Как найти отношение плеч рычага

1. Правило равновесия рычага

Ещё
до Нашей Эры люди начали применять
рычаги
в строительном деле. Например, на рисунке
вы видите использование рычага для
подъёма тяжестей при постройке пирамид
в Египте.

Рычагом
называют твёрдое тело, которое может
вращаться вокруг некоторой оси.
Рычаг – это не обязательно длинный и
тонкий предмет. Например, рычагом
является любое колесо, так как оно может
вращаться вокруг оси.

Введём
два определения. Линией
действия силы
назовём прямую, проходящую через вектор
силы. Плечом
силы
назовём кратчайшее расстояние от оси
рычага до линии действия силы.
Из геометрии вы знаете, что кратчайшее
расстояние от точки до прямой – это
расстояние по перпендикуляру к прямой.

Проиллюстрируем
эти определения. На рисунке слева рычагом
является педаль.
Ось её вращения проходит через точку
О.
К педали приложены две силы: F₁
– сила, с которой нога давит на педаль,
и F₂
– сила упругости натянутого троса,
прикреплённого к педали. Проведя через
вектор F₁
линию действия силы (изображена
пунктиром), и, построив к ней перпендикуляр
из т.О,
мы получим отрезок
ОА – плечо силы F₁

С
силой F₂
дело обстоит проще: линию её действия
можно не проводить, так как её вектор
расположен более удачно. Построив из
т. О
перпендикуляр на линию действия силы
F₂,
получим отрезок
ОВ – плечо силы F₂.

При
помощи рычага можно маленькой силой
уравновесить большую силу.
Рассмотрим, например, подъём ведра из
колодца (см. рис. в § 5-б). Рычагом является
колодезный
ворот
– бревно с прикреплённой к нему изогнутой
ручкой.
Ось вращения ворота проходит сквозь
бревно. Меньшей силой служит сила руки
человека, а большей силой – сила, с
которой цепь тянет вниз.

Справа
показана схема ворота. Вы видите, что
плечом большей силы является отрезок
OB,
а плечом меньшей силы – отрезок OA.
Видно, что OA
> OB.
Другими словами, плечо
меньшей силы больше плеча большей силы.
Такая закономерность справедлива не
только для ворота, но и для любого другого
рычага.

Опыты
свидетельствуют, что при равновесии
рычага плечо меньшей силы во
столько раз больше плеча большей, во
сколько раз большая сила больше меньшей:

Рассмотрим
теперь вторую разновидность рычага –
блоки.
Они бывают подвижными и неподвижными
(см. рис.).

К левому,
подвижному блоку, подвешен груз весом
8 Н. Правый блок – неподвижный. Через
оба блока перекинута нить. Вы видите,
что её конец натянут с силой 4 Н. Как же
нам в этом случае удаётся удерживать
груз весом 8 Н? Ответим на этот вопрос.

Натягивая
конец нити, мы действуем на точку B
подвижного блока, как бы «приподнимаем»
её. Тем самым отрезок ОВ
(по сути рычаг) как бы поворачивается
вокруг точки О
против часовой стрелки.

Плечо
«синей силы» – отрезок ОВ
в 2 раза больше отрезка ОА
– плеча «красной» силы. Поэтому и силы
отличаются в 2 раза: 4 Н и 8 Н. Именно
поэтому мы силой в 4 Н удерживаем вес
груза 8 Н.

1. Рычаг – это не
   всегда длинный и тонкий предмет, но
   всегда …

2. Приведите пример
   рычага.

3. Прямая, проходящая
   через вектор силы, называется …

4. Плечо силы –
   расстояние от оси рычага до линии
   действия силы по …

5. Педаль является
   рычагом, так как это твёрдое тело и …

6. На педаль действует
   сила, с которой на неё давит нога и …

7. Плечом силы давления
   ноги является …

8. Поскольку вектор
   силы упругости троса расположен над
   точкой О, …

9. Плечом силы упругости
   троса является …

10. Рычаги часто
    применяют потому, что с их помощью …

11. Колодезный ворот
    является …

12. Точка О отмечает
    положение оси вращения ворота, которая
    …

13. На ворот действует
    сила руки человека и …

14. Отрезок ОВ является
    …

15. Плечо силы руки
    человека – это …

16. При равновесии сил,
    приложенных к вороту …

17. Формула в рамке
    применима не только к колодезному
    вороту, а вообще к любому рычагу и
    утверждает, что …

