Как найти относительную неопределенность скорости электрона

Соотношение неопределённостей

Обнаружение волновых
свойств микрочастиц означает, что
классическая механика не может дать
правильного описания поведения
микрообъектов. Новая физическая теория,
устанавливающая законы движения и
взаимодействия микрочастиц и фотонов
с учетом их волновых и корпускулярных
свойств, была разработана, главным
образом, тремя физиками: Э. Шредингером
(австр.), В. Гейзенбергом (нем.) и П. Дираком
(англ.) в начале ХХ века и получила
название волновой или квантовой
механики.

В
классической механике всякая частица
движется по определённой траектории,
так что ее координаты и импульс могут
быть точно рассчитаны для любого момента
времени. Совсем по иному обстоит дело,
если рассматривается вопрос о локализации
волнового процесса, т.е. о месте нахождения
волны в данный момент времени. Ведь
волна не имеет ни определенной траектории,
ни определенной координаты. Т.о. возникает
необходимость внести некоторые
ограничения в применении к объектам
микромира понятий классической механики.

Эти
ограничения сформулированы Гейзенбергом
и получили название соотношений
неопределенностей. Основное из них
гласит: чем
точнее определены какие-либо из координат
частицы, тем больше неопределенность
в значении составляющей импульса (или
скорости) в том же направлении, и наоборот.
Количественно это записывается так:

Δx·Δp_x
≥ ђ Δx·Δυ_x
≥ ђ/m,

Δy·Δp_y
≥ ђ
Δy·Δυ_y
≥ ђ/m,
(3)

Δz·Δp_z
≥ ђ
Δz·Δυ
_z ≥
ђ/m,

где
Δx,
Δy,
Δz
– неопределенности координат; Δp_x,
Δp_y,
Δp_z
– неопределенности проекций импульса
на оси – x,
y,
z;
Δυ_x,
Δυ_y
, Δυ_z
– неопределенности проекций скоростей
на соответствующие оси; m – масса
микрочастицы; ђ = h/2π – постоянная Планка
с крышечкой.

Из
соотношения неопределенностей следует:
если
положение частицы точно известно
(Δx=0),
то в этом состоянии проекция импульса
на ось х-ов совершенно не определена
(Δp_х
→
∞), и
наоборот.

Покажем, что
соотношение неопределенностей
действительно вытекает из волновых
свойств микрочастиц.
Рассмотрим мысленный опыт по дифракции
потока электронов на щели шириной Δx
~ λ, расположенной
перпендикулярно к направлению движения
частиц (рис. 3).

До
прохождения через щель p_х
= 0; ∆p_х = 0, а координатаxне определена, т.е. ∆x→ ∞. В
момент прохождения через щель координата
электрона имеет неопределенность ∆xравную ширине щели. В то же время, из-за
дифракции, электроны отклоняются от
первоначального направления и будут
двигаться в пределах угла 2φ, где φ –
угол дифракции. Теперь появляется
неопределенность в значении составляющей
импульса вдоль осиx-ов:

∆p_х
= p∙sinφ = h sinφ /λ_Б
. (4)

Если
даже ограничиться электронами,
попадающими на экран в пределах
центрального максимума, то sinφ найдем
из условия 1-ого минимума на щели (bsinφ
= kλ,
где b
– ширина щели, k
– порядок минимума):

∆x∙sinφ
= λ_Б. (5)

Подставляя
выражение для sinφ в (4), после преобразования
получим

Δx·Δp_x
= h
(6)

Учитывая
главные max более высоких порядков, куда
тоже попадают электроны, окончательно
будем иметь:

Δx·Δp_x
≥ h ≥
ђ (7)

Следует
подчеркнуть, что невозможность
одновременного и точного определения
координаты и соответствующей составляющей
импульса не связана с несовершенством
наших знаний или неточностью приборов,
а является следствием специфических
и вместе с тем объективных свойств
микрообъектов.

Проиллюстрируем
оценку границ применимости теории на
примерах.

1. Скорость
   движения электрона в электроннолучевой
   трубке составляет υ_х=10⁶
   м/с и
   определена с точностью до Δυ_х=10²
   м/с. Тогда
   неопределенность координаты:

Δx·Δυ_x
≥ ђ/m,
.

