Как найти отношение сторон треугольника по углам

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Подобные треугольники

Определение

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A1B1C1 и A2B2C2 , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

Два треугольника являются подобными если:

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 и∠C1 = ∠C2

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$frac=frac=frac$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$frac=frac$ и $angle A_1 = angle A_2$
или
$frac=frac$ и $angle B_1 = angle B_2$
или
$frac=frac$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 – угол1 – угол2)

2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);

3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR.

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 – ∠A – ∠B и ∠R = 180 – ∠P – ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$frac=frac=frac$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

$frac = frac<3> <6>= frac = frac = frac = frac<1> <2>Rightarrow 2times AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$frac = frac<7> <11>= frac = frac<15> Rightarrow CA = frac<15 times 11> <7>= 23.57$
x = AC – DC = 23.57 – 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

Решение:

Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$frac = frac<3> <9>= frac = frac<8> Rightarrow AB = frac<8 times 9> <3>= 24 м$
x = AB – 8 = 24 – 8 = 16 м

Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

Аналогично, $AC = sqrt = sqrt <24^2 + 9^2>= 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC – AE = 25.63 – 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.

Решение:

Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac = frac = frac$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.

Решение:

Геометрическое представление задачи показано на рисунке.

Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.

$frac = frac<1.6> <2.8>= frac = frac <5 + AC>Rightarrow 2.8 times AC = 1.6 times (5 + AC) = 8 + 1.6 times AC$

$(2.8 – 1.6) times AC = 8 Rightarrow AC = frac<8> <1.2>= 6.67$

Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a = b = c = 2R
sin α sin β sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p – a ) b + c

lb = 2√ acp ( p – b ) a + c

lc = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.math10.com/ru/geometria/podobnye-treugolniki.html

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

[/spoiler]

Содержание:

Теорема синусов, теорема косинусов:

Теорема синусов

Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описан­ной около треугольника, т. е.
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, ВС = Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

1) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решеният. е. Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из прямоугольного треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр) Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

3) Для Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения справедливость равенства Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения докажите самостоятельно, В силу доказанного Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема доказана.

Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
Так, пропорция Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения позволяет решить две следующие задачи:

  • зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
  • зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

С помощью формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияможно решить еще три задачи (рис. 153): 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

  • зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
  • зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
  • зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

Повторение

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В остроугольном треугольнике известны стороны Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти два других угла Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

Решение:

По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения При помощи калькулятора (таблиц). находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то, зная Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вначале мы нашли бы острый угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения А за­тем, используя формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получили бы, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Доказать справедливость формулы площади треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — его стороны, R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

Воспользуемся известной формулой площади треугольника: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Что и требовалось доказать.

Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпо теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Способ 2. Используем формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения из которой Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТак как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениято Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — боковая сторона, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — высота, проведенная к основанию Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения 

Заменив Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения в формуле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сум­ме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
Проведем высоту ВН к стороне АС. Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По основному тригонометрическому тождеству Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Справедливость теоремы для случаев, когда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
Для сторон Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения теорема косинусов запишется так:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то по теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

Следствие:

Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, най­ти его углы (косинусы углов). Из равенства Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует формула

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Для углов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияполучим:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По теореме косинусов

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Используя записанную выше формулу, можно сра­зу получить: 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
 

Так, из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения с учетом того, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует:

  1. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый;
  2. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой;
  3. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
 

Пример:

Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой и данный треугольник тупоугольный.

Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

  1. остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  2. тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  3. прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадра­тов всех его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть в параллелограмме ABCD Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— острый, откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)
Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку cos Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                   (2)

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения что и требовалось доказать.

Данная формула дает возможность:

  • • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
  • • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

Следствие:

Медиану Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника со сторонами а, b и с можно найти по фор­муле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Рассмотрим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Утверждение доказано.

Аналогично: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Формула медианы позволяет:

  • зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
  • зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
  • зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

Пример:

а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

Решение:

а) По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения б) Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то есть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

Пример:

Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть в Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениястороны АВ = 6, ВС = 10 и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 171).
Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и по условию Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой, то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 14.

Пример:

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим стороны треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана (рис. 172).
По формуле медианы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 24.

Формула Герона

Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а также по двум сторонам и углу между ними: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Теорема (формула Герона).