18. До знака равенства
    в правиле равновесия рычага находится
    …

19. Чтобы при равновесии
    рычага найти отношение плечей сил,
    нужно найти …

20. После ворота, блоки
    представляют собой …

21. На рисунке груз 8 Н
    подвешен …

22. За правый конец
    нити рука тянет …

23. Действуя на т. В
    подвижного блока, как бы «приподнимая»
    её, мы обнаруживаем, что …

24. Действующие на блок
    силы 4 Н и 8 Н отличаются в 2 раза, так как
    …

8

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Момент силы. Условия равновесия рычага

1. Устройство и виды рычагов
2. Момент силы
3. Правило моментов для двух сил
4. Правило моментов для нескольких сил
5. Применение рычагов в быту и технике
6. Задачи
7. Лабораторная работа №9. Проверка условия равновесия рычага

п.1. Устройство и виды рычагов

Рычаг – это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры. Рычаг состоит из перекладины и опоры. Точка опоры делит перекладину рычага на два плеча рычага. Назначение рычага – получить выигрыш в силе или расстоянии. Если к плечу рычага достаточно приложить меньшую силу, то переместить конец рычага придётся на бóльшее расстояние: выигрыш в силе оборачивается проигрышем в расстоянии. И наоборот, если удаётся сократить перемещение конца рычага, придётся приложить бóльшую силу: выигрыш в расстоянии оборачивается проигрышем в силе.

В зависимости от взаимного расположения точки опоры и нагрузки различают три вида рычагов.

п.2. Момент силы

Плечо силы – это кратчайшее расстояние между точкой опоры и прямой, вдоль которой сила действует на рычаг.

Чтобы найти плечо силы, нужно из точки опоры провести перпендикуляр на линию действия силы.

На рисунке (l_1) – плечо силы (F_1, l_2) – плечо силы (F_2).

Силы вращают рычаг вокруг точки опоры – по часовой или против часовой стрелки.

Ось вращения проходит через точку опоры перпендикулярно плоскости вращения.

На рисунке сила (F_1) вращает рычаг против часовой стрелки, а сила (F_2) – по часовой стрелке.

Момент силы – это произведение силы, вращающей тело, на её плечо. $$ M=Fl $$ В системе СИ единица измерения момента силы – Н·м.

Момент силы определяется не для всего тела, а для некоторой его точки, удалённой от центра (оси) вращения. Эта величина имеет смысл только для вращающихся тел.

п.3. Правило моментов для двух сил

Правило моментов для двух сил
Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по ходу часовой стрелки, равен моменту силы, вращающей его против хода часовой стрелки.

$$ F_1l_1=F_2l_2 $$

п.4. Правило моментов для нескольких сил

Правило моментов для нескольких сил
Рычаг находится в равновесии, если сумма моментов всех сил, вращающих его по ходу часовой стрелки, равен сумме моментов всех сил, вращающих его против хода часовой стрелки.

Например:

Силы (F_1, F_2, F_3) вращают рычаг против часовой стрелки, а сила (F_4) – по часовой стрелке. Поэтому: $$ F_1l_1+F_2l_2+F_3l_3=F_4l_4 $$

п.5. Применение рычагов в быту и технике

Рычаги первого рода

Весы Предмет, вес которого нужно измерить, — это нагрузка, а гиря создает усилие. Они равны, так как находятся на одном расстоянии от точки опоры.	Рычажные весы Точка опоры смещена относительно центра. Грузило передвигается по основанию, пока не уравновесит взвешиваемый объект.
Гвоздодёр Усилие ручки увеличивается плечом и вытаскивает гвоздь. Нагрузкой здесь является сопротивление гвоздя.	Ручная тележка Небольшое усилие, прикладываемое к ручкам тележки, позволяет поднимать тяжелый груз.
Плоскогубцы Составной рычаг, пара простых рычагов, соединенных в точке опоры. Нагрузка — сопротивление предмета захвату инструментом.	Ножницы Составной рычаг первого рода, развивают мощное режущее действие очень близко к месту крепления. Нагрузка — сопротивление материала лезвиям.

Рычаги второго рода

Рычаги третьего рода

п.6. Задачи

Задача 1. Для каждого положения тела укажите плечо силы.

