Как найти отношение сторон в квадрате

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 92. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Отношение площадей квадратов.

Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т, а сторону другого — через п, то площади будут соответственно равны
т² и п² (черт. 379).

Обозначив площадь первого квадрата через S, а  площадь  второго  через S’,   получим: ^S/_S’ = m²_/n2 ,   т.  е.   площади квадратов относятся  как квадраты их сторон.

Полученную формулу можно преобразовать так: ^S/_S’ =  ( ^m/_n)² .

Значит, можно  сказать,  что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.

На чертеже 379 отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
3² = 9.

2. Отношение площадей двух подобных треугольников.

Пусть / AВС / A’В’С’ (черт.   380). Из  подобия треугольников следует, что
/
 A = /
 A’ ,   /
 B = /
 B’ и  /
 С = /
 С’ .  Кроме того, ^AB/_A’B’ = ^BC/_B’C’ =  ^AC/_A’C’.     

В этих треугольниках из вершин В и В’ проведём высоты и обозначим их через h и h‘. Площадь первого треугольника будет равна ^AC•h/₂, а площадь второго  треугольника  ^{A’C’•h’}/₂.

Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго — через S’  получим:  ^S/_S’ =  ^AC•h/_{A’C’•h’}   или ^S/_S’  = ^AC/_A’C’  • ^h/_h’

Из подобия треугольников АВО и А’В’О’ (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно /
 A = /
 A’ ) следует:
^h/_h’  = ^AB/_A’B’  . Но  ^AB/_A’B’ = ^AC/_A’C’ . Следовательно, ^h/_h’  = ^AC/_A’C’. Заменив в формуле ^S/_S’  = ^AC/_A’C’  • ^h/_h’   отношение ^h/_h’   равным ему отношением ^AC/_A’C’ , получим:
^S/_S’  = ^AC/_A’C’  • ^AC/_A’C’ , или  .

Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать так: ^S/_S’  = (^AC/_A’C’ )².

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.

3. Отношение площадей подобных многоугольников.

Пусть ABCDE   и   A’B’C’D’E’ — подобные     многоугольники (черт. 381).

Известно, что / AВС / A’В’С’;  / ACD / A’C’D’ и / ADE / A’D’E’ (§90).  
 Кроме  того,

 ; 

Так как вторые отнoшения этих пропорций равны, что вытекает из подобия   многоугольников, то

Используя   свойство   ряда   равных   отношений   получим:

, или

где S и S’ — площади данных подобных многоугольников.

Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать к такому виду:  ^S/_S’  = (^AВ/_A’В’ )²

Упражнения.

1. Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?

2.  Сторона первого квадрата составляет ¹/₃  (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?

3.  Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 (¹/₅; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?

4.  Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?

Перед вами страница с вопросом 1. Найдите отношение площадей двух квадратов, если отношение сторон этих квадратов равно : 2 : 3 2?, который относится к
категории Геометрия. Уровень сложности соответствует учебной программе для
учащихся 5 – 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и
сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и
выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется
варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском»,
который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав
кнопку в верхней части страницы.