи на доказательство предыдущей теоремы. Вновь рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, углы $ABC$ и $MNK$ равны. Следовательно, равны синусы этих углов:

[begin{align}angle ABC &=angle MNK=color{blue}{alpha} \ sin angle ABC &=sin angle MNK=sin color{blue}{alpha} end{align}]

Кроме того, стороны подобных треугольников пропорциональны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

В частности, из этого равенства следует, что

[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}]

Или, что то же самое:

[begin{align}AB &= color{red}{k}cdot MN \ BC &= color{red}{k}cdot NK \ end{align}]

Площадь треугольника $MNK$:

[{{S}_{Delta MNK}}=frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin color{blue}{alpha} ]

Площадь треугольника $ABC$:

[begin{align}{{S}_{Delta ABC}} &=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &=frac{1}{2}cdotcolor{red}{k}cdot MNcdotcolor{red}{k}cdot NKcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin alpha = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}} end{align}]

Получаем равенство

[{{S}_{Delta ABC}}={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}}]

Перепишем в виде отношения:

[frac{{{S}_{Delta ABC}}}{{{S}_{Delta MNK}}}={color{red}{k}^{2}}]

Что и требовалось доказать.

Для доказательства теоремы мы использовали формулу площади треугольника:

[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}absin alpha ]

Тригонометрию проходят после подобия, поэтому мы опираемся на ещё не изученный материал.

Впрочем, ничто не мешает взять уже известную формулу:

[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}ah]

Здесь $a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Дело в том, что высоты в подобных треугольниках тоже пропорциональны. И не только высоты. Назовём это Свойством 3.3.:)

3.3. Элементы подобных треугольников

Теорема 4. Отношение высот, биссектрис и медиан, проведённых к соответствующим сторонам подобных треугольников, равно коэффициенту подобия.

Проиллюстрируем это на высотах. Пусть треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны:

В этом случае высоты $CDbot AB$ и $KLbot MN$ относятся как

[frac{CD}{KL}=frac{AB}{MN}= color{red}{k}]

Для доказательства этой теоремы нужно знать признаки подобия. Поэтому оставим его до следующего урока. А сейчас переходим к задачам.

4. Задачи на подобие

Здесь разобрано пять задач на подобие треугольников. Все они довольно простые. За сложными задачами добро пожаловать в задачник.:)

Задача 1. Готовые треугольники

Известно, что треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны, причём $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. Кроме того, стороны $AB=6$, $BC=7$, $AC=10$ и $MN=9$. Найдите стороны $NK$ и $MK$.

Решение. Построим треугольники $ABC$ и $MNK$, отметим известные стороны:

Из условия $Delta ABCsim Delta MNK$ следует, что верно равенство

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]

Подставим в это равенство всё, что нам известно:

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}=frac{color{red}{10}}{MK}]

Опустим последнюю дробь и получим пропорцию

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}]

Найдём сторону $NK$:

[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{7}}{color{red}{6}}=10,5]

Аналогично, убирая среднюю дробь, получим пропорцию

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{10}}{MK}]

Найдём сторону $MK$:

[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{10}}{color{red}{6}}=15]

Ответ: $NK=10,5$, $MK=15$.

Задача 2. Прямая, параллельная стороне

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ — в точке $E$. Найдите:

а) Отрезок $BD$, если $AB=16$, $AC=20$, $DE=15$.

б) Отрезок $AD$, если $AB=28$, $BC=63$, $BE=27$.

Решение. Для начала построим рисунок. Он будет общий для обоих пунктов.

Из условия следует, что прямая $DE$ пересекает стороны треугольника $ABC$:

Поскольку $DEparallel AC$, по лемме о подобных треугольниках прямая $DE$ отсекает от треугольника $ABC$ новый треугольник, подобный исходному:

[Delta ABCsim Delta DBE]

Из подобия треугольников $ABC$ и $DBE$ следует равенство

[frac{AB}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{AC}{DE}]

Решаем пункт а). Подставляем в это равенство всё, что нам известно:

[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]

Вычёркиваем среднюю дробь и получаем пропорцию

[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]

Отсюда легко найти $DB$ (или, что то же самое, $BD$):

[DB=frac{color{red}{16}cdotcolor{red}{15}}{color{red}{20}}=12]

Аналогично решаем пункт б). Подставляем в исходное равенство известные величины:

[frac{color{red}{28}}{DB}=frac{color{red}{63}}{color{red}{27}}=frac{AC}{DE}]

Первые две дроби образуют пропорцию, из которой вновь легко найти $DB$:

[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=12]

Осталось найти $AD$:

[begin{align}AD &=AB-BD= \ &=color{red}{28}-color{red}{12}=16 end{align}]

Ответ: а) $BD=12$; б) $AD=16$.