При необходимости достраиваем линию действия силы и опускаем на неё перпендикуляр из точки опоры. Этот перпендикуляр и есть искомое плечо.

Задача 2. Грузы уравновешены на рычаге. Отношение плеч рычага 1:5. Масса большего груза 2,5 кг. Найдите массу меньшего груза.

Дано:
(frac{l_1}{l_2}=frac 15)
(m_1=2,5 text{кг})
__________________
(m_2-?)

По правилу моментов begin{gather*} F_1l_1=F_2l_2 end{gather*} На обоих концах рычага действуют силы тяжести: $$ F_1=m_1g, F_2=m_2g $$ Получаем: begin{gather*} m_1gl_1=m_2gl_2\[7pt] m_2=frac{m_1l_1}{l_2} end{gather*} Подставляем: $$ m_2=2,5cdot frac 15=0,5 (text{кг}) $$ Ответ: 0,5 кг

Задача 3. На концах рычага действуют силы 15 Н и 60 Н, направленные вниз. Рычаг находится в равновесии. Расстояние между точками приложения сил 1 м. Где расположена точка опоры?

Дано:
(F_1=15 text{Н})
(F_2=60 text{Н})
(l_1+l_2=1 text{м})
__________________
(l_1, l_2-?)

По правилу моментов begin{gather*} F_1l_1=F_2l_2. end{gather*} Получаем систему уравнений begin{gather*} left{ begin{array}{l l} 15l_1=60l_2 \ l_1+l_2=1 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l l} l_1=4l_2 \ l_1+l_2=1 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l l} l_1=4l_2 \ 4l_2+l_2=1 end{array} right. Rightarrow \[7pt] Rightarrow left{ begin{array}{l l} l_1=4l_2 \ 5l_2=1 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l l} l_1=0,8 \ l_2=0,2 end{array} right. end{gather*} Ответ: 0,8 м от точки приложения первой силы и 0,2 м от точки приложения второй силы.

Задача 4*. К балке, расположенной на двух опорах А и В подвешен груз массой 500 кг. Расстояние от точки подвеса груза к одному из концов балки в 4 раза больше, чем к другому. С какой силой балка давит на каждую из опор? Примите (gapprox 10 text{м/с}^2). Ответ запишите в килоньютонах.

Дано:
(m=500 text{кг})
(gapprox 10 text{м/с}^2)
(OB=4OA)
__________________
(F_A, F_B-?)

Сила тяжести (F_{text{т}}=mg), направленная вниз, уравновешивается силами реакции опор (F_A) и (F_B), направленными вверх. begin{gather*} F_A+F_B=mg end{gather*} По правилу моментов при равновесии begin{gather*} F_Acdot OA=F_Bcdot OB=F_Bcdot 4OARightarrow F_A=4F_B \[7pt] F_A+F_B=5F_B=mgRightarrow F_B=frac{mg}{5} end{gather*} Получаем: begin{gather*} F_B=frac{500cdot 10}{5}=1000 text{Н}=1 text{кН}, F_A=4cdot 100=4000 text{Н}=4 text{кН} end{gather*} Ответ: 4 кН и 1 кН

п.7. Лабораторная работа №9. Проверка условия равновесия рычага

Цель работы
Исследовать условия равновесия рычага под действием двух параллельных сил.

Теоретические сведения

Рычаг – это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры.

В работе используется рычаг 1-го рода, в котором опора располагается между точками приложения сил.

Плечо силы – это кратчайшее расстояние между точкой опоры и прямой, вдоль которой сила действует на рычаг. Чтобы найти плечо силы, нужно из точки опоры провести перпендикуляр на линию действия силы.

Момент силы – это произведение силы, вращающей тело, на её плечо: (M=Fl).