Площадь треугольника со сторонами Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно найти по формуле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— полупериметр треугольника.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 183). Из основ­ного тригонометрического тождества Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Для Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения синус положительный. Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияИз теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Так какТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
 

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними). 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 184).

Найти : Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Решение:

Рис. 184
1) По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) По следствию из теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

3) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

4) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Нахождение угла Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениятребует выяснения того, острый или тупой угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум  прилежащим к ней углам).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 185).

Найти: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц).

3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоре­мы синусов: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияили Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(cos Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениянаходим при помощи калькулятора или таблиц).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 186).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Найти: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи радиус R описанной окружности.

Решение:

1) По следствию из теоремы косинусов

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) Зная Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

3) Аналогично находим угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 4) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по фор­муле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения затем нахождение по косинусу угла его синуса Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и, наконец, использование теоремы синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениядля нахождения R.

Пример №4

Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Способ 2. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпоскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №5

Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Проведем Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD – АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияСН = 8. Площадь трапеции Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 76.
 

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример:

Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем
длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как в четырехугольнике АВМС Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где R — радиус. Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треуголь­ников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

Пример №6

В прямоугольном треугольнике АВС известно: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Построим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения симметричный Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения относительно прямой АВ (см. рис. 190).
Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то вокруг четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно описать окруж­ность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вписан в эту окруж­ность, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 8.

Пример №7

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (диагона­ли квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диа­метр Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пусть СО = х. По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения.

 Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Способ 3. Достроим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №8

Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь­ник АВС, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус вписанной окружности (рис. 193).
Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Применим формулу Герона:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

С другой стороны, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из уравнения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения = 2. Откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см).
Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

Теорема Стюарта

Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
 

Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отре­зок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 194) следует:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения              (2)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Сложим почленно полученные равенства:
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Из последнего равенства выразим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

Следствие:

Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Разделив сторону Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияс в отношении Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим: 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме Стюарта Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 196). Нужно доказать, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Выразим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и через Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По формуле биссектрисы треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Из условия Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (второй множитель при положительных Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения больше нуля). Утверждение доказано.

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е.Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 197).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (по свойству вписанного четырехугольника) и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Аналогично из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда  Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема доказана.

Запомните:

  1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам про­тиволежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу проти­волежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  2. Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  3. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме ква­дратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  4. Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — стороны треугольника и с — большая сторона. Если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник тупоугольный, если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник остроугольный, если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник прямоугольный.
  5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  6. Формула Герона: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  7. Формула медианы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Lenki_malas1.png
 

Доказательство

Пусть дан треугольник (ABC), в котором (AB>AC). Необходимо доказать, что

 (C >)

 (B).

На стороне (AB) отметим точку (D) такую, что (AD=AC). Это возможно, ведь по условию (AC < AB).

Обозначим

(ACD=)

(1),

(ADC=)

(2). Точка (D) лежит между (A) и (B), поэтому 

(1<)

(C).

Треугольник (ADC) — равнобедренный, углы при основании равны,

 (1 =)

 (2). Значит,  

(2<)

(C).

Угол

(2=)

(BCD +)

(B) как внешний угол треугольника (BCD), значит

 (2 >)

 (B). Но 

(2<)

(C), поэтому

 (C >)

 (B).

Справедлива и обратная теорема.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Следствия

Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Следствие 2. Если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.

Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Lenki_malas2.png

Доказательство

Рассмотрим треугольник (ABC) и докажем, что (AB < AC + BC).

Продолжим сторону (AC) и отложим отрезок (CD = BC).

Треугольник (BCD) — равнобедренный, следовательно,

 (1 = )

 (2).

В треугольнике (ABD) очевидно, что

 (ABD >)

 (1), а это значит, что 

 (ABD >)

 (2).

Так как против большего угла лежит большая сторона, (AB < AD), а (AD = AC + BC), значит, (AB < AC + BC).

Следствие 4. Для любых трёх точек (A), (B) и (C), не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
(AB < AC + CB,  AC < AB + BC,  BC < AB + AC).

Исторический термин «решение треугольников» (лат. solutio triangulorum) обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известным[1]. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) и т. п. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Решение плоских треугольников[править | править код]

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника[2] общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон a,b,c) и 3 угловые (alpha ,beta ,gamma ). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная[3].