Важное замечание по работе с пропорциями. Ни в коем случае не нужно перемножать числа в числителе.

Напротив: нужно разложить их на множители и сократить!

Взгляните:

[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=frac{4cdotcolor{blue}{7}cdot 3cdotcolor{green}{9}}{color{blue}{7}cdotcolor{green}{9}}=12]

Так вы сэкономите время, избежите умножения столбиком и защитите себя от множества ошибок. Никогда не умножайте большие числа, если дальше их нужно будет сокращать.

Задача 3. Доказательство подобия

Точки $M$ и $K$ — середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Докажите, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны.

Решение. Сделаем первоначальный рисунок по условию задачи:

Здесь нет прямых, параллельных сторонам треугольника, поэтому лемма о подобных треугольниках не поможет. Докажем подобие по определению.

Сначала разберёмся с углами. Поскольку $ABCD$ — квадрат, и $KD=MD$ — половина стороны квадрата, треугольники $MDK$ и $BCD$ — прямоугольные и равнобедренные.

Все острые углы треугольников $MDK$ и $BCD$ равны 45°. Можем записать это так:

[begin{align}angle BCD &=angle MDK={90}^circ \ angle CBD &=angle DMK={45}^circ \ angle CDB &=angle DKM={45}^circ \ end{align}]

Дополнительное построение: диагональ квадрата $color{red}{AC}$:

Рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $KM$ — средняя линия, поэтому $KM={color{red}{AC}}/{2};$. С другой стороны, $AC=BD$ как диагонали квадрата. Поэтому верно равенство

[frac{KM}{BD}=frac{KM}{color{red}{AC}}=frac{1}{2}]

Но тогда выполняется следующее равенство:

[frac{MD}{BC}=frac{DK}{CD}=frac{MK}{BD}=frac{1}{2}]

А это вместе с равенством углов как раз и означает, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны:

[Delta MDKsim Delta BCD]

Доказательство завершено.

Мы доказали подобие треугольников по определению. Если пользоваться признаками подобия, всё будет намного быстрее. Но пока мы не вправе пользоваться этими признаками.

Задача 4. Вписанный ромб

В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEK$ так, как показано на рисунке. Найдите сторону ромба, если $AB=10$, $BC=15$.

Решение. Пусть искомая сторона ромба равна $color{red}{x}$. Из условия задачи получим такой рисунок:

Зная, что $AB=10$ и $BC=15$, выразим $AK$ и $CD$:

[begin{align}AK &=10-color{red}{x} \ CD &=15-color{red}{x} \ end{align}]

Далее рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $BDEK$ — ромб, то $KEparallel BC$. По лемме о подобных треугольниках имеем:

[Delta ABCsim Delta AKE]

В подобных треугольниках подобные стороны пропорциональны, поэтому

[frac{AB}{AK}=frac{BC}{KE}=frac{AC}{AE}]

Подставим в это равенство всё, что нам известно или выражено через $color{red}{x}$:

[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}=frac{AC}{AE}]

Последняя дробь оказалась бесполезной. Вычеркнем её и получим пропорцию:

[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}]

Применяем основное свойство пропорции и уравнение:

[begin{align}10cdotcolor{red}{x} &=15cdot left( 10- color{red}{x} right) \ 2cdotcolor{red}{x} &=3cdot left( 10- color{red}{x} right) \ &cdots\ color{red}{x} &=6 end{align}]

Это и есть искомая сторона ромба. Она равна $color{red}{x}=6$.

Ответ: $BD=6$.

Задача 5. Свойства биссектрисы

В треугольнике $ABC$ стороны $AB=8$, $BC=12$, угол $ABC={120}^circ $. Отрезок $BD$ — биссектриса. Найдите длину $BD$.

Решение. Из условия задачи можно сделать вот такой рисунок:

Поскольку $BD$ — биссектриса угла в треугольнике, точка $D$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные сторонам $AB$ и $BC$. Это можно записать так:

[frac{AD}{CD}=frac{AB}{CB}=frac{color{red}{8}}{color{red}{12}}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]

Обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $AD=color{blue}{2x}$, $CD=color{blue}{3x}$.

Дополнительное построение: прямая $DMparallel AB$:

Рассмотрим угол $ACB$. Поскольку $DMparallel AB$, по теореме о пропорциональных отрезках получаем, что

[frac{BM}{CM}=frac{AD}{CD}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]

Вновь обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $BM=color{blue}{2y}$, $CM=color{blue}{3y}$. Но тогда

[BC=BM+MC=color{blue}{5y}=color{red}{12}]

Получаем, что $color{blue}{y}=color{red}{2,4}$. Отсюда легко найти длину $BM$:

[BM=color{blue}{2y}=2cdotcolor{red}{2,4}= color{red}{4,8}]

Далее заметим, что если угол $ABC$ равен 120°, то

[angle ABD=angle CBD={60}^circ ]

С другой стороны, прямые $AB$ и $MD$ параллельны по построению. Прямая $BD$ — секущая для этих параллельных прямых.

Следовательно, углы $ABD$ и $BDM$ — внутренние накрест лежащие, поэтому

[angle BDM=angle ABD={60}^circ ]

Рассмотрим треугольник $BDM$. В нём есть два угла по 60°. Следовательно, это равносторонний треугольник:

[BD=BM=color{red}{4,8}]

Мы нашли длину отрезка $BD$. Задача решена.

Ответ: $BD=4,8$.

Итак, с определением разобрались. В следующем уроке разберём признаки подобия.:)

Смотрите также:

1. Как применяется теорема косинусов и подобие треугольников для решения широкого класса задач в планиметрии.
2. Теорема менелая
3. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
4. Введение системы координат
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Нестандартная задача B5 на площадь круга

Подобные треугольники. Отношение периметров подобных треугольников. Коэффициент подобия

Что такое подобные треугольники?

Подобные треугольники определение

Подобные треугольники определение:

На рисунке изображены два подобных треугольника, у них углы соответственно равны, т.е. угол A равен углу A₁, угол B равен углу B₁, угол C равен углу C₁.

Сходственные стороны треугольников

Сходственные стороны треугольников пропорциональны:

здесь k называется коэффициентом подобия.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Отношение периметров подобных треугольников

Отношение периметров подобных треугольников:

Докажем это утверждение. Пусть имеются два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁. По определению подобных треугольников их сходственные стороны пропорциональны:

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его трёх сторон:

Сумма в скобках в правой части равенства представляет собой периметр треугольника A₁B₁C₁. Разделим обе части равенства на периметр A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁. Получаем:

что и требовалось доказать. Итак, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Для установления факта подобия двух треугольников используют признаки подобия треугольников:

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Геометрия

План урока:

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А₁В₁ равно отношению отрезка СD к С₁D₁, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А₁В₁ и С₁D₁. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А₁В₁С₁, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ₁ и СС₁ (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ₁ и АС₁, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ₁ и АС₁. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С₁. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С₁:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С₁Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С₁Н в некоторой точке С₂, а сторону AВ в точке В₂. Ясно, что отрезки AВ и АВ₂ пропорциональны отрезкам АС и АС₂, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB₂ к AB равно 5/8, так как AB₂ состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС₂ к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С₁, то есть АН >C₁. Случай, когда АН 2 раз. Докажем это.

Пусть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН₁:

Запишем очевидные равенства:

В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k 2 раз.

Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. ∆DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь ∆DEF.

Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:

Задание. Площади двух подобных треуг-ков составляют 75 м 2 и 300 м 2 . Одна из сторон второго треуг-ка равна 9 м. Вычислите сходственную ей сторону первого треуг-ка.

Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:

Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна

[spoiler title=”источники:”]

http://100urokov.ru/predmety/urok-6-podobnye-treugolniki

[/spoiler]

Что такое подобные треугольники?

Подобные треугольники определение

Подобные треугольники определение:

Подобные треугольники имеют соответственно равные углы, а сходственные стороны треугольников пропорциональны.

На рисунке изображены два подобных треугольника, у них углы соответственно равны, т.е. угол A равен углу A₁, угол B равен углу B₁, угол C равен углу C₁.

Сходственные стороны треугольников

Сходственные стороны треугольников пропорциональны:

AB /A₁B₁ = BC /B₁C₁ = AC /A₁C₁ = k

здесь k называется коэффициентом подобия.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S_ABC / S_A1B1C1 = k²

Отношение периметров подобных треугольников

Отношение периметров подобных треугольников:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Докажем это утверждение. Пусть имеются два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁. По определению подобных треугольников их сходственные стороны пропорциональны:

AB = k * A₁B₁
BC = k * B₁C₁
AC = k * A₁C₁

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его трёх сторон:

AB + BC + AC =
k * (A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁)

Сумма в скобках в правой части равенства представляет собой периметр треугольника A₁B₁C₁. Разделим обе части равенства на периметр A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁. Получаем:

AB + BC + AC / (A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁) = k

что и требовалось доказать. Итак, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Для установления факта подобия двух треугольников используют признаки подобия треугольников:

Чтобы определить, являются ли треугольники подобными, не обязательно знать длины всех сторон и градусные меры всех углов треугольников, это можно сделать проще, используя признаки подобия треугольников.

22
Авг 2013

Категория: Справочные материалы

Подобные треугольники

2013-08-22
2014-01-31

Автор: egeMax |

комментариев 50