Правило моментов для двух сил
Рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по ходу часовой стрелки, равен моменту силы, вращающей его против хода часовой стрелки.

begin{gather*} M_1=M_2\[7pt] F_1l_1=F_2l_2 end{gather*}

В работе используется лабораторный рычаг с отверстиями диаметром 4 мм, находящимися на расстоянии 5 см друг от друга. Отверстий нечетное количество; центральное отверстие (центр тяжести) используется для подвеса рычага на штативе в положении равновесия. Абсолютную погрешность определения плеча на данном рычаге принимаем равной половине диаметра отверстия $$ Delta l=frac D2=2 text{мм} $$

Для измерения веса груза используется динамометр с ценой деления $$ d=0,1 text{Н}. $$

Абсолютная погрешность определения веса $$ Delta_F=frac d2=0,05 text{Н}. $$

Относительные погрешности измерений: $$ delta_l=frac{Delta_l}{l}, delta_F=frac{Delta_F}{F}, delta_M=delta_l+delta_F $$

Абсолютная погрешность определения момента силы $$ Delta_M=Mcdot delta_M $$

Погрешности определения отношений сил и плечей: begin{gather*} r_F=frac{F_1}{F_2}, delta_{rF}=frac{Delta_F}{F_1}+frac{Delta_F}{F_2}, Delta_{rF}=frac{F_1}{F_2}cdot delta_{rF}\[7pt] r_l=frac{l_2}{l_1}, delta_{rF}=delta_{rl}frac{Delta_l}{l_1}+frac{Delta_l}{l_2}, Delta_{rl}=frac{l_2}{l_1}cdot delta_{rl} end{gather*}

Приборы и материалы
Лабораторный рычаг, штатив, стержень, динамометр, набор грузов.

Ход работы

1. Закрепите стержень в штативе, наденьте на него рычаг. Если стержень проходит через центральное отверстие рычага, он находится в равновесии.
2. Подвесьте три груза на динамометре, запишите их вес (F_1).
3. Подвесьте грузы слева от оси вращения рычага на расстоянии 5 см.
4. С помощью динамометра определите, какую силу нужно приложить на расстоянии 15 см справа от оси вращения, чтобы удерживать рычаг в равновесии.
5. Как направлены в этом случае силы, действующие на рычаг? Запишите длину плеч этих сил.
6. Найдите моменты сил (M_1) и (M_2), их относительные и абсолютные погрешности.
7. Вычислите отношение сил (frac{F_1}{F_2}) и плеч (frac{l_2}{l_1}) для этого случая, погрешности их определения.
8. Сделайте выводы.

Результаты измерений и вычислений

(F_1, text{Н})	(l_1, text{см})	(F_2, text{Н})	(l_2, text{см})	(F_1/F_2)	(l_2/l_1)
2,9	5	1,0	15	2,9	3,0

Погрешности прямых измерений: $$ Delta_l=2 text{мм}=0,2 text{см}, Delta_F=0,05 text{Н} $$ Найдем моменты сил и погрешности вычислений: begin{gather*} M_1=F_1cdot l_1=2,9cdot 5=14,5 (text{Н}cdot text{м})\[7pt] delta_{M1}=frac{Delta_l}{l_1}+frac{Delta_F}{F_1}=frac{0,2}{5}+frac{0,05}{2,9}approx 0,04+0,017=0,057=5,7text{%} \[7pt] Delta_{M1}=M_1cdot delta_{M1}=14,5cdot 0,057approx 0,8 (text{Н}cdot text{м})\[7pt] M_1=(14,5pm 0,8) text{Н}cdot text{м}\[7pt] \[7pt] M_2=F_2cdot l_2=1,0cdot 15=15,0 (text{Н}cdot text{м})\[7pt] delta_{M2}=frac{Delta_l}{l_2}+frac{Delta_F}{F_2}=frac{0,2}{15}+frac{0,05}{1,0}approx 0,013+0,05=0,063=6,3 text{%} \[7pt] Delta_{M2}=M_2cdot delta_{M2}=15,0cdot 0,063approx 0,9 (text{Н}cdot text{м})\[7pt] M_2=(15,0pm 0,9) text{Н}cdot text{м} end{gather*} Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей: $$ M_1=M_2 $$

Погрешность вычислений для (frac{F_1}{F_2}) begin{gather*} delta_{rF}=frac{Delta_F}{F_1}+frac{Delta_F}{F_2}=frac{0,05}{2,9}+frac{0,05}{1,0}approx 0,017+0,05=0,067=6,7text{%}\[7pt] Delta_{rF}=frac{F_1}{F_2}cdot delta_{rF}=2,9cdot 0,067approx 0,2\[7pt] frac{F_1}{F_2}=2,9pm 0,2 end{gather*}