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов[4]:

  • три стороны;
  • две стороны и угол между ними;
  • две стороны и угол напротив одной из них;
  • сторона и два прилежащих угла;
  • сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.

Основные теоремы[править | править код]

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников[5]:

Теорема косинусов
{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha }
{displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accdot cos beta }
{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma }
Теорема синусов
{frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}
Сумма углов треугольника
alpha +beta +gamma =180^{circ }

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.

Замечания[править | править код]

  1. Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синус[6]. Например, если sin beta =0{,}5, то угол beta может быть как 30^{circ }, так и 150^{circ }, потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от 0^{circ } до 180^{circ } значение косинуса определяет угол однозначно.
  2. При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
  3. Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем 180^{circ }.

Три стороны[править | править код]

Пусть заданы длины всех трёх сторон a,b,c. Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

{displaystyle a<b+c,quad b<a+c,quad c<a+b.}

Чтобы найти углы alpha ,beta , надо воспользоваться теоремой косинусов[7]:

{displaystyle alpha =arccos {frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},quad beta =arccos {frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.}

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна {displaystyle 180^{circ }colon }

{displaystyle gamma =180^{circ }-(alpha +beta ).}

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Пусть для определённости известны длины сторон a,b и угол gamma между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны c применяется теорема косинусов[8]:

{displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }}.}

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

{displaystyle alpha =arccos {frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=arccos {frac {b-acos gamma }{sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }}}.}

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: beta =180^{circ }-alpha -gamma .

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол напротив одной из них[править | править код]

В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны b,c и угол beta . Тогда уравнение для угла gamma находится из теоремы синусов[9]:

{displaystyle sin gamma ={frac {c}{b}}sin beta .}

Для краткости обозначим {displaystyle D={frac {c}{b}}sin beta } (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от D[10][11].

  1. Задача не имеет решения (сторона b «не достаёт» до линии BC) в двух случаях: если D>1 или если угол beta geqslant 90^{circ } и при этом bleqslant c.
  2. Если {displaystyle D=1,} существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный: {displaystyle gamma =arcsin D=90^{circ }.}

  1. Если {displaystyle D<1,} то возможны 2 варианта.
    1. Если b<c, то угол gamma имеет два возможных значения: острый угол {displaystyle gamma =arcsin D} и тупой угол {displaystyle gamma '=180^{circ }-gamma }. На рисунке справа первому значению соответствуют точка C, сторона b и угол gamma , а второму значению — точка C', сторона {displaystyle b'=b} и угол gamma '.
    2. Если bgeqslant c, то beta geqslant gamma (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для gamma исключён и решение {displaystyle gamma =arcsin D} единственно.

Третий угол определяется по формуле {displaystyle alpha =180^{circ }-beta -gamma }. Третью сторону можно найти по теореме синусов:

a=b {frac {sin alpha }{sin beta }}

В данном случае заданы сторона и прилежащие к ней углы. Аналогичные рассуждения имеют смысл, даже если один из известных углов противоположен стороне.

Сторона и два угла[править | править код]

Пусть задана сторона c и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше 180^{circ }. В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы alpha ,beta , то {displaystyle gamma =180^{circ }-alpha -beta }. Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов[12]:

{displaystyle a=c {frac {sin alpha }{sin gamma }},quad b=c {frac {sin beta }{sin gamma }}.}

Решение прямоугольных треугольников[править | править код]

Прямоугольный треугольник

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.

Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой C, гипотенузу — c. Катеты обозначаются a и b, а величины противолежащих им углов — alpha и beta соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

c^{2}=a^{2}+b^{2}

и определения основных тригонометрических функций:

sin alpha =cos beta ={frac {a}{c}},quad cos alpha =sin beta ={frac {b}{c}},
{displaystyle operatorname {tg} alpha =operatorname {ctg} beta ={frac {a}{b}},quad operatorname {ctg} alpha =operatorname {tg} beta ={frac {b}{a}}.}

Ясно также, что углы alpha и beta  — острые, так как их сумма равна 90^{circ }. Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Два катета[править | править код]

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

{displaystyle alpha =operatorname {arctg} {frac {a}{b}},quad beta =operatorname {arctg} {frac {b}{a}}}

или же по только что найденной гипотенузе:

alpha =arcsin {frac {a}{c}}=arccos {frac {b}{c}},quad beta =arcsin {frac {b}{c}}=arccos {frac {a}{c}}.