Т.е.
в данном случае можно говорить о точке
падения каждого отдельного электрона
на экран и о траектории.

1. Скорость
   движения электрона в атоме водорода
   υ_х
   ~ 10⁶
   м/с,
   неопределенность координаты порядка
   диаметра атома Δx
   = d ~10^-10
   м. Тогда
   неопределенность величины скорости

Т.е.
неопределенность скорости соизмерима
с самой скоростью. Это означает, что
электрон не может теперь рассматриваться
как дискретная частица.

Соотношение
неопределенностей может быть записано
для любой пары взаимосвязанных
характеристик состояния микрочастиц,
например, для энергии и времени пребывания
в этом энергетическом состоянии:

ΔЕ·Δt
≥ ђ. (8)

Из
данного соотношения видно, что разброс
энергии ΔЕ = ђ/Δt возрастает с уменьшением
среднего времени пребывания системы в
состоянии с энергией Е. Отсюда, следует,
что частота излученного фотона также
должна иметь неопределенность:

Δv
= ΔЕ / h,
(9)

т.е. линии
спектра, обусловленные переходом
электронов между уровнями Е₁и
Е₂ с ΔЕ = Е₁– Е₂, будут
иметь размытие по частоте равное Δv=
v₀ ±ΔЕ / h, что подтверждается
опытом.

ВОЛНОВАЯ
ФУНКЦИЯ

Дифракционная картина, наблюдаемая для
микрочастиц, характеризуется неодинаковым
распределением рассеянных частиц по
разным направлениям. С точки зрения
волновой теории это означает, что
направлениям максимумов соответствует
наибольшая интенсивность волн де Бройля,
а минимумам – наименьшая. Т.е. интенсивность
волны де Бройля в данной точке пространства
определяет число частиц, попавших в эту
точку. Т.о. дифракционная картина
для микрочастиц является проявлением
статистической закономерности. Это
означает, что описание поведения
микрочастиц должно носить вероятностный
характер, что и является важнейшей
отличительной особенностью квантовой
механики от классической.

Состояние микрочастиц в квантовой
механике описывается с помощью, так
называемой, волновой функции вида ψ =
f(x,y,z,t). Ее называют
еще ψ-функция. Квадрат модуля ψ-функции
определяет вероятность обнаружения
частицы в момент времени t в области с
координатами:xиx+ dx;yиy+ dy;z иz+ dz–
т.е. в элементе объема dV = dxdydz:

dW = | ψ |²dV. (10)

Величина
| ψ |²
= dW /dV – имеет смысл плотности вероятности,
т.е. определяет вероятность нахождения
частицы в единичном объеме в окрестностях
точки с координатами x,y,z.
Т.о. физический
смысл имеет не сама ψ-функция, а квадрат
её модуля –
|ψ|²,
которым и задается интенсивность волн
де Бройля.
Теперь вероятность найти частицу в
момент времени t в объеме V будет:

. (11)

Очевидно, что
объективность существования частицы
во времени и в пространстве будет
выражаться вероятностью достоверного
события:

. (12)

Это соотношение
является условием нормировки ψ- функции.

Волновая функция
позволяет рассчитать вероятность
реализации тех или иных значений
параметров микрообъекта или их средние
величины, например, расстояние электрона
от ядра атома или вероятность перехода
электрона с одного энергетического
уровня на другой, что в свою очередь
позволяет оценить относительную
интенсивность спектральных линий.

Что бы ψ-функция
являлась объективной характеристикой
состояния микрочастицы она должна
удовлетворять следующим условиям: быть
1) конечной, т.к. W ≤ 1; 2) однозначной,
т.к. вероятность не может быть неоднозначной;
3) непрерывной, т.к. вероятность не может
изменяться скачком.

Соседние файлы в папке Физика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

Определение длины волны. Относительная неопределенность скорости электрона. Функции частицы

1. Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода,
соответствующую их наиболее вероятной скорости при .

Дано:

Решение:

Длина
волны де Бройля определяется по формуле:

 – постоянная Планка.

 – импульс частицы, .

Средняя квадратичная скорость молекул газа определяется
выражением (Проверьте формулу)

,

где

 – универсальная газовая постоянная,  – молярная масса водорода.