Погрешность вычислений для (frac{l_2}{l_1}) begin{gather*} delta_{rl}=frac{Delta_l}{l_1}+frac{Delta_l}{l_2}=frac{0,2}{5}+frac{0,2}{15}approx 0,04+0,013=0,053=5,3text{%}\[7pt] Delta_{rl}=frac{l_2}{l_1}cdot delta_{rl}=3,0cdot 0,053approx 0,2\[7pt] frac{l_2}{l_1}=3,0pm 0,2 end{gather*} Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей: $$ frac{F_2}{F_2}=frac{l_2}{l_1} $$

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Моменты сил, приложенных слева и справа от оси вращения рычага, равны $$ M_1=(14,5pm 0,8) text{Н}cdot text{м}, M_2=(15,0pm 0,9) text{Н}cdot text{м} $$ Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей, (M_1=M_2) – правило моментов выполняется.

Отношения сил и плечей равны begin{gather*} frac{F_1}{F_2}=2,9pm 0,2, frac{l_2}{l_1}=3,0pm 0,2 end{gather*}

Таким образом, с учетом вычисленных погрешностей (frac{F_1}{F_2}=frac{l_2}{l_1}) – правило отношений выполняется.

Эксперименты подтвердили условие равновесия рычага.

Цель работы:
Проверить на опыте, при каком соотношении сил и их плеч рычаг находится в равновесии. Проверьте на опыте правило моментов.
Приборы и материалы:
Рычаг на штативе, набор грузов, измерительная линейка, динамометр (рис. 205).
Указания к работе:
1.. Повторите по учебнику § 58 “Рычаг. Равновесие сил на рычаге”.
2. Уравновесьте рычаг, вращая гайки на его концах так, чтобы он расположился горизонтально.
3. Подвесьте два груза на левой части рычага на расстоянии, равном примерно 12 см от оси вращения. Опытным путём установите, на каком расстоянии вправо от оси вращения надо повесить: а) один груз; б) два груза; в) три груза, чтобы рычаг пришёл в равновесие.
4. Считая, что каждый груз весит 1 Н, запишите данные и измеренные величины в таблицу 14.
5. Вычислите отношение сил и отношение плеч для каждого из опытов и полученные результаты запишите в последний столбик таблицы.
6. Проверьте, подтверждают ли результаты опытов условие равновесия рычага под действием приложенных к нему сил и правило моментов сил (§58).
Дополнительное задание.
Подвесьте три груза справа от оси вращения рычага на расстоянии 5 см.
С помощью динамометра определите, какую силу нужно приложить на расстоянии 15 см от оси вращения правее грузов, чтобы удерживать рычаг в равновесии (см. рис. 205).
Как направлены в этом случае силы, действующие на рычаг? Запишите длину плеч этих сил. Вычислите отношение сил F 1 / F 2 и плеч l 2 / l 1 для этого случая и сделайте соответствующий вывод.

Цель работы:
Проверить на опыте, при каком соотношении сил и их плеч рычаг находится в равновесии. Проверьте на опыте правило моментов.
Приборы и материалы:
Рычаг на штативе, набор грузов, измерительная линейка, динамометр (рис. 205).
Указания к работе:
1.. Повторите по учебнику § 58 “Рычаг. Равновесие сил на рычаге”.
2. Уравновесьте рычаг, вращая гайки на его концах так, чтобы он расположился горизонтально.
3. Подвесьте два груза на левой части рычага на расстоянии, равном примерно 12 см от оси вращения. Опытным путём установите, на каком расстоянии вправо от оси вращения надо повесить: а) один груз; б) два груза; в) три груза, чтобы рычаг пришёл в равновесие.
4. Считая, что каждый груз весит 1 Н, запишите данные и измеренные величины в таблицу 14.
5. Вычислите отношение сил и отношение плеч для каждого из опытов и полученные результаты запишите в последний столбик таблицы.
6. Проверьте, подтверждают ли результаты опытов условие равновесия рычага под действием приложенных к нему сил и правило моментов сил (§58).
Дополнительное задание.
Подвесьте три груза справа от оси вращения рычага на расстоянии 5 см.
С помощью динамометра определите, какую силу нужно приложить на расстоянии 15 см от оси вращения правее грузов, чтобы удерживать рычаг в равновесии (см. рис. 205).
Как направлены в этом случае силы, действующие на рычаг? Запишите длину плеч этих сил. Вычислите отношение сил

F

1

F

2

и плеч

l

2

l

1

для этого случая и сделайте соответствующий вывод.

рис. 205.
Таблица 14.