Катет и гипотенуза[править | править код]

Пусть известны катет b и гипотенуза c — тогда катет a находится из теоремы Пифагора:

a={sqrt {c^{2}-b^{2}}}.

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Катет и прилежащий острый угол[править | править код]

Пусть известны катет b и прилежащий к нему угол alpha .

Гипотенуза c находится из соотношения

c={frac {b}{cos alpha }}.

Катет a может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

a=b mathrm {tg} ,alpha .

Острый угол beta может быть найден как

beta =90^{circ }-alpha .

Катет и противолежащий острый угол[править | править код]

Пусть известны катет b и противолежащий ему угол beta .

Гипотенуза c находится из соотношения

c={frac {b}{sin beta }}.

Катет a и второй острый угол alpha могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Гипотенуза и острый угол[править | править код]

Пусть известны гипотенуза c и острый угол beta .

Острый угол alpha может быть найден как

alpha =90^{circ }-beta .

Катеты определяются из соотношений

a=csin alpha =ccos beta ,
b=csin beta =ccos alpha .

Решение сферических треугольников[править | править код]

Стороны сферического треугольника a,b,c измеряют величиной опирающихся на них центральных углов

Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника a,b,c принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов alpha +beta +gamma зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера[13] и формула половины стороны[14].

Три стороны[править | править код]

Если даны (в угловых единицах) стороны a,b,c, то углы треугольника определяются из теоремы косинусов[15]:

alpha =arccos left({frac {cos a-cos b cos c}{sin b sin c}}right),
beta =arccos left({frac {cos b-cos c cos a}{sin c sin a}}right),
gamma =arccos left({frac {cos c-cos a cos b}{sin a sin b}}right),

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Пусть заданы стороны a,b и угол gamma между ними. Сторона c находится по теореме косинусов[15]:

c=arccos left(cos acos b+sin asin bcos gamma right)

Углы alpha ,beta можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:

{displaystyle alpha =operatorname {arctg}  {frac {2sin a}{operatorname {tg} ({frac {gamma }{2}})sin(b+a)+operatorname {ctg} ({frac {gamma }{2}})sin(b-a)}},}
{displaystyle beta =operatorname {arctg}  {frac {2sin b}{operatorname {tg} ({frac {gamma }{2}})sin(a+b)+operatorname {ctg} ({frac {gamma }{2}})sin(a-b)}}.}

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними[править | править код]

Пусть заданы стороны b,c и угол beta . Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

{displaystyle b>arcsin(sin c,sin beta ).}

Угол gamma получается из теоремы синусов:

{displaystyle gamma =arcsin left({frac {sin c,sin beta }{sin b}}right).}

Здесь, аналогично плоскому случаю, при b<c получаются два решения: gamma и {displaystyle 180^{circ }-gamma }.

Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера[16]:

a=2operatorname {arctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(b-c)right){frac {sin left({frac {1}{2}}(beta +gamma )right)}{sin left({frac {1}{2}}(beta -gamma )right)}}right},
alpha =2operatorname {arcctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(beta -gamma )right){frac {sin left({frac {1}{2}}(b+c)right)}{sin left({frac {1}{2}}(b-c)right)}}right}.

Заданы сторона и прилежащие углы

Сторона и прилежащие углы[править | править код]

В этом варианте задана сторона c и углы alpha ,beta . Угол gamma определяется по теореме косинусов[17]:

{displaystyle gamma =arccos(sin alpha sin beta cos c-cos alpha cos beta ).}

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

a=operatorname {arctg} left{{frac {2sin alpha }{operatorname {ctg} (c/2)sin(beta +alpha )+operatorname {tg} (c/2)sin(beta -alpha )}}right}
b=operatorname {arctg} left{{frac {2sin beta }{operatorname {ctg} (c/2)sin(alpha +beta )+operatorname {tg} (c/2)sin(alpha -beta )}}right}

или, если использовать вычисленный угол gamma , по теореме косинусов:

{displaystyle a=arccos left({frac {cos alpha +cos beta cos gamma }{sin beta sin gamma }}right),}
{displaystyle b=arccos left({frac {cos beta +cos gamma cos alpha }{sin gamma sin alpha }}right).}

Заданы два угла и сторона не между ними

Два угла и сторона не между ними[править | править код]

В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.

Пусть заданы сторона a и углы alpha ,beta . Сторона b определяется по теореме синусов[18]:

{displaystyle b=arcsin left({frac {sin a,sin beta }{sin alpha }}right).}

Если угол для стороны a острый и alpha >beta , существует второе решение:

{displaystyle b=pi -arcsin left({frac {sin a,sin beta }{sin alpha }}right).}

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

{displaystyle c=2operatorname {arctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(a-b)right){frac {sin left({frac {1}{2}}(alpha +beta )right)}{sin left({frac {1}{2}}(alpha -beta )right)}}right}.}
{displaystyle gamma =2operatorname {arcctg} left{operatorname {tg} left({frac {1}{2}}(alpha -beta )right){frac {sin left({frac {1}{2}}(a+b)right)}{sin left({frac {1}{2}}(a-b)right)}}right}.}

Три угла[править | править код]

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

a=arccos left({frac {cos alpha +cos beta cos gamma }{sin beta sin gamma }}right),
b=arccos left({frac {cos beta +cos gamma cos alpha }{sin gamma sin alpha }}right),
c=arccos left({frac {cos gamma +cos alpha cos beta }{sin alpha sin beta }}right).

Другой вариант: использование формулы половины угла[19].

Решение прямоугольных сферических треугольников[править | править код]

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол C) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношений[20]:

{displaystyle sin a=sin ccdot sin alpha =operatorname {tg} bcdot operatorname {ctg} beta ,}
{displaystyle sin b=sin ccdot sin beta =operatorname {tg} acdot operatorname {ctg} alpha ,}
{displaystyle cos c=cos acdot cos b=operatorname {ctg} alpha cdot operatorname {ctg} beta ,}
{displaystyle operatorname {tg} a=sin bcdot operatorname {tg} alpha ,}
{displaystyle operatorname {tg} b=operatorname {tg} ccdot cos alpha ,}
{displaystyle cos alpha =cos acdot sin beta =operatorname {tg} bcdot operatorname {ctg} c,}
{displaystyle cos beta =cos bcdot sin alpha =operatorname {tg} acdot operatorname {ctg} c.}

Вариации и обобщения[править | править код]

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

Примеры практического применения[править | править код]

Триангуляция[править | править код]

Чтобы определить расстояние d от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние l между которыми известно, и измерить углы alpha и beta между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольника[23]:

d={frac {sin alpha ,sin beta }{sin(alpha +beta )}},l={frac {operatorname {tg} alpha ,operatorname {tg} beta }{operatorname {tg} alpha +operatorname {tg} beta }},l

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы alpha ,beta при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние[23].

Другой пример: требуется измерить высоту h горы или высокого здания. Известны углы alpha ,beta наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии l. Из формул того же варианта, что и выше, получается[24]:

h={frac {sin alpha ,sin beta }{sin(beta -alpha )}},l={frac {operatorname {tg} alpha ,operatorname {tg} beta }{operatorname {tg} beta -operatorname {tg} alpha }},l

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара[править | править код]

Distance on earth.png

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре[25]:

Точка A: широта lambda _{mathrm {A} }, долгота L_{mathrm {A} },
Точка B: широта lambda _{mathrm {B} }, долгота L_{mathrm {B} },

Для сферического треугольника ABC, где C — северный полюс, известны следующие величины:

{displaystyle a=90^{mathrm {o} }-lambda _{mathrm {B} }}
{displaystyle b=90^{mathrm {o} }-lambda _{mathrm {A} }}
{displaystyle gamma =L_{mathrm {A} }-L_{mathrm {B} }}

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

mathrm {AB} =Rarccos left{sin lambda _{mathrm {A} },sin lambda _{mathrm {B} }+cos lambda _{mathrm {A} },cos lambda _{mathrm {B} },cos left(L_{mathrm {A} }-L_{mathrm {B} }right)right},

где R — радиус Земли.

История[править | править код]

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.[26]

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрии[27]. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников[28]:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее[29]: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке[30].

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаков[31]. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут[1].

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных[32].

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию[33]. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов[34]. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров[35]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинус[36]. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов sin nvarphi , cos nvarphi для n=2,3,4,5. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась[37].

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории[38]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс[36].

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века[29]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника[39]. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения[40].

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году[41]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам[42]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10″[43]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»[44]. Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

См. также[править | править код]

  • Признаки подобия треугольников
  • Площадь треугольника
  • Сферическая тригонометрия
  • Сферический треугольник
  • Триангуляция
  • Тригонометрические тождества
  • Тригонометрические функции
  • Формулы Мольвейде

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Выгодский М. Я., 1978, с. 266—268.
  2. Плоский треугольник иногда называют прямолинейным.
  3. Элементарная математика, 1976, с. 487.
  4. Solving Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 23 Jule 2012. Архивировано 30 июня 2019 года.
  5. Элементарная математика, 1976, с. 488.
  6. Степанов Н. Н., 1948, с. 133.
  7. Solving SSS Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 23 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
  8. Solving SAS Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
  9. Solving SSA Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012). Архивировано 30 сентября 2012 года.
  10. Выгодский М. Я., 1978, с. 294.
  11. Элементарная математика, 1976, с. 493—496.
  12. Solving ASA Triangles. Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
  13. Степанов Н. Н., 1948, с. 87—90.
  14. Степанов Н. Н., 1948, с. 102—104.
  15. 1 2 Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 545.
  16. Степанов Н. Н., 1948, с. 121—128.
  17. Степанов Н. Н., 1948, с. 115—121.
  18. Степанов Н. Н., 1948, с. 128—133.
  19. Степанов Н. Н., 1948, с. 104—108.
  20. Основные формулы физики, 1957, с. 14—15.
  21. Цейтен Г. Г., 1932, с. 223—224.
  22. Цейтен Г. Г., 1938, с. 126—127.
  23. 1 2 Геометрия: 7—9 классы, 2009, с. 260—261.
  24. Геометрия: 7—9 классы, 2009, с. 260.
  25. Степанов Н. Н., 1948, с. 136—137.
  26. van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5.
  27. Глейзер Г. И., 1982, с. 77.
  28. Глейзер Г. И., 1982, с. 94—95.
  29. 1 2 Матвиевская Г. П., 2012, с. 92—96.
  30. Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (англ.). — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
  31. История математики, том I, 1970, с. 143.
  32. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — С. 366. — 456 с.
  33. Матвиевская Г. П., 2012, с. 25—27.
  34. Матвиевская Г. П., 2012, с. 33—36.
  35. Матвиевская Г. П., 2012, с. 40—44.
  36. 1 2 Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978, с. 79.
  37. Юшкевич А. П. История математики в Средние века. — М.: ГИФМЛ, 1961. — С. 160. — 448 с.
  38. Матвиевская Г. П., 2012, с. 51—55.
  39. Матвиевская Г. П., 2012, с. 111.
  40. Матвиевская Г. П., 2012, с. 96—98.
  41. Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
  42. Рыбников К. А., 1960, с. 105.
  43. История математики, том I, 1970, с. 320.
  44. Степанов Н. Н. § 42. Формулы «аналогии Непера» // Сферическая тригонометрия. — М.Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 87—90. — 154 с.

Литература[править | править код]

Теория и алгоритмы
  • Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 384 с. — ISBN 978-5-09-021136-9.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия, учебник для 10 класса. — М.: МЦНМО, 2002. — ISBN 5-94057-050-X.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
  • Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 1. Основные математические формулы. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
  • Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. — С. 518—557. — 568 с.
  • Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.Л.: ОГИЗ, 1948.
История
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
  • История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
    • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
    • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
    • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
  • Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.
  • Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
  • Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
  • Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
  • Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

  1. Найти все стороны треугольника.
  2. Найти все углы треугольника.
  3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
  4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
  5. Найти радиус (R) описанной окружности.
  6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет



где a и b – катеты, с – гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам



где a и b – катеты, с – гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу



где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол



где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними



где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании



где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними



где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании



где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь



где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту



где a – искомая сторона,h – высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности



где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности



где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)



где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)



где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Добавить комментарий