Как найти отношение сторон зная углы

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Треугольник

Треугольник является базовой фигурой геометрии, встречающейся повсеместно. Расчет всех геометрических фигур и тел основаны на наличии в них тех или иных треугольников, благодаря чему становится возможным применить множество теорем и формул, несвойственных конкретным фигурам по отдельности. Равносторонние треугольники, равнобедренные треугольники и прямоугольные треугольники составляют каркас решения геометрических задач, и обладая множеством дополнительных построений внутри треугольника, они предоставляют огромное количество значений тех или иных длин. Все биссектрисы, медианы, высоты, радиусы окружностей, вписанных или описанных около таких треугольников, можно рассчитать в этом разделе через геометрический калькулятор. Для этого необходимо ввести любые имеющиеся вводные данные, и калькулятор выдаст не только значения всех остальных параметров треугольника, но и объяснит преобразования формул, использованные для этих расчетов.

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• для гипотенузы (с):
  • длины катетов a и b
  • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
• для катета:
  • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
  • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
  • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² – 4² = √ 25 – 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

[spoiler title=”источники:”]

http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/triangle

http://poschitat.online/storony-pryamougolnogo-treugolnika

[/spoiler]

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

1. Найти все стороны треугольника.
2. Найти все углы треугольника.
3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
5. Найти радиус (R) описанной окружности.
6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b – катеты, с – гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b – катеты, с – гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a – искомая сторона,h – высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

О многоугольнике с тремя сторонами

Соотношение углов и сторон в треугольнике интуитивно можно понять, если хорошо представлять эту фигуру. Речь идет о плоском объекте, который состоит всего из трех отрезков. Они расположены таким образом, что начало первого совпадает с концом последнего, то есть они пересекаются. Каждый отрезок представляет собой независимую сторону фигуры. Точка пересечения является вершиной, а соответствующий ей угол является внутренним.

Таким образом, два ключевых элемента образуют рассматриваемую фигуру:

• вершина;
• сторона.

И вершин, и сторон в любом треугольнике по три, поэтому его принято обозначать большими латинскими буквами, например, ABC или MNK. Малые буквы резервируют для обозначения длин сторон, например, a, b, c.

На первый взгляд может показаться, что рассматриваемый объект является несложным, и в нем нечего изучать. Действительно, он является самым простым по построению многоугольником, однако, он обладает большим количеством свойств, количественное и качественное знание которых требуют понимания многих теорем.

Существование фигуры

Пусть имеется три отрезка, и необходимо понять, возможно ли из них построить треугольник. Это можно сделать с помощью одного простого правила, которое можно сформулировать следующим образом: любая сторона треугольника всегда меньше суммы длин двух других.

Знание этого правила является очень важным и эффективным инструментом при решении задач. Например, из отрезков с условными длинами 1, 2 и 4 построить треугольник невозможно, а из 2, 3, 4 это сделать можно.

Помимо соотношения длин сторон существует также еще одна теорема, которая гласит, что во всяком треугольнике сумма его внутренних углов всегда равна 180 °. Благодаря знанию этой теоремы можно все рассматриваемые фигуры разделить на три типа:

1. Остроугольные. В них все три угловые меры меньше 90 °. При этом возможны случаи взаимного их равенства, то есть каждый будет составлять 60 °. Такие треугольники называются равносторонними или правильными. Равны могут быть между собой также два угла, это будет уже равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны имеют одинаковую длину.
2. Тупоугольные. Поскольку сумма составляет 180 °, то по определению в рассматриваемом многоугольнике не может быть больше одного тупого угла. Тупоугольные фигуры могут иметь либо произвольный тип, когда все их отрезки различаются, либо являться равнобедренными.
3. Прямоугольные. Это специальный тип треугольников, о котором известно многое, и который разграничивает два предыдущих типа. В них один угол равен 90 °, а два других являются острыми.

Полноты ради следует сказать о вырожденных фигурах. К ним относятся такие многоугольники, у которых тупой стремится к 180 °. Несложно представить, что в этом случае два других будут обращаться в ноль, а сумма противолежащих им сторон окажется равной длине отрезка, расположенного напротив тупого угла. На плоскости вырожденный треугольник представляет отрезок, его площадь стремится к нулю.

Важные линии

Несмотря на всю простоту построения треугольника, при решении задач могут понадобиться дополнительные отрезки. Внутри фигуры существует целая гамма типов этих отрезков, наиболее важными из них являются следующие:

1. Медиана — делящий на две равные по площади части исходный треугольник. Отрезок проводится из вершины к середине противоположной стороны.
2. Биссектриса. Ею называют отрезок, который на две половины делит угол при произвольной вершине.
3. Высота. Этот элемент проводится также из вершины, но по отношению к противоположной стороне он является перпендикуляром. Таким образом, высота делит исходную фигуру на два прямоугольных геометрических объекта, которые в общем случае между собой не равны.
4. Медиатриса — это серединный перпендикуляр, то есть он сочетает свойства медианы и высоты, однако, через вершину треугольника он может не проходить. Медиатрисами пользуются при построении описанной окружности.
5. Средняя линия — это отрезок, который посередине пересекает две стороны треугольника. Его длина всегда будет в два раза меньше стороны фигуры, которой он параллелен. Средняя линия приводит к созданию подобной исходной фигуры, которая в два раза меньше.

Для правильных, равнобедренных и прямоугольных треугольников некоторые из названных отрезков могут совпадать друг с другом, а также со сторонами фигуры. Например, в прямоугольном треугольнике две малые стороны (катеты) также являются высотами.

Соотношение отрезков и углов

Задачи на соотношение отрезков и угловых мер в рассматриваемой фигуре могут требовать либо качественный, либо количественный ответ. В первом случае следует провести определенное доказательство, опираясь на известные аксиомы и теоремы о сторонах треугольника и их следствия. Во втором же случае следует пользоваться формулами и выражениями, которые содержат тригонометрические функции. В действительности оба типа задач связаны между собой. Так, прежде чем использовать какую-либо формулу, следует доказать возможность ее применения в конкретной ситуации.

Большие и меньшие длины

Основная теорема о соотношении между элементами в рассматриваемом типе многоугольников гласит, что против большего угла лежит большая сторона. Ее доказательство провести несложно, если построить треугольник, например, тупоугольный. Из тупого провести отрезок к противоположной стороне таким образом, чтобы он образовывал новый равнобедренный треугольник внутри исходного. После этого следует воспользоваться тем свойством, что внешний угол треугольника всегда больше внутреннего.

Следуя условию равенства углов в построенном равнобедренном треугольнике, легко показать, что против тупого всегда находится самый длинный отрезок.

Обратно эта теорема также справедлива, то есть против большей стороны треугольника лежит больший угол. Ее справедливость понятна каждому школьнику на интуитивном уровне, а доказательство заключается в переборе возможных трех вариантов соотношения между отрезками (больше, меньше, равно) и в привлечении уже доказанной теоремы.

Рассмотренные теоремы приводят к двум важным следствиям:

1. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. Следствие актуально для равносторонних и равнобедренных фигур.
2. Гипотенуза в треугольнике с прямым углом является самой длинной стороной, поскольку она лежит напротив самого большого угла.

Рассмотренные теоремы и их следствия активно используются при изучении подобных фигур. Поскольку напротив равных углов двух треугольников лежат соответствующие им длины отрезков, то последние будут попарно относиться друг к другу с определенным коэффициентом подобия.

Теоремы косинусов и синусов

Количественной характеристикой соотношения сторон и углов являются знаменитые формулы, содержащие зависимость длин отрезков и угловых мер. Первая из них называется теоремой косинусов. Соответствующая формула имеет вид:

c ² = a ² + b ² — 2*a*b*cos©.

Здесь величины a, b, c — это длины, C — угол напротив стороны c. Формула позволяет вычислить третью сторону по известным двум другим и углу между ними. Однако, возможности выражения шире, с его помощью можно посчитать всякий внутренний угол фигуры, если известны три ее стороны.

Следующая по счету, но не по важности теорема синусов. Ее математическое выражение записывается так:

a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin©.

Эти равенства говорят о том, что отношение стороны к синусу противоположного ей угла является постоянной характеристикой конкретного треугольника. Зная связь двух углов и стороны или двух отрезков и одного угла можно рассчитать все остальные характеристики фигуры. Следует запомнить, что для любого рассматриваемого типа многоугольников однозначное вычисление всех его свойств требует знания минимум трех элементов (кроме трех углов).

Прямоугольный треугольник

Этот особый случай следует рассмотреть подробнее. Каждый школьник знает знаменитую теорему, позволяющую сравнить соответствие отрезков друг другу в этом типе фигуры. Она гласит, что сумма квадратов катетов соответствует квадрату гипотенузы, и называется пифагоровой теоремой, то есть можно записать:

c ² = a ² + b ² .

Работать с прямоугольными треугольниками удобно по одной простой причине: через их геометрические параметры вводятся в математику тригонометрические функции. Последние легко использовать при вычислении сторон и углов фигуры. Например, если фигура является не только прямоугольной, но и равнобедренной, то ее катеты равны, а углы напротив них составляют по 45 °. При этом любой из катетов всегда в 2 ^0,5 раза меньше гипотенузы:

sin (45 °) = a/c = ½ ^0,5.

Это соотношение можно получить также из теоремы Пифагора.

Другая ситуация, когда один из острых углов равен 30 °. Для лежащего напротив него катета a можно записать следующее выражение:

sin (30 °) = ½ = a/c.

Иными словами, лежащий против 30 ° катет составляет ровно половину длины гипотенузы.

Таким образом, в любом треугольнике существует прямая пропорциональность между длиной стороны и противолежащим ей углом. Для количественного решения задач по геометрии с этой фигурой следует пользоваться выражениями синусов, косинусов и теоремой Пифагора.

Для того чтобы рассчитать в треугольнике все возможные показатели, необходимо, как минимум, иметь данные о его сторонах. Зная два угла и сторону а, можно найти остальные две стороны и угол, построив высоту в таком треугольнике. (рис. 76.1) Высота разделит произвольный треугольник на два прямоугольных, в которых катетами будет высота и часть известной стороны x или y, а гипотенузами – неизвестные стороны a и b. Кроме того, что мы задаем известную сторону a, как сумму двух катетов x и y, тригонометрия полученных треугольников, определяет высоту с одной стороны как произведение y на тангенс β, а с другой стороны как произведение x на тангенс γ. Приравнивая эти выражения друг к другу, можно составить систему уравнений, из которых могут быть найдены части x и y, а затем неизвестные стороны первоначального треугольника a и b.
{█(x+y=a@y tan⁡β=x tan⁡γ )┤{█(x=a-y@y(tan⁡β+tan⁡γ )=a tan⁡γ )┤{█(x=a-y@y=(a tan⁡γ)/(tan⁡β+tan⁡γ ))┤
b=x/cos⁡γ , c=y/cos⁡β
h_a=y tan⁡β

Можно также найти сразу две другие высоты треугольника, опущенные на стороны b и c соответственно. (рис. 76.2)
h_b=a sin⁡β
h_c=a sin⁡γ

Третий угол можно найти, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам.
α=180°-β-γ

Теперь, зная все стороны, углы и высоты, можно найти все остальные параметры треугольника. Вычислить периметр можно, сложив все три стороны, а площадь – умножив половину любой стороны на опущенную на нее высоту.
P=a+b+c
S=(ah_a)/2

Если провести в треугольнике медианы, то каждая из них разделит сторону, на которую она опущена, на две равные части. Для того, чтобы вычислить медиану в треугольнике, необходимо знать все три стороны. Формула медианы заключается в том, чтобы сложить удвоенные квадраты двух нетронутых сторон, отнять квадрат стороны, на которую опущена медиана, извлечь из этого выражения квадратный корень и разделить его на два. (рис. 75.1)
m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2
m_a=√(2b^2+2c^2-a^2 )/2
m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2

Чтобы найти биссектрисы треугольника, которые делят пополам его углы, также необходимо знать все три стороны треугольника. Формула биссектрисы выглядит немного сложнее, чем формула медианы, но достаточно проста в расчетах. (рис.75.2)
l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)
l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)
l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)

Средняя линия треугольника – это прямая, проведенная параллельно одной из его сторон. Ее особенность заключается в том, что она делит стороны на которые опирается на две равные части, и сама равна половине стороны, ей параллельной. (рис.75.7)
M_a=a/2
M_b=b/2
M_c=c/2

Также в произвольном треугольнике через стороны можно найти радиус окружности, которую можно вписать в треугольник или описать около него. Радиус вписанной окружности будет начинаться в точке пересечения биссектрис треугольника и опускаться на любую из сторон под прямым углом. Радиус описанной окружности начинается в точке пересечения медиатрисс треугольника и заканчивается в любой из его вершин. (рис. 75.5, 75.6)
r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p)
R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))