Массу одной молекулы найдем делением ее молярной массы на
постоянную Авогадро (моль^-1):

Тогда импульс частицы можно выразить формулой:

,

а длину волны де Бройля – соотношением

.

Произведя вычисления по этой формуле, получим:

. Ответ:

. Электрон с кинетической энергией локализован в области размером . Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.

Дано:

Решение

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и
импульса имеет вид:

,

где  – неопределенность координаты,

 – неопределенность импульса,

 – постоянная Планка,

Поскольку неопределенность координаты  не больше линейного размера структуры , а неопределенность импульса можно
выразить через неопределенность скорости , получаем:

, Откуда .

Для определения относительной неопределенности скорости необходимо
значение скорости; выразим ее из кинетической энергии для классического случая,
поскольку выполняется условие Е_к << Е₀
(энергия покоя электрона Е₀ составляет 0,511 МэВ):

Находим относительную неопределенность скорости

Подставляя значения величин, находим:

 Ответ:

. Частица находится в одномерном потенциальном ящике с бесконечно
высокими стенками.  – функция имеет вид, показанный на
рисунке. Найти вероятность пребывания частицы в области .

Дано

Вероятность пребывания микрочастицы в окрестностях точки х (в
одномерном случае):

.

Волновая функция частицы, находящейся в бесконечно глубоком
одномерном прямоугольном потенциальном ящике:

.

Определим состояние  частицы из графических соображений. Как видно из рисунка,

,

поэтому можем записать равенства

.

Очевидно, что  выполняются при любых значениях .

Для того чтобы волновая функция обращалась в нуль во всех
требуемых точках, аргументы функции синуса должны удовлетворять также условиям

,

где  – целое число. Таким образом,  должны быть целочисленными, откуда
следует, что .

Находим вероятность пребывания электрона во второй четверти ящика:

.

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством

,

приходим к выражению:

Подставляя значения величин, находим

.

Заметим, что графический метод определения вероятности дает такой
же результат (площадь фигуры, ограниченной графиком функции в указанных
пределах, составляет четверть от площади фигуры, ограниченной графиком на всей
длине ящика). Ответ:

. Электрон в атоме находится в  – состоянии. Найти орбитальный момент импульса  электрона и максимальное значение
проекции момента импульса  на направление внешнего магнитного поля.

Дано:

 – состояние

Решение

,

где

 – орбитальное квантовое число.  – постоянная Планка.

 – состоянию электрона соответствует значение орбитального
квантового числа .

Проекция вектора орбитального момента импульса на направление
внешнего магнитного поля так же квантуется, то есть может принимать лишь
целочисленные значения, кратные :

,

где

 – магнитное квантовое число, может принимать значения .

Нетрудно видеть, что максимальное значение магнитного квантового
числа равно орбитальному квантовому числу , поэтому максимальное значение проекции момента импульса  на направление внешнего магнитного поля
определяется выражением:

.

Подставляем численные значения и вычисляем:

,

.

Ответ: ;

. Пси-функция основного состояния водородного атома имеет вид

,

где

 – радиус первой боровской орбиты.

Вычислить вероятность того, что электрон в основном состоянии
атома водорода находится от ядра на расстоянии, превышающем значение .

Дано:

Решение

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность  нахождения микрочастицы в некоторой
области пространства, то есть вероятность найти электрон в элементарном объеме , находящемся на расстоянии  от ядра, равна

.

В силу сферической симметрии функции элементарным объемом , все точки которого удалены на одинаковое
расстояние от ядра, будет шаровой слой радиуса и толщиной , то есть

, тогда .

Вероятность пребывания частицы на расстоянии, превышающем значение
, находим интегрированием в пределах от  до :

.

Удобнее вычислить интеграл в пределах от 0 до , найдя вероятность  пребывания электрона внутри этой области,
а искомую вероятность найти как

,

поскольку полная вероятность нахождения электрона в области от  до равна 1.

.

Введем переменную , тогда интеграл в иной форме будет выглядеть:

,

а выражение для вероятности  примет вид:

.

После интегрирования по частям получаем:

электрон скорость частица волна

 – вероятность пребывания электрона внутри сферы радиусом , тогда искомая вероятность того, что
электрон окажется за ее пределами

. Ответ: